第一章三角函數

L1任意角和弧度制

練習(P5)

1、銳角是第一象限角，第一象限角不一定是銳角；直角不屬于任何一個象限，不屬于任何

一個象限的角不一定是直角；鈍角是第二象限角，第二象限角不一定是鈍角.

2、二，二，五

說明：本題的目的是將終邊相同的角的符號表示應用到其他周期性問題上.題目聯系實際，

把教科書中的除數360換成每個星期的天數7,利用了“同余”(這里余數是3)來確定7%天

后、7Z天前也是星期三，這樣的練習不難，可以口答.

3、(1)第一象限角；(2)第四象限角；(3)第二象限角；(4)第三象限角.

4、(1)305°42'第四象限角；(2)35°8'第一象限角；(3)249°30'第三象限角.

5、(1){例/7=1303°18'+h360°次eZ},-496°4Z,-136°42z,223018f；

(2){/3\/3=-225°+k-360°,keZ},-585°,-225°,135°.

練習(P9)

(3)

3

2、(1)15°；(2)-240°；(3)54°.

7T

3^(1){a\a-k7r,keZ}；(2){aa=—+k7r.k^Z},

4>(1)cos0.75°>cosO.75；(2)tan1.2°<tan1.2.

說明：體會同數值不同單位的角對應的三角函數值可能不同，并進一步認識兩種單位制.注

意在用計算器求三角函數值之前，要先對計算器中角的模式進行設置.如求cosO.75。之前，要

將角模式設置為DEG(角度制)；求cosO.75之前，要將角模式設置為RAD(弧度制).

5、-m.6、弧度數為12

3

習題1.1A組(P9)

1、(1)95°,第二象限；(2)80°,第一象限；

(3)236°50,,第三象限；(4)300°,第四象限.

2、S={a|a=Z48()o,ZGZ}.

3、(1){例尸=60。+八360。,丘Z},-300°,60°；

(2){例/?=—75。+人36()。,丘2},-75°,285°；

(3)[(3\/3=-824°30,+k-360°,k^Z},—104。30',255030,；

(4){ft\p=-75°+k-360°,k&Z},-75°,285°；

(5){例4=90。+&-360。,丘2},-270°,90°；

(6){例尸=270。+%.360。,％GZ},-90°,270°；

(7){⑼尸=180°+心360°#eZ},-180°,180°；

(8){/?|P=A＞360°,ZGZ},-360°,0°.

說明：用集合表示法和符號語言寫出與指定角終邊相同的角的集合，并在給定范圍內找出

與指定的角終邊相同的角.

4、

象限角度制弧度制

7T

—?{/3\k-360。</7<90。+%?360。,％wZ}邛2k兀<(3<—+2k7L,kGZ}

JI

二{"90。+k-360°<尸<180。+360。,k&Z]{尸—<°<兀+2女乃，&GZ}

37r

三{尸180。+A-3600</3<270。+左?360°,k^Z}邛7i+Ikxc<(3<—+2k7V,ke.Z}

3萬

四{例270。+k-3600<￡<360。+左?360°,k^Z]M+2k7r</?<2乃+2k7T,keZ]

5、(1)C.說明：因為0。＜々＜90。，所以0。＜2。＜180。.

(2)D.說明：因為％?360。＜&＜90。+4?360。/eZ,

所以hl80°＜￡＜45°+ai80°,keZ

當人為奇數時，區是第三象限角；當Z為偶數時，里是第一象限角.

22

6、不等于1弧度.這是因為等于半徑長的弧所對的圓心角為1弧度，而等于半徑長的弦所

對的弧比半徑長.

7T54737r

7、(1)-；(2)--；⑶—；(4)8%.

5612

8、(1)-210°；(2)-600°；(3)80.21°；(4)38.2°.

9、640.10、14cm..

習題1.1B組(P10)

q-r0

1、(1)略；(2)設扇子的圓心角為。，由3=1---------=0.618.

‘23產(2)一。)

可得0=0.618(2萬-0),則8=0.764不?140°.

