..第六章圓第二十三講圓的有關概念及性質[基礎知識回顧]圓的定義及性質：圓的定義：⑴形成性定義：在一個平面內,線段OA繞它固定的一個端點O旋轉一周,另一個端點A隨之旋轉形成的圖形叫做圓,固定的端點叫線段OA叫做⑵描述性定義：圓是到定點的距離等于的點的集合2、弦與弧：弦：連接圓上任意兩點的叫做弦弧：圓上任意兩點間的叫做弧,弧可分為、、三類3、圓的對稱性：⑴軸對稱性：圓是軸對稱圖形,有條對稱軸,的直線都是它的對稱軸⑵中心對稱性：圓是中心對稱圖形,對稱中心是[名師提醒：1、在一個圓中,圓心決定圓的半徑決定圓的2、直徑是圓中的弦,弦不一定是直徑；3、圓不僅是中心對稱圖形,而且具有旋轉性,即繞圓心旋轉任意角度都被與原來的圖形重合]垂徑定理及推論：1、垂徑定理：垂直于弦的直徑,并且平分弦所對的。2、推論：平分弦〔的直徑,并且平分弦所對的。[名師提醒：1、垂徑定理及其推論實質是指一條直線滿足：⑴過圓心⑵垂直于弦⑶平分弦⑷平分弦所對的優弧⑸平分弦所對的劣弧五個條件中的兩個,那么可推出其余三個,注意解題過程中的靈活運用2、圓中常作的輔助線是過圓心作弦的線〔即弦心距。3、垂徑定理常用作計算,在半徑r、弦a、弦心d和弓高h中已知其中兩個量可求另外兩個量。]三、圓心角、弧、弦之間的關系：1、圓心角定義：頂點在的角叫做圓心角2、定理：在中,兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量它們所對應的其余各組量也分別[名師提醒：注意：該定理的前提條件是"在同圓或等圓中"]圓周角定理及其推論：1、圓周角定義：頂點在并且兩邊都和圓的角叫圓周角2、圓周角定理：在同圓或等圓中,圓弧或等弧所對的圓周角都等于這條弧所對的圓心角的推論1、在同圓或等圓中,如果兩個圓周角那么它們所對的弧推論2、半圓〔或直弦所對的圓周角是,900的圓周角所對的弦是[名師提醒：1、在圓中,一條弦所對的圓心角只有一個,而它所對的圓周角有個,是類,它們的關系是,2、作直徑所對的圓周角是圓中常作的輔助線]圓內接四邊形：定義：如果一個多邊形的所有頂點都在圓上,這個多邊形叫做,這個圓叫做。性質：圓內接四邊形的對角。[名師提醒：圓內接平行四邊形是圓內接梯形是][重點考點例析]考點一：垂徑定理例1〔2015?XX如圖,⊙O的半徑OD⊥弦AB于點C,連結AO并延長交⊙O于點E,連結EC．若AB=8,CD=2,則EC的長為〔A．2B．8 C．2D．2對應訓練1．〔2015?XX如圖,AB是⊙O的直徑,弦CD交AB于點E,且AE=CD=8,∠BAC=∠BOD,則⊙O的半徑為〔A．4B．5 C．4 D．