考點(diǎn)26排列與組合、二項(xiàng)式定理【考點(diǎn)剖析】1.最新考試說明：1.分類加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理(1)理解分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理.(2)會(huì)用分類加法計(jì)數(shù)原理或分步乘法計(jì)數(shù)原理分析和解決一些簡單的實(shí)際問題.2.排列與組合(1)理解排列、組合的概念.(2)能利用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式.(3)能解決簡單的實(shí)際問題.3.二項(xiàng)式定理(1)能用計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理.(2)會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開式有關(guān)的簡單問題.2.命題方向預(yù)測：以實(shí)際問題為背景考查排列、組合的應(yīng)用，同時(shí)考查分類討論的思想．以選擇題或填空題的形式考查，或在解答題中和概率相結(jié)合進(jìn)行考查.二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)、特定項(xiàng)的系數(shù)、二項(xiàng)式系數(shù)等是高考的熱點(diǎn)．常以選擇題、填空題的形式考查,近幾年試題難度呈降低趨勢.3.名師二級(jí)結(jié)論：一個(gè)區(qū)別排列與組合，排列與組合最根本的區(qū)別在于“有序”和“無序”．取出元素后交換順序，如果與序順有關(guān)是排列，如果與序順無關(guān)即是組合．兩個(gè)公式n!Am(1)排列數(shù)公式n(nm)!n!m!(nm)!C(2)組合數(shù)公式，利用這兩個(gè)公式可計(jì)算排列問題中的排列數(shù)和組合問題中mn的組合數(shù)．①解決排列組合問題可遵循“先組合后排列”的原則，區(qū)分排列組合問題主要是判斷“有序”和“無序”，更重要的是弄清怎樣的算法有序，怎樣的算法無序，關(guān)鍵是在計(jì)算中體現(xiàn)“有序”和“無序”．②要能夠?qū)懗鏊蟹蠗l件的排列或組合，盡可能使寫出的排列或組合與計(jì)算的排列數(shù)相符，-1-使復(fù)雜問題簡單化，這樣既可以加深對(duì)問題的理解，檢驗(yàn)算法的正確與否，又可以對(duì)排列數(shù)或組合數(shù)較小的問題的解決起到事半功倍的效果．四字口訣求解排列組合問題的思路：“排組分清，加乘明確；有序排列，無序組合；分類相加，分步相乘．”一個(gè)防范運(yùn)用二項(xiàng)式定理一定要牢記通項(xiàng)T＝Cran－rbr，注意(a＋b)與n(b＋a)雖然相同，n但具體到它r＋1n們展開式的某一項(xiàng)時(shí)是不同的，一定要注意順序問題，另外二項(xiàng)展開式的二項(xiàng)式系數(shù)與該項(xiàng)的(字母)系數(shù)是兩個(gè)不同的概念，前者只指C，而后者是字母外的部分．前者只與n和r有rn后者還與a，b有關(guān)，可正可關(guān)，恒為正，負(fù)．一個(gè)定理二項(xiàng)式定理可利用數(shù)學(xué)歸納法證明，也可根據(jù)次數(shù)，項(xiàng)數(shù)和系數(shù)利用排列組合的知識(shí)推導(dǎo)二項(xiàng)式定理．因此二項(xiàng)式定理是排列組合知識(shí)的發(fā)展和延續(xù)．兩種應(yīng)用(1)通項(xiàng)的應(yīng)用：利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)可求指定的項(xiàng)或指定項(xiàng)的系數(shù)等．(2)展開式的應(yīng)用：利用展開式①可證明與二項(xiàng)式系數(shù)有關(guān)的等式；②可證明不等式；③可證明整除問題；④可做近似計(jì)算等．三條性質(zhì)(1)對(duì)稱性；(2)增減性；(3)各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和；以上性質(zhì)可通過觀察楊輝三角進(jìn)行歸納總結(jié)．4.考點(diǎn)交匯展示：(1)與基本不等式相結(jié)合若(ax2b)6的展開式中項(xiàng)的xab系數(shù)為20，則2的最小值.32x【答案】2(2)與定積分相結(jié)合(11x2)dx，則(a)x展開式中的常數(shù)項(xiàng)為161已知a。