量子力學中的力學量量子力學基礎1第1頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四由前面的討論，我們看到，當微觀粒子處在某一狀態時，一般而言，其力學量（如坐標、動量和能量）不一定具有確定的數值，而以一定幾率分布取一系列可能值（當然，可能在某些特殊的狀態，有些力學量可取確定值）。1.表示力學量的算符operatorfordynamicalvariable1.坐標與動量的平均值若已知粒子在坐標表象中的狀態波函數，按照波函統計解釋，利用統計平均方法，可求得粒子坐標的平均值若知道粒子在動量表象中的波函數，同理可出出粒子動量或的平均值。2第2頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四（1）坐標平均值設粒子的狀態波函數為

或

粒子的位置處在：

間的幾率

1.表示力學量的算符operatorfordynamicalvariable3第3頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四利用計算出坐置的平均值

坐標算符

Prove：

1.表示力學量的算符operatorfordynamicalvariable4第4頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四1.表示力學量的算符operatorfordynamicalvariable5第5頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四1.表示力學量的算符operatorfordynamicalvariable6第6頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四（2）動量平均值粒子的動量值處于間的幾率為:利用計算動量平均值1.表示力學量的算符operatorfordynamicalvariable7第7頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四Prove:動量算符

1.表示力學量的算符operatorfordynamicalvariable8第8頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四1.表示力學量的算符operatorfordynamicalvariable9第9頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四結論

由波函數計算坐標和動量的平均值時，坐標與動量要用相應的算符代入積分式。

利用坐標表象的波函數計算坐標平均值時，坐標算符就是坐標本身；利用動量表象的波函數計算坐標平均值時，坐標算符

利用坐標表象的波函數計算動量平均值時，動量算符；利用動量表象的波函數計算動量平均值時，動量算符就是動量本身1.表示力學量的算符operatorfordynamicalvariable10第10頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四2．表示力學量的算符1）算符的定義對一函數作用得到另一函數的運算符號

Ex:1.表示力學量的算符operatorfordynamicalvariable11第11頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四2）算符的本征方程算符

作用在函數

上，結果等于一常數

乘以

即

此稱為算符

的本征方程，

稱為其本征值，

為其本征函數。

3）力學量算符表示力學量的算符必須是對波函數進行有物理意義運算的符號。坐標算符

例如當波函數為時1.表示力學量的算符operatorfordynamicalvariable12第12頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四哈密頓算符

動量算符

力學量算符規則——即構造力學量算符的規則：將第二章中構造Harmilton算符的方法加以推廣，便提出一個構造一般力學量算符的基本假設。

若量子力學中的力學量F在經典力學中有相應的力學量，則表示該力學量的算符由經典表示中將

換成算符而得出。

1.表示力學量的算符operatorfordynamicalvariable13第13頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四Ex:

動能算符

角動量算符

1.表示力學量的算符operatorfordynamicalvariable14第14頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四（2）對于只在量子理論中才有，而在經典力學中沒有的力學量，其算符如何構造的問題另外討論。注:（1）以上所述力學量算符規則是對坐標表象而言，對于動量表象，表示力學量F的算符是將經典表示中的坐標位置換成坐標算符1.表示力學量的算符operatorfordynamicalvariable15第15頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四4）力學量算符與力學量測量值的關系在第二章討論哈密頓算符的本征值問題時已看到，當體系處在的本征態時，體系有確定的能量，該能量值就是在此本征態中的本征值。當體系處在任一態中時，測量體系的能量無確定值，而有一系列可能值，這些可能值均為的本征值。這表明的本征值是體系能量的可測值，將該結論推廣到一般力學量算符提出一個基本假設.

如果算符表示力學量F，那么當體系處于的本征態中時，力學量F有確定值，這個值就是屬于該本征態的本征值。該假設給出了表示力學量的算符與該力學量的關系。1.表示力學量的算符operatorfordynamicalvariable16第16頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四5）厄米算符及其性質（1）厄米算符的定義（2）厄米算符的性質

厄米算符的本征值必為實數則稱

為厄米算符

若對于任意兩函數和，算符滿足等式1.表示力學量的算符operatorfordynamicalvariable17第17頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四力學量算符為線性的厄米算符

6）力學量算符的性質即為實數

設

為厄米算符，

Prove:1.表示力學量的算符operatorfordynamicalvariable18第18頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四證明：動量算符的一個分量Px是厄密算符1.表示力學量的算符operatorfordynamicalvariable19第19頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四本征方程：

令2.動量算符momentumoperator20第20頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四or

2.動量算符momentumoperator21第21頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四1）若粒子處在無限空間中，則按函數的歸一化方法確定歸一化常數A，即本征值取連續值。2.動量算符momentumoperator22第22頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四2）若粒子處在邊長為L的立方體內運動，則用所謂箱歸一化方法確定常數A。

設粒子被限制在邊長為L的方體內，周期性邊界條件要求本征函數在點和對應點處的值相等。（周期性條件）

同理xyzoAA’2.動量算符momentumoperator23第23頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四本征值

:可見，加上周期條件后，動量算符的本征值取離散譜2.動量算符momentumoperator24第24頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四即

