函數在某點取得極值的條件

1、

(2011?上城區)設y=f(x)在R上可導，則f，(xo)=0是y=f(x)在x=x()處取

得極值的()條件.

A、充分不必B、必要不充分

要

C、充要D、既不充分也

不必要

考點：函數在某點取得極值的條件；必要條件、充分條件與充要條件的判斷.

專題：常規題型.

分析：根據充分條件和必要條件的定義進行求解，y=f(x)在R上可導，舉例子

f(x)=x3題設和條件能否互推.

解答：解：y=f(x)在R上可導，當f(x)=x3在x=0處的導數為0,

但不取得極值.

，不充分，

.,.f(x)在Xo處的導數f'(x)=0是f(X)在Xo處取得極值的必要不充分條件；

故選B.

點評：此題主要考查函數在某點取得極值的條件即方程f，(x)=0的根，解題的

關鍵是要學會舉反例.

2、

(2011?福建)若a>0,b>0,且函數f(x)=4x3-ax<2bx+2在x=1處有極值,

則ab的最大值等于()

A、2B、3C、6D、9

考點：函數在某點取得極值的條件；基本不等式.

專題：計算題.

分析：求出導函數，利用函數在極值點處的導數值為0得到a,b滿足的條件；

利用基本不等式求出ab的最值；注意利用基本不等式求最值需注意：一正、二

定、三相等.

解答：解：Vf(x)=12x2-2ax-2b

又因為在x=1處有極值

a+b=6

Va>0,b>0

ab<(a+b2)2=9

當且僅當a=b=3時取等號

所以ab的最大值等于9

故選D

點評：本題考查函數在極值點處的導數值為0、考查利用基本不等式求最值需注

意：一正、二定、三相等.

3、

(2007?江西)設函數f(x)是R上以5為周期的可導偶函數，則曲線y=f(x)

在x=5處的切線的斜率為()

A、-15B、0C、15D、5

考點：函數在某點取得極值的條件；函數奇偶性的性質；三角函數的周期性及其

求法.

分析：偶函數的圖象關于y軸對稱，x=0為極值點，f(x)是R上以5為周期，

x=5也是極值點，極值點處導數為零

解答：解：(x)是R上可導偶函數，

Af(x)的圖象關于y軸對稱，

(x)在x=0處取得極值，即「(0)=0,

又Tf(x)的周期為5,

：.V(5)=0,即曲線y=f(x)在x=5處的切線的斜率0,

故選項為B

點評：本題考查函數的周期性、奇偶性、導數的兒何意義、極值點滿足的條件

4、

若函數f(x)=x2lnx(x>0)的極值點為a,函數g(x)=xlnx2(x>0)的極值

點為p,則有()

A、a>pB、a<p

C、a=pD、a與0的大

小不確是

考點：函數在某點取得極值的條件.

分析：利用積的導數法則求f'(x),g，(x)；據函數極值點處的導數為零，列出

方程解得.

解答：解：'：V(x)=2xlnx+x,g'(x)=lnx2+2

又f(x)=x2lnx(x>0)的極值點為a,g(x)=xlnx2(x>0)的極值點為p,

?*.2alna+a=0,lnp2+2=0

**.a=e-12,p=6-1

/.a>p

故選A.

點評：本題考查導數的運算法則和極值點處的導數為零.

5、

已知關于x的三次函數f(x)=13ax3+12bx2+2x+1在區間(1,2)上只有極大值,

則b-a的取值范圍是()

A、(-1,+8)B、(-2,+00)C、(-3,D、(-4,

+00)+00)

考點：函數在某點取得極值的條件.

分析：極大值是函數先增再減，相應導數是先增后負得不等式組再利用線性規劃

解

解答:解：f'(x)=ax2+bx+2

;f(x)=13ax3+12bx2+2x+1在區間(1,2)上只有極大值

{f,(1)>0f,(2)<0HP{a+b+2>04a+2b+2<0

，-4vb-a

故選項為D

點評：函數在某點處取極值的條件，利用線性規劃求范圍

6、

函數f(x)=13ax3+12ax2-2ax+2a+1的圖象經過四個象限，則實數a的取值范圍

是()

A、a>-316B、-65<a<-316C.a>-65D、-65<a<-316

考點：函數在某點取得極值的條件.

分析：求函數的極值，要使圖象經過四個象限只要兩極值符號不同

解答：解：f'(x)=ax2+ax-2a=a(x+2)(x-1)

令f'(x)=a(x+2)(x-1)=0得x=-2或x=1

xe(-oo,-2)時『(x)的符號與xe(-2,1)時f，(x)的符號相反，xe(-2,

1)時f，(x)的符號與XG(1,+oo)時F(x)的符號相反

(-2)=-83a+2a+4a+2a+1=163a+1和為極值，f(1)=13a+12a-2a+2a+1=

56a+1

?.?圖象經過四個象限

Af(-2)-f(1)VO即(163a+1)(56a+1)<0

解得-65<a<-316

故答案為B

點評：本題考查導數求函數的極值，眼睛函數的單調性及其圖象

7、

已知函數f(x)=13x3-mx2-3m2x+1在區間(1,2)內有極值，則實數m的取值

范圍是()

A、(-2,-1)U(13,B、(-23,-13)

23)

C、(I,2)D、(-23,13)U(I,2)

考點：函數在某點取得極值的條件.

專題：計算題.

分析：由函數f(x)=13x3-mx2-3m2x+1在區間(1,2)內有極值，我們易得函

數的導函數在在區間(1,2)內有零點，結合零點存在定理，我們易構造出一

個關于m的不等式，解不等式即可得到答案.