3考點二：圓周角定理例2〔2015?XX如圖,在平面直角坐標系中,⊙A經過原點O,并且分別與x軸、y軸交于B、C兩點,已知B〔8,0,C〔0,6,則⊙A的半徑為〔A．3 B．4 C．5 D．8對應訓練2．〔2015?XX如圖,?ABCD的頂點A、B、D在⊙O上,頂點C在⊙O的直徑BE上,∠ADC=54°,連接AE,則∠AEB的度數為〔A．36° B．46° C．27° D．63°[2016中考名題賞析]1.<2016XX,10,4分>如圖,四邊形ABCD內接于⊙O,四邊形ABCO是平行四邊形,則∠ADC=〔〔A45o〔B>50o<C>60o<D>75o2.<2016·XXXX>如圖,⊙O中,弦AB與CD交于點M,∠A=45°,∠AMD=75°,則∠B的度數是〔A．15° B．25° C．30° D．75°3.〔2016·XXXX·3分如圖,AB為⊙O的直徑,點C在⊙O上,若∠OCA=50°,AB=4,則的長為〔A．π B．π C．π D．π4.〔2016·XX達州·3分如圖,半徑為3的⊙A經過原點O和點C〔0,2,B是y軸左側⊙A優弧上一點,則tan∠OBC為〔A． B．2 C． D．5．〔2016·XXXX如圖,○O的半徑為1,AD,BC是⊙O的兩條互相垂直的直徑,點P從點O出發〔P點與O點不重合,沿O→C→D的路線運動,設AP=x,sin∠APB=y,那么y與x之間的關系圖象大致是〔A． B． C． D．6．〔2016XX省聊城市,3分如圖,四邊形ABCD內接于⊙O,F是上一點,且=,連接CF并延長交AD的延長線于點E,連接AC．若∠ABC=105°,∠BAC=25°,則∠E的度數為〔A．45°B．50°C．55°D．60°7．〔2016.XX省XX市,3分如圖,△ABC內接于⊙O,AB是⊙O的直徑,∠B=30°,CE平分∠ACB交⊙O于E,交AB于點D,連接AE,則S△ADE：S△CDB的值等于〔 A．1： B．1： C．1：2 D．2：38．〔2016·XXXX如圖,在矩形ABCD中,AB=5,BC=10,一圓弧過點B和點C,且與AD相切,則圖中陰影部分面積為．2．〔2016·XXXX如圖,AB＝6,O是AB的中點,直線l經過點O,∠1＝120°,P是直線l上一點。當△APB為直角三角形時,AP＝.[真題過關]一、選擇題1．〔2015?XX如圖所示,在⊙O中,,∠A=30°,則∠B=〔A．150° B．75° C．60° D．15°1．B2．〔2015?XX如圖,已知AB、CD是⊙O的兩條直徑,∠ABC=28°,那么∠BAD=〔A．28° B．42° C．56° D．84°3．〔2015?XX如圖,AB是⊙O的直徑,∠AOC=110°,則∠D=〔A．25° B．35° C．55° D．70°3．B4．〔2015?XX如圖,DC

