2023屆貴州省貴陽市高三下學(xué)期適應(yīng)性考試（一）數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1．集合，集合，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】解不等式可求得集合，由交集定義可得結(jié)果.【詳解】由得：或，即，.故選：C.2．已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的虛部為（

）A． B． C．4 D．【答案】C【分析】利用復(fù)數(shù)乘方運(yùn)算得到，從而得到的共軛復(fù)數(shù)及其虛部.【詳解】，故復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，故共軛復(fù)數(shù)的虛部為4.故選：C3．在一場跳水比賽中，7位裁判給某選手打分從低到高依次為，8.1，8.4，8.5，9.0，9.5，，若去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后的平均分與不去掉的平均分相同，那么最低分的值不可能是（

） 【答案】D【分析】根據(jù)所給條件可得出，再由的范圍驗(yàn)證選項(xiàng)即可得解.【詳解】因?yàn)槿サ糇罡叻峙c最低分后平均分為，所以，解得，由于得分按照從低到高的順序排列的，故，，當(dāng)時(shí)，，滿足上述條件，故A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，滿足上述條件，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，滿足上述條件，故C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，不滿足上述條件，故D正確.故選：D4．等差數(shù)列中，，則數(shù)列的前9項(xiàng)之和為（

）A．24 B．27 C．48 D．54【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)求出，再根據(jù)等差數(shù)列求和公式計(jì)算可得.【詳解】解：在等差數(shù)列中，，則所以，又，所以，所以.故選：B5．香農(nóng)-威納指數(shù)（）是生態(tài)學(xué)中衡量群落中生物多樣性的一個(gè)指數(shù)，其計(jì)算公式是，其中是該群落中生物的種數(shù)，為第個(gè)物種在群落中的比例，下表為某個(gè)只有甲?乙?丙三個(gè)種群的群落中各種群個(gè)體數(shù)量統(tǒng)計(jì)表，根據(jù)表中數(shù)據(jù)，該群落的香農(nóng)-威納指數(shù)值為（

）物種甲乙丙合計(jì)個(gè)體數(shù)量A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)已知公式和對數(shù)運(yùn)算直接計(jì)算求解即可.【詳解】由題意知：.故選：A.6．如圖，在中，，則（

）A．9 B．18 C．6 D．12【答案】D【分析】由可得，則，代入化簡即可得出答案.【詳解】由可得：，所以，所以，，因?yàn)椋?故選：D.7．棱錐的內(nèi)切球半徑，其中，分別為該棱錐的體積和表面積，如圖為某三棱錐的三視圖，若每個(gè)視圖都是直角邊長為的等腰直角形，則該三棱錐內(nèi)切球半徑為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由三視圖還原三棱錐，求得棱錐表面積和體積后，代入公式即可求得內(nèi)切球半徑.【詳解】由三視圖可還原三棱錐如下圖所示，其中平面，，，，棱錐表面積，該棱錐的內(nèi)切球半徑.故選：C.8．已知直線，直線，其中實(shí)數(shù)，則直線與的交點(diǎn)位于第一象限的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先由兩條直線相交，聯(lián)立方程組寫出兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，接下來根據(jù)交點(diǎn)在第一象限得到a的范圍，利用幾何概型概率計(jì)算公式計(jì)算即可【詳解】當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，所以，直線與無交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，由，解得：，由題意，解得，又，由幾何概型的概率公式知，所求的概率為.故選：A.9．以雙曲線的實(shí)軸為直徑的圓與該雙曲線的漸近線分別交于A，B，C，D四點(diǎn)，若四邊形的面積為，則該雙曲線的離心率為（

）A．或2 B．2或 C． D．【答案】B【分析】先由雙曲線與圓的對稱性得到，再將代入，從而得到，，進(jìn)而結(jié)合得到關(guān)于的齊次方程，由此轉(zhuǎn)化為關(guān)于雙曲線離心率的方程即可得解.【詳解】依題意，根據(jù)雙曲線與圓的對稱性，可得四邊形為矩形，如圖，不放設(shè)點(diǎn)位于第一象限，則，因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，則，以雙曲線的實(shí)軸為直徑的圓的方程為，則，將代入，得，則，即，所以，則，故，又，所以，則，則，所以，則，即，所以，即，解得或，因?yàn)椋曰?故選：B.10．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列關(guān)于函數(shù)的說法正確的是（

）①的圖象關(guān)于直線對稱②的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱③將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度得到函數(shù)的圖象④若方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是A．①④ B．②④ C．③④ D．②③【答案】B【分析】根據(jù)圖象求出函數(shù)的解析式，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，逐次判斷各選項(xiàng)即可得到結(jié)論．【詳解】解：由函數(shù)的圖象可得，由，解得，又函數(shù)過點(diǎn)，所以，，又，得，所以函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，即的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，故②正確；當(dāng)時(shí)，，故①錯(cuò)誤；將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度得到，故③錯(cuò)誤；當(dāng)，則，令，解得，此時(shí)，即，令，解得，此時(shí)，即，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因?yàn)榉匠淘谏嫌袃蓚€(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即與在上有兩個(gè)交點(diǎn)，所以，故④正確；故選：B11．如圖，在三棱錐中，

