專題48離散型隨機變量的分布列與數字特征【考點預測】知識點一．離散型隨機變量的分布列1、隨機變量在隨機試驗中，我們確定了一個對應關系，使得每一個試驗結果都用一個確定的數字表示．在這個對應關系下，數字隨著試驗結果的變化而變化．像這種隨著試驗結果變化而變化的變量稱為隨機變量．隨機變量常用字母，，，，…表示．注意：（1）一般地，如果一個試驗滿足下列條件：①試驗可以在相同的情形下重復進行；②試驗的所有可能結果是明確可知的，并且不止一個；③每次試驗總是恰好出現這些可能結果中的一個，但在一次試驗之前不能確定這次試驗會出現哪個結果．這種試驗就是隨機試驗．（2）有些隨機試驗的結果雖然不具有數量性質，但可以用數來表示．如擲一枚硬幣，表示反面向上，表示正面向上．（3）隨機變量的線性關系：若是隨機變量，，是常數，則也是隨機變量．2、離散型隨機變量對于所有取值可以一一列出來的隨機變量，稱為離散型隨機變量．注意：（1）本章研究的離散型隨機變量只取有限個值．（2）離散型隨機變量與連續型隨機變量的區別與聯系：①如果隨機變量的可能取值是某一區間內的一切值，這樣的變量就叫做連續型隨機變量；②離散型隨機變量與連續型隨機變量都是用變量表示隨機試驗的結果，但離散型隨機變量的結果可以按一定的次序一一列出，而連續型隨機變量的結果不能一一列出．3、離散型隨機變量的分布列的表示一般地，若離散型隨機變量可能取的不同值為，取每一個值的概率，以表格的形式表示如下：我們將上表稱為離散型隨機變量的概率分布列，簡稱為的分布列．有時為了簡單起見，也用等式，表示的分布列．4、離散型隨機變量的分布列的性質根據概率的性質，離散型隨機變量的分布列具有如下性質：（1），；（2）．注意：①性質（2）可以用來檢查所寫出的分布列是否有誤，也可以用來求分布列中的某些參數．②隨機變量所取的值分別對應的事件是兩兩互斥的，利用這一點可以求相關事件的概率．知識點二．離散型隨機變量的均值與方差1、均值若離散型隨機變量的分布列為稱為隨機變量的均值或數學期望，它反映了離散型隨機變量取值的平均水平．注意：（1）均值刻畫的是取值的“中心位置”，這是隨機變量的一個重要特征；（2）根據均值的定義，可知隨機變量的分布完全確定了它的均值．但反過來，兩個不同的分布可以有相同的均值．這表明分布描述了隨機現象的規律，從而也決定了隨機變量的均值．而均值只是刻畫了隨機變量取值的“中心位置”這一重要特征，并不能完全決定隨機變量的性質．2、均值的性質（1）（為常數）．（2）若，其中為常數，則也是隨機變量，且．（3）．（4）如果相互獨立，則．3、方差若離散型隨機變量的分布列為則稱為隨機變量的方差，并稱其算術平方根為隨機變量的標準差．注意：（1）描述了相對于均值的偏離程度，而是上述偏離程度的加權平均，刻畫了隨機變量與其均值的平均偏離程度．隨機變量的方差和標準差均反映了隨機變量取值偏離于均值的平均程度．方差或標準差越小，則隨機變量偏離于均值的平均程度越小；（2）標準差與隨機變量有相同的單位，而方差的單位是隨機變量單位的平方．4、方差的性質（1）若，其中為常數，則也是隨機變量，且．（2）方差公式的變形：．【題型歸納目錄】題型一：離散型隨機變量題型二：求離散型隨機變量的分布列題型三：離散型隨機變量的分布列的性質題型四：離散型隨機變量的均值題型五：離散型隨機變量的方差題型六：決策問題【典例例題】題型一：離散型隨機變量例1．（2022·全國·高三專題練習）袋中有大小相同質地均勻的5個白球、3個黑球，從中任取2個，則可以作為隨機變量的是（

）A．至少取到1個白球 B．取到白球的個數C．至多取到1個白球 D．取到的球的個數【答案】B【解析】根據離散型隨機變量的定義，能夠一一列出的只能是B選項，其中A、C選項是事件，D選項取到球的個數是個，ACD錯誤；故選：B.例2．（2022·全國·高三專題練習）下面是離散型隨機變量的是（

）A．電燈炮的使用壽命B．小明射擊1次，擊中目標的環數C．測量一批電阻兩端的電壓，在10V~20V之間的電壓值D．一個在軸上隨機運動的質點，它在軸上的位置【答案】B【解析】對于A，電燈炮的使用壽命是變量，但無法將其取值一一列舉出來，故A不符題意；對于B，小明射擊1次，擊中目標的環數是變量，且其取值為，故X為離散型隨機變量，故B符合題意；對于C，測量一批電阻兩端的電壓，在10V~20V之間的電壓值是變量，但無法一一列舉出X的所有取值，故X不是離散型隨機變量，故C不符題意；對于D，一個在軸上隨機運動的質點，它在軸上的位置是變量，但無法一一列舉出其所有取值，故X不是離散型隨機變量，故D不符題意.故選：B.例3．（2022·全國·高三專題練習）甲、乙兩人下象棋，贏了得3分，平局得1分，輸了得0分，共下三局．用表示甲的得分，則表示（