解答：解:,函數f(x)=13x3-mx2-3m2x+1

.".f'(x)=x2-2mx-3m2,

若函數f(x)=13x3-mx2-3m2x+1在區間(1,2)內有極值，

則f'(x)=x2-2mx-3m2在區間(1,2)內有零點

即f'(1)?f'(2)<0

即(1-2m-3m2)?(4-4m-3m2)<0

解得m?(-2,-1)U(13,23)

故選A

點評：本題考查的知識點是函數在某點取得極值的條件，其中將問題轉化為導函

數的零點問題是解答此類問題最常用的辦法.

8、

已知函數f(x)=-x3+ax?-4在x=2處取得極值，若m、ne[-1,1],則f(m)+F

(n)的最小值為()

A,-13B、-15C、10D、15

考點：函數在某點取得極值的條件；函數的最值及其幾何意義.

分析：令導函數當x=2時為0,列出方程求出a值；求出二次函數f，(n)的最小

值，利用導數求出f(m)的最小值，它們的和即為f(m)+V(n)的最小值.

解答:解：Vf(x)=-3x2+2ax

函數f(x)=-x3+ax2-4在x=2處取得極值

.,.-12+4a=0

解得a=3

二.「(x)=-3X2+6X

.?.ne11,1]時，f，(n)=-3產+6門當n=-1時，V(n)最小，最小為-9

當me卜1,1]時，f(m)=-m3+3m2-4

fr(m)=-3m2+6m

令F(m)=0得m=0,m=2

所以m=0時，f(m)最小為-4

故f(m)+f(n)的最小值為-9+(-4)=-13

故選A

點評：函數在極值點處的值為6；求高次函數的最值常用的方法是通過導數.

考點：函數在某點取得極值的條件.

專題：數形結合.

分析：先根據導函數的兩個根的分布建立a、b的約束條件，而b-2a-1可看作點

P(1,2)與陰影部分內一點(a,b)連線的斜率，由此問題轉化為線性規劃求

范圍問題，然后利用線性規劃的方法求出目標函數的取值范圍即可.

?.?函數f(x)=x33+12ax2+2bx+c

的兩個根為

.,.f(x)=x?+ax+2b=0Xi,x2,

Vxi,X2分別在區間(0,1)與(1,2)內

...{f(0)>0f,(2)>0f,(1)<0{b>0a+b+2>0a+2b+1<0

畫出區域如圖，

而b-2a-1可看作點P(1,2)與陰影部分內點(a,b)連線的斜率，如圖綠

色線即為符合條件的直線的邊界，

M,N兩個點為邊界處的點，

當連線過M(-3,1)時，kPM=2-11+3=14,

當連線過N(-1,0)時，kPN=2-01+1=1,

由圖知b-2a-1G(14,1).

故選C.

點評:本題主要考查了利用導數研究函數的極值，以及利用線性規劃的知識解題,

屬于基礎題.

考點：函數在某點取得極值的條件.

專題：數形結合.

分析：先根據導函數的兩個根的分布建立a、b的約束條件，而b-2a-1可看作點

P(1,2)與陰影部分內一點(a,b)連線的斜率，由此問題轉化為線性規劃求

范圍問題，然后利用線性規劃的方法求出目標函數的取值范圍即可.

解答:?.?函數f(x)=x33+12ax2+2bx+c

,的兩個根為

.*.f(x)=x?+ax+2b=0Xi，x2,

Vxi,X2分別在區間(0,1)與(1,2)內

...{f,(0)>0f,(2)>0f,(1)<0{b>0a+b+2>0a+2b+1<0

畫出區域如圖，

而b-2a-1可看作點P(1,2)與陰影部分內一點(a,b)連線的斜率，如圖綠

色線即為符合條件的直線的邊界，

M,N兩個點為邊界處的點，

當連線過M(-3,1)時，kPM=2-11+3=14,

當連線過N(-1,0)時，kPN=2-01+1=1,

由圖知b-2a-1G(14,1).

故選C.

點評:本題主要考查了利用導數研究函數的極值，以及利用線性規劃的知識解題,

屬于基礎題.

9、

已知函數的兩個極值分別為若「

f(x)=x33+12ax2+2bx+cf(Xi)?f(x2)>xx2

分別在區間(0,1)與(1,2)內，則b-2a-1的取值范圍是()

A、(-1,-14)B、(-00,-14)U(1,+00)

C、(14,1)D、(12,2)

考點：函數在某點取得極值的條件.

專題：數形結合.

分析：先根據導函數的兩個根的分布建立a、b的約束條件，而b-2a-1可看作點

P(1,2)與陰影部分內一點(a,b)連線的斜率，由此問題轉化為線性規劃求

范圍問題，然后利用線性規劃的方法求出目標函數的取值范圍即可.

?.?函數f(x)=x33+12ax2+2bx+c

(x)=x?+ax+2b=0的兩個根為Xi，x2,

Vxi，X2分別在區間(0,1)與(1,2)內

...{f,(0)>0f,(2)>0f,(1)<0{b>0a+b+2>0a+2b+1<0

畫出區域如圖，

而b-2a-1可看作點P(1,2)與陰影部分內一點(a,b)連線的斜率，如圖綠

色線即為符合條件的直線的邊界，

M,N兩個點為邊界處的點，

當連線過M(-3,1)時，kPM=2-11+3=14,

當連線過N(-1,0)時，kPN=2-01+1=1,

由圖知b-2a-1e(14,1).

故選C.

點評:本題主要考查了利用導數研究函數的極值，以及利用線性規劃的知識解題,

屬于基礎題.

10>

已知函數f(x)=13X3+12ax2+2bx+c(a,b,cwR),且函數f(x)在區間(0,

1)內取得極大值，在區間(1,2)內取得極小值，則z=(a+3)2+b2的取值范

圍()

A、(22,2)B、(12,4)C、(1,2)D、(1,4)

考占?函數在某占取得極值的條件.

