（優選）第六章角動量目前一頁\總數五十四頁\編于十六點6.1幾種物理性質的同時測定考察可用什么規則決定體系的哪些性質能同時具有確定值。回顧：若態函數Ψ是算符?的本征值為s的一個本征函數，則測定物理性質A，一定得到結果s。若態函數Ψ同時是兩個算符?與的本征函數：則對物理量A與B我們能同時指出確定值。什么條件下，Ψ可以同時是兩個不同算符的一個本征函數呢？目前二頁\總數五十四頁\編于十六點兩個定理（后面章節證）：（1）兩個算符存在共同本征函數完備集的必要條件是算符要可對易。（2）若?與是對應著物理量的兩個可對易的算符，則存在一完備函數集是?與兩者的本征函數，即如果[?,]=0，則Ψ可能是?與共同的本征函數。注：完備，即任意一個具有相同自變量、定義域、邊界條件的連續函數，總可以用這一本征函數集中函數的線性組合來表示。目前三頁\總數五十四頁\編于十六點對易子的一些常用恒等式目前四頁\總數五十四頁\編于十六點例：根據上述恒等式計算對易子：前面已證：因為不對易，所以不能期望態函數同時是上述兩個算符的本征函數。即不能同時指定x與px的確定值，與測不準原理一致。目前五頁\總數五十四頁\編于十六點對三維一粒子體系，有：類似地，可證：因為不對易，所以不能期望同時指定能量與x坐標的確定值。一個定態（有一定的能量）表明有一個x可能值的展寬，而不同x值的概率的觀測由Born假設給出。目前六頁\總數五十四頁\編于十六點對于一個不是?的本征函數的定態Ψ，當我們測量一些等同體系的性質A時，可得到各種可能的結果。若<A>是平均值，則每一測定值與平均值的偏差是

Ai－<A>。若把所有的偏差平均，由于正與負的偏差將相互抵消，將得到零。于是，要使所有偏差為正，可平方之。偏差的平方的平均值叫做A的方差。在統計學中以表示，在量子力學中以(ΔA)2表示：方差的正的平方根叫做標準差，以σA或ΔA表示，常用于衡量展寬的程度，我們將取之作為A的“不確定度”量度。目前七頁\總數五十四頁\編于十六點對于兩個性質的標準差的乘積，可證明為：若算符?與可對易，則上式中的積分為零，因而有可能ΔA與ΔB兩者均為零，即兩者可以同時確定。例：海森堡測不準原理的定量描述目前八頁\總數五十四頁\編于十六點回顧：三維箱中粒子的x和px平均值：根據：目前九頁\總數五十四頁\編于十六點能量-時間不確定關系式ΔE是能量在時間t1和t2時測定的兩個值E1和E2之差。Δt可解釋為能量的不確定值為ΔE的態的壽命。粒子在某能級上存在的時間越短，該能級的不確定度程度ΔE就越大。只有粒子在某能級上存在的時間無限長，該能級才是完全確定的。目前十頁\總數五十四頁\編于十六點現考察同時指定三個物理量A，B和C的確定值的可能性。上式能否保證三個算符存在共同的本征函數？前者保證能構成?與的共同的本征函數集，后者保證能構成?與的共同的本征函數集。若這兩個本征函數集是一樣的，則三個算符具有共同的本征函數集。目前十一頁\總數五十四頁\編于十六點若對應于?的每一本征值多于一個的獨立函數（簡并態），則簡并本征值的本征函數的任意線性組合仍是?的一個本征函數。有理由認為給出的本征函數所需的適當的線性組合，將不同于給出的本征函數的線性組合。所以，如果要有所有三個算符的共同的本征函數完備集，要求除了上式之外，還要有：但事實上，線性算符?的本征函數集不是唯一確定的。必須具備目前十二頁\總數五十四頁\編于十六點6.2一粒子體系的角動量經典力學中的角動量考慮一質量為m的運動粒子，令r為粒子從原點到瞬時位置的矢量，有：x,y和z是粒子在一給定瞬間的坐標，是時間的函數。定義：速度矢量v為位置矢量的時間導數，則：目前十三頁\總數五十四頁\編于十六點定義線動量矢量p為：粒子的角動量L定義為：目前十四頁\總數五十四頁\編于十六點作用于粒子上的力矩τ定義為r與作用于粒子上的力F的叉積：易證：當無力矩作用于粒子時，角動量的變化速率等于零，即角動量是常數（或是守恒的）。如一行星繞太陽轉，引力是徑向指向的，由于兩個平行矢量的叉積為零，行星沒有受到力矩，其角動量是守恒的。目前十五頁\總數五十四頁\編于十六點量子力學處理：軌道角動量和自旋角動量軌道角動量：粒子通過空間的運動，相似于經典力學量L；自旋角動量：許多微觀粒子的內在性質，無經典的類比。循環置換xyz：x←y←z←x現只考察軌道角動量，把上述經典力學中L的量代之以相應的算符，可得：目前十六頁\總數五十四頁\編于十六點再將作用于上式，有：用上述算符可以進一步構成角動量大小的平方的算符，即：由于對易關系決定哪些可觀測量具有確定值，我們來研究上述角動量之間的對易關系。（1）先將作用于某函數f(x,y,z)，有：目前十七頁\總數五十四頁\編于十六點類似地：所以：其中用到了關系式：這對品優函數是正確的。目前十八頁\總數五十四頁\編于十六點若在中進行循環置換，可得。若在中進行循環置換，可得。若在中進行循環置換，可得。可用同樣的步驟去計算：注意到x,y,z在算符中的對稱關系，可以利用循環置換x,y,z的方式計算上述對易關系，即：角動量分量算符之間不能對易，不能同時準確測定。目前十九頁\總數五十四頁\編于十六點因為x,y,z的循環置換使不改變，上式進行兩次循環置換，得：（2）利用對易子恒等式計算與其每個分量的對易目前二十頁\總數五十四頁\編于十六點L2,Lx,Ly,Lz中哪些可同時指定確定值？因為可與其它每個分量對易，所以可確定L2與任意一個分量的確定值。但是，沒有兩個分量是可對易的，所以不能同時確定多于一個的分量。（此說法有一例外，稍后討論）。習慣上取Lz作為與L2同時確定的角動量分量。注意在L2=|L|2中，不是確定了向量L，只是確定了其大小。完全確定L要求同時確定其三個分量，這是一般做不到的。在經典力學中，當角動量守恒時，其三個分量的每一個都有一定的值。在量子力學中，當角動量守恒時，只是其大小及分量之一是確定的。目前二十一頁\總數五十四頁\編于十六點下面計算和的本征值和共同的本征函數在嘗試求解過程中，由于在笛卡兒坐標系中所得的偏微分方程不能分離變量，為此需要將坐標變換成球極坐標，同時須將變換成球極坐標形式。目前二十二頁\總數五十四頁\編于十六點