）A．甲贏三局B．甲贏一局輸兩局C．甲、乙平局三次D．甲贏一局輸兩局或甲、乙平局三次【答案】D【解析】甲、乙兩人下象棋，贏了得3分，平局得1分，輸了得0分，所以有兩種情況，即甲贏一局輸兩局或甲、乙平局三次．故選：D．變式1．（2022·浙江·高三專題練習）對一批產品逐個進行檢測,第一次檢測到次品前已檢測的產品個數為ξ,則ξ=k表示的試驗結果為()A．第k-1次檢測到正品,而第k次檢測到次品B．第k次檢測到正品,而第k+1次檢測到次品C．前k-1次檢測到正品,而第k次檢測到次品D．前k次檢測到正品,而第k+1次檢測到次品【答案】D【解析】由題意表示第一次檢測到次品前已檢測的產品個數為，因此前次檢測到的都是正品，第次檢測的是一件次品.故選D.變式2．（多選題）（2022·全國·高三專題練習）下列隨機變量是離散型隨機變量的是（

）A．某景點一天的游客數XB．某尋呼臺一天內收到尋呼次數XC．水文站觀測到江水的水位數XD．某收費站一天內通過的汽車車輛數X【答案】ABD【解析】對四個選項，游客數、尋呼次數、汽車車輛數的取值都是隨機的整數，滿足題意；但水位數是實數，不是離散型隨機變量，不滿足題意.故選：ABD.題型二：求離散型隨機變量的分布列例4．（2022·全國·高三專題練習）隨機變量的概率分布滿足（，1，2，…，10），則的值為___________.【答案】1024【解析】由題意.故答案為：1024.例5．（2022·河南·上蔡縣衡水實驗中學高三階段練習（理））設隨機變量的概率分布列如下表：1234則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據隨機變量分布列的概率分布列知，，解得．又，∴或，則．故選:C．例6．（2022·全國·高三專題練習）已知隨機變量X的分布列為，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意得：．故選:A變式3．（2022·全國·高三專題練習）一袋中裝有5個球，編號為1，2，3，4，5，在袋中同時取出3個，以ξ表示取出的三個球中的最小號碼，則隨機變量ξ的分布列為（

）A．123B．1234C．123D．123【答案】C【解析】隨機變量ξ的可能取值為1，2，3故選：C.變式4．（2022·浙江省蒼南中學高三階段練習）甲，乙兩位同學組隊去參加答題拿小豆的游戲，規則如下：甲同學先答2道題，至少答對一題后，乙同學才有機會答題，同樣也是兩次機會.每答對一道題得10粒小豆.已知甲每題答對的概率均為，乙第一題答對的概率為，第二題答對的概率為.若乙有機會答題的概率為.(1)求;(2)求甲，乙共同拿到小豆數量的分布列及期望.【解析】（1）由已知得，當甲至少答對1題后，乙才有機會答題.所以乙有機會答題的概率為，解得；（2）X的可能取值為0，10，20，30，40；所以X的分布列為：X010203040P.變式5．（2022·全國·高三專題練習）已知袋內有5個白球和6個紅球，從中摸出2個球，記，求X的分布列.【解析】由題意得，X的可能取值為0，1，，.可得X的分布列如表所示：X01P變式6．（2022·全國·高三專題練習）甲?乙兩名同學與同一臺智能機器人進行象棋比賽，計分規則如下：在一輪比賽中，如果甲贏而乙輸，則甲得1分；如果甲輸而乙贏，則甲得分；如果甲和乙同時贏或同時輸，則甲得0分.設甲贏機器人的概率為0.6，乙贏機器人的概率為0.5.求：(1)在一輪比賽中，甲的得分的分布列；(2)在兩輪比賽中，甲的得分的分布列及期望.【解析】（1）依題意可得的可能取值為，，，所以，，，所以的分布列為01（2）依題意可得的可能取值為，，，，，所以，，，，，所以的分布列為0120.040.20.370.30.09所以．【方法技巧與總結】求解離散型隨機變量分布列的步驟：（1）審題（2）計算計算隨機變量取每一個值的概率（3）列表列出分布列，并檢驗概率之和是否為.（4）求解根據均值、方差公式求解其值.題型三：離散型隨機變量的分布列的性質例7．（2022·全國·高三專題練習）設離散型隨機變量的分布列為：則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意，有，且，，解得，故選：B.例8．（2022·全國·高三專題練習）隨機變量X的分布列為XP若，，成等差數列，則公差的取值范圍是______．【答案】【解析】由題意知，，∴，∴．又，∴，∴．同理，由，，∴，∴，即公差的取值范圍是故答案為：例9．（2022·全國·高三專題練習）若隨機變量X的分布列如下表所示：X0123Pab則a2＋b2的最小值為________．【答案】【解析】由分布列的性質，知，即.因為，當且僅當時取等號.所以的最小值為.故答案為：變式7．（2022·江蘇·高三專題練習）設隨機變量X的概率分布列如下表所示：X012Pa若F(x)＝P(X≤x)，則當x的取值范圍是[1,2)時，F(x)等于_______【答案】【解析】由分布列的性質，得a＋＋＝1，∴a＝，而x∈[1,2)，∴F(x)＝P(X≤x)＝P(X≤1)=＋＝．故答案為：變式8．（2022·全國·高三專題練習）隨機變量的概率分布列如下：0123456則___________.【答案】64【解析】根據概率分布列的概率性質可知，所以，即，解得.故答案為：【方法技巧與總結】離散型隨機變量的分布列性質的應用（1）利用“總概率之和為”可以求相關參數的取值范圍或值；（2）利用“隨機變量在某一范圍內的概率等于它取這個范圍內各個值的概率之和”求特定事件的概率；（3）可以根據性質及，判斷所求的分布列是否正確．題型四：離散型隨機變量的均值例10．（2022·全國·高三專題練習）已知隨機變量X的分布列為X012Pm若，則___________.【答案】【解析】由隨機變量分布列的性質，得，解得，∴.由，得，即.故答案為：.例11．（2022·河南·濮陽一高高三階段練習（理））隨機變量X的分布列如下表所示，則___________．x1Pa【答案】【解析】因為，所以，故，所以．故答案為：．例12．（2022·江蘇常州·高三階段練習）甲、乙兩人進行乒乓球比賽，約定每局勝者得1分，負者得0分，比賽進行到有一人比對方多2分或打滿6局時停止，設甲在每局中獲勝的概率為，乙在每局中獲勝的概率為，且各局勝負相互獨立，則比賽停止時已打局數X的期望為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意，隨機變量X的可能取值是2，4，6，設每兩局比賽為一輪，則該輪比賽停止的概率為，若該輪結束時比賽還要繼續，則甲、乙在該輪中必是各得1分，此時該輪比賽結果對下一輪比賽是否停止沒有影響，所以，,，所以期望為．故選：B．變式9．（2022·湖北·高三開學考試）一個袋子中裝有形狀大小完全相同的4個小球，其中2個黑球，2個白球.第一步：從袋子里隨機取出2個球，將取出的白球涂黑后放回袋中，取出的黑球直接放回袋中；第二步：再從袋子里隨機取出2個球，計第二步取出的2個球中白球的個數為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】①計第一步取出2個白球為事件A，即第二步袋子有4個黑球，則②計第一步取出兩球為1黑1白為事件，即第二步袋子有3個黑球1個白球，則③計第一步取出兩個黑球為事件C，即第二步袋子有2個黑球2個白球，則故由全概率公式，，同理，故選：D變式10．（2022·全國·高三專題練習）已知隨機變量X滿足，，下列說法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】根據方差和期望的性質可得：,,故選：D變式11．（2022·全國·高三專題練習）已知數據，，，…，的平均數為4，方差為2，則數據，，，…，的平均數與方差的和為（