分笳：據極大值，合左邊導數為正右邊導數為負，極小值點左邊導數為負右邊導數

為正得a,b的約束條件，據線性規劃求出最值.

解答:解:Vf(x)=13x3+12ax2+2bx+c

.,.V(x)=x2+ax+2b

?.?函數f(x)在區間(0,1)內取得極大值，在區間(1,2)內取得極小值

：.V(x)=x?+ax+2b=0在(0,1)和(1,2)內各有一個根

V(0)>0,V(1)<0,V(2)>0

即{b>0a+2b+1<a+b+2>00

(a+3)?+b2表示點(a,b)到點(-3,0)的距離的平方，

由圖知(-3,0)到直線a+b+2=0的距離22,平方為12為最小值，

(-3,0)與(-1,0)的距離2,平方為4為最大值

故選項為B

點評：本題考查函數極值存在條件及線性規劃求最值.

11、

已知函數的兩個極值分別為若「

f(x)=x33+12ax2+2bx+cf(Xi)?f(x2)＞xx2

分別在區間(0,1)與(1,2)內，則b-2a-1的取值范圍是()

A、(-1,-14)B、(-00,-14)U(1,+oo)

C、(14,1)D、(12,2)

考點：函數在某點取得極值的條件.

專題：數形結合.

分析：先根據導函數的兩個根的分布建立a、b的約束條件，而b-2a-1可看作點

P(1,2)與陰影部分內一點(a,b)連線的斜率，由此問題轉化為線性規劃求

范圍問題，然后利用線性規劃的方法求出目標函數的取值范圍即可.

?.?函數f(x)=x33+12ax2+2bx+c

的兩個根為

Af(x)=x?+ax+2b=0Xi，x2.

Vxi,X2分別在區間(0,1)與(1,2)內

{f,(0)>0f,(2)>0f,(1)<0{b>0a+b+2>0a+2b+1<0

畫出區域如圖，

而b-2a-1可看作點P(1,2)與陰影部分內一點(a,b)連線的斜率，如圖綠

色線即為符合條件的直線的邊界，

M,N兩個點為邊界處的點，

當連線過M(-3,1)時，kPM=2-11+3=14,

當連線過N(-1,0)時，kPN=2-01+1=1,

由圖知b-2a-1e(14,1).

故選C.

點評:本題主要考查了利用導數研究函數的極值，以及利用線性規劃的知識解題,

屬于基礎題.

12、

若函數f(x)=x3+3bx-3b在區間(0,1)內存在極小值，則實數b的取值范圍

為()

A、-1<bB.b>-1C>b<0D、b>-12

<0

考點：函數在某點取得極值的條件.

專題：計算題.

分析：求出函數的導數，然后令導數為零，求出函數的極值，最后確定b的范圍.

解答：解：由題意得f(x)=3x2-3b,

令(x)=0,則x=±b

又?..函數f(x)=x3-3bx+b在區間(0,1)內有極小值，

.\0<b<1,

Abe(0,1),

故選A.

點評：熟練運用函數的導數求解函數的極值問題，同時考查了分析問題的能力，

屬于基礎題.

考點：函數在某點取得極值的條件.

專題：常規題型.

分析：求出函數的導函數，根據函數的極值是導函數的根，且根左右兩邊的導函

數符號不同得到△>()；解出a的范圍.

解答:解:V(x)=3x2+4ax+3(a+2)

Vf(x)有極大值和極小值

.-.△=16a2-36(a+2)>0

解得a>2或a<-1

故選B

點評:本題考查函數的極值點是導函數的根，且根左右兩邊的導函數符號需不同.

13、

若f(x)=x3+2ax2+3(a+2)x+1有極大值和極小值，則a的取值范圍是()

A,-a〈aB、a>2或C、az2或D、a>1或

<2a<-1a<-1a<-2

考點：函數在某點取得極值的條件.

專題：常規題型.

分析：求出函數的導函數，根據函數的極值是導函數的根，且根左右兩邊的導函

數符號不同得到△>()；解出a的范圍.

解答:解:V(x)=3x2+4ax+3(a+2)

Vf(x)有極大值和極小值

/.△=16a2-36(a+2)>0

解得a>2或a<-1

故選B

點評:本題考查函數的極值點是導函數的根，且根左右兩邊的導函數符號需不同.

14、

若函數f(x)=(x-2)(x2+c)在x=1處有極值，則函數f(x)的圖象x=-1處的

切線的斜率為()

A、1B、-3C、8D、-12

考點：函數在某點取得極值的條件.

專題：計算題.

分析：對函數f(x)=(x-2)(x2+c)進行求導，根據函數在x=1處有極值，可

得「(1)=0,求出c值，然后很據函數導數和函數切線的斜率的關系即可求解.

解答:解：???函數f(x)=(x-2)(x2+c)在x=1處有極值，

.*.f,(x)=(x2+c)+(x-2)x2x,

'：V(1)=0,...(c+1)+(1-2)x2=0,

/.c=1,

.*.ff(x)=(x2+1)+(x-2)x2x,

二函數f(x)的圖象x=-1處的切線的斜率為f(-1)=(1+1)+(-1-2)x(-2)

=2+6=8,

故選C.

點評：本題主要考查函數在某點取得極值的條件，以及函數的導數的求法，屬基

礎題.

15、

函數f(x)=x'+ax2+bx+a2在x=1處有極值10,則()

A、a=-119B3=-4>C^3=11,Da=4,

b=4b=11b=-4b=-11

考點：函數在某點取得極值的條件.

專題：計算題；方程思想.

分析：根據函數f(x)=x3+ax2+bx+a2i4x=1處有極值10,可知fr(1)=0和f(1)

=10,對函數f(x)求導，解方程組｛f(1)=0f(1)=10,注意驗證，可求得答案.

