2023屆貴州省貴陽市高三下學期適應性考試（一）數學（文）試題一、單選題1．集合，集合，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】解不等式可求得集合，由交集定義可得結果.【詳解】由得：或，即，.故選：C.2．已知是虛數單位，復數的共軛復數的虛部為（

）A． B． C．4 D．【答案】C【分析】利用復數乘方運算得到，從而得到的共軛復數及其虛部.【詳解】，故復數的共軛復數為，故共軛復數的虛部為4.故選：C3．在一場跳水比賽中，7位裁判給某選手打分從低到高依次為，8.1，8.4，8.5，9.0，9.5，，若去掉一個最高分和一個最低分后的平均分與不去掉的平均分相同，那么最低分的值不可能是（

） 【答案】D【分析】根據所給條件可得出，再由的范圍驗證選項即可得解.【詳解】因為去掉最高分與最低分后平均分為，所以，解得，由于得分按照從低到高的順序排列的，故，，當時，，滿足上述條件，故A錯誤；當時，，滿足上述條件，故B錯誤；當時，，滿足上述條件，故C錯誤；當時，，不滿足上述條件，故D正確.故選：D4．等差數列中，，則數列的前9項之和為（

）A．24 B．27 C．48 D．54【答案】B【分析】根據等差數列下標和性質求出，再根據等差數列求和公式計算可得.【詳解】解：在等差數列中，，則所以，又，所以，所以.故選：B5．香農-威納指數（）是生態學中衡量群落中生物多樣性的一個指數，其計算公式是，其中是該群落中生物的種數，為第個物種在群落中的比例，下表為某個只有甲?乙?丙三個種群的群落中各種群個體數量統計表，根據表中數據，該群落的香農-威納指數值為（

）物種甲乙丙合計個體數量A． B． C． D．【答案】A【分析】根據已知公式和對數運算直接計算求解即可.【詳解】由題意知：.故選：A.6．如圖，在中，，則（

）A．9 B．18 C．6 D．12【答案】D【分析】由可得，則，代入化簡即可得出答案.【詳解】由可得：，所以，所以，，因為，所以.故選：D.7．棱錐的內切球半徑，其中，分別為該棱錐的體積和表面積，如圖為某三棱錐的三視圖，若每個視圖都是直角邊長為的等腰直角形，則該三棱錐內切球半徑為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由三視圖還原三棱錐，求得棱錐表面積和體積后，代入公式即可求得內切球半徑.【詳解】由三視圖可還原三棱錐如下圖所示，其中平面，，，，棱錐表面積，該棱錐的內切球半徑.故選：C.8．已知直線，直線，其中實數，則直線與的交點位于第一象限的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先由兩條直線相交，聯立方程組寫出兩條直線的交點坐標，接下來根據交點在第一象限得到a的范圍，利用幾何概型概率計算公式計算即可【詳解】當時，，此時，所以，直線與無交點；當時，由，解得：，由題意，解得，又，由幾何概型的概率公式知，所求的概率為.故選：A.9．以雙曲線的實軸為直徑的圓與該雙曲線的漸近線分別交于A，B，C，D四點，若四邊形的面積為，則該雙曲線的離心率為（

）A．或2 B．2或 C． D．【答案】B【分析】先由雙曲線與圓的對稱性得到，再將代入，從而得到，，進而結合得到關于的齊次方程，由此轉化為關于雙曲線離心率的方程即可得解.【詳解】依題意，根據雙曲線與圓的對稱性，可得四邊形為矩形，如圖，不放設點位于第一象限，則，因為雙曲線的漸近線方程為，則，以雙曲線的實軸為直徑的圓的方程為，則，將代入，得，則，即，所以，則，故，又，所以，則，則，所以，則，即，所以，即，解得或，因為，所以或.故選：B.10．函數的部分圖象如圖所示，則下列關于函數的說法正確的是（