）A．6 B．15 C．19 D．22【答案】C【解析】由題，則，，所以.故選：C.變式12．（2022·全國·高三專題練習）已知隨機變量的分布列為：X124P0.40.30.3則等于（

）A．15 B．11C．2.2 D．2.3【答案】A【解析】由隨機變量的分布列，可得期望，所以.故選：A.變式13．（2022·山西長治·模擬預測（理））從裝有3個白球m個紅球n個黃球（這些小球除顏色外完全相同）的布袋中任取兩個球，記取出的白球的個數為X，若，取出一白一紅的概率為，則取出一紅一黃的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】依題意，X的可能值為0，1，2，則有，，，于是得，解得，袋中共有10個球，因此，取出一白一紅的概率為，解得，則，所以取出一紅一黃的概率為.故選：A變式14．（2022·廣東·金山中學高三階段練習）某中學課外實踐活動小組在某區域內通過一定的有效調查方式對“北京冬奧會開幕式”當晚的收看情況進行了隨機抽樣調查．統計發現，通過手機收看的約占，通過電視收看的約占，其他為未收看者：(1)從被調查對象中隨機選取3人，其中至少有1人通過手機收看的概率；(2)從被調查對象中隨機選取3人，用表示通過電視收看的人數，求的分布列和期望．【解析】（1）記事件為至少有1人通過手機收看，由題意知，通過手機收看的概率為，沒有通過手機收看的概率為，則；（2）由題意知：，則的可能取值為0，1，2，3，；；；；所以的分布列為：0123所以.變式15．（2022·四川·樹德中學高三階段練習（理））2022年9月30日至10月9日，第56屆國際乒聯世界乒乓球團體錦標賽在成都市高新區體育中心舉行．某學校統計了全校學生在國慶期間觀看世乒賽中國隊比賽直播的時長情況（單位：分鐘），并根據樣本數據繪制得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求頻率分布直方圖中a的值，并估計樣本數據的中位數；(2)采用以樣本量比例分配的分層隨機抽樣方式，從觀看時長在［200，280］的學生中抽取出6人．現從這6人中隨機抽取3人在全校交流觀看體會，記抽取出的3人中觀賽時長在［200，240）的人數為X，求X的分布列和數學期望．【解析】（1）由題意，解得，由頻率分布直方圖知時長不大于160分鐘的頻率為，所以中位數是160；（2）用分層隨機抽樣方式從觀看時長在［200，280］的學生中抽取出6人，則和上的人數比為，因此上有4人，上有2人，的取值可能為1，2，3，，，，的分布為123期望為．變式16．（2022·江西·臨川一中高三階段練習（理））某企業開發的新產品已經進入到樣品試制階段，需要對這5個樣品進行性能測試，現有甲、乙兩種不同的測試方案，每個樣品隨機選擇其中的一種進行測試，選擇甲方案測試合格的概率為，選擇乙方案測試合格的概率為，且每次測試的結果互不影響．(1)若樣品選擇甲方案，樣品選擇乙方案．求5個樣品全部測試合格的概率；(2)若5個樣品全選擇甲方案，其樣品測試合格個數記為X，求X的分布列及其期望：(3)若測試合格的樣品個數的期望不小于3，求選擇甲方案進行測試的樣品個數，【解析】（1）因為樣品選擇甲方案，樣品選擇乙方案，由已知樣品測試合格的概率為，樣品測試合格的概率為，所以5個樣品全部測試合格的概率為；（2）由已知隨機變量的取值有，，，，，，，所以X的分布列為：X012345P∴；（3）設選擇甲方案測試的樣品個數為n，則選擇乙方案測試的樣品個數為，并設通過甲方案測試合格的樣品個數為，通過乙方案測試合格的樣品個數為，當時，此時所有樣品均選邦方案乙測試，則，所以，不符合題意；當時，此時所有樣品均選擇方案甲測試，則，所以，符合愿意；當時，，所以，若使，則，由于，故時符合題意，綜上，選擇甲方案測試的樣品個數為3，4或者5時，測試合格的樣品個數的期望不小于3．題型五：離散型隨機變量的方差例13．（2022·全國·高三專題練習）設，若隨機變量的分布列如下表：－102Pa2a3a則下列方差中最大的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意，得，則，所以，，所以，，所以，，即最大，故選：C.例14．（2022·全國·高三專題練習）已知隨機變量的分布列為下表所示，若，則（