說明：本題是一個數學實踐活動，題目對“美觀的扇子”并沒有給出標準，目的是讓學生

先去體驗，然后再運用所學知識發現，大多數扇子之所以“美觀”是因為基本都滿足“1=0.618

(黃金分割比)的道理.

2、(1)時針轉了—120。，等于——弧度；分針轉了—1440。，等于-84弧度.

3

(2)設經過fmin分針就與時針重合，〃為兩針重合的次數.

因為分針旋轉的角速度為也=二(rad/min)

6030

時針旋轉的角速度為一=='-(rad/min)

12x60360

所以(二一3-)f=2?〃，BPr=—n

3036011

因為時針旋轉一天所需的時間為24x60=1440(min)

所以7上20“41440,于是〃W22.

11

故時針與分針一天內只會重合22次.

24萬

2、864°,---,151.2〃cm.

5

說明：通過齒輪的轉動問題進一步地認識弧度的概念和弧長公式.當大齒輪轉動一周時，小

齒輪轉動的角是4上8x360。=864。=2"4乃rad.

205

由于大齒輪的轉速為3r/s

48

所以小齒輪周上一點每1s轉過的弧長是一x3x2^-x10.5=151.2TT(cm)

20

1.2任意角的三角函數

練習(P15)

,7萬1,7兀V3

1、sin——=——,costan—=—.

62］一_y63

12

2、sin^=—,cos6=---,tanc

131312

3、

角a0°90°180°270°360°

7T3兀

角a的弧度數71

07~T2乃

sina0i0—10

cosa10—101

tana0不存在0不存在0

4、當a為鈍角時，cosa和tanal解負值.

5、(1)正；(2)負；(3)零;(4)負；(5)正；(6)正.

6、(1)①③或①⑤或③⑤；(2)①④或①⑥或④⑥；

(3)②④或②⑤或④⑤；(4)②③或②⑥或③⑥.

7、(1)0.8746；(2)6；：3)0.5；(4)1.

練習(P17)

1、終邊在不同位置的角對應的三角函數值的情況，包括三角函數值的符號情況，終邊相同

的角的同一三角函數的值相等.

2、(1)如圖所示:

(2)、(3)、(4)略.

3、225°角的正弦、余弦、正切線的長分別為3.5cm,3.5cm,5cm；330°角的正弦、余弦、

正切線長分別為2.5cm,4.3cm,2.9cm,其中5,2.5是準確數，其余都是近似數(圖略).

353.5

sin2250=------=-0.7?cos225==一，tan225；

55

4.329

sin330°=-0.5,cos33住——=0,tan3S住一=-0.

55

4、三角函數線是三角函數的幾何表示,它直觀地刻畫了三角函數的概念.與三角函數的定

義結合起來，可以從數和形兩方面認識三角函數的定義，并使得對三角函數的定義域、函數值

符號的變化規律、公式一等的理解容易了.

練習(P20)

2、解：***tan9Vo

1、解：由sin?c+cos2a=1

.??e為第二或第四象限角

49

得sin2a=\-cos2a=1-(--)2

-25

.sin。r-

為第三象限角?tan9=------=73

cos。

sina=—佇=—3

V255/.sin^=-\/3cos^9

.sina/3、/5、3

??tancc——()x()—sin20+cos20=1

cosa544

/.3COS2^+COS2^=1,得cos2夕=：

3、解：3sin8>0且sinOwl

??.e為第一或第二象限角(1)當0為第二象限角

221

由sin0+cos0=1cos^>=-—

得cos?6=1-sin?6=1-0.352=0.8775

sin9=tan^-cos^=-5/3x(--^)=

(1)當。為第一象限角

cos9?0.94

八sin。0.35(2)當0為第四象限角

tan6=------?------?0.37

cos。0.941

(2)當6為第二象限角cos9=5

cos0?-0.94

八sin(90.35…,r1V3

tan6=------?--------?-0.37sin69=tan6??cos(p=73x—=-----

cos0-0.9422

“八sine.八/八#2cos-a-(cos-a+sin-a)cosa-sin-a.