解答：解：由f(x)=x3+ax2+bx+a2,

得(x)=3x2+2ax+b,

｛f(1)=0f(1)=10,即｛2a+b+3=0a2+a+b+1=10,

解得｛a=4b=-11或｛a=-3b=3(經檢驗應舍去)，

故選D.

點評：考查利用導數研究函數的極值問題，注意f，(X。)=0是x=x。是極值點的必

要不充分條件，因此對于解得的結果要檢驗，這是易錯點，屬基礎題.

16、

若函數f(x)=x2+ax+1在x=1處取得極值，則a等于()

A、-5B、-2C、1D、3

考點：函數在某點取得極值的條件.

專題：計算題.

分析：由題意得：f'(x)=x2+2x-a(x+1)2,由函數f(x)在x=1處取得極值,

可得所以f'(1)=0.進而可得a的值.

解答：解：由題意得：f'(x)=x2+2x-a(x+1)2

因為函數f(x)=x2+ax+1在x=1處取得極值，

所以f'(1)=0,即a=3.

故選D.

點評：解決此類問題的關鍵是利用已知函數的解析式正確的求出函數的導數，再

利用函數的極值求出參數的值即可，通過極值求參數的數值是高考常考的知識點

之一.

考點：函數在某點取得極值的條件；必要條件、充分條件與充要條件的判斷.

專題：常規題型.

分析：分別舉反例說明充分性和必要性都不成立：函數y=|x|,在x=0處取極小

值但F(O)M，說明充分性不成立；函數f(x)=x3在x=0處，f(x)=0,而f

(0)并非函數的極值，必要性質不成立.由此可得正確答案.

解答：解：先說明充分性不成立，

例如函數y=|x|,在x=0處取得極小值f(0)=0,但F(x)在x=0處無定義，

說明F(0)=0不成立，因此充分性不成立；

再說明必要性不成立，設函數f(x)=x3,則f，(x)=3x2

在x=0處，r(x)=0,但x=0不是函數f(x)的極值點，故必要性質不成立.

故選D

點評：本題以必要條件、充分條件與充要條件的判斷為載體，考查了函數在某點

取得極值的條件，是一道概念題.

17>

若函數f(X)在X=Xo處有定義，則葉(X)在X=Xo處取得極值”是葉(X。)=0”的

()

A、充分不必B、必要不充分

要條件條件

C、充要條件D、既不充分也

不必要條件

考點：函數在某點取得極值的條件.

專題：計算題.

分析：函數在極值點處的導數值異號，故f(x)的導數f'(x)=x2-2x+a=0有兩

個實數根，△=4-4a>0.

解答：解：?..函數f(x)=13x3-2+ax-1有極值點,

Af(x)的導數f'(x)=x<2x+a=0有兩個實數根,

.,.△=4-4a>0,

故選C.

點評：本題考查函數存在極值的條件，利用函數在極值點處的導數值異號.

18、

函數f(x)=13x3-x2+ax-1有極值點，則a的取值范圍是()

A>(-co,0)B>(-oo,C>(-oo,1)D>(-oo,

0]1]

考點：函數在某點取得極值的條件.

專題：計算題.

分析：利用導數工具去解決該函數極值的求解問題，關鍵要利用導數將原函數的

單調區間找出來，即可確定出在哪個點處取得極值，進而得到答案.

解答：解：由題意可得：/=3x2-3,

令y，=3x2-3>0,則x>1或者x<-1,

所以函數y=x3-3x在(-00,-1)上遞增，在(-1,1)上遞減，在(1,+8)上遞

增，

所以當x=-1時，函數有極大值m=2,當x=1,時，函數有極小值n=-2,

所以m+n=0.

故選A.

點評：利用導數工具求該函數的極值是解決該題的關鍵，要先確定出導函數大于

。時的實數x的范圍，再討論出函數的單調區間，根據極值的判斷方法求出該函

數的極值，體現了導數的工具作用.

19、

函數y=x3-3x的極大值為m,極小值為n,則m+n為()

A、0B、1C、2D、4

考點：函數在某點取得極值的條件.

專題：計算題.

分析：利用導數工具去解決該函數極值的求解問題，關鍵要利用導數將原函數的

單調區間找出來，即可確定出在哪個點處取得極值，進而得到答案.

解答：解：由題意可得：y，=3x2-3,

令y，=3x2-3>0,則x>1或者x<-1,

所以函數y=x'-3x在(-co,-1)上遞增，在(-1,1)上遞減，在(1,+00)上遞

增，

所以當x=-1時，函數有極大值m=2,當x=1,時，函數有極小值n=-2,

所以m+n=0.

故選A.

點評：利用導數工具求該函數的極值是解決該題的關鍵，要先確定出導函數大于

0時的實數x的范圍，再討論出函數的單調區間，根據極值的判斷方法求出該函

數的極值，體現了導數的工具作用.

20、

已知函數f(x)=x(x-c)2在x=2處有極大值，則c的值為()

A、3B、6C、3或6D、2或6

考點：函數在某點取得極值的條件.

專題：計算題.

分析：對函數f(X)=X(X-C)2求導，利用函數的導函數與極值的關系，令導函

數等于。即可解出C的值.

解答：解：f(x)=(x-c)2+2X(X-C),

f'(2)=(2-c)2+2x2(2-c)=0,

解得c=6或2.

驗證知當c=2時，函數在x=2處有極小值，舍去

故c=6

故選B.

點評：本題主要考查了函數在某點取得極值的條件，對函數求導，令導函數等于

。即可解出c的值，由于本題明確指出在該點出取到極大值，故需對求出的c的

值進行驗證，如本題，c=2必需舍去，做題時要注意考慮周詳.

