2015年全國“高教社杯”大學生數學建模競賽培訓

綜合評價與決策方法基礎科學學院數學建模算法與應用數學模型按功能大致分三種：

評價、優化、預測

CUMCM歷年競賽題1993-B:足球隊排名問題；2001-B:公交車調度問題；2002-B:彩票中的數學問題；2004-D:公務員招聘問題；2005-A:長江水質的評價和預測問題；2005-C:雨量預報方法評價問題；2006-B:艾滋病療法評價與預測問題；2007-C:手機“套餐”優惠幾何問題；2008-B:高教學費標準探討問題；2008-D:NBA賽程的分析與評價問題；2009-D:會議籌備問題。（綜合）評價模型的其它例子

1.研究生院、城市發展力評估；2.醫療、環境、企業效益等評價；3.人事考核，供應商選取；4.（14美賽B題）評選五佳大學教練；……綜合評價是對評價對象的社會、經濟、技術、環境等因素綜合價值進行權衡、比較、優選和決策的活動，是一種重要的優化算法。針對于同時受到多種因素影響復雜系統，綜合評價模型是在綜合考察多個有關因素并通過處理各個因素的指標數據計算綜合指標基礎上，對復雜系統進行總的評價。綜合評價的目的綜合評價一般表現為以下幾類問題：ａ、分類——對所研究對象的全部個體進行分類，但不同于復合分組（重疊分組）；ｂ、比較、排序（直接對全部評價單位排序，或在分類基礎上對各小類按優劣排序）；ｃ、考察某一綜合目標的整體實現程度（對某一事物作出整體評價）。如小康目標的實現程度、現代化的實現程度。當然必須有參考系。綜合評價的要點

1.有多個可測量或可量化的評價指標；評價指標是反映被評價對象(或系統)的運行(或發展)狀況的基本要素。通常的問題都是有多項指標構成，每一項指標都是從不同的側面刻畫系統所具有某種特征大小的一個度量。一個綜合評價問題的評價指標一般可用一個向量表示，其中每一個分量就是從一個側面反映系統的狀態，即稱為綜合評價的指標體系。評價指標體系應遵守的原則：系統性、科學性、可比性、可觀測性和獨立性。2.有一個或多個評價對象

這些對象可以是人、單位、方案、標書科研成果等；被評價對象就是綜合評價問題中所研究的對象，或稱為系統。通常情況下，在一個問題中被評價對象是屬于同一類n的，且個數要大于1。3.根據多指標信息計算一個綜合指標

把多維空間問題簡化為一維空間問題中解決，依據綜合指標值大小對評價對象優劣程度進行排序。綜合評價的一般步驟(1)確定綜合評價的目的（分類？排序？實現程度？）(2)選擇恰當的評價指標組成評價指標體系。

(3)對指標數據做預處理（后面重點介紹）

如何使指標一致化的問題；對指標進行無量綱化(4)確定各評價指標在的相對重要性（權重）；(5)合理確定各單個指標的評價等級及其界限；(6)根據數據特征，選擇適當的綜合評價方法，建立綜合評價模型；(7)應用模型、檢驗有效性、推廣。主要的綜合評價方法主觀賦權類（人為給定）：

指數法、模糊綜合評判法、層次分析法、功效系數法、灰色關聯分析法等。客觀賦權類（依據指標間相互關系、各指標值變異程度）：

主成分分析法、因子分析法、理想解法、數據包絡分析法等。

14.2模糊綜合評判法例14.2某單位對員工的年終綜合評定。19

表示取大四個主要的模糊算子(1)算子

表示取小20(2)

表示相乘21⊕表示相加(3)22(4)23以上四個算子在綜合評價中的特點是14.2.2二級（多層次）模糊綜合評判14.1理想解法（TOPSIS法）14.1.2TOPSIS法的算法步驟表14.1研究生院試評估的部分數據研究生院1,2,3,4,5(m)人均專著等4個屬性(n)第i行數據，n維向量決策矩陣（表中的數據）x2=@(qujian,lb,ub,x)(1-(qujian(1)-x)./(qujian(1)-lb)).*(x>=lb&x<qujian(1))...+(x>=qujian(1)&x<=qujian(2))...+(1-(x-qujian(2))./(ub-qujian(2))).*(x>qujian(2)&x<=ub);qujian=[5,6];lb=2;ub=12;a(:,2)=x2(qujian,lb,ub,a(:,2));%“生師比”數據做變換48表14.2“生師比”數據處理結果50forj=1:nb(:,j)=a(:,j)/norm(a(:,j));%向量規范化end表14.4表11.3的數據經規范化后的屬性值55Cstar=max(c);%正理想解（對各列關于各行取最大值）Cstar(4)=min(c(:,4))%成本型取最小值C0=min(c);%負理想解C0(4)=max(c(:,4))%

成本型取最大值得正、負理想解：57fori=1:mSstar(i)=norm(c(i,:)-Cstar);

%d_i到正理想解的距離S0(i)=norm(c(i,:)-C0);

%d_i到正理想解的距離end14.3數據包絡分析法64X=[14.416.915.5315.414.1713.3312.831313.414;...