4、(1)原式=cos。-----=sm。；(2)原1s式=；-------；-----------=—--------=1.

cos。(cosa+sin-a)—2sin-acosa-sin-a

5、(1)左邊=(sin)a+cos?a)(sin2a-cos2a)=sin2a-cos2a；

(2)左邊=sin?a(sin2tt+cos2a)+cos2a=sin?a+cos?a=\.

習題1.2A組(P20)

(-馬=立

sin,c°s(-烏」tan(號)=G

1、(1)

3232

,21兀V22UV2217r?

(2)sin-----=-------cos-----=-------,tan-----=1；

42424

23萬234)=V，tan(-23萬

(3)sin(-cos(-)；

666T

(4)sinl500°=—,cosl5000=-,tan1500°=73.

22

sino=±34

2、當a>0時,cosa,tana=—；

553

_434

當a<()時,sina=cosa=——,tana--

-553

2(4)

3、(1)-10；(2)15；(3)4

2

4、（1）0；(2)(p-q￥;(a—；(4)0.

5、(1)—2；(2)2

6、⑴負；(2)負;(3)負;(4)正;（5）負；（6）負.

7、(1)正；(2)負;(3)負;(4)正.

8、(1)0.9659；(2)1：(3)0.7857；(4)1.045.

9、(1)先證如果角。為第二或第三象限角，那么sinPtan6<0.

當角。為第二象限角時，sin8>0,tanOcO,則sin夕tan6<0；

當角。為第三象限角時，sin6<0,tan6?>0,則sin"tan6<0,

所以如果角。為第二或第三象限角，那么sin"tan6<0.

再證如果sin"tane<0,那么角。為第二或第三象限角.

因為sin6-tane<0,所以sin8>0且tan8<0,或sin8<0且tan6>0,

當sin6>0且tan6<0時，角。為第二象限角；

當sin6<0且tan8>0時，角。為第三象限角；

所以如果sinPtan6<0,那么角。為第二或第三象限角.

綜上所述，原命題成立.

（其他小題同上，略）

10、(1)解：由sin?a+cos?c=1(2)解：由siYa+cos2a=1

得sin2a=1-cos2a-\-(---)2=

得cos2a=1-sin2a=1-13169

4

Ya為第二象限角

〈a為第四象限角?.12

??sina=—

...cosa--113

2sina12/13、12

tana=------=—x(-----)=-----

sinay/3rrcosa1355

tana=------=------x2=73

cosa2

(3)解：tancr<0(4)解：cosa>0且cosah1

???a是第二或第四象限角??.a是第一或第四象限角

..sina3

?tana--------=——sin2a+cos2a=1

cosa4

?.3

??sma=——cosa，sin2a=1-cos2a=l-0.682=0.5376

4

(1)當a是第一象限角時

sin26Z+cos2a-\

sina=40.5376?0.73

.?.—>cos2<z+cos2a-1.

16sina0.73,,

tana=------?------?1.1

cosa0.68

..cos-a--

25(2)當a是第四象限角時

(1)當。是第二象限角時

sin?=-V().5376?-0.73

4

cosa=——

5sina-0.73..

tana=------a--------1.1

.33.43cosa0.68

sina=——cosa=——x(——)=-

4455

(2)當a是第四象限角時

4

cosa=一

5

.3343

sinar=——cosa=——x—=——

4455

11、解：：sinxvO且sinx力一112^解：*.*tana—‘訪'=6

cosa

???x是第三或第四象限角

sina=石cosa

*/sin2x+cos2x-1

8

-22

cos2x=l-sin2x=l-9-Vsin+cosa-1

（1）當。是第三象限角時3cos2a+cos2a-\

2V2_3

cosx=?cos2a-Lsin2a

4-4

..3

sinx13V2.7i<a<—7i

tanx=------=——x(z-------j=x)=——2

cosx32j24

1

cosa=——,sina二

(2)當a是第四象限角時2--v

272

cosx=-----1出

3?*.cosa-sina=-----1-

2T

sinx13"