）①的圖象關于直線對稱②的圖象關于點對稱③將函數的圖象向左平移個單位長度得到函數的圖象④若方程在上有兩個不相等的實數根，則的取值范圍是A．①④ B．②④ C．③④ D．②③【答案】B【分析】根據圖象求出函數的解析式，結合三角函數的性質，逐次判斷各選項即可得到結論．【詳解】解：由函數的圖象可得，由，解得，又函數過點，所以，，又，得，所以函數，當時，，即的圖象關于點對稱，故②正確；當時，，故①錯誤；將函數的圖象向左平移個單位長度得到，故③錯誤；當，則，令，解得，此時，即，令，解得，此時，即，所以在上單調遞減，在上單調遞增，因為方程在上有兩個不相等的實數根，即與在上有兩個交點，所以，故④正確；故選：B11．如圖，在三棱錐中，

平面平面，是邊長為的等邊三角形，，則該幾何體外接球表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設外心為，外心為，DB中點為E，過外心分別作平面，平面垂線，則垂線交點O，外接圓半徑，又注意到四邊形為矩形，則外接球半徑.【詳解】設外心為，外心為，DB中點為E.因，平面，平面平面，平面平面，則平面，又平面，則.過，分別作平面，平面垂線，則垂線交點O為外接球球心，則四邊形為矩形.外接圓半徑.又因，，則.故外接圓半徑.又.又平面，平面，則.故外接球半徑，故外接球表面積為.故選：A【點睛】，底面與側面公共棱長度為，則外接球半徑.12．函數，若，且，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由對數的運算性質和函數奇偶性的定義判斷為奇函數，再由導數判斷的單調性，將原不等式兩邊去掉“”，解不等式可得所求取值范圍.【詳解】因為，所以為奇函數，又，當時，，，所以，所以在上單調遞增，又因為為奇函數，所以在R上單調遞增，由可得，所以，所以，所以，，因為，所以，所以，解得：，又因為，所以.故選：D.二、填空題13．函數在點處的切線方程為____________．【答案】【分析】求導，再根據導數的幾何意義即可得解.【詳解】，則，所以函數在點處的切線方程為，即.故答案為：.14．正實數a，b滿足，則的最小值為__________．【答案】##【分析】由結合基本不等式求解即可.【詳解】解：由題得.當且僅當時，取等號，所以的最小值為.故答案為：15．趙爽是我國漢代數學家，他在注解《周髀算經》時給出的“趙爽弦圖”被選為第24屆國際數學家大會的會徽.如圖所示，“趙爽弦”圖中的大正方形是由4個全等的直角三角形和小正方形拼成，現連接，當正方形的邊長為1且其面積與正方形的面積之比為1∶5時，___________.【答案】.【分析】根據圖形，由面積可得出直角三角的三邊長，求出角的三角函數，利用求解.【詳解】由題意得，，故直角三角形斜邊為，設直角三角形中較短直角邊長為，如圖中，則較長直角邊長為，如圖中,則由勾股定理可得，解得，，，,.故答案為：.16．拋物線，圓，直線l過圓心M且與拋物線E交于A，B與圓M交于C，D.若，則___________.【答案】##【分析】設直線的方程為，由題意可知圓的圓心為弦的中點，據此聯立直線與拋物線方程，由根與系數的關系即可求出，再由弦長公式即可得解.【詳解】由可得，故圓心，半徑，因為直線l過圓心M且，所以，，即為的中點，顯然，直線斜率為0時，不符合題意，設直線的方程為，聯立，消元得，設，由，所以，由為的中點可知，，即，所以,所以.故答案為：三、解答題17．等比數列的前n項和為，，且成等差數列．(1)求；(2)若，求數列前n項和．【答案】(1)(2)【分析】（1）由等差中項的性質結合等比通項，解方程得出；（2）由錯位相減法得出數列前n項和．【詳解】（1）證明：∵是等比數列，且

