有效數(shù)字及其運算法則物理實驗中經(jīng)常要記錄很多測量數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)應(yīng)當(dāng)是能反映出被測量實際大小的全部數(shù)字，即有效數(shù)字。但是在實驗觀測、讀數(shù)、運算與最后得出的結(jié)果中。哪些是能反映被測量實際大小的數(shù)字應(yīng)予以保留，哪些不應(yīng)當(dāng)保留，這就與有效數(shù)字及其運算法則有關(guān)。前面已經(jīng)指出，測量不可能得到被測量的真實值，只能是近似值。實驗數(shù)據(jù)的記錄反映了近似值的大小，并且在某種程度上表明了誤差。因此，有效數(shù)字是對測量結(jié)果的一種準(zhǔn)確表示，它應(yīng)當(dāng)是有意義的數(shù)碼，而不允許無意義的數(shù)字存在。如果把測量結(jié)果寫成54.2817+0.05（cm）是錯誤的，由不確定度0.05（cm）可以得知，數(shù)據(jù)的第二位小數(shù)0.08已不可靠，把它后面的數(shù)字也寫出來沒有多大意義，正確的寫法應(yīng)當(dāng)是：54.28+0.05（cm）。測量結(jié)果的正確表示，對初學(xué)者來說是一個難點，必須加以重視，多次強調(diào)，才能逐步形成正確表示測量結(jié)果的良好習(xí)慣。一、 有效數(shù)字的概念任何一個物理量，其測量的結(jié)果既然都或多或少的有誤差，那么一個物理量的數(shù)值就不應(yīng)當(dāng)無止境的寫下去，寫多了沒有實際意義，寫少了有不能比較真實的表達(dá)物理量。因此，一個物理量的數(shù)值和數(shù)學(xué)上的某一個數(shù)就有著不同的意義，這就引入了一個有效數(shù)字的概念。若用最小分度值為1mm的米尺測量物體的長度，讀數(shù)值為5.63cm。其中5和6這兩個數(shù)字是從米尺的刻度上準(zhǔn)確讀出的，可以認(rèn)為是準(zhǔn)確的，叫做可靠數(shù)字。末尾數(shù)字3是在米尺最小分度值的下一位上估計出來的，是不準(zhǔn)確的，叫做欠準(zhǔn)數(shù)。雖然是欠準(zhǔn)可疑，但不是無中生有，而是有根有據(jù)有意義的，顯然有一位欠準(zhǔn)數(shù)字，就使測量值更接近真實值，更能反映客觀實際。因此，測量值應(yīng)當(dāng)保留到這一位是合理的，即使估計數(shù)是0,也不能舍去。測量結(jié)果應(yīng)當(dāng)而且也只能保留一位欠準(zhǔn)數(shù)字，故測量數(shù)據(jù)的有效數(shù)字定義為幾位可靠數(shù)字加上一位欠準(zhǔn)數(shù)字稱為有效數(shù)字，有效數(shù)字?jǐn)?shù)字的個數(shù)叫做有效數(shù)字的位數(shù)，如上述的5.63cm稱為三位有效數(shù)字。有效數(shù)字的位數(shù)與十進制單位的變換無關(guān)，即與小數(shù)點的位置無關(guān)。因此，用以表示小數(shù)點位置的0不是有效數(shù)字。當(dāng)0不是用作表示小數(shù)點位置時，0和其它數(shù)字具有同等地位，都是有效數(shù)字。顯然，在有效數(shù)字的位數(shù)確定時，第一個不為零的數(shù)字左面的零不能算有效數(shù)字的位數(shù)，而第一個不為零的數(shù)字右面的零一定要算做有效數(shù)字的位數(shù)。如0.0135m是三位有效數(shù)字，0.0135m和1.35cm及13.5mm三者是等效的，只不過是分別采用了米、厘米和毫米作為長度的表示單位；1.030m是四位有效數(shù)字。從有效數(shù)字的另一面也可以看出測量用具的最小刻度值，如0.0135m是用最小刻度為毫米的尺子測量的，而1.030m是用最小刻度為厘米的尺子測量的。因此，正確掌握有效數(shù)字的概念對物理實驗來說是十分必要的。二、 直接測量的有效數(shù)字記錄物理實驗中通常儀器上顯示的數(shù)字均為有效數(shù)字（包括最后一位估計讀數(shù)）都應(yīng)讀出，并記錄下來。儀器上顯示的最后一位數(shù)字是0時，此0也要讀出并記錄。對于有分度式的儀表，讀數(shù)要根據(jù)人眼的分辨能力讀到最小分度的十分之幾。在記錄直接測量的有效數(shù)字時，常用一種稱為標(biāo)準(zhǔn)式的寫法，就是任何數(shù)值都只寫出有效數(shù)字，而數(shù)量級則用10的〃次幕的形式去表示。根據(jù)有效數(shù)字的規(guī)定，測量值的最末一位一定是欠準(zhǔn)確數(shù)字，這一位應(yīng)與儀器誤差的位數(shù)對齊，儀器誤差在哪一位發(fā)生，測量數(shù)據(jù)的欠準(zhǔn)位就記錄到哪一位，不能多記，也不能少記，即使估計數(shù)字是0，也必須寫上，否則與有效數(shù)字的規(guī)定不相符。