tanx=------=——x--=------

cosx325/24

一、上(cosx-sinx)2cosx-sinx_1—tanx

13、(1)左邊二-----J---------------：——

(cosx+sinx)(cosx-sinx)cosx+sinx1+tanx

2/11、.21-cos2x.sin2x.,2

(2)左叱=sirrx(——-----l)=sin"x------------=sin-2x-------=sin2"x-tanx；

COSXCOSXCOSX

(3)1-2cosP+cos2P+sin2/?=2-2cos(3；

(4)左邊=(sin?x+cos2x)2-2sin2x-cos2x=l-2sin2x-cos2x.

習題1.2B組(P22)

1、原式二(1+s'［。)-cos2a=cos2a+sin2a=1.

cosa

八目#J(l+sina)2/(I-sina)2|l+sina|ll-sinctrl

2、原式二J---------------J--------1—=—,------r~i-----------

V1-sirrav1-sina|cosa\|cosa|

Ta為第二象限角.

?etx1+sina1—sina11.

??原式=----------------=--------tana-\----------tana=-2tana.

-cosa-cosacosacosa

八..小.sina+cosatana+12+1.

3、.tancr=2,-------------=-----------=------=3.

sina-cosatana2-1

4、又如sin,x+cos4x=l-2sin2x-cos2xtilMsin2x+cos2x=1的一個變形；

—=1+tan2x是sin2x+cos2%=1和=tanx的變形；等等.

cos-xcosx

1.3三角函數的誘導公式

練習(P27)

1、(1)-cos—";(2)-sin1；(3)—sin一；(4)cos7()°6'.

95

2、(1)(2)(3)0.6428；(4)--

222

3、(1)-Sin-6ZCOS6Z;(2)sin4a.

4,4萬54547)8萬1\n

a

-TT"TV-T

幣上_A/2

sina也

V~TVVF

J_旦

cosa72

~2-2

F22

25

5、(1)-tan—；(2)-tan79°39r；(3)-tan一TT；(4)-tan35°28\

536

一冬(2)

6、(1)---；(3)—0.2116；(4)-0.7587；(5)6；(6)-0.6475.

2

.9

7、(1)sin-a；(2)cos2a+---

cosa

習題1.3A組(P29)

71

1、(1)-cos300；(2)-sin83°42'；(3)cos—；(4)sin—；

63

2乃jr

(5)-cos——;(6)-cos75°34'；(7)—tun87°36'；(8)—tan—.

96

V2

2、(1)--;(2)-0.7193；(3)-0.0151；(4)0.6639；(5)-0.9964；(6)--

22

3、(1)0；(2)-cos2a

4、(1)sin(360°-a)-sin(-tz)=—sina360；(2)(3)略

習題1.3B組(P29)

1、(1)1;(2)0；(3)0.

旦當a為第一象限角

‘瓜當a為第一象限角

L(2)?2；⑶

2、(1)—；(4)<

2-由■，當a為第二象限角2-6,當a為第二象限角.

2

1.4三角函數的圖象與性質

練習(P34)

1、可以用單位圓中的三角函數作出它們的圖象，也可以用“五點法”作出它們的圖象，還

可以用圖形計算器或計算機直接作出它們的圖象.兩條曲線形狀相同，位置不同，例如函數

y=sinx,xe[0,2幻的圖象，可以通過將函數y=cosx,尤e募]的圖象向右平行移動]

個單位長度而得到.

2、兩個函數的圖象相同.

練習(P36)

1、成立.但不能說120°是正弦函數)，=sinx的一個周期，因為此等式不是對x的一切值都

成立，^!1sin(20°+120°)sin20°.

2、(1)—；(2)-；(3)2%；(4)6兀.

32

3、可以先在一個周期的區間上研究函數的其他性質，再利用函數的周期性，將所研究的性

質擴展到整個定義域.

