關于協方差與相關系數第1頁，課件共35頁，創作于2023年2月第10講協方差與相關系數矩、協方差矩陣一、協方差

1.協方差定義

設(X,Y)為二維隨機變量，如果E{[XE(X)][YE(Y)]}存在.則稱此為隨機變量X與Y的協方差.記為Cov(X,Y).即Cov(X,Y)=E{[XE(X)][YE(Y)]}.

離散型

連續型第2頁，課件共35頁，創作于2023年2月

例1

在一盒中裝有大小相同的2只黑球，4只白球，現從盒中連續取球兩次，每次任取一只.設隨機變量討論隨機變量(X,Y)的協方差.解

（1）無放回的情況

YX01pi·01/154/151/314/152/52/3p·j1/32/3第3頁，課件共35頁，創作于2023年2月解

（1）無放回的情況

YX01pi·01/154/151/314/152/52/3p·j1/32/3第4頁，課件共35頁，創作于2023年2月

例2

設隨機變量(X,Y)在區域D={(x,y)∣x2+y2≤1}上服從均勻分布，求Cov(X,Y).

解由已知條件于是第5頁，課件共35頁，創作于2023年2月第10講協方差與相關系數矩、協方差矩陣一、協方差

1.協方差定義2.協方差的計算公式第6頁，課件共35頁，創作于2023年2月

例1

在一盒中裝有大小相同的2只黑球，4只白球，現從盒中連續取球兩次，每次任取一只.設隨機變量討論隨機變量(X,Y)的協方差.解

（2）有放回的情況

YX01pi·01/92/91/312/94/92/3p·j1/32/3第7頁，課件共35頁，創作于2023年2月第10講協方差與相關系數矩、協方差矩陣一、協方差

1.協方差定義

2.協方差的計算公式

3.協方差的性質

(1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X);(2)Cov(X,X)=D(X);Cov(X,C)=0第8頁，課件共35頁，創作于2023年2月第10講協方差與相關系數矩、協方差矩陣一、協方差

1.協方差定義

2.協方差的計算公式

3.協方差的性質

(1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X);(2)Cov(X,X)=D(X);Cov(X,C)=0

(3)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y),其中a,b為常數；(4)D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)；第9頁，課件共35頁，創作于2023年2月第10講協方差與相關系數矩、協方差矩陣一、協方差

1.協方差定義

2.協方差的計算公式

3.協方差的性質

(1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X);(2)Cov(X,X)=D(X);Cov(X,C)=0

(3)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y),其中a,b為常數；(5)Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z);(4)D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y);第10頁，課件共35頁，創作于2023年2月第11頁，課件共35頁，創作于2023年2月第10講協方差與相關系數矩、協方差矩陣一、協方差

1.協方差定義

2.協方差的計算公式

3.協方差的性質

(1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X);(2)Cov(X,X)=D(X);Cov(X,C)=0

(3)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y),其中a,b為常數；(5)Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z);(4)D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y);(6)第12頁，課件共35頁，創作于2023年2月

對任意的實數t，有又所以因此即特別第13頁，課件共35頁，創作于2023年2月

設(X,Y)為二維隨機變量，如果E{[XE(X)][YE(Y)]}存在，D(X)>0，D(Y)>0，則稱為X與Y的相關系數.記作XY.二、相關系數第10講協方差與相關系數矩、協方差矩陣

1.相關系數定義

2.相關系數性質第14頁，課件共35頁，創作于2023年2月

可以證明上式表明：均方誤差是|XY|的嚴格單調遞減函數，即當|XY|較大時，e較小，說明X,Y線性聯系緊密，特別|XY|=1時，X,Y之間以概率1存在線性關系.從而XY表征了X,Y之間線性關系的緊密程度.當|XY|較大時,X,Y線性關系程度較好；當|XY|較小時，X,Y線性關系程度較差.

3.隨機變量的相關性

設隨機變量X和Y的相關系數XY的存在,如果XY=0，則稱X與Y不相關,否則,稱X與Y相關；如果XY>0，則稱X,Y正相關；如果XY

<0，則稱X,Y負相關.第15頁，課件共35頁，創作于2023年2月

例3

在一盒中裝有大小相同的2只黑球，4只白球，現從盒中連續取球兩次，每次任取一只.設隨機變量討論隨機變量X與Y的相關系數.解

（1）無放回的情況

YX01pi·01/154/151/314/152/52/3p·j1/32/3第16頁，課件共35頁，創作于2023年2月解

（1）無放回的情況

YX01pi·01/154/151/314/152/52/3p·j1/32/3第17頁，課件共35頁，創作于2023年2月

例3

在一盒中裝有大小相同的2只黑球，4只白球，現從盒中連續取球兩次，每次任取一只.設隨機變量討論隨機變量X與Y的相關系數.解

（2）有放回的情況

YX01pi·01/92/91/312/94/92/3p·j1/32/3第18頁，課件共35頁，創作于2023年2月

例4

設(X,Y)服從二維正態分布,試求X與Y的相關系數

解

由已知條件我們有，即E(X)=1，E(Y)=2.

第19頁，課件共35頁，創作于2023年2月

解

由已知條件我們有，即E(X)=1，E(Y)=2.

例4

設(X,Y)服從二維正態分布,試求X與Y的相關系數第20頁，課件共35頁，創作于2023年2月密度函數數學期望

解

由已知條件我們有，即E(X)=1，E(Y)=2.

標準正態分布的密度函數標準正態分布的方差

例4

設(X,Y)服從二維正態分布,試求X與Y的相關系數第21頁，課件共35頁，創作于2023年2月

解

由已知條件我們有，即E(X)=1，E(Y)=2.

例4

設(X,Y)服從二維正態分布,試求X與Y的相關系數說明：如果(X,Y)服從二維正態分布,則X與Y獨立的充要條件是

第22頁，課件共35頁，創作于2023年2月第10講協方差與相關系數矩、協方差矩陣三、矩與協方差矩陣

定義1設X和Y是隨機變量，若存在,則稱它為X的k階原點矩.簡稱k階矩；

若存在,則稱它為X的k階中心矩；

若

存在，則稱它為X和Y的k+l階混合原點矩；

若

存在，則稱它為X和Y的k+l階混合中心矩.第23頁，課件共35頁，創作于2023年2月

定義2設n維隨機變量的二階混合中心矩都存在,則矩陣為n維隨機變量的協方差矩陣.第24頁，課件共35頁，創作于2023年2月

例5

設(X1,X2)服從二維正態分布,試求X與Y的協方差矩陣.

解

由已知條件我們有，即

.

第25頁，課件共35頁，創作于2023年2月第26頁，課件共35頁，創作于2023年2月第27頁，課件共35頁，創作于2023年2月

例5

設(X1,X2)服從二維正態分布,試求X與Y的協方差矩陣.

解

由已知條件我們有，即

.

第28頁，課件共35頁，創作于2023年2月

自然將二維正態分布的定義推廣到n維正態隨機變量的情形.n維正態隨機變量定義為第29頁，課件共35頁，創作于2023年2月n維正態隨機變量的重要性質(1)n維正態隨機變量的每一個分量Xi(i=1,2,,n)都是正態隨機變量;反之,若X1，X2，，Xn都是正態隨機變量,且相互獨立,則是n維正態隨機變量．(2)n隨機變量

服從n維正態分布的充要條件是

都任意線性組合服從一維正態分布(不全為零）.(3)若

服從n維正態分布,設是

線性函數，則也服從多維正態分布.第30頁，課件共35頁，創