）A． B． C．1 D．【答案】B【解析】由，解得由隨機變量的分布列的性質得，得所以故選：B例15．（2022·全國·高三專題練習）從裝有個白球和個黑球的袋中無放回任取個球，每個球取到的概率相同，規定：（1）取出白球得分，取出黑球得分，取出個球所得分數和記為隨機變量（2）取出白球得分，取出黑球得分，取出個球所得分數和記為隨機變量則（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】根據題意，，，，分布列如下：根據題意，，，，分布列如下：，，，，可得，故選：C.變式17．（2022·全國·高三專題練習）已知隨機變量的分布列如下：X123Pab2b—a則的最大值為（

）A． B．3C．6 D．5【答案】C【解析】，只需求的最大值即可，根據題意：，，，所以，當時，其最大值為，故的最大值為．故選：C.變式18．（2022·全國·高三專題練習（理））設，，隨機變量X的分布列是（

）a則方差（

）A．既與有關，也與有關 B．與有關，但與無關C．與有關，但與無關 D．既與無關，也與無關【答案】B【解析】由分布列可得，故.故選：B變式19．（2022·浙江·高三專題練習）將3只小球放入3個盒子中，盒子的容量不限，且每個小球落入盒子的概率相等．記為分配后所剩空盒的個數，為分配后不空盒子的個數，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因為一共有3個盒子，所以，因此，，由題意可知：，，，，，所以，故選：C變式20．（2022·全國·高三專題練習）已知隨機變量X的分布列如下：236Pa則的值為（

）A．2 B．6 C．8 D．18【答案】D【解析】根據分布列可知，解得，，，所以.故選：D.變式21．（2022·河南洛陽·模擬預測（理））隨機變量的概率分布列為，k＝1，2，3，其中c是常數，則的值為（

