第10課時“楊輝三角〞與二項式系數的性質1．(多項選擇)(a＋b)n的綻開式中第5項的二項式系數最大，那么n的值可以為(BCD)A．10B．9C．8D．7解析：由于(a＋b)n的綻開式中第5項的二項式系數Ceq\o\al(4,n)最大，所以n＝7或n＝8或n＝9，應選BCD.2．(多項選擇)關于(x－eq\f(1,x))6的綻開式，以下結論正確的選項是(BC)A．全部項的二項式系數和為32B．全部項的系數和為0C．常數項為－20D．二項式系數最大的項為第3項解析：二項式(x－eq\f(1,x))6綻開式的通項為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)x6－r(－eq\f(1,x))r＝Ceq\o\al(r,6)(－1)rx6－2r.令6－2r＝0，解得r＝3，那么常數項為T4＝Ceq\o\al(3,6)(－1)3＝－20，故C正確；二項式系數最大的項為第4項，故D錯誤；二項式系數和Ceq\o\al(0,6)＋Ceq\o\al(1,6)＋Ceq\o\al(2,6)＋Ceq\o\al(3,6)＋Ceq\o\al(4,6)＋Ceq\o\al(5,6)＋Ceq\o\al(6,6)＝26＝64.令x＝1，得全部項的系數和為0，故A錯誤，B正確；應選BC.3．(x－2)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，那么a8＝(B)A．27B．－27C．324D．－324解析：(x－2)9＝[(x＋1)－3]9，那么其綻開式的通項為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,9)(x＋1)r(－3)9－r，當r＝8時，T9＝Ceq\o\al(8,9)(x＋1)8(－3)1＝－27(x＋1)8，所以a8＝－27.應選B.4．設m為正整數，(x＋y)2m綻開式的二項式系數的最大值為a，(x＋y)2m＋1綻開式的二項式系數的最大值為b.假設13a＝7b，那么m等于(B)A．5B．6C．7D．8解析：由二項式系數的性質知，二項式(x＋y)2m的綻開式中二項式系數的最大值有一項，即Ceq\o\al(m,2m)＝a，二項式(x＋y)2m＋1的綻開式中二項式系數的最大值有兩項，即Ceq\o\al(m,2m＋1)＝Ceq\o\al(m＋1,2m＋1)＝b，因此13Ceq\o\al(m,2m)＝7Ceq\o\al(m,2m＋1)，所以13·eq\f(〔2m〕！,m！m！)＝7·eq\f(〔2m＋1〕！,m！〔m＋1〕！)，所以m＝6.5．(x＋eq\f(m,x))n綻開式的二項式系數之和為256.(1)求n；(2)假設綻開式中常數項為eq\f(35,8)，求m的值；(3)假設(x＋m)n的綻開式中系數最大項只有第6項和第7項，求m的取值狀況．解析：(1)二項式系數之和為2n＝256，可得n＝8.(2)設常數項為第r＋1項，那么Tr＋1＝Ceq\o\al(r,8)x8－r(eq\f(m,x))r＝Ceq\o\al(r,8)mrx8－2r，故8－2r＝0，即r＝4，那么Ceq\o\al(4,8)m4＝eq\f(35,8)，解得m＝±eq\f(1,2).(3)易知m>0，設第r＋1項系數最大．那么eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Ceq\o\al(r,8)mr≥Ceq\o\al(r－1,8)mr－1，,Ceq\o\al(r,8)mr≥Ceq\o\al(r＋1,8)mr＋1，))化簡可得eq\f(8m－1,m＋1)≤r≤eq\f(9m,m＋1).由于只有第6項和第7項系數最大，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4<\f(8m－1,m＋1)≤5，,6≤\f(9m,m＋1)<7，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)<m≤2，,2≤m<\f(7,2)，))所以m只能等于2.6．(eq\r(x)＋eq\f(3,\r(3,x)))n綻開式中，各項系數的和與其各項二項式系數的和的比值是64，那么綻開式中有理項的項數是(C)A．4B．3C．2D．1解析：在(eq\r(x)＋eq\f(3,\r(3,x)))n中，令x＝1，得到其各項系數的和為(1＋3)n＝4n，其各項二項式系數的和為2n，依題意eq\f(4n,2n)＝2n＝64，n＝6.所以(eq\r(x)＋eq\f(3,\r(3,x)))n綻開式的通項公式為Ceq\o\al(r,6)·(xeq\s\up6(\f(1,2)))6－r·(3x－eq\f(1,3))r＝3r·Ceq\o\al(r,6)·x3－eq\f(5,6)r，要使3－eq\f(5,6)r為整數，那么r＝0或6，所以有理項共有兩項．應選C.7．設a∈Z，且0≤a<13，假設512018＋a能被13整除，那么a＝(D)A．0B．1C．11D．12解析：512018＝(52－1)2018＝Ceq\o\al(0,2018)522018＋Ceq\o\al(1,2018)522017·(－1)＋Ceq\o\al(2,2018)522016·(－1)2＋…＋Ceq\o\al(2017,2018)52·(－1)2017＋Ceq\o\al(2018,2018)(－1)2018.由于52能被13整除，所以綻開式的第一項至倒數其次項均能被13整除，只余下最終一項1，所以要使512018＋a能被13整除，a的值應為12，應選D.8．早在11世紀中葉，我國宋代數學家賈憲在其著作?釋鎖算數?中就給出了二、三、四、五、六次冪的二項式系數表．(ax－1)6的綻開式中x3的系數為－160，那么實數a＝2；綻開式中各項系數之和為1.(用數字作答)解析：由于(ax－1)6綻開式的通項公式為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)·a6－r·x6－r·(－1)r，令6－r＝3，解得r＝3，故(ax－1)6的綻開式中x3的系數為Ceq\o\al(3,6)·a3·(－1)3＝－160，解得a＝2，故(ax－1)6＝(2x－1)6的綻開式中各項系數之和為(2－1)6＝1.9．設(1－2x)2021＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2021x2021(x∈R)．(1)求a1＋a2＋…＋a2021的值；(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2021的值；(3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2021|的值．解析：(1)令x＝0，得a0＝1.令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a2021＝(－1)2021＝－1.①所以a1＋a2＋…＋a2021＝－2.(2)令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…－a2021＝32021.②①－②得2(a1＋a3＋…＋a2021)＝－1－32021，所以a1＋a3＋…＋a2021＝－eq\f(1＋32021,2).(3)|a0|＋|a1|＋…＋|a2021|＝a0－a1＋a2－…－a2021＝32021(令x＝－1)．10．m，n是正整數，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n的綻開式中x的系數為7.(1)試求f(x)中的x2的系數的最小值；(2)對于使f(x)的x2的系數為最小的m，n，求出此時x3的系數．解析：(1)依據題意得Ceq\o\al(1,m)＋Ceq\o\al(1,n)＝7，即m＋n＝7，①f(x)中的x2的系數為Ceq\o\al(2,m)＋Ceq\o\al(2,n)＝eq\f(m〔m－1〕,2)＋eq\f(n〔n－1〕,2)＝eq\f(n2＋m2－m－n,2).將①變形為n＝7－m代入上式得x2的系