電子信息工程學院信號處理課程組數字信號處理DigitalSignalProcessing

IIR數字濾波器基本結構

FIR數字濾波器基本結構

有限字長效應數字濾波器的MATLAB實現數字濾波器的結構及實現有限字長效應

問題的提出截尾和舍入量化效應輸入信號量化誤差濾波器系數量化誤差乘積運算量化誤差問題的提出

數字系統，存儲單元的字長有限。A/D轉換量化誤差數字濾波器的系數量化誤差乘積運算量化誤差截尾和舍入量化效應定點二進制數的表示數值量化及量化誤差定點二進制數的表示定點二進制數x有三種表示形式，若-1<x<1，則其原碼、反碼和補碼分別定義為：正數的原碼、反碼和補碼都相同。數值量化及量化誤差理論上，任意十進制數x(-1<x<1)都可用無限位二進制數表示實際中，只能用(b+1)位有限位近似表示x，此過程稱為量化。

當利用有限位二進制數近似表示需無限位二進制表示的數時，將會產生誤差，此誤差稱為量化誤差。符號位有效數字位數值量化兩種數值量化方式：截尾量化和舍入量化舍入量化截尾量化補碼數值量化如下十進制數序列：d=[0.6250.573-0.8720.268-0.326]0.625000.56250-0.875000.28125-0.31250[0.10100]b[0.10010]b[1.11100]b[0.01001]b[1.01010]b0.625000.56250-0.843750.25000-0.31250[0.10100]b[0.10010]b[1.11011]b[0.01000]b[1.01010]b按照5bit截尾序列：按照5bit舍入序列：量化誤差

截尾誤差：

舍入誤差：正數、負數補碼截尾誤差范圍為負數原碼和反碼截尾誤差范圍為舍入誤差對稱分布，截尾誤差單極性分布。量化誤差截尾誤差eT：舍入誤差eR：量化誤差(eR,eT)統計分析：均勻分布的隨機變量。舍入誤差概率密度函數曲線截尾誤差概率密度函數曲線量化誤差舍入誤差eR：截尾誤差eT：均值方差（平均功率）eR和eT是任一時刻的量化誤差。輸入信號量化誤差精確抽樣值量化誤差模擬信號經過A/D轉換為b位數字信號：若輸入信號的動態范圍可達A/D轉換器的滿量程，且不斷經歷不同的量化水平，則量化誤差e[k]：e[k]是平穩、服從均勻分布的白噪聲e[k]和x[k]不相關量化誤差e[k]的統計特性與任一時刻量化誤差(eR,eT)基本相同。輸入信號量化誤差e[k]的均值：e[k]的方差（平均功率）：輸入信號的信噪比SNR為（信號x[k]的平均功率為sx2）由此可見，字長b增加一位，SNR約增加6dB。輸入信號量化誤差通過LTI系統量化后的輸入信號通過離散LTI系統，輸入量化誤差在輸出端產生輸出誤差。利用卷積公式：輸出誤差輸入信號量化誤差通過LTI系統由輸入量化誤差產生的輸出誤差為

輸出誤差v[k]的方差為

推導可得，輸出誤差v[k]的方差為輸入信號量化誤差通過LTI系統根據Parseval定理

因此輸出誤差v[k]的方差也可表示為濾波器系數量化誤差FIR濾波器系數量化效應IIR濾波器系數量化效應因字長有限，濾波器系數an、bm量化后將產生誤差，導致：系統的實際頻響與所要求的系統頻響出現偏差；嚴重時，系統函數極點的改變，可能使IIR系統失去穩定。FIR濾波器系數量化誤差系數量化只影響零點，不涉及穩定性問題，但會影響頻率響應。量化后的系統函數變為：造成的頻率響應誤差E(ej)為FIR濾波器系數量化誤差采用舍入量化時，，因此若限定了頻響誤差E(ej)，則FIR數字濾波器的階數M越大時，需要的字長b越大。工程實際中，在根據上式估計字長的基礎上增加3~4位。FIR濾波器系數量化誤差[例]已知某FIR數字濾波器階數M=28，要求其系數量化誤差造成的頻響誤差不超過0.01，試確定所需的字長。

解：根據因此所需字長至少為b=11位。代入已知條件，得：FIR濾波器系數量化誤差[例]已知某線性相位FIR帶通濾波器滿足下列指標：Ws1=0.2prad,Wp1=0.3prad,Wp2=0.6prad,

Ws2=0.7prad,dp=0.1,ds=0.01分別采用4位和10位量化濾波器系數，觀察系統頻率響應的變化。Fs1=0.2;Fp1=0.3;Fp2=0.6;Fs2=0.7;f=[Fs1Fp1Fp2Fs2];a=[010];Rp=0.1;Rs=0.01;dev=[RsRpRs];[M,fo,ao,w]=firpmord(f,a,dev);h=firpm(M,fo,ao,w);w=linspace(0.01,pi-0.01,1000);mag=freqz(h,1,w);plot(w/pi,20*log10(abs(mag)),'r');%系數量化num_q1=qt(h,4);H=freqz(num_q1,1,w);holdon;plot(w/pi,20*log10(abs(H)),'g');num_q2=qt(h,10);H=freqz(num_q2,1,w);holdon;plot(w/pi,20*log10(abs(H)),'b');FIR濾波器系數量化誤差[例]已知某線性相位FIR帶通濾波器滿足下列指標：Ws1=0.2prad,Wp1=0.3prad,Wp2=0.6prad,