）A．10 B．117 C．38 D．35【答案】C【解析】，k＝1，2，3，，解得，，，.故選：C變式22．（2022·浙江溫州·高三開學考試）已知隨機變量X的分布列是：若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由已知可得，解得，因此，.故選：C.變式23．（2022·全國·高三專題練習）已知隨機變量X的分布列如表所示，且．X01xPp(1)求的值；(2)若，求的值；(3)若，求的值．【解析】（1）由題意可知，解得，又∵，解得．∴．（2）∵，∴．（3）∵，∴．變式24．（2022·全國·高三專題練習）已知投資甲?乙兩個項目的利潤率分別為隨機變量和.經統計分析，和的分布列分別為表1：表2：(1)若在甲?乙兩個項目上各投資100萬元，和分別表示投資甲?乙兩項目所獲得的利潤，求和的數學期望和方差，并由此分析投資甲?乙兩項目的利弊；(2)若在甲?乙兩個項目總共投資100萬元，求在甲?乙兩個項目上分別投資多少萬元時，可使所獲利潤的方差和最小？注：利潤率.【解析】（1）由題意，得，，，，由，又，得，，因此投資甲的平均利潤18萬元大于投資乙的平均利潤17萬元，但投資甲的方差48也遠大于投資乙的方差16.所以投資甲的平均利潤大，方差也大，相對不穩定，而投資乙的平均利潤小，方差也小，相對穩定.若長期投資可選擇投資甲，若短期投資可選投資乙.（2）設萬元投資甲，則萬元投資了乙，則投資甲的利潤，投資乙的利潤設為投資甲所獲利潤的方差與投資乙所獲利潤的方差和，則當時，的值最小.故此時甲項目投資25萬元，乙項目投資75萬元，可使所獲利潤的方差和最小.變式25．（2022·全國·高三專題練習）今年3月份以來，隨著疫情在深圳、上海等地爆發，國內消費受到影響，為了促進消費回暖，全國超過19個省份都派發了消費券，合計金額高達50億元通過發放消費券的形式，可以有效補貼中低收入階層，帶動消費，從而增加企業生產產能，最終拉動經濟增長，除此之外，消費券還能在假期留住本市居民，減少節日期間在各個城市之間的往來，客觀上能夠達到降低傳播新冠疫情的效果，佛山市某單位響應政策號召，組織本單位員工參加抽獎得消費優惠券活動，抽獎規則是：從裝有質地均勻、大小相同的2個黃球、3個紅球的箱子中隨機摸出2個球，若恰有1個紅球可獲得20元優惠券，2個都是紅球可獲得50元優惠券，其它情況無優惠券，則在一次抽獎中：(1)求摸出2個紅球的概率；(2)設獲得優惠券金額為X，求X的方差．【解析】（1）記事件A：摸出2個紅球.則.（2）由題意可得：X的可能取值為：0，20，50.則：；；.所以數學期望，方差.【方法技巧與總結】均值與方差性質的應用若是隨機變量，則一般仍是隨機變量，在求的期望和方差時，熟練應用期望和方差的性質，可以避免再求的分布列帶來的繁瑣運算．題型六：決策問題例16．（2022·湖南·長郡中學高三階段練習）統計與概率主要研究現實生活中的數據和客觀世界中的隨機現象，通過對數據的收集、整理、分析、描述及對事件發生的可能性刻畫，來幫助人們作出合理的決策.(1)現有池塘甲，已知池塘甲里有50條魚，其中A種魚7條，若從池塘甲中捉了2條魚.用表示其中A種魚的條數，請寫出的分布列，并求的數學期望;(2)另有池塘乙，為估計池塘乙中的魚數，某同學先從中捉了50條魚，做好記號后放回池塘，再從中捉了20條魚，發現有記號的有5條.（ⅰ）請從分層抽樣的角度估計池塘乙中的魚數.（ⅱ）統計學中有一種重要而普遍的求估計量的方法─最大似然估計，其原理是使用概率模型尋找能夠以較高概率產生觀察數據的系統發生樹，即在什么情況下最有可能發生已知的事件.請從條件概率的角度，采用最大似然估計法估計池塘乙中的魚數.【解析】（1）,故分布列為：012.（2）（i）設池塘乙中魚數為,則,解得,故池塘乙中的魚數為200.（ii）設池塘乙中魚數為,令事件“再捉20條魚,5條有記號”,事件“池塘乙中魚數為”則,由最大似然估計法,即求最大時的值,其中,當時，當時，當時所以池塘乙中的魚數為199或200.例17．（2022·黑龍江·佳木斯一中三模（文））某地的水果店老板記錄了過去50天某類水果的日需求量（單位：箱），整理得到數據如下表所示.其中每箱某類水果的進貨價為50元，售價為100元，如果當天賣不完，剩下的水果第二天將在售價的基礎上打五折進行特價銷售，但特價銷售需要運營成本每箱30元，根據以往的經驗第二天特價水果都能售罄，并且不影響正價水果的銷售，以這50天記錄的日需求量的頻率作為口需求量發生的概率.2223242526頻數10101596(1)如果每天的進貨量為24箱，用表示該水果店賣完某類水果所獲得的利潤，求的平均值；(2)如果店老板計劃每天購進24箱或25箱的某類水果，請以利潤的平均值作為決策依據，判斷應當購進24箱還是25箱.【解析】（1）由題設，每天的進貨量為24箱，當天賣完的概率為，當天賣不完剩余1箱的概率，當天賣不完剩余2箱的概率，若當天賣完元，若當天賣不完剩余1箱元，若當天賣不完剩余2箱元，所以元.（2）由題設，每天的進貨量為25箱，當天賣完的概率為，當天賣不完剩余1箱的概率，當天賣不完剩余2箱的概率，當天賣不完剩余3箱的概率，若當天賣完元，當天賣不完剩余1箱元，當天賣不完剩余2箱元，當天賣不完剩余3箱元，所以元，顯然小于每天的進貨量為24箱的期望利潤，所以應當購進24箱.例18．（2022·重慶八中高三階段練習）手機運動計步已經成為一種新時尚．某單位統計職工一天行走步數（單位：百步）得到如下頻率分布直方圖．由頻率分布直方圖估計該單位職工一天行走步數的中位數為125（百步），其中同一組中的數據用該組區間的中點值為代表．(1)試計算圖中的a、b值，并以此估計該單位職工一天行走步數的平均值；(2)為鼓勵職工積極參與健康步行，該單位制定甲、乙兩套激勵方案：記職工個人每日步行數為，其超過平均值的百分數，若，職工獲得一次抽獎機會；若，職工獲得二次抽獎機會；若，職工獲得三次抽獎機會；若，職工獲得四次抽獎機會；若超過50，職工獲得五次抽獎機會．設職工獲得抽獎次數為n．方案甲：從裝有1個紅球和2個白球的口袋中有放回的逐個抽取n個小球，抽得紅球個數即表示該職工中獎幾次；方案乙：從裝有6個紅球和4個白球的口袋中無放回的逐個抽取n個小球，抽得紅球個數即表示該職工中獎幾次；若某職工日步行數為15700步，以期望為決策依據判斷哪個方案更佳？【解析】（1）由題意得：解得，，∴；（2）某職工日行步數（百步），，∴職工獲得三次抽獎機會，設職工中獎次數為X，在方案甲下，則分布列為：X0123P；在方案乙下：的可能取值為0，1，2，3，，，，所以分布列為：X0123P，因為，所以方案乙更佳．