平面平面，是邊長為的等邊三角形，，則該幾何體外接球表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)外心為，外心為，DB中點(diǎn)為E，過外心分別作平面，平面垂線，則垂線交點(diǎn)O，外接圓半徑，又注意到四邊形為矩形，則外接球半徑.【詳解】設(shè)外心為，外心為，DB中點(diǎn)為E.因，平面，平面平面，平面平面，則平面，又平面，則.過，分別作平面，平面垂線，則垂線交點(diǎn)O為外接球球心，則四邊形為矩形.外接圓半徑.又因，，則.故外接圓半徑.又.又平面，平面，則.故外接球半徑，故外接球表面積為.故選：A【點(diǎn)睛】，底面與側(cè)面公共棱長度為，則外接球半徑.12．函數(shù)，若，且，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和函數(shù)奇偶性的定義判斷為奇函數(shù)，再由導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，將原不等式兩邊去掉“”，解不等式可得所求取值范圍.【詳解】因?yàn)椋詾槠婧瘮?shù)，又，當(dāng)時(shí)，，，所以，所以在上單調(diào)遞增，又因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以在R上單調(diào)遞增，由可得，所以，所以，所以，，因?yàn)椋裕裕獾茫海忠驗(yàn)椋?故選：D.二、填空題13．函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為____________．【答案】【分析】求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得解.【詳解】，則，所以函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，即.故答案為：.14．正實(shí)數(shù)a，b滿足，則的最小值為__________．【答案】##【分析】由結(jié)合基本不等式求解即可.【詳解】解：由題得.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號，所以的最小值為.故答案為：15．趙爽是我國漢代數(shù)學(xué)家，他在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的“趙爽弦圖”被選為第24屆國際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)徽.如圖所示，“趙爽弦”圖中的大正方形是由4個(gè)全等的直角三角形和小正方形拼成，現(xiàn)連接，當(dāng)正方形的邊長為1且其面積與正方形的面積之比為1∶5時(shí)，___________.【答案】.【分析】根據(jù)圖形，由面積可得出直角三角的三邊長，求出角的三角函數(shù)，利用求解.【詳解】由題意得，，故直角三角形斜邊為，設(shè)直角三角形中較短直角邊長為，如圖中，則較長直角邊長為，如圖中,則由勾股定理可得，解得，，，,.故答案為：.16．拋物線，圓，直線l過圓心M且與拋物線E交于A，B與圓M交于C，D.若，則___________.【答案】##【分析】設(shè)直線的方程為，由題意可知圓的圓心為弦的中點(diǎn)，據(jù)此聯(lián)立直線與拋物線方程，由根與系數(shù)的關(guān)系即可求出，再由弦長公式即可得解.【詳解】由可得，故圓心，半徑，因?yàn)橹本€l過圓心M且，所以，，即為的中點(diǎn)，顯然，直線斜率為0時(shí)，不符合題意，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消元得，設(shè)，由，所以，由為的中點(diǎn)可知，，即，所以,所以.故答案為：三、解答題17．等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且成等差數(shù)列．(1)求；(2)若，求數(shù)列前n項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）由等差中項(xiàng)的性質(zhì)結(jié)合等比通項(xiàng)，解方程得出；（2）由錯(cuò)位相減法得出數(shù)列前n項(xiàng)和．【詳解】（1）證明：∵是等比數(shù)列，且

