近世代數教學第1頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四

高度的抽象是近世代數的顯著特點，它的基本概念：群、環、域，對初學者也是很抽象的概念，因此，在本課程的學習中，大家要多注意實例,以加深對概念的正確理解。近世代數的習題，因抽象也都有一定的難度，但習題也是鞏固和加深理解不可缺少的環節，因此，應適當做一些習題，為克服做習題的困難，應注意教材內容和方法以及習題課內容。第2頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四主要參考書1．B．L．瓦德瓦爾登著：代數學Ⅰ、Ⅱ卷，科學出版社，1964年版

2．N．賈柯勃遜著：抽象代數1、2、3卷，科學出版社，1987年出版3.<<近世代數基礎>>，張禾瑞，高等教育出版，1978年修訂本。

4．劉紹學著：近世代數基礎，高等教育出版社，1999年出版

第3頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四5．石生明著：近世代數初步、高等教育出版社，2002年出版6.《近世代數》，吳品山，人民教育出版社，1979。7.《抽象代數學》，謝邦杰，上海科學技術出版社，1982。8.《抽象代數基礎》，劉云英，北京師范大學出版社，1990年。第4頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四

近世代數理論的三個來源代數方程的解(2)Hamilton四元數的發(3)Kummer理想數的發現第5頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四（1）代數方程的解

兩千多年之前古希臘時代數學家就能夠利用開方法解二次方程ax2+bx+c=0

。16世紀初歐洲文藝復興時期之后，求解高次方程成為歐洲代數學研究的一個中心問題。1545年意大利數學家G.Cardano(1501-1576)在他的著作《大術》（ArsMagna）中給出了三、四次多項式的求根公式，此后的將近三個世紀中人們力圖發現五次方程的一般求解方法，但是都失敗了。第6頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四

直到1824年一位年青的挪威數學家N.Abel(1802-1829)

才證明五次和五次以上的一般代數方程沒有求根公式。但是人們仍然不知道什么條件之下一個已知的多項式能借助加、減、乘、除有理運算以及開方的方法求出它的所有根,什么條件之下不能求根。最終解決這一問題的是一位法國年青數學家E.Galois(1811—1832)，Galois引入了擴域以及群的概念，并采用了一種全新的理論方法發現了高次代數方程可解的法則。在Galois之后群與域的理論逐漸成為現代化數學研究的重要領域，這是近世代數產生的一個最重要的來源。第7頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四加羅華阿貝爾被譽為天才數學家的伽羅瓦（1811-1832）是近世代數的創始人之一。他深入研究了一個方程能用根式求解所必須滿足的本質條件，他提出的“伽羅瓦域”、“伽羅瓦群”和“伽羅瓦理論”都是近世代數所研究的最重要的課題。伽羅瓦群理論被公認為十九世紀最杰出的數學成就之一。他給方程可解性問題提供了全面而透徹的解答，解決了困擾數學家們長達數百年之久的問題。伽羅瓦群論還給出了判斷幾何圖形能否用直尺和圓規作圖的一般判別法，圓滿解決了三等分任意角或倍立方體的問題都是不可解的。最重要的是，群論開辟了全新的研究領域，以結構研究代替計算，把從偏重計算研究的思維方式轉變為用結構觀念研究的思維方式，并把數學運算歸類，使群論迅速發展成為一門嶄新的數學分支，對近世代數的形成和發展產生了巨大影響。同時這種理論對于物理學、化學的發展，甚至對于二十世紀結構主義哲學的產生和發展都發生了巨大的影響。第8頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四(2)Hamilton四元數的發現