變式26．（2022·全國·高三專題練習）據悉強基計劃的校考由試點高校自主命題，校考過程中達到筆試優秀才能進入面試環節．已知甲、乙兩所大學的筆試環節都設有三門考試科目且每門科目是否達到優秀相互獨立．若某考生報考甲大學，每門科目達到優秀的概率均為，若該考生報考乙大學，每門科目達到優秀的概率依次為，，，其中．(1)若，分別求出該考生報考甲、乙兩所大學在筆試環節恰好有一門科目達到優秀的概率；(2)強基計劃規定每名考生只能報考一所試點高校，若以筆試過程中達到優秀科目個數的期望為依據作出決策，該考生更希望進入甲大學的面試環節，求的范圍．【解析】（1）設該考生報考甲大學恰好有一門筆試科目優秀為事件，則；該考生報考乙大學恰好有一門筆試科目優秀為事件，則．（2）該考生報考甲大學達到優秀科目的個數設為，依題意，，則，該同學報考乙大學達到優秀科目的個數設為，隨機變量的可能取值為：0，1，2，3．，，，隨機變量的分布列：0123，因為該考生更希望進入甲大學的面試，則，即，解得，所以的范圍為：.變式27．（2022·貴州貴陽·二模（理））2021年7月24日，在奧運會女子個人重劍決賽中，中國選手孫一文在最后關頭一劍封喉，斬獲金牌，掀起了新一輪“擊劍熱潮”．甲、乙、丙三位重劍愛好者決定進行一場比賽，每局兩人對戰，沒有平局，已知每局比賽甲贏乙的概率為，甲贏丙的概率為，丙贏乙的概率為．因為甲是最弱的，所以讓他決定第一局的兩個比賽者（甲可以選定自己比賽，也可以選定另外兩個人比賽），每局獲勝者與此局未比賽的人進行下一局的比賽，在比賽中某人首先獲勝兩局就成為整個比賽的冠軍，比賽結束．(1)若甲指定第一局由乙丙對戰，求“只進行三局甲就成為冠軍”的概率；(2)請幫助甲進行第一局的決策（甲乙、甲丙或乙丙比賽），使得甲最終獲得冠軍的概率最大．【解析】(1)若甲指定第一局由乙丙對戰，“只進行三局甲就成為冠軍”共有兩種情況：①乙丙比乙勝，甲乙比甲勝，甲丙比甲勝，其概率為；②乙丙比丙勝，甲丙比甲勝，甲乙比甲勝，其概率為．所以“只進行三局甲就成為冠軍”的概率為．(2)若第一局甲乙比，甲獲得冠軍的情況有三種：甲乙比甲勝，甲丙比甲勝；甲乙比甲勝，甲丙比丙勝，乙丙比乙勝，甲乙比甲勝；甲乙比乙勝，乙丙比丙勝，甲丙比甲勝，甲乙比甲勝，所以甲能獲得冠軍的概率為．若第一局為甲丙比，則同上可得甲獲得冠軍的概率為．若第一局為乙丙比，那么甲獲得冠軍只能是連贏兩局，則甲獲得冠軍的概率即第（1）問的結果．因為，所以甲第一局選擇和丙比賽，最終獲得冠軍的概率最大．變式28．（2022·江蘇·南京市寧海中學模擬預測）某公司計劃購買2臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰．機器有一易損零件，在購進機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個100元，在機器使用期間，如果備件不足再購買，則每個300元．現需決策在購買機器時應同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內更換的易損零件數，得如圖柱狀圖：以這100臺機器更換的易損零件數的頻率代替1臺機器更換的易損零件數發生的概率，記X表示2臺機器三年內共需更換的易損零件數，n表示購買2臺機器的同時購買的易損零件數．(1)求X的分布列；(2)以購買易損零件所需費用的期望為決策依據，在與之中選其一，應選用哪個更合理？【解析】(1)由柱狀圖并以頻率代替概率可得，一臺機器在三年內需更換的易損零件數為8，9，10，11的概率分別為0.2，0.4，0.2，0.2，X的可能取值為16，17，18，19，20，21，22，從而；；；；；；；所以X的分布列為X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04(2)購買零件所需費用含兩部分：一部分為購買零件的費用，另一部分為備件不足時額外購買的費用，當時，費用的期望為：元，當時，費用的期望為：元，因為，所以選更適合.變式29．（2022·全國·高三專題練習）2020年以來，新冠疫情對商品線下零售影響很大．某商家決定借助線上平臺開展銷售活動．現有甲、乙兩個平臺供選擇，且當每件商品的售價為元時，從該商品在兩個平臺所有銷售數據中各隨機抽取100天的日銷售量統計如下，商品日銷售量（單位：件）678910甲平臺的天數1426262410乙平臺的天數1025352010假設該商品在兩個平臺日銷售量的概率與表格中相應日銷售量的頻率相等，且每天的銷售量互不影響，(1)求“甲平臺日銷售量不低于8件”的概率，并計算“從甲平臺所有銷售數據中隨機抽取3天的日銷售量，其中至少有2天日銷售量不低于8件”的概率；(2)已知甲平臺的收費方案為：每天傭金60元，且每銷售一件商品，平臺收費30元；乙平臺的收費方案為：每天不收取傭金，但采用分段收費，即每天銷售商品不超過8件的部分，每件收費40元，超過8件的部分，每件收費35元．某商家決定在兩個平臺中選擇一個長期合作，從日銷售收入（單價×日銷售量-平臺費用）的期望值較大的角度，你認為該商家應如何決策？說明理由．【解析】（1）令事件“甲平臺日銷售量不低于8件”，則，令事件“從甲平臺所有銷售數據中隨機抽取3天的日銷售量，其中至少有2天日銷售量不低于8件”，則（2）設甲平臺的日銷售收入為，則的所有可能取值為所以，的分布列為所以，，設乙平臺的日銷售收入為，則的所有可能取值為所以，的分布列為：所以，.所以，令得，令得所以，當時，選擇甲平臺；當時，甲乙平臺均可；當時，選擇乙平臺.【方法技巧與總結】均值與方差在決策中的應用（1）隨機變量的均值反映了隨機變量取值的平均水平，方差反映了隨機變量穩定于均值的程度，它們從整體和全局上刻畫了隨機變量，是實際生產中用于方案取舍的重要理論依據．一般先比較均值，若均值相同，再用方差來決定．（2）兩種應用策略=1\*GB3①當均值不同時，兩個隨機變量取值的水平可見分歧，可對問題作出判斷．=2\*GB3②若兩隨機變量均值相同或相差不大，則可通過分析兩變量的方差來研究隨機變量的離散程度或者穩定程度，進而進行決策.【過關測試】一、單選題1．（2022·全國·高三專題練習（理））某車間打算購買2臺設備，該設備有一個易損零件，在購買設備時可以額外購買這種易損零件作為備件，價格為每個120元.在設備使用期間，零件損壞，備件不足再臨時購買該零件時，價格為每個280元.在使用期間，每臺設備需更換的零件個數X的分布列為：X678P0.40.50.1若購買2臺設備的同時購買易損零件13個，則在使用期間，這2臺設備另需購買易損零件所需費用的期望為（