21>

函數f(x)=x3-ax2-bx+a?在x=1時有極值10,則a,b的值為()

A、｛a=3b=-3或｛a=-4b=11

B、｛a=-4b=1或｛a=-4b=11

C、｛a=-4b=11

D、以上皆錯

考點：函數在某點取得極值的條件.

專題：計算題.

分析:首先對f(x)求導，然后由題設在x=1時有極值10可得｛f(1)=0f(1)=10

解之即可求出a和b的值.

解答：解：對函數f(x)求導得f'(x)=3x2-2ax-b,

又?.?在x=1時f(x)有極值10,

｛f(1)=3-2a-b=0f(1)=1-a-b+a2=10,

解得｛a=-4b=11或｛a=3b=-3,

驗證知，當a=3,b=-3時，在x=1無極值，

故選C.

點評:掌握函數極值存在的條件，考查利用函數的極值存在的條件求參數的能力,

屬于基礎題.

圖是函數y=f(x)的導函數丫=p(x)的圖象，給出下列命題：

①-3是函藪y=f(x)的極值點；

②-1是函數y=f(x)的最小值點；

③y=f(x)在x=0處切線的斜率小于零；

④y=f(x)在區間(-3,1)上單調遞增.

則正確命題的序號是()

A、①②B、②③C、③④D、①④

考點：函數在某點取得極值的條件；函數的單調性與導數的關系.

專題：數形結合.

分析：根據導函數的圖象得到導函數的符號，根據導函數的符號判斷出函數單調

性，根據函數的單調性求出函數的極值及最值，判斷出①②④的對錯根據函數在

切點的導數為切線的斜率，判斷出③的對錯.

解答：解：由導函數丫=「(x)的圖象知

f(x)在(-00,-3)后調遞減，(-3,+00)單調遞增

所以①-3是函數y=f(x)的極小值點，即最小值點

故①對②不對

VOe,(-3,+oo)

又在(-3,+00)單調遞增

：.V(0)>0

故③錯

Vf(x)在(-3,+00)單調遞增

...y=f(x)在區間(-3,1)上單調遞增

故④對

故選D

點評：根據導函數的符號判斷函數的單調性：導函數大于0,函數單調遞增；導

函數小于0,函數單調遞減.注意函數的極值點的左右的導函數符號要相反.

23、

設x=1與x=2是函數f(x)=alnx+bx2+x的兩個極值點.則常數a=()

A、-23B、-1C、1D、0

考點：函數在某點取得極值的條件.

專題：計算題.

分析：已知函數f(x)=alnx+bx2+x,求其導數F(x),因為x=1與x=2是函數f

(x)=alnx+bx2+x的兩個極值點，可得「(1)=?(2)=0,從而聯立方程求出a

的值.

解答：解：?函數f(x)=alnx+bx2+x,

.,.f,(x)=ax+2bx+1,

,.,x=1與x=2是函數f(x)=alnx+bx2+x的兩個極值點，

：.V(1)=V(2)=0,

a+2b+1=0…①

a2+4b+1=0…②

聯立方程①②得

a=-23,b=-16,

故選A.

點評：此題考查函數的導數與極值的關系，是?道比較簡單的題，解題的關鍵是

會聯立方程并正確求解二元一次方程.

24>

是函數在點。處取極值的()

V(x0)=0f(x)X

A、充分不必B、必要不充分

要條件條件

C、充要條件D、既不充分又

不必要條件

考點：函數在某點取得極值的條件；充要條件.

專題：計算題.

分析：結合極值的定義可知必要性成立，而充分性中除了要求f'(X。)=0外，還

的要求在兩側有單調性的改變(或導函數有正負變化)，通過反例可知充分性不

成立.

解答:解:如y=x3,yf=3x2,y'ko=O,但x=0不是函數的極值點.

若函數在X。取得極值，由定義可知f'(xo)=0

所以f，(xo)=0是xo為函數y=f(x)的極值點的必要不充分條件

故選B

點評：本題主要考查函數取得極值的條件：函數在X。處取得極值V(xo)=0,

且f'(xVXo)?f'(X>XO)<0

如圖是導函數y=f，(x)的圖象，在標記的點中，函數有極小值的是()

A、x=x2x=x3x=x5D、x=Xi或

x=x4

考點：函數在某點取得極值的條件.

專題：證明題.

分析：導數的幾何意義是導數大于0時原函數是增函數，當導數小于0時原函數

是減函數，根據導數的兒何意義可得答案.

解答：解：根據導數的幾何意義得：

函數f(X)在區間(-co,X3),(X5,+00)是增函數，在區間(X3,X5)上是減函

數，

當X=X5時函數f(X)有極小值，

故選C.

點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握導數的兒何意義以及怎樣利用導數判斷函

數的單調性與極值.

26、

若函數f(x)=x(x-c)2在x=2處有極大值，則常數c為()

A、2B、6C、2或6D、-2或-6

考點：函數在某點取得極值的條件.

專題：計算題.

分析：求出函數的導數，再令導數等于0,求出c值，再檢驗函數的導數是否滿

足在x=2處左側為正數，右側為負數，

把不滿足條件的c值舍去.

解答：解：函數f(x)=x(x-c)2的導數為f(x)=3X2-4CX+C2,由題意知，

在x=2處的導數值為12-8c+c2=0.，c=6,或c=-2,

又函數f(x)=x(x-c)2在x=2處有極大值，故導數在x=2處左側為正數，右側

為負數，故c=6.

故選B.

點評：本題考查函數在某點取得極大值的條件：導數值等于0,且導數在該點左

側為正數，右側為負數.

27、

已知函數f(x)=|x|,在x=0處函數極值的情況是()

A、沒有極B、有極大值

值

C、有極小D、極值情況

值不能確定

考點：函數在某點取得極值的條件.

專題：閱讀型.

