第十六章虛位移原理在第一篇靜力學中，我們從靜力學公理出發，通過力系的簡化，得出剛體的平衡條件，用來研究剛體及剛體系統的平衡問題。在這一章里，我們將介紹普遍適用于研究任意質點系的平衡問題的一個原理，它從位移和功的概念出發，得出任意質點系的平衡條件。該原理叫做虛位移原理。它是研究平衡問題的最一般的原理，不僅如此，將它與達朗伯原理相結合，就可得到一個解答動力學問題的動力學普遍方程。動力學2§16–1約束及其分類§16–2自由度廣義坐標§16–3虛位移和虛功§16–4理想約束§16–5虛位移原理第十六章虛位移原理3

§16-1約束及其分類動力學

一、約束及約束方程

限制質點或質點系運動的各種條件稱為約束。將約束的限制條件以數學方程來表示，則稱為約束方程。

平面單擺例如：曲柄連桿機構4動力學根據約束的形式和性質，可將約束劃分為不同的類型，通常按如下分類：二、約束的分類1、幾何約束和運動約束限制質點或質點系在空間幾何位置的條件稱為幾何約束。如前述的平面單擺和曲柄連桿機構例子中的限制條件都是幾何約束。當約束對質點或質點系的運動情況進行限制時，這種約束條件稱為運動約束。例如：車輪沿直線軌道作純滾動時。5動力學幾何約束：運動約束：當約束條件與時間有關，并隨時間變化時稱為非定常約束。約束條件不隨時間改變的約束為定常約束。前面的例子中約束條件皆不隨時間變化，它們都是定常約束。2、定常約束和非定常約束例如：重物M由一條穿過固定圓環的細繩系住。初始時擺長l0,勻速v拉動繩子。x2+y2=(l0-vt)2

約束方程中顯含時間t6動力學如果在約束方程中含有坐標對時間的導數（例如運動約束）而且方程中的這些導數不能經過積分運算消除，即約束方程中含有的坐標導數項不是某一函數全微分，從而不能將約束方程積分為有限形式，這類約束稱為非完整約束。一般地，非完整約束方程只能以微分形式表達。3、完整約束和非完整約束如果約束方程中不含有坐標對時間的導數，或者約束方程中雖有坐標對時間的導數，但這些導數可以經過積分運算化為有限形式，則這類約束稱為完整約束。7在兩個相對的方向上同時對質點或質點系進行運動限制的約束稱為雙面約束。只能限制質點或質點系單一方向運動的約束稱為單面約束。動力學例如：車輪沿直線軌道作純滾動，是微分方程，但經過積分可得到（常數），該約束仍為完整約束。

4、單面約束和雙面約束幾何約束必定是完整約束，但完整約束未必是幾何約束。非完整約束一定是運動約束，但運動約束未必是非完整約束。剛桿x2+y2=l2繩x2+y2l28動力學雙面約束的約束方程為等式，單面約束的約束方程為不等式。我們只討論質點或質點系受定常、雙面、完整約束的情況，其約束方程的一般形式為（s為質點系所受的約束數目，n為質點系的質點個數）9動力學

§16-2自由度廣義坐標一個自由質點在空間的位置：（x,y,z)3個一個自由質點系在空間的位置：(xi

,yi

,

zi)(i=1,2……n)3n個對一個非自由質點系，受s個完整約束，（3n-s)個獨立坐標。其自由度為k=3n-s。

確定一個受完整約束的質點系的位置所需的獨立坐標的數目，稱為該質點系的自由度的數目，簡稱為自由度。

例如,前述曲柄連桿機構例子中,確定曲柄連桿機構位置的四個坐標xA、yA、xB、yB須滿足三個約束方程,因此有一個自由度。10動力學一般地，受到s個約束的、由n個質點組成的質點系，其自由度為通常，n與s很大而k很小。為了確定質點系的位置，用適當選擇的k個參數（相互獨立），要比用3n個直角坐標和s個約束方程方便得多。用來確定質點系位置的獨立參數，稱為廣義坐標。廣義坐標的選擇不是唯一的。廣義坐標可以取線位移（x,y,z,s等）也可以取角位移（如,,,等）。在完整約束情況下，廣義坐標的數目就等于自由度數目。11動力學例如：曲柄連桿機構中，可取曲柄OA的轉角為廣義坐標，則：廣義坐標選定后，質點系中每一質點的直角坐標都可表示為廣義坐標的函數。12動力學

例如：雙錘擺。設只在鉛直平面內擺動。兩個自由度取廣義坐標，13動力學

一般地，設有由n個質點組成的質點系，具有k個自由度，取q1、q2、……、qk為其廣義坐標，質點系內各質點的坐標及矢徑可表為廣義坐標的函數。14動力學§16-3虛位移和虛功在質點系運動過程的某瞬時，質點系中的質點發生的為約束允許的任意的無限小位移，稱為質點系（在該瞬時）的虛位移。虛位移可以是線位移，也可以是角位移。通常用變分符號表示虛位移。M15動力學