）A．1716.8元 B．206.5元 C．168.6元 D．156.8元【答案】D【解析】記Y表示2臺設備使用期間需更換的零件數，則Y的可能取值為12，13，14，15，16，，，，，.若購買2臺設備的同時購買易損零件13個，在使用期間，記這2臺設備另需購買易損零件所需費用為Z元，則Z的可能取值為0，280，560，840，，，，，.故選：D.2．（2022·四川省仁壽縣文宮中學高三階段練習（理））已知隨機變量X的分布列如表（其中a為常數）：X012345P0.10.1a0.30.20.1則等于（

）A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7【答案】C【解析】因為，所以，所以.故選：C.3．（2022·河南·高三開學考試（理））某車間打算購買2臺設備，該設備有一個易損零件，在購買設備時可以額外購買這種易損零件作為備件，價格為每個120元．在設備使用期間，零件損壞，備件不足再臨時購買該零件時，價格為每個280元．在使用期間，每臺設備需更換的零件個數X的分布列為X678P0.40.50.1若購買2臺設備的同時購買易損零件13個，則在使用期間，這2臺設備另需購買易損零件所需費用的期望為（

）．A．1716.8元 B．206.5元 C．168.6元 D．156.8元【答案】D【解析】記Y表示2臺設備使用期間需更換的零件數，則Y的可能取值為12，13，14，15，16，，，，，．若購買2臺設備的同時購買易損零件13個，在使用期間，記這2臺設備另需購買易損零件所需費用為Z元，則Z的可能取值為0，280，560，840，，，，，．故選：D4．（2022·全國·高三專題練習）一臺機器生產某種產品，如果生產出一件甲等品可獲利50元，生產出一件乙等品可獲利30元，生產一件次品，要賠20元，已知這臺機器生產出甲等、乙等和次品的概率分別為0.6、0.3和0.1，則這臺機器每生產一件產品，平均預期可獲利（

）A．36元 B．37元 C．38元 D．39元【答案】B【解析】由題意可得：設這臺機器每生產一件產品可獲利X，則X可能取的數值為50，30，，所以X的分布列為：，，，所以這臺機器每生產一件產品平均預期可獲利為：（元）故選：B5．（2022·全國·高三專題練習）設10件同類型的零件中有2件是不合格品，從其中任取3件，以X表示取出的3件中的不合格的件數，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意，故選：A6．（2022·全國·高三專題練習）已知6件產品中有2件次品，4件正品，檢驗員從中隨機抽取3件進行檢測，記取到的正品數為X，則（

）A．2 B．1 C． D．【答案】A【解析】X可能取1，2，3，其對應的概率為，，，∴．故選：A7．（2022·全國·高三專題練習）設是一個離散型隨機變量，其分布列如圖，則q等于（

）-101P0.5A． B． C． D．【答案】C【解析】由題知，解得.故選：C8．（2022·寧夏·青銅峽市寧朔中學高三開學考試（理））盒中有10個螺絲釘，其中有3個是壞的，現從盒中隨機地抽取4個，那么概率是的事件為（