例如，用米尺測量物體長為52.4mm與52.40mm是不同的兩個測量值，也是屬于不同儀器測量的兩個值，誤差也不相同，不能將它們等同看待，從這兩個值可以看出測量前者的儀器精度低，測量后者的儀器精度高出一個數(shù)量級。根據(jù)有效數(shù)字的規(guī)定，凡是儀器上讀出的數(shù)值，有效數(shù)字中間與末尾的0，均應(yīng)算作有效位數(shù)。例如，6.003cm,4.100cm均是四位有效數(shù)字；在記錄數(shù)據(jù)中，有時因定位需要，而在小數(shù)點前添加0，這不應(yīng)算作有效位數(shù)，如0.0486m是三位有效數(shù)字而不是四位有效數(shù)字，有效數(shù)字中的0有時算做有效數(shù)字，有時不能算做有效數(shù)字，這對初學(xué)者也是一個難點，要正確理解有效數(shù)字的規(guī)定。根據(jù)有效數(shù)字的規(guī)定，在十進制單位換算中，其測量數(shù)據(jù)的有效位數(shù)不變，如4.51cm若以米或毫米為單位，可以表示成0.0451m或45.1mm，這兩個數(shù)仍然是三位有效數(shù)字。為了避免單位換算中位數(shù)很多時寫一長串，或計數(shù)時出現(xiàn)錯位，常采用科學(xué)表達(dá)式，通常是在小數(shù)點前保留一位整數(shù)，用10〃表示，如4.51X102m，4.51X104cm等，這樣既簡單明了，又便于計算和確定有效數(shù)字的位數(shù)。根據(jù)有效數(shù)字的規(guī)定對有效數(shù)字進行記錄時，直接測量結(jié)果的有效位數(shù)的多少，取決于被測物本身的大小和所使用的儀器精度，對同一個被測物，高精度的儀器，測量的有效位數(shù)多，低精度的儀器，測量的有效位數(shù)少。例如，長度約為3.7cm的物體，若用最小分度值為1mm的米尺測量，其數(shù)據(jù)為3.70cm，若用螺旋測微器測量（最小分度值為0.01mm），其測量值為3.7000cm，顯然螺旋測微器的精度較米尺高很多，所以測量結(jié)果的位數(shù)也多；被測物是較小的物體，測量結(jié)果的有效位數(shù)也少。對一個實際測量值，正確應(yīng)用有效數(shù)字的規(guī)定進行記錄，就可以從測量值的有效數(shù)字記錄中看出測量儀器的精度。因此，有效數(shù)字的記錄位數(shù)和測量儀器有關(guān)。三、有效數(shù)字的運算法則在進行有效數(shù)字計算時，參加運算的分量可能很多。各分量數(shù)值的大小及有效數(shù)字的位數(shù)也不相同，而且在運算過程中，有效數(shù)字的位數(shù)會越乘越多，除不盡時有效數(shù)字的位數(shù)也無止境。即便是使用計算器，也會遇到中間數(shù)的取位問題以及如何更簡潔的問題。測量結(jié)果的有效數(shù)字，只能允許保留一位欠準(zhǔn)確數(shù)字，直接測量是如此，間接測量的計算結(jié)果也是如此。根據(jù)這一原則，為了達(dá)到：①不因計算而引進誤差，影響結(jié)果；②盡量簡潔，不作徒勞的運算。簡化有效數(shù)字的運算，約定下列規(guī)則：加法或減法運算478.2+3.462=481.662=481.749.27-3.4=45.87=45.9大量計算表明，若干個數(shù)進行加法或減法運算，其和或者差的結(jié)果的欠準(zhǔn)確數(shù)字的位置與參與運算各個量中的欠準(zhǔn)確數(shù)字的位置最高者相同。由此得出結(jié)論，幾個數(shù)進行加法或減法運算時，可先將多余數(shù)修約，將應(yīng)保留的欠準(zhǔn)確數(shù)字的位數(shù)多保留一位進行運算，最后結(jié)果按保留一位欠準(zhǔn)確數(shù)字進行取舍。這樣可以減小繁雜的數(shù)字計算。推論(1)若干個直接測量值進行加法或減法計算時，選用精度相同的儀器最為合理。乘法和除法運算834.5x23.9=19944.55=1.99x1042569.4:19.5=13].7箜1…=132由此得出結(jié)論：用有效數(shù)字進行乘法或除法運算時，乘積或商的結(jié)果的有效數(shù)字的位數(shù)與參與運算的各個量中有效數(shù)字的位數(shù)最少者相同。推論(2)測量的若干個量，若是進行乘法除法運算，應(yīng)按照有效位數(shù)相同的原則來選擇不同精度的儀器。乘方和開方運算(7.325)2=53.66、率=5.73由此可見，乘方和開方運算的有效數(shù)字的位數(shù)與其底數(shù)的有效數(shù)字的位數(shù)相同。自然數(shù)1,2,3,4,…不是測量而得，不存在欠準(zhǔn)確數(shù)字。因此，可以視為無窮多位有效數(shù)字的位數(shù)，書寫也不必寫出后面的0，如D=2R，D的位數(shù)僅由直測量R的位數(shù)決定。無理常數(shù)n^■■■2^.3,...的位數(shù)也可以看成很多位有效數(shù)字。例如L=2nR，若測量值R=2.35x10-1(m)時，兀應(yīng)取為3.142。則L=2x3.142x2.35x10-2=1.48x10-1(m)有效數(shù)字的修約。根