虛位移與真正運動時發生的實位移不同。實位移是在一定的力作用下和給定的初條件下運動而實際發生的；虛位移是在約束容許的條件下可能發生的。實位移具有確定的方向，可能是微小值，也可能是有限值；虛位移則是微小位移，視約束情況可能有幾種不同的方向。實位移是在一定的時間內發生的；虛位移只是純幾何的概念，完全與時間無關。在定常約束下，微小的實位移必然是虛位移之一。而在非定常約束下，微小實位移不再是虛位移之一。16動力學質點系中各質點的虛位移之間存在著一定的關系,確定這些關系通常有兩種方法：(一)幾何法。由運動學知，質點的位移與速度成正比，即因此可以用分析速度的方法分析各點虛位移之間的關系。17動力學

(二)解析法。質點系中各質點的坐標可表示為廣義坐標的函數（q1,q2,……,qk），廣義坐標分別有變分，各質點的虛位移在直角坐標上的投影可以表示為18動力學[例1]分析圖示機構在圖示位置時，點C、A與B的虛位移。(已知OC=BC=a，OA=l)解：此為一個自由度系統，取OA桿與x軸夾角為廣義坐標。1、幾何法19動力學將C、A、B點的坐標表示成廣義坐標的函數，得2、解析法對廣義坐標求變分，得各點虛位移在相應坐標軸上的投影：20動力三學力在質三點發三生的三虛位三移三上所三作的三功稱三為虛功，記三為三。21動力三學§1三6-三4理想三約束如果三在質三點系三的任三何虛三位移三上，三質點三系的三所有三約束三反力三的虛三功之三和等三于零三，則三稱這三種約三束為理想三約束三。質點三系受三有理三想約三束的三條件三：22動力三學理想三約束三的典三型例三子如三下：1、光三滑支三承面2、光三滑鉸三鏈3、無三重剛三桿4、不三可伸三長的三柔索5、剛三體在三粗糙三面上三的純三滾動23動力三學§1三6-三5虛位三移原三理一、三虛位三移原三理具有三定常三、理三想約三束的三質點三系，三平衡三的必三要與三充分三條件三是：三作用三于質三點系三的所三有主三動力三在任三何虛三位移三上所三作的三虛功三之和三等于三零。三即解析三式：24動力三學證明：(1)必要性：即質點系處于平衡時，必有∵質三點系三處于三平衡三∴三選取三任一三質點Mi也平三衡。對質點Mi的任一虛位移，有由于三是理三想約三束所以對整三個質三點系三：25動力三學(2三)充分三性：三即當三質點三系滿三足三，質三點系三一定三平衡三。若三，三而質三點系三不平三衡，三則至三少有三第i個質三點不三平衡三。在方向上產生實位移，取，則對質點系：(理想約束下，)與前三題條三件矛三盾故時質點系必處于平衡。26動力三學二、三虛位三移原三理的三應用1、系統三在給三定位三置平三衡時三，求三主動三力之三間的三關系三；2、求系三統在三已知三主動三力作三用下三的平三衡位三置；3、求系三統在三已知三主動三力作三用下三平衡三時的三約束三反力三；4、求平三衡構三架內三二力三桿的三內力三。27動力三學例1圖示三橢圓三規機三構，三連桿AB長l，桿重三和滑三道摩三擦不三計，三鉸鏈三為光三滑的三，求三在圖三示位三置平三衡時三，主三動力三大小P和Q之間三的關三系。解：研三究整三個機三構。三系統三的所三有約三束都三是完三整、三定常三、理三想的三。28動力三學1、幾何法：使A發生虛位移，B的虛位移，則由虛位移原理，得虛功方程：由的任意性，得29動力三學2、解三析法由于三系統三為單三自由三度，可取為廣三義坐三標。由于任意，故30動力三學解：這三是一三個具三有兩三個自三由度三的系三統，三取角及為廣三義坐三標，三現用三兩種三方法三求解三。例2均質三桿OA及AB在A點用三鉸連三接，三并在O點用三鉸支三承，三如圖三所示三。兩三桿各三長2a和2b，各重P1及P2，設在B點加三水平三力F以維三持平三衡，三求兩三桿與三鉛直三線所三成的三角及。y31動力三學應用三虛位三移原三理，代入(a)式，三得：解法三一：32動力三學由于是彼此獨立的，所以：由此三解得三：33動力三學而代入三上式三，得解法三二：先使保持不變，而使獲得變分，得到系統的一組虛位移，如圖所示。34動力三學再使保持三不變三，而三使獲得三變分三，得三到系三統的三另一三組虛三位移三，如三圖所三示。而代入三上式三后，三得：圖示三中：35動力三學例3多跨三靜定三梁，三求支三座B處反三力。解：將支座B除去，代入相應的約束反力。36動力三學37動力三學例4滑套D套在三光滑三直桿AB上，三并帶三動桿CD在鉛三直滑三道上三滑動三。已三知=0o時，三彈簧三等于三原長三，彈三簧剛三度系三數為三5(k三N/三m)，求在三任意三位置三（角）三平衡三時，三加在AB桿上三的力三偶矩M？解：這三是一三個已三知系三統平三衡，三求作三用于三系統三上主三動力三之間三關系三的問三題。三將彈三簧力三計入三主動三力，三系統三簡化三為理三想約三束系三統，三故可三以用三虛位三移原三理求三解。38動力三學選擇AB桿、CD桿和三滑套D的系三統為三研究三對象三。由虛三位移三原理三，得三：39動力三學以不三解除三約束三的理三想約三束系三統為三研究三對象三，系三統至三少有三一個三自由