長期以來人們對于虛數的意義存在不同的看法，后來發現可以把復數看成二元數(a,b)=a+bi，其中i2=-1。二元數按(a,b)±(c,d)=(a±c,b±d)，(a,b)(c,d)=(ad+bc,ac-bd)的法則進行代數運算，二元數具有直觀的幾何意義；與平面上的點一一對應。這是數學家高斯提出的復數幾何理論。二元數理論產生的一個直接問題是：是否存在三元數？經過長時間探索，力圖尋求三元數的努力失敗了。但是愛爾蘭數學家W.Hamilton(1805-1865)于1843年成功地發現了四元數。四元數系與實數系、復數系一樣可以作加減乘除四則運算，但與以前的數系相比，四元數是一個乘法不交換的數系。從這點來說四元數的發現使人們對于數系的代數性質的認識提高了一大步。四元數代數也成為抽象代數研究的一個新的起點，它是近世代數的另一個重要理論來源。第9頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四

（3）Kummer理想數的發現

17世紀初法國數學家費馬(P.Fermat1601-1665）研究整數方程時發現當n≥3時，方程

xn+yn=zn

沒有正整數解，費馬認為他能夠證明這個定理，但是其后的三百多年中人們研究發現這是一個非常困難的問題，這一問題被后來的研究者稱為費馬問題或費馬大定理，此定理直到1995年才被英國數學家A.Wiles證明。對費馬問題的研究在三個半世紀內從未間斷過，歐拉、高斯等著名數學家都對此作出過重要貢獻。但最重大的一個進展是由E.Kummer作出的。第10頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四

Kummer的想法是：如果上面的方程有正整數解，假定η是一個n次本原單位根，那么

xn+yn=zn

的等式兩邊可以作因子分解

zn=(x+y)(x+ηy)…(x+ηn-1y),象整數中的因子分解一樣，如果等式右邊的n個因子兩兩互素，那么每個因子都應是另外一個“復整數”的n次方冪,進行適當的變換之后有可能得到更小的整數x1,y1,z1使

xn+yn=zn

成立，從而導致矛盾。如果上面等式右邊的n個因子有公因式，那么同除這個公因式再進行上面同樣的討論。第11頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四

Kummer方法的前提是形如a+bη的復整數也象整數一樣具有唯一的素因子分解，其中a與b是通常整數。并不是對于每個整數n,復整數a+bη都具有唯一分解性，Kummer把這種復整數的因子分解稱為理想數的分解。用這種方法Kummer證明了n≤100時費馬大定理成立,理想數的方法不但能用于費馬問題研,實際上是代數數論的重要研究內容，其后德國數學家R.Dedekind(1831-1916)把理想數的概念推廣為一般的理想論，使它成為近世代數的一個重要的研究領域。

第12頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四近世代數是在19世紀末至20世紀初發展起來的數學分支。1930年荷蘭數學家范德瓦爾登（B.LvanderWearden1930-1996）根據該學科領域幾位創始人的演講報告,綜合了當時近世代數的研究成果,編著了《近世代數學》(ModerneAlgebra）一書,這是該學科領域第一本學術專著，也是第一本近世代數的教科書。

第13頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四

第14頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四

諾特,1882年3月23日生于德國埃爾朗根，1900年入埃朗根大學，1907年在數學家哥爾丹指導下獲博士學位。1916年后，她開始由古典代數學向抽象代數學過渡。1920年，她已引入「左模」、「右模」的概念。1921年寫出的<<整環的理想理論>>是交換代數發展的里程碑。建立了交換諾特環理論，證明了準素分解定理。1926年發表<<代數數域及代數函數域的理想理論的抽象構造>>，給戴德金環一個公理刻畫，指出素理想因子唯一分解定理的充分必要條件。諾特的這套理論也就是現代數學中的“環”和“理想”的系統理論，一般認為抽象代數形式的時間就是1926年，從此代數學研究對象從研究代數方程根的計算與分布，進入到研究數字、文字和更一般元素的代數運算規律和各種代數結構，完成了古典代數到抽象代數的本質的轉變。諾特當之無愧地被人們譽為抽象代數的奠基人之一。第15頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四第一章基本概念§1