球極坐標與笛卡兒坐標的關系目前二十三頁\總數五十四頁\編于十六點角動量分量在球極坐標中的表示目前二十四頁\總數五十四頁\編于十六點將平方，再將它們的平方相加，可構成，即：雖然角動量算符依賴于所有三個笛卡兒坐標x，y，z，但它只含有兩個球坐標和。令和共同的本征函數以Y表示，由于這些算符只包含和，Y將是這兩個坐標的函數：Y=Y(,)，則須求解的兩個本征方程為：（b和c分別為兩個算符的本征值）目前二十五頁\總數五十四頁\編于十六點利用算符，有：由于上式中的算符不包含，故嘗試分離變量，記作：帶入上式得：與無關變形目前二十六頁\總數五十四頁\編于十六點（A為一任意常數）一般地，由于T不是一個單值函數，所以不適合作為一個本征函數。為保證T單值，應有下列限制：為滿足：必須有：角動量z分量的本征值是量子化的目前二十七頁\總數五十四頁\編于十六點要確定A，需將T進行歸一化。先考慮某函數F(r,,)的歸一化，獨立變量的范圍是：在球極坐標中，相當于笛卡兒坐標中無限小體積元dxdydz的是：于是有歸一化形式：目前二十八頁\總數五十四頁\編于十六點如果F的形式為：則歸一化形式可變為：將F的每個因子進行歸一化：目前二十九頁\總數五十四頁\編于十六點下面求解的本征值：c為本征值目前三十頁\總數五十四頁\編于十六點上式的求解較為復雜，為方便起見，直接給出c的結果：由于|m|取值0,1,2…，故量k+|m|取值為0,1,2…定義量子數l為：對于角動量大小的平方，可允許的本征值為：|m|≤lm的可能值為：目前三十一頁\總數五十四頁\編于十六點由于l≥|m|，上式指出總角動量的大小大于其z分量