0.650.720.720.760.760.690.610.630.750.84;...31.332.231.8732.2332.430.7729.2328.228.829.1];%輸入變量數據矩陣

Y=[362139434086.674904.676311.678173.331023612094.33...13603.3314841;00.090.070.130.370.590.510.440.581;];%輸出變量數據矩陣[m,n]=size(X);[s,t]=size(Y);A=[-X‘Y’];%不指數顯示數據：vpa(A,7)b=zeros(n,1);LB=zeros(m+s,1);UB=[];fori=1:nf=[zeros(1,m)-Y(:,i)'];

Aeq=[X(:,i)'zeros(1,s)];beq=1;w(:,i)=LINPROG(f,A,b,Aeq,beq,LB,UB);%解線性規劃得最佳權向量w;E(i,i)=Y(:,i)‘*w(m+1:m+s,i);%求各個相對效率endwEOmega=w(1:m,:)mu=w(m+1:m+s,:)%輸出14.4灰色關聯分析法

灰色關聯分析法比較數列x：9×671a=[0.83

0.90

0.990.920.870.95%產品質量（效益型）326295340287310303%產品價格（成本型）213825192710%地理位置（陳本型）3.22.42.22.00.91.7%售后服務（成本型）0.200.250.120.330.200.09%技術水平（效益型）0.150.200.140.090.150.17%經濟效益（效益型）250180300200150175%供應能力（效益型）0.230.150.270.300.180.26%市場影響度（效益型）0.870.950.990.890.820.94];%交貨情況（效益型）%比較矩陣fori=[15:9]%效益型的行a(i,:)=(a(i,:)-min(a(i,:)))/(max(a(i,:))-min(a(i,:)));endfori=2:4

%成本型的行a(i,:)=(max(a(i,:))-a(i,:))/(max(a(i,:))-min(a(i,:)));end[m,n]=size(a);cankao=repmat(max(a')',[1,n])%得到參考矩陣74程序代碼：t=cankao-a;%比較矩陣與參考矩陣的差mmin=min(min(t));%計算最小差mmax=max(max(t));

%計算最大差rho=0.5;%分辨系數設為0.5xishu=(mmin+rho*mmax)./(t+rho*mmax)%計算灰色關聯系數（9×6）程序代碼：guanliandu=mean(xishu);%取等權重，即wi=1/n%對每列數求平均，1×n程序代碼：[gsort,ind]=sort(guanliandu,'descend')%對關聯度按照從大到小排序運行結果：gsort=0.65270.64910.61300.55600.49360.4630ind=43625114.5主成分分析法程序代碼：gj=load('pjsj.txt');%從原始數據文件pjsj.txt導入數據gj=zscore(gj);%數據標準化程序代碼：r=corrcoef(gj);%計算相關系數矩陣程序代碼：[x,y,z]=pcacov(r)%用相關系數矩陣進行主成分分析；%x的列為r的特征向量，即主成分的系數；%y為r的特征值，%z為各個主成分的貢獻率f=repmat(sign(sum(x)),size(x,1),1);%構造與x同維數的元素為±1的矩陣，%sign(sum(x))，1×5%size(x,1)返回x的行數=5x=x.*f%修改特征向量的正負號，每個特征向量乘以所有分量（各列數的）和的符號函數值num=3;%num為選取的主成分的個數程序代碼：df=gj*x(:,[1:num]);%計算各個主成分的得分%對應87頁的（1-3）式，df=[y1,y2,y3]’tf=df*z(1:num)/100;%計算綜合得分，對應87頁的(4)式[stf,ind]=sort(tf,'descend');%把得分按照從高到低的次序排列stf=stf‘,(ind=ind+1983)'求得相關系數矩陣的前5個特征根及其貢獻率如表14.1414.6秩和比綜合評價法程序代碼：aw=load('zhb.txt');%從文本文件zhb.txt導入數據w=aw(end,:);%提取權重a=aw([1:end-1],:);%提取指標數據a(:,[2,6])=-a(:,[2,6]);%把成本型指標轉換成效益型指標ra=tiedrank(a)%對每個指標值分別編秩，即對a的每一列分別編秩%編平均秩：例如，第一個指標（第1列）1990,%1992年的數值都是72.1（最小）%從小到大排序是第1,2位，編秩為(1+2)/2=1.5102程序代碼：[n,m]=size(ra);%10×6RSR=sum(ra,2)/(n*m)%計算秩和比W=repmat(w,[n,1]);%權重矩陣，w是1×m，W是n×mWRSR=sum(ra.*W,2)/n%計算加權秩和比程序代碼：p=[1:n]/n;%計算累積頻率p(end)=1-1/(4*n)%按1-1/(4*n)修正最后一個累積頻率Probit=norminv(p,0,1)+5

%計算標準正態分布的p分位數+5程序代碼：X=[ones(n,1),Probit'];%構造一元線性回歸分析的數據矩陣，10×2[ab,abint,r,rint,