集合§2映射與變換§3代數運算§4運算率§5同態與同構§6等價關系與集合的分類第16頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四§1 集合表示一定事物的集體，我們把它們稱為集合或集，如“一隊”、“一班”、“一筐”.組成集合的東西叫這個集合的元素.我們常用大寫拉丁字母A，B，C，…表示集合，用小寫拉丁字母a，b，c，…表示元素.如果a是集合A的元素，就說a屬于A，記作；如果a不是集合A的元素，就說a不屬于A，記作

；

例如，設A是一切偶數所成的集合，那么4∈A，而.第17頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四

一個集合可能只含有有限多個元素，這樣的集合叫做有限集合.如，學校的全體學生的集合；一本書里面的所有漢字的集合等等這些都是有限集合.如果一個集合是由無限多個元素組成的，就叫做無限集合.如，全體自然數的集合；全體實數的集合.不含任何元素的集合叫空集.表示為：?第18頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四枚舉法:例如,我們把一個含有n個元素

的集合的有限集合表示成：

.前五個正整數的集合就可以記作

.擬枚舉：自然數的集合可以記作,擬枚舉可以用來表示能夠排列出來的的集合,像自然數、整數…描述法:如果一個集A是由一切具有某一性質的元素所組成的，那么就用記號來表示.

第19頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四

表示一切大于-1且小于1的實數的所組成的集合.常用的數集：全體整數的集合，表示為Z全體有理數的集合，表示為Q全體實數的集合，表示為R全體復數的集合，表示為C第20頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四

設A，B是兩個集合，如果A的每一元素都是B的元素，那么就說Ａ是Ｂ的子集，記作，或記作.根據這個定義，Ａ是Ｂ的的子集當且僅當對于每一個元素x，如果

，就有

.A是B的子集，記作：第21頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四如果集合A與B的由完全相同的元素組成部分的，就說A與B相等，記作：A=B.即以集合A的所有子集為元素的集合，稱為A的冪集，記為P(A).第22頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四并運算設A，B是兩個集合.由A的一切元素和B的一切元素所成的集合叫做A與B的并集（簡稱并），記作.如圖1所示.AB第23頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四交運算由集合A與B的公共元素所組成的集合叫做A與B的交集(簡稱交)，記作：，如圖2所示.顯然，，例如，A={1，2，3，4}，B={2，3，4，5}，則我們有第24頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四運算性質:交換律:;分配律:結合律:;冪等率:;第25頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四兩個集的并與交的概念可以推廣到任意n個集合上去，設

是給定的集合.由的一切元素所成的集合叫做

的并；

由的一切公共元素所成的集合叫做的交.

的并和交分別記為：和

.我們有第26頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四差運算：設A，B是兩個集合，令也就是說，是由一切屬于A但不屬于B的元素所組成的，稱為A與B的差.注意：并沒有要求B是A的子集.例如，積運算：設A，B是兩個集合，令稱為A與B的笛卡兒積（簡稱為積）.是一切元素對（a,b）所成的集合，其中第一個位置的元素a取自A，第二個位置的元素b取自B.可以定義多個集合的笛卡兒積第27頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四§2映射與變換定義1設A，B是兩個非空的集合，A到B的一個映射指的是一個對應法則，通過這個法則，對于集合A中的每一個元素x，有集合B中一個惟一確定的元素y與它對應.用字母f，g，…表示映射.用記號表示f是A到B的一個映射.如果通過映射f，與A中元素x對應的B中元素是y，那么就寫作這時y叫做x在f之下的象，記作.第28頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四例1

設

這是A到B的一個映射.例2

設A是一切非負數的集合，B是一切實數的集合.對于每一

，令

與它對應.f不是A到B的映射，因為當

時，

不能由x唯一確定.第29頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四定義2

設f是A到B的一個映射，如果Imf=B，那么說稱f是A到B上的一個映射，這里也稱f是一個滿射。設

是一個映射.對于

，x的像.一切這樣的象作成B的一個子集，用

表示：，叫做A在f之下的象，或者叫做映射f的象.第30頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四定義3