Ws2=0.7prad,dp=0.1,ds=0.01分別采用4位和10位量化濾波器系數，觀察系統頻率響應的變化。未量化的濾波器系數(前10個數據)：0.00090.00700.0194-0.0361-0.06170.02880.0573-0.00130.06110.0360采用4位量化后的濾波器系數(前10個數據)：-0.0061-0.0061-0.0061-0.0381-0.07000.02580.0258-0.00610.05780.0258采用10位量化后的濾波器系數(前10個數據)：0.00090.00690.0194-0.0366-0.06200.02830.0568-0.00160.06080.0358FIR濾波器系數量化誤差Wp1=0.3pradWp2=0.6praddp=0.1Ws1=0.2pradWs2=0.7pradds=0.01頻率響應IIR濾波器系數量化誤差系數an量化后的值：IIR濾波器系數量化誤差對極點位置的影響極點pr量化后的值：IIR濾波器系數量化誤差極點pr量化后的值：第r個極點對第n個系數an量化的敏感度極點量化誤差pr/an越大，an對pr的影響越大，反之亦然。IIR濾波器系數量化誤差對極點位置的影響IIR濾波器系數量化誤差極點位置敏感度的表達式為極點彼此間距離越遠，極點位置敏感度就越低；極點彼此越密集，

極點位置敏感度就越高。在并聯結構和級聯結構中，每個子系統最多只有兩個共軛極點，

故量化影響較小。IIR濾波器系數量化誤差[例]設計滿足如下指標的BW型帶阻濾波器，并采用直接型結構實現，試分別采用4位、8位和12位對系數進行量化，觀察濾波器的頻率響應和零極點的變化。Wp1=0.45prad,

Wp2=0.72prad,Ap1dB

,

Ws1=0.52prad,

Ws2=0.62prad,As

20dBIIR濾波器系數量化誤差未量化的濾波器系數：0.48320.85372.49832.72774.04872.72772.49830.85370.48321.45213.37373.07643.75492.14841.64970.48600.2335采用4位量化后的濾波器系數：0.47190.71042.37962.61804.04872.61802.37960.71040.47191.42573.33342.85653.57182.14111.42570.47190.2335分子bi分母ai分子bi分母aiIIR濾波器系數量化誤差未量化4位量化不穩定系統IIR濾波器系數量化誤差未量化的濾波器系數：采用8位量化后的濾波器系數：0.47190.84452.48392.72234.04872.72232.48390.84450.47191.44063.36323.06513.75072.14111.64930.47190.23350.48310.85292.49792.72704.04872.72702.49790.85290.48311.45183.37343.07633.75442.14761.64930.48590.2335采用12位量化后的濾波器系數：分子bi分母ai分子bi分母ai0.48320.85372.49832.72774.04872.72772.49830.85370.48321.45213.37373.07643.75492.14841.64970.48600.2335分子bi分母aiIIR濾波器系數量化誤差未量化8位量化IIR濾波器系數量化誤差未量化12位量化IIR濾波器系數量化誤差Wp1=0.45pradWp2=0.72pradAp1dB

Ws1=0.52pradWs2=0.62pradAs

20dBIIR濾波器系數量化誤差[例]設計滿足如下指標的BW型帶阻濾波器，若采用二階節級聯型結構實現該濾波器，其系數量化仍采用8位字長，比較其與直接型結構對濾波器的頻率響應和零極點的影響。Wp1=0.45prad,

Wp2=0.72prad,Ap1dB

,

Ws1=0.52prad,

Ws2=0.62prad,As

20dBIIR濾波器系數量化誤差直接型（8位量化）級聯型（8位量化）直接型（未量化）IIR濾波器系數量化誤差Wp1=0.45pradWp2=0.72pradAp1dB

Ws1=0.52pradWs2=0.62pradAs

20dB8位量化乘積運算量化誤差

FIR系統乘積量化誤差的統計分析IIR系統乘積量化誤差的統計分析IIR系統極限環振蕩現象乘積運算量化誤差

乘積量化誤差用噪聲源ei[k]表示，對其做如下假設：（1）各噪聲源均為白噪聲序列；（2）各噪聲源統計獨立，互不相關；（3）在量化噪聲范圍內，各噪聲源都視為等概率密度分布。乘積量化噪聲源方差：FIR系統乘積量化誤差的統計分析

M階FIR系統的差分方程為：對FIR系統中M+1個乘積項進行量化處理FIR直接型結構乘積量化誤差噪聲源模型由乘積量化噪聲產生的輸出噪聲方差在直接型FIR結構中，所有的噪聲直接加在輸出端FIR系統乘積量化誤差的統計分析

IIR系統乘積量化誤差的統計分析

對上式M+1+N個乘積項作量化處理IIRDF的差分方程為IIR系統乘積量化誤差的統計分析

[例]

已知某IIR數字濾波器的系統函數為

試分別計算直接型、級聯型和并聯型結構下，由乘法量化產生的輸出噪聲方差。

IIR系統乘積量化誤差的統計分析

解：直接型結構

量化誤差e[k]通過的系統為IIR系統乘積量化誤差的統計分析

量化誤差e[k](e0[k]、e1[k]和e2[k])的方差為乘法量化產生的輸出噪聲方差IIR系統乘積量化誤差的統計分析

級聯型結構

e1[k](e10[k]和e11[k])通過的系統e2[k](e21[k])通過的系統IIR系統乘積量化誤差的統計分析

e1[k](e10[k]和e11[k])通過的系統e2[k](e21[k])通過的系統乘法量化產生的輸出噪聲方差IIR系統乘積量化誤差的統計分析

并聯型結構

e1[k](e10[k]和e11[k])通過的系統e2[k](e20[k]和e21[k])通過的系統IIR系統乘積量化誤差的統計分析

e1[k](e10[k]和e11[k])通過的系統e2[k](e20[k]和e21[k])通過的系統乘法量化產生的