①又成等差數(shù)列，∴，∴

②聯(lián)立①②得，∴．（2）由（1）知，∴

①

②①②得18．2022年9月3日至2022年10月8日，因?yàn)橐咔椋F陽市部分高中學(xué)生只能居家學(xué)習(xí)，為了監(jiān)測居家學(xué)習(xí)效果，某校在恢復(fù)正常教學(xué)后舉行了一次考試，在考試中，發(fā)現(xiàn)學(xué)生總體成績相較疫情前的成績有明顯下降．為了解學(xué)生成績下降的原因，學(xué)校進(jìn)行了問卷調(diào)查，從問卷中隨機(jī)抽取了200份學(xué)生問卷，發(fā)現(xiàn)其中有96名學(xué)生成績下降，在這些成績下降的學(xué)生中有54名學(xué)生屬于“長時(shí)間使用手機(jī)娛樂”（每天使用手機(jī)娛樂2個(gè)小時(shí)以上）的學(xué)生．(1)根據(jù)以上信息，完成下面的列聯(lián)表，并判斷能否有把握認(rèn)為“成績下降”與“長時(shí)間使用手機(jī)娛樂”有關(guān)？長時(shí)間使用手機(jī)娛樂非長時(shí)間使用手機(jī)娛樂合計(jì)成績下降成績未下降合計(jì)90200(2)在被抽取的200名學(xué)生中“長時(shí)間使用手機(jī)娛樂”且“成績未下降”的女生有12人，現(xiàn)從“長時(shí)間使用手機(jī)娛樂”且“成績未下降”的學(xué)生中按性別分層抽樣抽取6人，再從這6人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)一步訪談，求被訪談的兩人為一男一女的概率．參考公式：，其中．【答案】(1)表格見解析，有(2)【分析】（1）根據(jù)題意完成列聯(lián)表，計(jì)算，并與臨界值對比分析；（2）根據(jù)分層抽樣求抽取的人數(shù)，利用列舉法結(jié)合古典概型運(yùn)算求解.【詳解】（1）根基題意可得：列聯(lián)表如下：長時(shí)間使用手機(jī)娛樂非常時(shí)間使用手機(jī)娛樂合計(jì)學(xué)習(xí)成績下降544296學(xué)習(xí)成績未下降3668104合計(jì)90110200∴有把握認(rèn)為學(xué)習(xí)成績下降與“長時(shí)間使用手機(jī)娛樂”有關(guān).（2）在抽取的6人中，女生有人，男生有人，設(shè)女生為1，2，男生為a，b，c，d，從訪談的6人中抽取2人的基本事件共有15種：，設(shè)“被訪談的兩人中一男一女生”為事件A，共有8種，則.19．如圖①，在梯形中，，E為中點(diǎn)，現(xiàn)沿將折起，如圖②，其中F，G分別是的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)若，求點(diǎn)B到平面的距離．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接，證明，可得平面，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得，在證明，再根據(jù)線面垂直的判定定理即可得證；（2）先利用勾股定理可得，從而可得面，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得，設(shè)H是中點(diǎn)，連接，證明，再在三棱錐中，利用等體積法即可得解.【詳解】（1）連接，在圖①中，因?yàn)椋珽為中點(diǎn)，所以且，所以四邊形為正方形，則和都是等腰直角三角形，在圖②中，由且F是的中點(diǎn)，則，又平面，所以平面，又平面，所以，又因?yàn)椋裕驗(yàn)椋褿是的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫妫云矫妫唬?）在圖②中，因?yàn)椋裕忠驗(yàn)椋裕裕钟桑?）知面，所以面，又面，所以，設(shè)H是中點(diǎn)，連接，因?yàn)椋裕制矫妫云矫妫制矫妫裕深}易得，，所以的面積為，的面積為，設(shè)點(diǎn)B到平面的距離為d，由有，即，所以，所以點(diǎn)B到平面的距離為.20．橢圓的右頂點(diǎn)，過橢圓右焦點(diǎn)的直線l與C交于點(diǎn)M，N，當(dāng)l垂直于x軸時(shí)．(1)求橢圓C的方程；(2)若直線與y軸交于P點(diǎn)，直線與y軸交于Q點(diǎn)，點(diǎn)，求證：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)橢圓性質(zhì)和通徑公式即可求出橢圓方程；（2）利用代數(shù)法分別表示出P點(diǎn)和Q點(diǎn)，再聯(lián)立方程并根據(jù)韋達(dá)定理找到兩點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，最后利用向量垂直與向量坐標(biāo)間的關(guān)系列式計(jì)算即可．【詳解】（1）由已知∴橢圓C的方程為（2）證明：設(shè)過右焦點(diǎn)的直線l的方程為，且與曲線C的交點(diǎn)分別為，聯(lián)立則由韋達(dá)定理有：，設(shè)直線，當(dāng)時(shí)，，同理，設(shè)直線，當(dāng)時(shí)，若證，即證∴∴，∴21．函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若過原點(diǎn)O可作三條直線與的圖像相切，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為(2)【分析】（1）將代入，對函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，分別解和得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)切點(diǎn)，由題，整理得，將條件轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，研究，得a的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，．由，令，解得或；令，解得．所以的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）易知原點(diǎn)O不在函數(shù)的圖像上，設(shè)切點(diǎn)為．求導(dǎo)得，則，即，整理得，所以，令，則，令，解得或；令，解得，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上遞增，故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；時(shí)，，當(dāng)時(shí)，的取值范圍為．而過原點(diǎn)O可作三條直線與的圖像相切，則有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，也就是直線與函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，則有，即．【點(diǎn)睛】將題目條件轉(zhuǎn)化為方程有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，再將方程根的個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題.22．如圖，在極坐標(biāo)系中，圓O的半徑為2，半徑均為1的兩個(gè)半圓弧所在圓的圓心分別為，M是半圓弧上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).(1)若點(diǎn)A是圓O與極軸的交點(diǎn)，求的最大值；(2)若點(diǎn)N是射線與圓O的交點(diǎn)，求面積的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，得到半圓弧的直角坐標(biāo)方程，從而可得的最大值；（2）根據(jù)題