設

是一個映射，如果對于A中任意兩個元素

和

，只要

，就有

，那么就稱f

是A到B的一個單射.或A到B的一一映射

如果既是滿射，又是單射，即如果f滿足下面兩個條件，①

就稱f是A到B的一個雙射.或A到B上的一一映射②

第31頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四第32頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四第33頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四第34頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四例3 令

那么.設

，

都是A到B的映射，如果對于每一

，都有

，那么就說映射f與g是相等的.記作第35頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四定義4：設

是A到B的一個映射，

是B到C的一個映射.那么對于每一個

，是C中的一個元素.因此，對于每一

，就有C中唯一的確定的元素

與它對應，這樣就得到A到C的一個映射，這映射是由

和所決定的，稱為

f與g的合成（乘積），記作

.于是有

對于一切,f與g的合成可以用下面的圖示意：fgABC（交換圖）第36頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四例4設那么例5設A={1，2，3}

那么第37頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四

映射

，

，

，有.但是，一般情況下

.

設A是非空集合

稱為設A上的恒等映射。

設A，B是兩個非空集合，用

和

表示A和B的恒等映射.設

是A到

B

的一個映射.顯然有：，.第38頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四例6：f

是集合A到B的一個雙射的充要條件是存在B到A的一個映射g，使得

，且映射g是由f唯一確定的,稱為f的逆映射,表示為證:

(必要性)因為f是滿射，所以對于B中每一個y，有

，使得

又因為f是單射，所以這個x是由y唯一確定的：即如果還有使得，那么

.則g是B到A的一個映射.

我們規定第39頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四任意

而

.我們有任，而

.那么故#所以（充分性)任意,令

.由于，所以即f是滿射.第40頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四設而由于，所以這說證明了f是單射.因此，f是A到B的雙射.最后，令

和

都具有性質:，

第41頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四有

所以g是由f唯一確定的.#，

設f

是A到B

的一個映射，我們把滿足例6條件的映射叫做f

的逆映射.一個映射不一定有逆映射，然而如果映射

有逆映射的話，逆映射是由f唯一確定的，以后把f的逆映射記作

.有因此，

也是一個雙射，并且f

就是的逆映射，即.第42頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四例7:

設A是一切非負實數所成的集合；f是A到B的一個映射，

因為當

時，

，并且是由x唯一確定的.證明，f是一個雙射.證：任意.取

因為

，所以

，且

，所以.且有（f滿）第43頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四設而.那么由此，所以f是單射.于是由例6，f有逆映射.易驗證，

一般地，設A是一個非空的集合，把A×A到A的一個映射叫做集合A的一個代數運算.第44頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四定義5：集合X到自身的映射，叫做集合X的一個變換。單射變換、滿射變換、雙射變換、恒等變換第45頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四第46頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四第47頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四§3.代數運算．注(1)為什么叫運算？不妨設是映射，若，我們可以說a和b在的法則下運算得到d(2)一個代數運算可以用表示，并將(a,b)在像記作下的第48頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四一般映射的描述:

作為運算的記號:

,

……..簡記:第49頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四例１A＝｛所有正整數｝，下列運算是不是A的代數運算??A=Z?A=Q?A=R第50頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四

例4：A＝｛a,b,c｝．規定A的兩個不同的代數運算．第51頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四

T(M)表示非空集合M的全體變換作成的集合。

S(M)表示非空集合M的全體雙射變換作成的集合。顯然變換的合成（乘法）是T(M)和S(M)的一個代數運算。第52頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四

對有限集合的代數運算，常直觀地列成一個表（乘法表）第53頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四？S(M)的乘法表第54頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四一、結合率§4．運算律第55頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四第56頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四假如用一個加括號的步驟，當然也會得到一個結果．加括號的步驟自然不止一種，但因為是一個有限整數，這種步驟的個數總是一個有限整數．假定它是，我們把由這個步驟所得的結果用,,…,,

來表示。這樣得來的N個,當然未必相等,但是它們也可能都相等。我們規定:第57頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四假如對于的個固定的元來說,所有的都相等,我們就唯一的結果,用來表示.