）A．恰有1個是壞的 B．4個全是好的C．恰有2個是好的 D．至多有2個是壞的【答案】C【解析】盒中有10個螺絲釘，從盒中隨機地抽取4個的總數為：，其中有3個是壞的，恰有1個壞的，恰有2個好的，4個全是好的，至多2個壞的取法數分別為：，，，，恰有1個壞的概率分別為：，恰有2個好的概率為，4個全是好的概率為，至多2個壞的概率為；故選：．二、多選題9．（2022·吉林·東北師大附中高三開學考試）已知隨機變量的分布列如下表；01記“函數是偶函數”為事件，則下列結論正確的有（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】由隨機變量的分布列知，所以，故B正確；，故A錯誤，函數是偶函數為事件，滿足條件的事件的的可能取值為或，，故C正確，D錯誤；故選：BC．10．（2022·全國·高三專題練習）已知隨機變量的分布列如下表：012若，則（

）A． B． C． D．【答案】AC【解析】依題意，解得，.故選：AC.11．（2022·江蘇·蘇州市第六中學校三模）已知投資兩種項目獲得的收益分別為，分布列如下表，則（

）/百萬02百萬012A． B．C．投資兩種項目的收益期望一樣多 D．投資項目的風險比項目高【答案】ACD【解析】依題意可得，所以，，所以，所以，故A正確；所以，則，故B錯誤；，所以，故C正確；因為，即，所以投資項目的風險比項目高，故D正確；故選：ACD12．（2022·全國·高三專題練習）設離散型隨機變量的概率分布列為0123則下列各式正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】由概率分布列可得，故A正確；，故B錯誤；，故C正確；，故D錯誤．故選：AC三、填空題13．（2022·全國·高三專題練習）離散型隨機變量X的分布為：01245若離散型隨機變量Y滿足，則下列結果正確的為______．①；②；③；④．【答案】①③【解析】由離散型隨機變量X的分布列的性質，可得，則，，所以①③正確；又由離散型隨機變量Y滿足，所以，，所以②④錯誤，故答案為：①③．14．（2022·全國·高三專題練習）袋中有1個白球，2個黃球，2個紅球，這5個小球除顏色外完全相同，每次不放回地從中取出1個球，取出白球即停，記X為取出的球中黃球數與紅球數之差，則______.【答案】0【解析】，，，故.故答案為：015．（2022·上海市進才中學高三階段練習）一袋中裝有大小與質地相同的5個紅球和3個黑球，任取3球，記其中黑球數為X，則______．【答案】【解析】的取值為0，1，2，3，，，，，隨機變量的概率分布為：0123數學期望為．故答案為：16．（2022·全國·高三專題練習）設隨機變量的分布為，則______．【答案】【解析】由題意知，的分布為，所以，解得，所以，故答案為：．四、解答題17．（2022·全國·高三專題練習）某從事智能教育技術研發的科技公司開發了一個“AI作業”項目，并且在甲、乙兩個學校的高一學生中做用戶測試.經過一個階段的試用，為了解“AI作業”對學生學習的促進情況，該公司隨機抽取了200名學生，對他們的“向量數量積”知識點掌握的情況進行調查，樣本調查結果如下表：甲校乙校使用AI作業不使用AI作業使用AI作業不使用AI作業基本掌握32285030沒有掌握8141226假設每位學生是否掌握“向量數量積”知識點相互獨立.(1)從樣本中沒有掌握“向量數量積”知識點的學生中隨機抽取2名學生，用表示抽取的2名學生中使用“AI作業”的人數，求的分布列和數學期望；(2)用樣本頻率估計概率，從甲校高一學生中抽取一名使用“AI作業”的學生和一名不使用“AI作業”的學生，用“X=1”表示該名使用“AI作業”的學生基本掌握了“向量數量積”，用“X=0”表示該名使用“AI作業”的學生沒有掌握“向量數量積”，用“Y=1”表示該名不使用“AI作業”的學生基本掌握了“向量數量積”，用“Y=0”表示該名不使用“AI作業”的學生沒有掌握“向量數量積”.比較方差DX和DY的大小關系.【解析】（1）依題意，沒有掌握“向量數量積”知識點的學生有60人，其中，使用“AI作業”的人數為20人，不使用“AI作業”的人數為40，所以，1，2，且，，，所以的分布列為：012P故（2）由題意，易知服從二項分布，，服從二項分布，，故.18．（2022·全國·模擬預測）臺灣是中國固有領土，臺海局勢牽動每個人的心．某次海軍對抗演習中，紅方飛行員甲負責攻擊藍方艦隊．假設甲距離藍方艦隊100海里，且未被發現，若此時發射導彈，命中藍方戰艦概率是0.2，并可安全返回．若甲繼續飛行進入到藍方方圓50海里的范圍內，有0.5的概率被敵方發現，若被發現將失去攻擊機會，且此時自身被擊落的概率是0.6．若沒被發現，則發射導彈擊中藍方戰艦概率是0.8，并可安全返回．命中戰艦紅方得10分，藍方不得分；擊落戰機藍方得6分，紅方不得分．(1)從期望角度分析，甲是否應繼續飛行進入到藍方方圓50海里的范圍內？(2)若甲在返回途中發現敵方兩架轟炸機，此時甲彈艙中還剩6枚導彈，每枚導彈命中轟炸機概率均為0.5．（i）若甲同時向每架轟炸機各發射三枚導彈，求恰有一架轟炸機被命中的概率；（ii）若甲隨機向一架轟炸機發射一枚導彈，若命中，則向另一架轟炸機發射一枚導彈，若不命中，則繼續向該轟炸機發射一枚導彈，直到兩架轟炸機均被命中或導彈用完為止，求最終剩余導彈數量的分布列．【解析】（1）由題可知，