x21-2-【答案】160222【解析】∵(11x2)dx∴令11xy∴x(y1)1(y1)1a1∴a1(11x2)dx表示曲線x(y1)1在(y1)的一段與x軸和直線x=-1和x=1221所圍成的面積，即a12121(11x2)dx21122∴(a)x(2x)6∴1TCr(2x)(1)rCr2(1)rx62r166r6r2xxr1x66∴令62r0∴∴常數(shù)項(xiàng)為C32(1)3160.r3636(3)與復(fù)數(shù)運(yùn)算相結(jié)合【2016年高考四川理數(shù)】設(shè)i為虛數(shù)單位，則(xi)6的展開式中含x4的項(xiàng)為()（A）－15x4（B）15x4（C）－20i4x（D）20i4x【答案】A【解析】二項(xiàng)式(xi)6展開的通項(xiàng)TCrxi，令6r4，得r2，則展開式中含x6rr4r16的項(xiàng)為C2xi15x4，故選A.426【考點(diǎn)分類】熱點(diǎn)一排列與組合1.【2016高考新課標(biāo)2理數(shù)】如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會(huì)合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動(dòng)，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為（）（A）24（B）18（C）12（D）9【答案】B【解析】由題意，小明從街道的E處出發(fā)到F處最短有C2條路，再從F處到G處最短共有C143條路，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為C2C18條，故選B.1432.【2017課標(biāo)II，理6】安排3名志愿者完成4項(xiàng)工作，每人至少完成1項(xiàng)，每項(xiàng)工作由1人完成，則不同的安排方式共有（）-3-A．12種B．18種C．24種D．36種【答案】D【解析】試題分析：由題意可得，一人完成兩項(xiàng)工作，其余兩人每人完成一項(xiàng)工作，據(jù)此可得，只要把工作分成三份：有C種方法，然后進(jìn)行全排列A3即可，由乘法原理，不同的安排方式共243有C2A36種方法。故選D。3433.【2017浙江，16】從6男2女共8名學(xué)生中選出隊(duì)長1人，副隊(duì)長1人，普通隊(duì)員2人組成4人1名女生，共有______中不同的選法．（用數(shù)字作答）服務(wù)隊(duì)，要求服務(wù)隊(duì)中至少有【答案】660【解析】【方法總結(jié)】解排列組合的應(yīng)用題要注意以下幾點(diǎn)(1)仔細(xì)審題，判斷是排列問題還是組合問題；要按元素的性質(zhì)分類，按事件發(fā)生的過程進(jìn)行分步．(2)深入分析，嚴(yán)密周詳，注意分清是乘還是加，要防止重復(fù)和遺漏，辨證思維，多角度分析，全面考慮．(3)對(duì)限制條件較復(fù)雜的排列組合應(yīng)用題，要周密分析，設(shè)計(jì)出合理的方案，把復(fù)雜問題分解成若干簡單的基本問題后于排列組合問題的答案一般數(shù)目較大，不所設(shè)計(jì)的解決方案是否完備，有無重復(fù)和遺漏，也可采用多種不同的方法求解，看看結(jié)果是否相同．在對(duì)排列組合問題分類時(shí)，分類標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)統(tǒng)一，否則易出現(xiàn)遺漏或重復(fù)．用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理來解決．(4)由易直接驗(yàn)證，因此在檢查結(jié)果時(shí)，應(yīng)著重檢查熱點(diǎn)二二項(xiàng)式定理1x1.【2017課標(biāo)1，理6】(1)(1x)6展開式中2的系數(shù)為x2A．15B．20C．30【答案】CD．35-4-C0C1C2Cn2n，奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和相等nnnnC0C2C4C1C3C52n1.nnnnnn【熱點(diǎn)預(yù)測】1.【2017課標(biāo)3，理4】xy2xy的展開式中x3的系數(shù)為53yA．80B．40【答案】CC．40D．80【解析】2.【2017屆河南百校聯(lián)盟高三9月質(zhì)監(jiān)乙卷】6名同學(xué)站成一排照畢業(yè)相，要求甲不站在兩側(cè)，而且乙和丙相鄰、丁和戊相鄰，則不同的站法種數(shù)為（）A．60B．96C．48D．72【答案】C【解析】先把乙和丙，丁和戊看作兩個(gè)整體，四個(gè)人進(jìn)行排列：2A3,再考慮乙和丙，丁和戊3排法得2A3A2A248,選C．