練習(P40)

1、(1)Qk汽，兀+兀),keZ；(2)(—乃+2人乃,2Z〃),Z￡Z；

7/7/'Jit]L

(3)(-—+2k7r,—+2k7r),ke：Z；(4)(耳+2左乃,手+2左萬)，攵eZ.

3

2、(1)不成立.因為余弦函數的最大值是1,而cosx=->l.

2

(2)成立.因為sin2_x=0.5,即Ex=土'，而正弦函數的值域是,±^-e[-l,l].

7T

3、當=+肛ZeZ｝時，函數取得最大值2；

2

TT

當X€｛X尤=~+2k7T,keZ｝時，函數取得最大值-2.

1Syr14-7T

4、B.5、(1)sin250°>sin260°；(2)cos—>cos—；

(3)cos515°>cos530°；(4)sin(----->sin(---------萬).

6、4—,kjiH-----1，4wZ

88

練習(P45)

1、在x軸上任取一點。「以01為圓心，單位長為半徑作圓.作垂直于x軸的直徑，將。

分成左右兩個半圓，過右半圓與x軸的交點作。的切線，然后從圓心01引7條射線把右半圓

分成8等份，并與切線相交，得到對應于-加，0,陽等角的正切線.

48848

相應地，再把X軸上從-工到生這一段分成8等份.把角X的正切線向右平行移動，使它的起點

22

與x軸上的點x重合，再把這些正切線的終點用光滑的曲線連接起來，就得到函數y=tanx,

xe(—的圖象.

冗冗

2、(1){xkK<x<-+k7r,keZ]-(2){x|x=Z乃，AeZ}；(3){x--+k;r<x<k^,keZ}.

3、{xxH—i---,kGZ\4、(1)—；(2)27r.

632

5、(1)不是.例如0<%，但tan0=tan%=0.

(2)不會.因為對于任何區間A來說，如果A不含有工+版■(ZeZ)這樣的數，那么函

2

數丁一皿乂》6人是增函數；如果A至少含有一個萬(ZeZ)這樣的數，那么在直線

%=工+人萬兩側的圖象都是上升的(隨自變量由小到大).

2

1317

6、(1)tan1380<tan143°；(2)tan(一~—^)<tan(一"—

習題1.4A組(P46)

3

2、(1)使y取得最大值的集合是{x|x=6攵+3/eZ},最大值是：；

使y取得最小值的集合是{x\x=6k,keZ],最小值是1；

(2)使y取得最大值的集合是{xx=￡+版■次eZ},最大值是3；

O

34一

使y取得最小值的集合是{xX=—+k7T,keZ),最小值是-3；

8

jr3

(3)使y取得最大值的集合是{尤x=2(2Z+l)+[?eZ},最大值是1；

使y取得最小值的集合是{九x=。+4版eZ},最小值是-|；

JT1

(4)使)取得最大值的集合是{xx=§+4版■次eZ},最大值是]；

使y取得最小值的集合是{xX=-半54+4k兀,keZ},最小值是-11.

7T

3、(1)3?；(2)

2

4744

4、(1)sinlO3015,>sinl64030,；(2)cos(-—>cos(一-—^)；

(3)sin508°<sin144。；(4)cos760°>cos(-770°).

TTTC

5、(1)當]￡[—5+2左左+時，y=l+sinx是增函數；

當x￡[]+2左孫辛+2%7],攵cZ時，y=1+sinx是減函數.

(2)當尤-%+2%肛2%%],kEZ時，y=-cos%是減函數；

當X￡[2%],兀+2&磯%￡Z時，y=-cosx是增函數.

71

6、{xW——卜k兀,keZ}.7、-

2

13

8、(1)tan(——兀)>tan(一57)；(2)tanl519°>tan1493°

937乃TV

(3)tan6—^)>tan(-5—；(4)tan——re<tan—.

86

9、(1){x——+k7r<x<—+k/r,keZ}；(2){x—^kTt<x<--\-k7i,keZ}.

4232

10、由于/(x)以2為最小正周期，所以對任意XER,有/(X+2)=/(X).