問題:什么條件下,所有的都相等?定理:假如一個集合的代數運算適合結合律,那么對于的任意

個元

來說,所有的

都相等；因此符號

也就總有意義．第58頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四證明對n用數學歸納法(第二型)．

(I)n=2,3，定理是對的．

(II)假定個數，定理是對的．在這個假定之下，如果我們能夠證明:對于一個任意的來說

……(一個固定的結果)定理也就證明了.

這一個是經過一種加括號的步驟所得來的結果,這個步驟的最后一步總是對兩個元進行運算:

這里,是前面的若干個,假定是個元,,…，經過一個加括號的步驟所得的結果,是其余的個元，經過一個加括號的步驟所得的結果。因為第59頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四和都,由歸納法的假定,情況1

假定,那么上式就是要證明的．情況2

假定，那么即（１）式仍然成立．證完。結合律成立，保證了可以應用個符號。結合律的重要也就在此．第60頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四二、交換率第61頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四第62頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四三、分配率第63頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四第64頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四第65頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四第66頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四§5同態與同構

如何比較兩個代數系統?回憶兩個三角形全等的定義:經過運動,頂點可以重合.這里涉及兩個步驟:第一,點間有一個對應(映射);第二,對應后可以重合.我們比較兩個代數系統和.第一,我們需要一個映射;第二,這個映射還能夠使“運算重合”或曰：保持運算.具體的說,假如和是的兩個元,那么和都有意義,都是的元.保持運算即下面等式成立:第67頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四上面的等式即:換一種表示，假定在之下的像，第68頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四＝{所有整數},的代數運算是普通加法.,的代數運算是普通乘法.定義1一個到的映射稱為對于代數運算和的同態映射,假如,,都有:定義與例子第69頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四例1證明(是的任一元)是一個到的同態映射.證明……例2:

,若是偶數,若是奇數

證明:是一個到的滿射的同態映射.證明:顯然,是到的滿射.對于的任意兩個整數和來說,分三種情況:(1)若,都是偶數,那么也是偶數,,所以,(2)若,都是奇數……(3)若和奇偶性相反,……….第70頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四例3:(是的任一元)固然是一個到的映射,但不是同態映射.因為,對于任意的和來說,第71頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四性質1（1）反身性:（2）傳遞性:注:對稱性不成立定義和是兩個代數系統,如果存在一個到的同態滿射,就稱和同態.記號:第72頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四定理1假定,對于代數運算和來說,到同態.那么,（1）若適合結合律,也適合結合律；（2）若適合交換律,也適合交換律.第73頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四于是證明我們用來表示到的同態滿射.（1）假定是的任意三個元.由于是同態滿射,我們在里至少找得出三個元,,來,使得在之下,(2)證明類似.

注:這種通過同態映射過渡的方法在證明具有一般性第74頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四定理2假定,都是集合的代數運算,都是集合的代數運算,并且存在一個到的滿射,使得與對于代數運算來說同態,對于代數運算來說也同態.那么(1)若適合第一分配律,也適合第一分配律.(2)若適合第二分配律,也適合第二分配律.證明……注:,由的性質可以推出具有同樣的性質;反過來不成立.第75頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四定義（同構映射）定義和是兩個代數系統,如果存在一個到的同構映射,就稱和同構.記號:自同態、自同構的概念可以自然的給出第76頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四同構的代數系統意味什么例４

,

．012012

120201345345345453534012與的代數運算與的表．請比較兩個運算表異同之處?第77頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四在A的運算表,進行變換:

變成了什么?．它們可以統一成為一個運算表……..第78頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四第79頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四（矛盾）第80頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四小結現在我們看兩個任意的，對于代數運算和來說是同構的集合和．我們可以假定，

并且在與間的同構映射之下，，，，…由于同構映射的性質，我們知道，

抽象地來看，與這兩個代數系統，沒有任何區別（只有命名上的不同而已）.第81頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四§6等價關系與集合的分類第82頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四第83頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四第84頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四第85頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四第86頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四第87頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四第88頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四第89頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四第二章群§1