分析：由在x=0處左側的導數小于零，在x=0處右側的導數大于零，根據極值的

定義可知在x=0處函數取極小值.

解答：解：當x>0時，V(x)>0,f(x)為減函數，

當XV。時,V(x)<0,f(x)為增函數，

根據極值的定義可知函數f(X)=|x|,在x=0處函數取極小值，故選C

點評：本小題主要考查函數的導數的極值，屬于基礎題.

28、

f(x)在Xo處的導數(x)=0是f(x)在Xo處取得極值的()

A、充分但不必要的條件

B、必要但不充分的條件

C、充分必要條件

D、既不充分也不必要的條件

考點：函數在某點取得極值的條件；必要條件、充分條件與充要條件的判斷.

專題：綜合題.

分析：根據充分條件和必要條件的定義進行求解，舉例子f(X)=|x|題設和條件

能否互推.

解答：解：例如：f(X)=|x|在x=0處有極值，但x=0處不可導，

所以f'(0)#0

.?.不必要，

而f(x)=x，在x=0處的導數為0,

但不取得極值.

，不充分，

.,.f(x)在Xo處的導數產(x)=0是f(X)在Xo處取得極值的即不充分也不必要

條件；

故選D.

點評：此題主要考查函數在某點取得極值的條件即方程f'(x)=0的根，解題的

關鍵是要學會舉反例.

29>

函數f(x)=x3+ax?+bx+a2在x=1處有極值10,則()

A、a=-11,B、a=-4,C、a=11,D、a=4,

b=4b=11b=-4b=-11

考點：函數在某點取得極值的條件.

專題：計算題.

分析：由題意得：f'(x)=x2+2x-a(x+1)2,由函數f(x)在x=1處取得極值,

可得所以f'(1)=0.進而可得a的值.

解答:解:由題意得：V(x)=x2+2x-a(x+1)2

因為函數f(x)=x2+ax+1在x=1處取得極值，

所以f'(1)=0,即a=3.

故選D.

點評：解決此類問題的關鍵是利用已知函數的解析式正確的求出函數的導數，再

利用函數的極值求出參數的值即可，通過極值求參數的數值是高考常考的知識點

之一.

30、

若函數f(x)=x2+ax+1在x=1處取得極值，則a等于()

A、-5B、-2C、1D、3

考點：函數在某點取得極值的條件.

專題：計算題.

分析：由題意得：f'(x)=x2+2x-a(x+1)2,由函數f(x)在x=1處取得極值，

可得所以f'(1)=0.進而可得a的值.

解答：解：由題意得：V(x)=x2+2x-a(x+1)2

因為函數f(x)=x2+ax+1在x=1處取得極值，

所以f'(1)=0,即a=3.

故選D.

點評：解決此類問題的關鍵是利用已知函數的解析式正確的求出函數的導數，再

利用函數的極值求出參數的值即可，通過極值求參數的數值是高考常考的知識點

之一.

31、

若函數f(x)=(x-2)(x2+c)在x=1處有極值，則函數f(x)的圖象x=-1處的

切線的斜率為()

A、1B、-3C、8D、-12

考點：函數在某點取得極值的條件.

專題：計算題.

分析：對函數f(x)=(x-2)(x2+c)進行求導，根據函數在x=1處有極值，可

得「(1)=0,求出c值，然后很據函數導數和函數切線的斜率的關系即可求解.

解答:解：???函數f(x)=(x-2)(x2+c)在x=1處有極值，

(x)=(x2+c)+(x-2)x2x,

vr(1)=0,...(c+1)+(1-2)x2=0,

，c=1,

：.V(x)=(x2+1)+(x-2)x2x,

函數f(x)的圖象x=-1處的切線的斜率為P(-1)=(1+1)+(-1-2)x(-2)

=2+6=8,

故選C.

點評：本題主要考查函數在某點取得極值的條件，以及函數的導數的求法，屬基

礎題.

32、

設x=1與x=2是函數f(x)=alnx+bx2+x的兩個極值點.則常數a=()

A、-23B、-1C、1D、0

考點：函數在某點取得極值的條件；利用導數研究函數的單調性.

專題：綜合題.

分析：先構造函數y=f(x)ex,對該函數進行求導，化簡變形可判定導函數的符

號，再判斷增減性，從而得到答案.

解答：解：Vf(x)<f'(x)從而f'(x)-f(x)>0從而ex[f(x)-f(x)]e2x>0

從而(f(x)ex)r>0從而函數y=f(x)ex單調遞增，故x=2時函數的值大宇x=0時

函數的值，

即f⑵e2>f(0)所以f(2)>e^(0),f(2010)>e2010f(0).

故選B.

點評：本題主要考查函數的單調性與其導函數的正負情況之間的關系，即導函數

大于0時原函數單調遞增，當導函數小于0時原函數單調遞減.

33、

已知函數f(x)=ax+ex沒有極值點，則實數a的取值范圍是()

A、a〈0B、a>OC、a<0D、a>0

考點：函數在某點取得極值的條件.

專題：計算題.

分析：函數f(x)=ax+ex在R上沒有極值點，即函數的導數等于。無解或有唯

解(但導數在點的兩側符號相同)，又導數為f'(x)=a+ex,故a=*x無解，根

據指數函數的性質求得實數a的取值范圍.

解答：解：函數f(x)=ax+ex在R上沒有極值點，

即函數的導數等于。無解或有唯?解(但導數在點的兩側符號相同).

函數f(x)=ax+e、的導數為f'(x)=a+ex,

...a+eX=O無解,，a=-eX無解，

a>0

故選D.

點評：本題考查函數在某點取得極值的條件，以及方程無解或只有唯一解的條

件.屬于基礎題.