于是：/(3)=/(1+2)=/(1)=(1-1)2=0

73331

/(-)=/(-+2)=/(-)=(--1)=-

11、由正弦函數的周期性可知，除原點外，正弦曲線還有其他對稱中心，其對稱中心坐標

7T

為(左肛0),keZ.正弦曲線是軸對稱圖形，其對稱軸的方程是x=—萬/eZ.

2

7T

由余弦函數和正切函數的周期性可知，余弦曲線的對稱中心坐標為(工+攵肛0).Z￡Z,

2

對稱軸的方程是X=)U,ZGZ；正切曲線的對稱中心坐標為(含,0)4eZ.正切曲線不是軸對

稱圖形.

習題1.4B組(P47)

TT27r3乃37r

1、(1){x—+2^zr<x<——+2ATT,&￡Z}；(2){x---+2k7r<x<——+2k兀,keZ].

3344

2、單調遞減區間(工+紅，包+幺)MeZ.

8282

3、(1)2；(2)y=/(x+l)的圖象如下：(3)y=\x-2k\,xe[2k-\,2k+\],keZ.

2

1.5函數y=Asin(ox+e)的圖象

練習（P55）

1、

2、(1)C；(2)B；(3)C.

3、7=4"，/=—

34%

y=sinr向右平移、.，一橫坐標伸長到原來、、,勺吒

三個單位'>y-swH-防倍，嬴嬴示不變》y

4、雪把正弦曲線在區間后,+8）的部分向左平移展個單位長度，就可得到函數

rr

y=sin(c+—)#w[O-po的圖象.

習題1.5A組(P57)

1、(1)C；(2)A；(3)D.

2、(1)(2)

-as

(3)(4)

2彳

1In

~n__

71

2兀~TT

nT

3、(1)A=8,T=8兀，(p--—

8

?向右平移、?,冗

y=s1-~->戶s1rt<—t坐標仰長到原來

4倍，縱刻標不變3)

2個單位8f

縱坐標伸長到原來、o；A_n、把',軸左側、

的8倍，橫坐標不變'y-6、I7~加部分抹去）＞一，xe)+8|

48

/c、A1T27r

(2)A=一,T——，(D—7—i

337

橫坐標縮觸到原來

y=sinx甘平移>y=sin(x+-)=sin(3x+y)

J尹單位?7的g倍，縱坐標不變

縱坐標縮短到原來>>'=1sin(3x+y)〉y=；sin(3x+

把了軸左側G[0,+00)

的部分抹去X

的g倍，橫坐標不變

T」，7=50,..71

4、(1)A=5,(p=—

50

f=()時，i=3叵

(2)r=-^-時，i=s.，=_L時，j=o；

2600150

7

t=-----時-，i=—5；t=—0't,z=0；

60060

5、(1)7=24(2)約24.8cm

g

習題1.5B組（P58）

1、根據已知數據作出散點圖.

由散點圖可知，振子的振動函數解析式為y=20sin（[0,+00)

2、函數/i=2sin（r+巴）在［0,2乃］上的圖象為

4

yk

(1)小球在開始振動時的位置在(0,五);

3K7K(2)最高點和最低點與平衡位置的距離都是2；

(3)經過2乃秒小球往復運動一次；

2nx

4(4)每秒鐘小球能往復振動,次.

2萬

-2

3、點P的縱坐標關于時間f的函數關系式為丁=rsin(M+0),，w[0,T8)；

點尸的運動周期和頻率分別為生和色.

0)2萬

1.6三角函數模型的簡單應用

練習(P65)

1、乙點的位置將移至它關于x軸的對稱點處.

2、如CCTV-1新聞聯播節目播出的周期是1天.

3、可以上網下載有關人體節律的軟件，利用軟件就能方便地作出自己某一時間段的三條人

體節律曲線，它們都是正弦型函數圖象.根據曲線不難回答題中的問題.

習題1.6A組(P65)

1、(1)30。或150。；(2)135°；(3)45°；(4)150°.

4〃55乃(3)生或我(4)生或竺

2、(1)—或一；⑵—；

3322244

3、5.5天；約