是⊙O直徑,弦AB⊥CD于F,連接BC,DB,則下列結論錯誤的是〔A．B．AF=BF C．OF=CF D．∠DBC=90°4．C5．〔2015?XX如圖,在⊙O中,OC⊥弦AB于點C,AB=4,OC=1,則OB的長是〔A．B．C．D．6．〔2015?XX如圖是一圓柱形輸水管的橫截面,陰影部分為有水部分,如果水面AB寬為8cm,水面最深地方的高度為2cm,則該輸水管的半徑為〔A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm7．〔201?XX如圖,AB是⊙O的直徑,弦CD⊥AB,垂足為P．若CD=8,OP=3,則⊙O的半徑為〔A．10 B．8 C．5 D．38．〔2015?XX在△ABC中,∠C為銳角,分別以AB,AC為直徑作半圓,過點B,A,C作,如圖所示．若AB=4,AC=2,S1-S2=,則S3-S4的值是〔A．B．C．D．9．〔2015?XX如圖．Rt△ABC內接于⊙O,BC為直徑,AB=4,AC=3,D是的中點,CD與AB的交點為E,則等于〔A．4 B．3.5 C．3 D．2.89．C10．〔2015?XX如圖,圓心在y軸的負半軸上,半徑為5的⊙B與y軸的正半軸交于點A〔0,1,過點P〔0,-7的直線l與⊙B相交于C,D兩點．則弦CD長的所有可能的整數值有〔A．1個 B．2個 C．3個 D．4個10．C11．〔2015?XX如圖,點P是等邊三角形ABC外接圓⊙O上的點,在以下判斷中,不正確的是〔A．當弦PB最長時,△APC是等腰三角形B．當△APC是等腰三角形時,PO⊥ACC．當PO⊥AC時,∠ACP=30°D．當∠ACP=30°時,△BPC是直角三角形二、填空題12．〔2015?XX如圖,⊙O的直徑AB與弦CD垂直,且∠BAC=40°,則∠BOD=．13．〔2015?XX如圖,將⊙O沿弦AB折疊,使經過圓心O,則∠OAB=．14．〔2015?XX如圖,在⊙O中,弦AB垂直平分半徑OC,垂足為D,若⊙O的半徑為2,則弦AB的長為．15．〔2015?株洲如圖AB是⊙O的直徑,∠BAC=42°,點D是弦AC的中點,則∠DOC的度數是度．16．〔2015?XX如圖,已知⊙O的直徑AB=6,E、F為AB的三等分點,M、N為上兩點,且∠MEB=∠NFB=60°,則EM+FN=．17．〔2015?XX如圖,在平面直角坐標系中,點O為坐標原點,點P在第一象限,⊙P與x軸交于O,A兩點,點A的坐標為〔6,0,⊙P的半徑為,則點P的坐標為．18．〔2015?XX如圖,將直角三角板60°角的頂點放在圓心O上,斜邊和一直角邊分別與⊙O相交于A、B兩點,P是優弧AB上任意一點〔與A、B不重合,則∠APB=．三、解答題19．〔2015?XX如圖所示,該小組發現8米高旗桿DE的影子EF落在了包含一圓弧型小橋在內的路上,于是他們開展了測算小橋所在圓的半徑的活動．小剛身高1.6米,測得其影長為2.4米,同時測得EG的長為3米,HF的長為1米,測得拱高〔弧GH的中點到弦GH的距離,即MN的長為2米,求小橋所在圓的半徑．20．〔2015?資陽在⊙O中,AB為直徑,點C為圓上一點,將劣弧沿弦AC翻折交AB于點D,連結CD．