的大小（l＝0除外）。取上式的正平方根，得角動量的大小：若有可能總角動量等于其z分量，這意味著x和y分量為零，我們就確定了L的所有三個分量了。但是，由于角動量分量彼此是不可對易的，所以不能這樣做。目前三十二頁\總數五十四頁\編于十六點一個例外是l為零的情況。在此情況下，所有三個分量Lx，Ly，Lz的本征值都為零，角動量分量的不確定度滿足：用循環置換可得類似的兩個式子。當三個分量的本征值為零時，，從而允許ΔLx=ΔLy=ΔLz=0。即可以同時測定這些值，但又不是對易的。表明：盡管算符Lz與Lx不可對易，但有可能算符Lz的某些本征函數（如l=0=m）是算符Lx的本征函數。然而，不可能算符Lz的所有本征函數也是Lx的本征函數。目前三十三頁\總數五十四頁\編于十六點下面求某些角動量的本征函數：因子為（推導過程略）：（求和包括偶數或奇數的j值，取決于l－|m|為偶或奇。）對l=0，有m=0，因子為：代入歸一化式子：目前三十四頁\總數五十四頁\編于十六點本征函數為：所以，對l=0，本征函數不依賴于角度，即是球對稱的。對l=1，m的可能值為-1,0,1利用歸一化公式得：(w=cos)（2）m=0（1）|m|=1目前三十五頁\總數五十四頁\編于十六點函數Sl,m()在數學中是非常著名的，是乘了歸一化常數的連帶勒讓德函數。連帶勒讓德函數定義為：這些函數與勒讓德多項式有關，后者定義為：由定義，有：可以證明：目前三十六頁\總數五十四頁\編于十六點和的本征函數（球諧函數）為：概括一下，一粒子軌道角動量的本征函數（如上式）和本征值是：注：對于Lz的量子數，常使用ml代替m。目前三十七頁\總數五十四頁\編于十六點由于不能確定Lx和Ly，矢量L可處于以z軸為軸的圓錐體面上的任何地方，如下圖：目前三十八頁\總數五十四頁\編于十六點對l=1的情況，L相對于z軸的可能取向如下圖：m=1m=0m=-1目前三十九頁\總數五十四頁\編于十六點對的每一個本征值，有2l+1個不同的本征函數，對應于m的2l+1個值，稱的本征值是（2l+1）重簡并。（名稱簡并適用于任何算符的本征值）當然，取z軸并無什么特別，空間的所有方向都是等價的。然而，解的本征方程是較容易的（在球極坐標中有一簡單的形式）。目前四十頁\總數五十四頁\編于十六點6.3角動量的階梯算符法以上我們把角動量算符表示為微分算符，并求解所得的微分方程，得到了算符L和Lz的本征值。實際上，利用算符的對易關系也可解出這些本征值。本節的做法適用于任何滿足角動量對易關系的算符，特別是適用于自旋角動量（后述）。目前四十一頁\總數五十四頁\編于十六點以前用字母L表示軌道角動量，現用字母M表示處理的任一種角動量（軌道和自旋），其x，y，z方向上的三個線性算符服從如下對易關系：服從循環置換xyz定義算符為：問題即為求算符的本征值。目前四十二頁\總數五十四頁\編于十六點首先，求算角動量平方算符及其分量的對易關系，根據上節的推導可知：所以可以有和的共同的本征函數。其次，定義兩個新的算符－遞升算符和遞降算符

階梯算符目前四十三頁\總數五十四頁\編于十六點同理可求：關于階梯算符與的對易子，有：同理可求：階梯算符的性質

目前四十四頁\總數五十四頁\編于十六點用遞升算符作用于本征函數Y，使Y轉變為的另一本征函數，其本征值比Y的本征值高。利用上述的及是線性算符的性質，有：用Y表示與的共同本征函數，有：（b和c為本征值）用遞升算符作用于（1）式，得：移項目前四十五頁\總數五十四頁\編于十六點若繼續用遞升算符作用于上式，同樣求得：重復運用遞升算符k次，給出：如果用遞降算符作用于（1）式，并運用同樣可以求得：目前四十六頁\總數五十四頁\編于十六點欲證上式，首先指出與和是可對易的。所以，用遞升算符和遞降算符作用于具有本征值為b的本征函數，給出一個本征值的階梯，每步之差為：換言之，函數是具有本征值的的本征函數，即：實際上，上述函數也是的本征函數，都具有同一個本征值c，即：目前四十七頁\總數五十四頁\編于十六點可證：進一步推知：如果用作用于，并利用上式，得：即為所證。目前四十八頁\總