①又成等差數列，∴，∴

②聯立①②得，∴．（2）由（1）知，∴

①

②①②得18．2022年9月3日至2022年10月8日，因為疫情，貴陽市部分高中學生只能居家學習，為了監測居家學習效果，某校在恢復正常教學后舉行了一次考試，在考試中，發現學生總體成績相較疫情前的成績有明顯下降．為了解學生成績下降的原因，學校進行了問卷調查，從問卷中隨機抽取了200份學生問卷，發現其中有96名學生成績下降，在這些成績下降的學生中有54名學生屬于“長時間使用手機娛樂”（每天使用手機娛樂2個小時以上）的學生．(1)根據以上信息，完成下面的列聯表，并判斷能否有把握認為“成績下降”與“長時間使用手機娛樂”有關？長時間使用手機娛樂非長時間使用手機娛樂合計成績下降成績未下降合計90200(2)在被抽取的200名學生中“長時間使用手機娛樂”且“成績未下降”的女生有12人，現從“長時間使用手機娛樂”且“成績未下降”的學生中按性別分層抽樣抽取6人，再從這6人中隨機抽取2人進一步訪談，求被訪談的兩人為一男一女的概率．參考公式：，其中．【答案】(1)表格見解析，有(2)【分析】（1）根據題意完成列聯表，計算，并與臨界值對比分析；（2）根據分層抽樣求抽取的人數，利用列舉法結合古典概型運算求解.【詳解】（1）根基題意可得：列聯表如下：長時間使用手機娛樂非常時間使用手機娛樂合計學習成績下降544296學習成績未下降3668104合計90110200∴有把握認為學習成績下降與“長時間使用手機娛樂”有關.（2）在抽取的6人中，女生有人，男生有人，設女生為1，2，男生為a，b，c，d，從訪談的6人中抽取2人的基本事件共有15種：，設“被訪談的兩人中一男一女生”為事件A，共有8種，則.19．如圖①，在梯形中，，E為中點，現沿將折起，如圖②，其中F，G分別是的中點．(1)求證：平面；(2)若，求點B到平面的距離．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接，證明，可得平面，再根據線面垂直的性質可得，在證明，再根據線面垂直的判定定理即可得證；（2）先利用勾股定理可得，從而可得面，再根據線面垂直的性質可得，設H是中點，連接，證明，再在三棱錐中，利用等體積法即可得解.【詳解】（1）連接，在圖①中，因為，E為中點，所以且，所以四邊形為正方形，則和都是等腰直角三角形，在圖②中，由且F是的中點，則，又平面，所以平面，又平面，所以，又因為，所以，因為，且G是的中點，所以，又因為平面，所以平面；（2）在圖②中，因為，所以，又因為，所以，所以，又由（1）知面，所以面，又面，所以，設H是中點，連接，因為，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，由題易得，，所以的面積為，的面積為，設點B到平面的距離為d，由有，即，所以，所以點B到平面的距離為.20．橢圓的右頂點，過橢圓右焦點的直線l與C交于點M，N，當l垂直于x軸時．(1)求橢圓C的方程；(2)若直線與y軸交于P點，直線與y軸交于Q點，點，求證：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據橢圓性質和通徑公式即可求出橢圓方程；（2）利用代數法分別表示出P點和Q點，再聯立方程并根據韋達定理找到兩點坐標的關系，最后利用向量垂直與向量坐標間的關系列式計算即可．【詳解】（1）由已知∴橢圓C的方程為（2）證明：設過右焦點的直線l的方程為，且與曲線C的交點分別為，聯立則由韋達定理有：，設直線，當時，，同理，設直線，當時，若證，即證∴∴，∴21．函數．(1)當時，求函數的單調區間；(2)若過原點O可作三條直線與的圖像相切，求實數a的取值范圍．【答案】(1)單調遞增區間為和，單調遞減區間為(2)【分析】（1）將代入，對函數求導數，分別解和得函數的單調區間；（2）設切點，由題，整理得，將條件轉化為直線與函數的圖象有三個交點，研究，得a的取值范圍.【詳解】（1）當時，．由，令，解得或；令，解得．所以的單調遞增區間為和，單調遞減區間為．（2）易知原點O不在函數的圖像上，設切點為．求導得，則，即，整理得，所以，令，則，令，解得或；令，解得，所以函數在區間上單調遞增，在上單調遞減，在上遞增，故當時，；當時，；時，，當時，的取值范圍為．而過原點O可作三條直線與的圖像相切，則有三個不相等的實數根，也就是直線與函數的圖象有三個交點，則有，即．【點睛】將題目條件轉化為方程有三個不相等的實數根，再將方程根的個數問題轉化為函數圖象交點個數問題.22．如圖，在極坐標系中，圓O的半徑為2，半徑均為1的兩個半圓弧所在圓的圓心分別為，M是半圓弧上的一個動點.(1)若點A是圓O與極軸的交點，求的最大值；(2)若點N是射線與圓O的交點，求面積的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據題意，得到半圓弧的直角坐標方程，從而可得的最大值；（2）根據題