〔1如圖1,若點D與圓心O重合,AC=2,求⊙O的半徑r；

〔2如圖2,若點D與圓心O不重合,∠BAC=25°,請直接寫出∠DCA的度數．21．〔2015?XX已知：如圖,AB是⊙O的弦,⊙O的半徑為10,OE、OF分別交AB于點E、F,OF的延長線交⊙O于點D,且AE=BF,∠EOF=60°．

〔1求證：△OEF是等邊三角形；

〔2當AE=OE時,求陰影部分的面積．〔結果保留根號和π22．〔2015?黔西南州如圖,AB是⊙O的直徑,弦CD⊥AB與點E,點P在⊙O上,∠1=∠C,

〔1求證：CB∥PD；

〔2若BC=3,sin∠P=,求⊙O的直徑．第二十四講與圓有關的位置關系[基礎知識回顧]點與圓的位置關系：1、點與圓的位置關系有種,若圓的半徑為r點P到圓心的距離為d則：點P在圓內<＝>點P在圓上<＝>點P在圓外<＝>過三點的圓：⑴過同一直線上三點作圓,過三點,有且只有一個圓⑵三角形的外接圓：經過三角形各頂點的圓叫做三角形的外接圓的圓心叫做三角形的這個三角形叫做這個圓的。⑶三角形外心的形成：三角形的交點,外心的性質：到相等[名師提醒：銳角三角形外心在三角形直角三角形的外心是鈍角三角形的外心在三角形]二、直線與圓的位置關系：1、直線與圓的位置關系有種：當直線和圓有兩個公共點時,叫做直線和圓這時直線叫圓的線,當直線和圓有唯一公共點時叫做直線和圓這時直線叫圓的線,直線和圓沒有公共點時,叫做直線和圓這時直線叫圓的線。2、設⊙O的半徑為r,圓心O到直線l的距離為d,則：直線l與⊙O相交<＝>dr,直線l與⊙O相切<＝>dr直線l與⊙O相離<＝>dr切線的性質和判定：⑴性質定理：圓的切線垂直于經過切點的[名師提醒：根據這一定理,在圓中遇到切線時,常常連接圓心和切點,即可得垂直關系]⑵判定定理：經過半徑的且這條半徑的直線是圓的切線[名師提醒：在切線的判定中,當直線和圓的公共點標出時,用判定定理證明。當公共點未標出時,一般可證圓心到直線的距離d=r來判定相切]切線長定理：⑴切線長定義：在經過圓外一點的圓的切線上,這點和切點之間的長叫做這點到圓的切線長。⑵切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線,它們的相等,并且圓心和這一點的連線平分的夾角三角形的內切圓：⑴與三角形各邊都的圓,叫做三角形的內切圓,內切圓的圓心叫做三角形的⑵三角形內心的形成：是三角形的交點內心的性質：到三角形各的距離相等,內心與每一個頂點的連接線平分[名師提醒：三類三角形內心都在三角形若△ABC三邊為a、b、c面積為s,內切圓半徑為r,則s=,若△ABC為直角三角形,則r=]圓和圓的位置關系：圓和圓的位置關系有種,若⊙O1半徑為R,⊙O2半徑為r,圓心距為d,則⊙O1與⊙O2外離<＝>⊙O1與⊙O2外切<＝>⊙O1與⊙O2相交<＝>⊙O1與⊙O2內切<＝>⊙O1與⊙O2內含<＝>[名師提醒：兩圓相離〔無公共點包含和兩種情況,兩圓相切〔有唯一公共點包含和兩種情況,注意題目中兩種情況的考慮,同心圓是兩圓此時d=]反證法：假設命題的結論,由此經過推理得出由矛盾判定所作的假設從而得到原命題成立,這種證明命題的方法叫反證法[名師提醒：反證法證題的關鍵是提出即假設所證結論的反面成立,通過推理論證得出的矛盾可以與相矛盾,也可以與相矛盾,從而肯定原命題成立][典型例題解析]考點一：切線的性質例1〔2015?義烏已知直線PD垂直平分⊙O的半徑OA于點B,PD交⊙O于點C、D,PE是⊙O的切線,E為切點,連結AE,交CD于點F．

〔1若⊙O的半徑為8,求CD的長；

〔2證明：PE=PF；

〔3若PF=13,sinA=,求EF的長．對應訓練1．〔2015?XX如圖,△ABC內接于⊙O,弦AD⊥AB交BC于點E,過點B作⊙O的切線交DA的延長線于點F,且∠ABF=∠ABC．

〔1求證：AB=AC；

〔2若AD=4,cos∠ABF=,求DE的長．考點二：切線的判定例2〔2015?XX如圖,點B、C、D都在⊙O上,過點C作AC∥BD交OB延長線于點A,連接CD,且∠CDB=∠OBD=30°,DB=6cm．

〔1求證：AC是⊙對應訓練2．〔2015?XX如圖,以△ABC的BC邊上一點O為圓心的圓,經過A,B兩點,且與BC邊交于點E,D為BE的下半圓弧的中點,連接AD交BC于F,若AC=FC．