群的定義和初步性質§2群中元素的階§3子群§4循環群§5變換群§6置換群§7

陪集、指數和Lagrange定理第90頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四§1 群的定義和初步性質定義（第一定義）：稱G關于該運算作成一個群。第91頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四定義（第二定義）：稱G關于該運算作成一個群。第92頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四定義（第三定義）：稱G關于該運算作成一個群。第93頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四第94頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四第95頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四定義：第96頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四定義：一個群叫做有限群，假如這個群的元的個數是一個有限數．不然的話，這個群叫做無限群．定義：一個群叫做交換群（Abel群），假如對于的任何兩個元，都成立．第97頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四例1：例3：第98頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四例5：例6：第99頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四第100頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四推論1

群中消去律成立若，那么；若，那么．第101頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四第102頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四#第103頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四第104頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四§1 群中元素的階第105頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四定義1：群的一個元素,使得的最小的正整數叫做的階．若是這樣的一個不存在，我們說，是無限階的．的階用符號表示第106頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四注(1)當為加群時,其運算記為加法,單位元為0,則的最小正整數為元素a的階。(3)群的階和元素的階不是一回事..(2)第107頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四例1：例2：第108頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四第109頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四第110頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四第111頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四第112頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四第113頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四第114頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四（反例P43）第115頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四第116頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四第117頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四§3．子群討論子對象是一個常用的代數方法.我們看一個群．假如由里取出一個非空子集來，那么利用的乘法可以把的兩個元相乘．對于這個乘法來說，很可能也作成一個群．定義1一個群的一個非空子集叫做的一個子群，假如對于的乘法來說作成一個群,用符號表示．

群，則至少有兩個子群：１．；２．只包含單位元的子集．（平凡子群）第118頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四定理2：一個群的一個非空子集作成的一個子群的充分而且必要條件是：（ⅰ）（ⅱ）第119頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四證明充分性：1）．由于（ⅰ），是閉的；2）．結合律在中成立，在中自然成立；3）．因為至少有一個元，由（ⅱ），也有元，所以由（ⅰ），4）．由（ⅱ），對于的任意元來說，有元，使得必要性顯然成立第120頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四定理3:一個群的一個非空子集作成的一個子群的充要條件是：（ⅲ）證明I.我們先證明，（ⅰ）和（ⅱ）成立，（ⅲ）就也成立．假定，屬于，由（ⅱ），，由（ⅰ），II.現在我們反過來證明，由（ⅲ）可以得到（ⅰ）和（ⅱ）．假定．由（ⅲ），，于是（ⅱ）成立第121頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四假定，．由剛證明的，；由（ⅲ），,即(i)成立#例1：一個群的一個非空有限子集作成的一個子群的充要條件是：第122頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四第123頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四第124頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四第125頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四容易證明:,,定義3：設A，B是群G的兩個非空子集,規定第126頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四證明:設H是G的子群,那么,(??)另一方面,,所以,而:,所以.反過來,構成的一個子群.第127頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四

推論2：一個群的一個不空子集作成的一個子群的充分而且必要條件是：

推論2’一個群的一個非空有限子集作成的一個子群的充分而且必要條件是：第128頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四定理5：

設H,K是G的兩個子群,那么HK是子群的充要條件是HK=KH證明:如果HK是子群,那么由推論1：(HK)-1=HK同時,(HK)-1=K-1H-1=KH,所以HK=KH反過來,如果HK=KH，則(HK)(HK)-1=HKK-1H-1

=HKKH=HKH=HHK=HK第129頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四第130頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四第131頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四（群G不可能是兩個真子群的并）第132頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四

§4．循環群第133頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四第134頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四第135頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四第136頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四第137頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四第138頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四第139頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四（同構）第140頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四第141頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四第142頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四第143頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四§５．變換群例１＝｛１，２｝．：，：，：，：，{，}構成群（雙射變換群）第144頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四第145頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四第146頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四第147頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四第148頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四第149頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四第150頁，共187頁，2023年，2月20日，星期四定理３