34、

已知f(x)為R上的可導函數，且f(x)<f,(x)和f(x)>0對于x￡R恒成

立，則有()

A、f(2)<e2-f(0),f(2010)>e2010-f(0)

B、f(2)>e2-f(0),f(2010)>e2010-f(0)

C、f(2)<e2-f(0),f(2010)<e2010-f(0)

D、f(2)<e2-f(0),f(2010)<e2010-f(0)

考點：函數在某點取得極值的條件.

專題：計算題.

分析：已知函數f(x)=alnx+bx2+x,求其導數P(x),因為x=1與x=2是函數f

(x)=alnx+bx2+x的兩個極值點，可得(1)=V(2)=0,從而聯立方程求出a

的值.

解答：解：?函數f(x)=alnx+bx2+x,

.'.V(x)=ax+2bx+1,

,.,x=1與x=2是函數f(x)=alnx+bx2+x的兩個極值點，

：.V(1)=V(2)=0,

a+2b+1=0…①

a2+4b+1=0…②

聯立方程①②得

a=-23,b=-16,

故選A.

點評：此題考查函數的導數與極值的關系，是一道比較簡單的題，解題的關鍵是

會聯立方程并正確求解二元一次方程.

35、

函數f(x)的導函數為f7(x),若(x+1)??(x)>0,則下列結論中正確的一

項為()

A、x=-1一定是函數f(x)的極大值點

B、x=-1一定是函數f(x)的極小值點

C、x=-1不是函數f(x)的極值點

D、x=-1不一定是函數f(x)的極值點

考點：函數在某點取得極值的條件；必要條件、充分條件與充要條件的判斷.

專題：常規題型.

分析：根據極值的定義可知，前者是后者的充分條件若什(X。)=0"，還應在導

數為。的左右附近改變符號時，“函數f(x)在X。處取得極值”.故可判斷.

解答：解：若“函數f(x)在xo處取得極值”，根據極值的定義可知“F(X。)=0"

成立，反之，‘甲(X。)=0"，還應在導數為0的左右附近改變符號時，“函數f(x)

在X。處取得極值”.

故選A.

點評：本題以函數為載體，考查極值的定義，屬于基礎題.

36、

已知函數f(x)=|x|,在x=0處函數極值的情況是()

A、沒有極B、有極大值

值

C、有極小D、極值情況

值不能確定

考點：函數在某點取得極值的條件.

專題：常規題型.

分析：求出函數的導函數，根據函數的極值是導函數的根，且根左右兩邊的導函

數符號不同得到△>()；解出a的范圍.

解答:解:V(x)=3x2+4ax+3(a+2)

Vf(x)有極大值和極小值

.-.△=16a2-36(a+2)>0

解得a>2或a<-1

故選B

點評：本題考查函數的極值點是導函數的根，且根左右兩邊的導函數符號需不同.

37、

若f(x)=x3+2ax2+3(a+2)x+1有極大值和極小值，則a的取值范圍是()

A、-a<aB>a>2或C、a^2或D、a>1或

<2a<-1a<-1a<-2

考點：函數在某點取得極值的條件.

專題：操作型；分類討論.

分析：由(x+1)-f7(x)>0,根據積商符號法則，分x>-1,x<-1,x=-1進行

討論，確定f'(x)>0或t(x)<0,確定函數的單調性.

解答：解：*/(x+1)W(x)>0,

時，f(X)>0,函數f(X)在區間(-1,+00)單調遞增，

XV-1時，V(X)<0,函數f(X)在區間(-00,-1)單調遞減，

但是函數f(x)在x=-1處不一定可導,如f(x)=|x+1|={x+1,x>-10x=-1-x-1,

x<-1,

x=-1不是函數f(x)的極值點.

故選D.

點評：考查x=Xo是極值點是f，Xo)=0的充分非必要條件，在判斷x=-1兩側導數

的符號，采取了分類討論的數學思想，屬基礎題.

38、

下列結論中正確的是()

A、導數為零的點一定是極值點

B、如果在X。附近的左側「(x)>0,右側P(x)<0,那么f(X。)是極大值

C、如果在X。附近的左側尸(x)>0,右側甘(x)<0.那么f(x0)是極小值

D、如果在Xo附近的左側F(x)<0,右側p(x)>0,那么f(X。)是極大值

考點：函數在某點取得極值的條件.

專題：閱讀型.

分析：由在x=0處左側的導數小于零，在x=0處右側的導數大于零，根據極值的

定義可知在x=0處函數取極小值.

解答：解：當x>0時，V(x)>0,f(x)為減函數，

當XV0時，f，(X)<0,f(x)為增函數，

根據極值的定義可知函數f(X)=|x|,在x=0處函數取極小值，故選C

點評：本小題主要考查函數的導數的極值，屬于基礎題.

39、

“函數f(x)在Xo處取得極值”是沖(Xo)=0"的()

A、充分不必B、必要不充分

要條件條件

C、充要條件D、既非充分又

非必要條件

考點：函數在某點取得極值的條件；必要條件、充分條件與充要條件的判斷.

專題：證明題.

分析：由極值的定義知，函數在某點處有極值，則此處導數必為零，若導數為0

時.，此點左右兩邊的導數符號可能相同，故不一定是極值，由此可以得出結論，

極值點處導數比較0,導數為0處函數值不一定是極值.

3

解答：解：對于f(x)=x,f'(x)=3x2,f.(0)=0)

不能推出f(x)在x=0取極值，

故導數為0時不一定取到極值，

而對于任意的函數，

當函數在某點處取到極值時，

此點處的導數一定為0.

故應選C.

點評：本題的考點是函數取得極值的條件，考查極值取到的條件，即對極值定義

的正確理解.對概念的學習一定要掌握住其規范的邏輯結構，理順其關系.