〔1求證：AC是⊙O的切線：

〔2若BF=8,DF=,求⊙O的半徑r．考點三：直線與圓、圓與圓的位置關系例3〔2015?XX如圖,△ABC中,AB=6,AC=8,BC=10,D、E分別是AC、AB的中點,則以DE為直徑的圓與BC的位置關系是〔A．相交 B．相切 C．相離 D．無法確定．例4〔2015?XX已知⊙O1和⊙O2的半徑分別是方程x2-4x+3=0的兩根,且兩圓的圓心距等于4,則⊙O1與⊙O2的位置關系是〔A．外離 B．外切 C．相交 D．內切對應訓練3．〔2015?黔東南州Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3cm,BC=4cm,以C為圓心,r為半徑作圓,若圓C與直線AB相切,則r的值為〔A．2cm B．2.4cm C．3cm D．4cm4．〔2015?東營已知⊙O1的半徑r1=2,⊙O2的半徑r2是方程的根,⊙O1與⊙O2的圓心距為1,那么兩圓的位置關系為〔A．內含 B．內切 C．相交 D．外切[2016中考名題賞析]1.〔2016·XX濰坊·3分如圖,在平面直角坐標系中,⊙M與x軸相切于點A〔8,0,與y軸分別交于點B〔0,4和點C〔0,16,則圓心M到坐標原點O的距離是〔A．10B．8C．4D．22.〔2016·XX荊州·3分如圖,過⊙O外一點P引⊙O的兩條切線PA、PB,切點分別是A、B,OP交⊙O于點C,點D是優弧上不與點A、點C重合的一個動點,連接AD、CD,若∠APB=80°,則∠ADC的度數是〔A．15°B．20°C．25°D．30°3.〔2016·XXXX·3分如圖,AB為⊙O的直徑,直線l與⊙O相切于點C,AD⊥l,垂足為D,AD交⊙O于點E,連接OC、BE．若AE=6,OA=5,則線段DC的長為．4.〔2016·XXXX·3分如圖,已知AB是⊙O的直徑,點C在⊙O上,過點C的切線與AB的延長線交于點P,連接AC,若∠A=30°,PC=3,則BP的長為．5.〔2016·XXXX如圖,△ABC中,∠C=90°,AC=3,AB=5,D為BC邊的中點,以AD上一點O為圓心的⊙O和AB、BC均相切,則⊙O的半徑為．6.〔2016·XXXX·8分如圖,點C在以AB為直徑的⊙O上,AD與過點C的切線垂直,垂足為點D,AD交⊙O于點E．<1>求證：AC平分∠DAB；<2>連接BE交AC于點F,若cos∠CAD＝,求的值．7.〔2016·XX·8分如圖,AB是⊙O的直徑,點P是弦AC上一動點〔不與A,C重合,過點P作PE⊥AB,垂足為E,射線EP交于點F,交過點C的切線于點D．〔1求證：DC=DP；〔2若∠CAB=30°,當F是的中點時,判斷以A,O,C,F為頂點的四邊形是什么特殊四邊形？說明理由．8.〔2016·XXXX如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC的平分線交BC于點O,OC=1,以點O為圓心OC為半徑作半圓． 〔1求證：AB為⊙O的切線； 〔2如果tan∠CAO=,求cosB的值． 9．〔2016·XX內江<10分>如圖9,在△ABC中,∠ABC＝90°,AC的垂直平分線分別與AC,BC及AB的延長線相交于點D,E,F．⊙O是△BEF的外接圓,∠EBF的平分線交EF于點G,交⊙O于點H,連接BD,FH．<1>試判斷BD與⊙O的位置關系,并說明理由；<2>當AB＝BE＝1時,求⊙O的面積；<3>在<2>的條件下,求HG·HB的值．DGDGHOCEFBA圖9DGHOCEFBA答案圖10．〔2016·XX荊州·10分如圖,A、F、B、C是半圓O上的四個點,四邊形OABC是平行四邊形,∠FAB=15°,連接OF交AB于點E,過點C作OF的平行線交AB的延長線于點D,延長AF交直線CD于點H．〔1求證：CD是半圓O的切線；〔2若DH=6﹣3,求EF和半徑OA的長．[真題過關]一、選擇題1．〔2015?XX地區⊙O的半徑為8,圓心O到直線l的距離為4,則直線l與⊙O的位置關系是〔A．相切 B．相交 C．相離 D．不能確定2．〔2015?XX已知⊙O1的半徑是3cm,⊙O2的半徑是2cm,O1O2=cm,則兩圓的位置關系是〔A．相離 B．外切 C．相交 D．內切3．〔2015?XX已知⊙O1與⊙O2相交,它們的半徑分別是4,7,則圓心距O1O2可能是〔A．2 B．3 C．6 D．124．〔2015?XX如圖,⊙O1,⊙O2的圓心在直線l上,⊙O1的半徑為2cm,⊙O2的半徑為3cm．O1O2=8cm,⊙O1以1m/s的速度沿直線l向右運動,7s后停止運動．在此過程中,⊙O1和⊙O2沒有出現的位置關系是〔A．外切 B．相交 C．內切 D．內含5．〔2015?XX