3223.【2016年高考四川理數(shù)】用數(shù)字1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為（A）24（B）48（C）60（D）72【答案】D【解析】由題意，要組成沒有重復(fù)的五位奇數(shù)，則個(gè)位數(shù)應(yīng)該為1、3、5中之一，其他位置-6-共有隨便排共A種可能，所以其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為3A72，故選D.44444.【2016高考新課標(biāo)3理數(shù)】定義“規(guī)范01數(shù)列”a如下：a共有2m項(xiàng)，其中m項(xiàng)nn為0，m項(xiàng)為1，且對(duì)任意k2m，a,a,,a中0的個(gè)數(shù)不少于1的個(gè)數(shù).若，則不同的“規(guī)范m412k01數(shù)列”共有（）（A）18個(gè)（B）16個(gè)（C）14個(gè)（D）12個(gè)【答案】Ca1a0，，則具體的排法列表如下：【解析】由題意，得必有180111011010111000110011101010110100110011011010015.有6名男醫(yī)生、5名女醫(yī)生，從中選出2名男醫(yī)生、1名女醫(yī)生組成一個(gè)醫(yī)療小組，則不同的選法共有（）A．60種B．70種C【答案】C．【解析】6.【2017屆四川綿陽中學(xué)高三上學(xué)期入學(xué)考】8個(gè)人坐成一排，現(xiàn)要調(diào)換其中．75種D．150種CC75，故選C．得不同的選法共有2165由已知可3個(gè)人中每一個(gè)人的位置，其余5個(gè)人的位置不變，則不同調(diào)換方式有（）-7-A．C3B．C3AC3C．C3C2D．3C3888828【答案】C【解析】從8人中任選3人有C3種，3人位置全調(diào)，由于不能是自己原來的位置，因此有A228種，故有C3A2種．故選C．282n7.【2017年河北冀州市中學(xué)】若x展開式中只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開x2式中的常數(shù)項(xiàng)是（）A．90B．45C．120D．180【答案】D102n2【解析】因?yàn)閤展開式中只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，故n10，xx2x25r0，得r2，所以展開式中的常數(shù)項(xiàng)是25rC2x2令5105展開式的通項(xiàng)公式為Trrr1C222180，故選D．108.【2017天津，理14】用數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，8，9組成沒有重復(fù)數(shù)字，且至多有一個(gè)數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)一共有___________個(gè).（用數(shù)字作答）1080【答案】【解析】A4C1C3A4108054549.【2017山東，理11】已知13xn的展開式中含有x2項(xiàng)的系數(shù)是54，則.n【答案】4【解析】由二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式r1Cr3xnrC3xr，令r2得：，C354rr22nn解得n4．10.【2016高考新課標(biāo)1卷】(2xx)5的展開式中,x3的系數(shù)是.（用數(shù)字填寫答案）【答案】10-8-年高考北京理數(shù)】在(12x)6的展開式中，x的系數(shù)為__________________.11.【2016（用2數(shù)字作答）【答案】60.【解析】根據(jù)二項(xiàng)展開的通項(xiàng)公式TC(2)rxr可知，2的系數(shù)為xC2(2)260，故填rr16660.12.【2016高考天津理數(shù)】(x1)8的展開式中x2的系數(shù)為__________.(用數(shù)字作答)x2【答案】561【解析】展開式通項(xiàng)為TCr(x)()r(1)rCrx163r，令163r7，r3，所以28rr18x8x7的(1)3C356．故答案為56．81屆河南百校聯(lián)盟高三9月質(zhì)監(jiān)乙卷】若xax的展開式中x6的系數(shù)為2x1013.【201730，則3x1dx____________．a(chǎn)20【答案】10【解析】由題意得C3aC230a2，所以101023x1dxxx10.23x1dx2a23000