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文檔簡介

第一節方陣的特征值與特征向量二次型特征值問題與二次型第六章二次型及其標準形一、二次型及其標準形的概念稱為二次型.只含有平方項的二次型稱為二次型的標準形．例如都為二次型；而為二次型的標準形.2．用矩陣表示二、二次型的表示方法三、二次型的矩陣及秩在二次型的矩陣表示中，任給一個二次型，就唯一地確定一個對稱矩陣；反之，任給一個對稱矩陣，也可唯一地確定一個二次型．這樣，二次型與對稱矩陣之間存在一一對應的關系．解例１設有可逆線性變換四、化二次型為標準形對于二次型，我們討論的主要問題是：尋求可逆的線性變換，將二次型化為標準形．說明用正交變換化二次型為標準形的具體步驟1．寫出對應的二次型矩陣，并求其特征值例4從而得特征值2．求特征向量3．將特征向量正交化得正交向量組4．將正交向量組單位化，得正交矩陣于是所求正交變換為解例5六、小結

1.實二次型的化簡問題，在理論和實際中經常遇到，通過在二次型和對稱矩陣之間建立一一對應的關系，將二次型的化簡轉化為將對稱矩陣化為對角矩陣，而這是已經解決了的問題，請同學們注意這種研究問題的思想方法．化為標準型，并指出表示何種二次曲面.求一正交變換，將二次型思考題1思考題1解答特征值問題與二次型第五節正定二次型與正定矩陣一、慣性定理二、正(負)定二次型的概念為正定二次型為負定二次型例如為不定型二次型為負半定二次型三、正(負)定二次型的判別推論對稱矩陣為正定的充分必要條件是：的特征值全為正．定理3充分性必要性定義2這個定理稱為霍爾維茨定理．定理4

對稱矩陣為正定的充分必要條件是：的各階順序主子式為正，即正定矩陣具有以下一些簡單性質：推論對稱矩陣為負定的充分必要條件是：奇數階順序主子式為負，而偶數階主子式為正，即例3

判別二次型是否正定.解它的順序主子式故上述二次型是正定的.例4

判別二次型是否正定.解二次型的矩陣為用特征值判別法.故此二次型為正定二次型.即知是正定矩陣，解例5

若二次型正定，求參數

t

應滿足的條件.2.

正定二次型（正定矩陣）的判別方法：(1)定義法；(2)順序主子式判別法；(3)特征值判別法.四、小結

1.正定二次型的概念，正定二次型與正定矩陣的區別與聯系．

3.

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