40>

函數y=f(x)在一點的導數值為0是函數y=f(x)在這點取極值的()

A、充分條件B、必要條

件

C、必要非充D、充要條

分條件件

考點：函數在某點取得極值的條件.

專題：綜合題.

分析：根據導函數的根為xo,且在xo附近的左側f(x)>0,右側f'(x)<0,

那么f(xo)是極大值；

導函數的根為xo,且在xo附近的左側f'(x)<0,右側f(x)>0,那么f(xo)

是極小值，判斷出選項.

解答：解：導數為零的點且左右兩邊的符號不同才是極值點故A錯

如果在xo附近的左側f(x)>0,右側f'(x)<0,則函數先增后減，則f(xo)

是極大值

如果在Xo附近的左側f'(x)<0,右側f'(x)>0,則函數先減后增，則f(Xo)

是極小值

故選B

點評：本題考查函數極值點處的導數為0,且極值點左右兩邊的導函數符號相反.

41、

已知f(X)為R上的可導函數，且f(x)<f(x)和f(x)>0對rxWR恒成立，則仃(

B

)

考點：函數在某點取得極值的條件：利用導致研究函數的的調件.

專題：綜介題.

分析：先構造函數y=f(x)ex,對該函數進行求導，化簡變形可判定導函數的符號，再判斷增減性，從而得到答案.

解答：解：Vf(x)<f(x)從而「(x)-f(x)>0從而ex[f(x)-f(x)]e2x>0

從而(f(x)ex),0從而函數y=f(x)ex的調遞增，故x=2時函數的值大Fx=0時函數的值,

即f(2)e2>f(0)所以，(2)>eH(0).f(2010)>e2O,0f(0).

故選B.

點評：本題上要身杳函數的旭調性。其導函數的正負情況之間的美系，即導函數大ro時原函數單調遞增，當導函數小ro時原函數單調遞減.

42、

設x=1。x=2姑函數f(X)=alnx+bx“+x的兩個極優出.則常數2=()

A、-23B、“C、1D、0

考點：函數在某點取得極值的條件.

專題:計算題.

分析：已知函數f(x)-alnx+b^+x,求其導數『(x),因為x?1與x-2是函數f(x)-a)nx+bE+x的兩個極值點,可得9(1)=f<2)=0,從而聯立方程求出a

的曲.

解答：解：.?,函數f(x)ualnx+bW+x,

:k(x)=ax+2bx+1.

Vx=1與x=2是函數f(x)nalnx+bW+x的兩個極值點，

：.V(1)=f(2>=0.

，a+2b+1=0…①

a2+4b+1=0…②

聯立方程①②得

a=-23-b=-16.

故選A.

點評：此題考查函數的導致與極值的關系，是道比較簡單的題,解題的關鍵是會聯。方程并正確求蚓?元次方程.

43、

函數y=f(x)在一點的導數值為。是函數y=f(x)在這點取極值的()

A、充分條件B、必要條件

C、必要非充分條件D、充要條件

考點：函數在某點取解極值的條件；必要條件、充分條件與充要條件的判斷.

專題：證明題.

分析：由極值的定義知，函數在某點處有極值，則此處導數必為零，若導數為。時，此點左右兩邊的導數符號可推相同，故不一定是極值，由此可以得出結論,

極值點處導致比較0,導數為0處函數值不?定是極值.

解答：解：對于

f(X)=x\f(x)=3x2,f.(0)=o,

不能推出f(x)在x=0取極值，

故導數為。時不?定取到極化.

而對于任意的函數.

當函數在某點處取到極值時，

此點處的步數?定為0.

故應選C.

點評：本題的考點是函數取得極值的條件,考杳極值取到的條件,即對極值定義的正確理解.對概念的學習?定要學握住其規范的邏輯結構，理順其關系.

44、

F列結論中正確的是（）

A

W

卜

X

Ji

力

*■

(1

c

il

(]

)

<

0

2

K

）

考點：函數在某點取得極值的條件.

專題:粽合題.

分析：根據導函數的根為％.II.在為附近的左側r<x）>0..右側r（x><0,那么f<xo）是極大值：

導函數的根為X。，且在X。附近的左側f（x）vo,右IWf（x>>o,那么f（%）是極小值，判斷出選項.

解答：解：導數為零的點且左右兩邊的符號不同才是極值點故A錯

如果在％附近的左側f'（X>>0,右側f<x）<0,則函數先增后減，則f（XQ）是極大仇

如果在％附近的左側f<x）<0,右側「（x）>0,則函數先減后增，則f（Xo）是極小值

故選B

點評：本題考介函數極值點處的導數為0,IL極值點在右兩邊的導函數符號相反.

45、

困數f《X）的導函數為f（X）,若<x+1）?f<x）>0.則卜列結論中正確的項為（）

B

c

x

1

彳

)

0

考點:函數在某點取得極值的條件.

專題:操作型:分類討論.

分析：111(x+1)4(x)>0,根據枳商符號法則，分x>-1,xV-1,x=-1進行討論，確定f，(x)>0或r(x)<0,確定函數的單調性.

解答：解：V(x+1)>f(x)>0.

，x>-1時，V(x>>0.函數f(x)在區間(-1,-wo)單調遞增，

xv-l時,V(x)<0,函數f(x)在區間(-00,-1)單調遞減,

但是函數f(x)在x=?1處不一定可導,inif(x)=|X+1|={x+1.x>-10x=-1-x-1.x<-1.

x-1不是函數f(x)的極值點.

故選D.

點評：考?鏗x=x°是極侑點是fx。)=0的充分非必要條件,在判斷x=1兩側導數的符號，采取了分類討論的數學思想，屈基礎趣.

46、

若f(x)*+28舟3(a+2)x+1有極大值和極小值,則a的取值葩圍是()

Ax-a<a<2B、a>2或a<-1C、aN或as-1