如圖,P是⊙O外一點,PA是⊙O的切線,PO=26cm,PA=24cm,則⊙O的周長為〔A．18πcm B．16πcm C．20πcm D．24πcm6．〔2013?XX在一個圓中,給出下列命題,其中正確的是〔A．若圓心到兩條直線的距離都等于圓的半徑,則這兩條直線不可能垂直B．若圓心到兩條直線的距離都小于圓的半徑,則這兩條直線與圓一定有4個公共點C．若兩條弦所在直線不平行,則這兩條弦可能在圓內有公共點D．若兩條弦平行,則這兩條弦之間的距離一定小于圓的半徑7．〔2015?XX如圖,CD是⊙O的直徑,弦AB⊥CD于點G,直線EF與⊙O相切于點D,則下列結論中不一定正確的是〔A．AG=BG B．AB∥EF C．AD∥BC D．∠ABC=∠ADC8．〔2015?XX地區在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=4,點O為BC的中點,以O為圓心作⊙O交BC于點M、N,⊙O與AB、AC相切,切點分別為D、E,則⊙O的半徑和∠MND的度數分別為〔A．2,22.5° B．3,30° C．3,22.5° D．2,30°9．〔2013?XX如圖,點P是等邊三角形ABC外接圓⊙O上的點,在以下判斷中,不正確的是〔A．當弦PB最長時,△APC是等腰三角形B．當△APC是等腰三角形時,PO⊥ACC．當PO⊥AC時,∠ACP=30°D．當∠ACP=30°時,△BPC是直角三角形二、填空題10．〔2015?XX在同一平面內,已知線段AO=2,⊙A的半徑為1,將⊙A繞點O按逆時針方向旋轉60°得到的像為⊙B,則⊙A與⊙B的位置關系為．11．〔2015?XX已知⊙O1的半徑為3,⊙O2的半徑為r,⊙O1與⊙O2只能畫出兩條不同的公共切線,且O1O2=5,則⊙O2的半徑為r的取值范圍是．12．〔2015?XX已知⊙O1與⊙O2的半徑分別是方程x2-4x+3=0的兩根,且圓心距O1O2=t+2,若這兩個圓相切,則t=．13．〔2015?永州如圖,已知△ABC內接于⊙O,BC是⊙O的直徑,MN與⊙O相切,切點為A,若∠MAB=30°,則∠B=度．14．〔2015?XX如圖所示,在△ABC中,BC=4,以點A為圓心,2為半徑的⊙A與BC相切于點D,交AB于點E,交AC于點F,且∠EAF=80°,則圖中陰影部分的面積是．15．〔2015?XX市如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=4．若動點D在線段AC上〔不與點A、C重合,過點D作DE⊥AC交AB邊于點E．

〔1當點D運動到線段AC中點時,DE=；

〔2點A關于點D的對稱點為點F,以FC為半徑作⊙C,當DE=時,⊙C與直線AB相切．16．〔2015?XX如圖,⊙A、⊙B、⊙C兩兩外切,它們的半徑都是a,順次連接三個圓心,則圖中陰影部分的面積是．17．〔2015?XX如圖,在邊長為2的正三角形中,將其內切圓和三個角切圓〔與角兩邊及三角形內切圓都相切的圓的內部挖去,則此三角形剩下部分〔陰影部分的面積為．18．〔2015?XX如圖所示,在邊長為3的正方形ABCD中,⊙O1與⊙O2外切,且⊙O2分別于DA、DC邊外切,⊙O1分別與BA、BC邊外切,則圓心距,O1O2為．三、解答題19．〔2015?XX若⊙O1和⊙O2的圓心距為4,兩圓半徑分別為