離散譜→連續譜當

時，討論

:由歸一化條件歸一化波函數

2.動量算符momentumoperator25第25頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四本征值：F1，F2，F3……組成本征值譜本征函數：……組成本函數系本征函數的正交性：解得本征值方程：屬于厄米算符的不同本征值的本征函數相互正交。數學表述3.厄密算符本征函數的正交性

OrthonormalityforeigenfunctionofHermiteanoperators26第26頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四由厄米定義：移項：

本征值方程Prove:即

時當有當時有正交性歸一函數系為正交歸一函數系。

3.厄密算符本征函數的正交性

OrthonormalityforeigenfunctionofHermiteanoperators27第27頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四線性諧振子能量算符的本征函數：組成正交歸一系

Ex：3.厄密算符本征函數的正交性

OrthonormalityforeigenfunctionofHermiteanoperators28第28頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四

（1）以上的討論曾認為本征值為分立譜，若本征值為連續譜，可作同樣的討論，這時本征函數的正交歸一性應寫成例如動量算符的本征函數：（2）前面的討論假定本征值所屬的本征函數均不相等，若的本征值是度簡并的，則屬于的本征函數有f個：注意3.厄密算符本征函數的正交性

OrthonormalityforeigenfunctionofHermiteanoperators29第29頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四

當體系處于的本征態時，表示的力學量有確定值，該值就是在態中的本征值，即本征函數：（正交歸—完全函數系）本征值：（本征值譜)設為力學量算符1．力學量算符的本征值與力學量的關系4.算符與力學量的關系

Therelationshipbetweenoperatoranddynamicalvariable30第30頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四（2）Q：將（1）代入歸一化條件

（3）當體系不是處于的本征態，而是處于任一個態，這時與它所表示的力學量之間的關系如何。將寫成（1）4.算符與力學量的關系

Therelationshipbetweenoperatoranddynamicalvariable31第31頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四按（3）式知具有幾率的意義，在這種情況下，測量力學量F必定得的結果。由這個特例和（3）式看到具有幾率的意義，它表示在態中測量力學量F得到結果是的本征值的幾率，故Cn常稱為幾率幅，（3）式表明總的幾率為1。若就是的本征態則由（1）知其余系數4.算符與力學量的關系

Therelationshipbetweenoperatoranddynamicalvariable32第32頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四

量子力學中表示力學量的算符都是厄米算符，它們的本征函數組成完全系。當體系處于波函數(x)所描寫的狀態時，測量力學量F所得的數值，必須是算符的本征值之一，測得的幾率是基本假設

①此假設的正確性，由該理論與實驗結果符合而得到驗證。②根據此假定，力學量在一般狀態中沒有確定的數值，而是一系列的可能值，這些可能值就是表示這個力學量的算符的本征值，每個可能值都以確定的幾率出現。

[注]4.算符與力學量的關系

Therelationshipbetweenoperatoranddynamicalvariable33第33頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四設為任一波函數，且2．力學量平均值與力學量算符本征值間的關系的本征值：本征函數4.算符與力學量的關系

Therelationshipbetweenoperatoranddynamicalvariable34第34頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四①若不是歸一化的波函數，則②若的本征值為分立譜和連續譜組合注意，4.算符與力學量的關系

Therelationshipbetweenoperatoranddynamicalvariable35第35頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四例子求在能量本征態下的測量動量和動能的平均值在能量本征態下測量到的平均值即該態所對應能量的本征值4.算符與力學量的關系

Therelationshipbetweenoperatoranddynamicalvariable36第36頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四則與不對易1．算符的對易關系若，則稱與對易若，則稱與不對易引入對易子：則與對易若，若，設與是兩個算符5.算符對易關系兩力學量同時有確定值的條件測不準關系

Operatorcommute;TheHeisenbergUncertaintyPrinciple37第37頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四（1）力學量算符的基本對易關系5.算符對易關系兩力學量同時有確定值的條件測不準關系

Operatorcommute;TheHeisenbergUncertaintyPrinciple38第38頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四證明5.算符對易關系兩力學量同時有確定值的條件測不準關系

Operatorcommute;TheHeisenbergUncertaintyPrinciple39第39頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四prove:（2）對易恒等式雅可比恒等式雙線性5.算符對易關系兩力學量同時有確定值的條件測不準關系

Operatorcommute;TheHeisenbergUncertaintyPrinciple40第40頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四2．力學量同時有確定值的條件定理:若算符和具有共同的本征函數完全系，則和必對易prove:逆定理若兩個算符與對易，則它們具有共同的本征函數完全系（為簡單起見，先在非簡并情況下證明）（注：在簡并的情況下，結論仍成立）prove:5.算符對易關系兩力學量同時有確定值的條件測不準關系

Operatorcommute;TheHeisenbergUncertaintyPrinciple41第41頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四

若兩個力學量算符彼此不對易，則一般說來這兩個算符表示的兩個力學量不能同時具有確定性，或者說不能同時測定。Ex.1

動量算符彼此對易，它們有共同的本征函數結論:在兩個算符的共同本征函數所描寫的狀態中，這兩個算符所表示的力學量同時有確定值；而兩個算符有共同本征函數的充要條件是這兩個算符彼此對易?；蛘哒f兩個算符同時有確定值的條件是它們的算符相互對易。同時有確定值：5.算符對易關系兩力學量同時有確定值的條件測不準關系

Operatorcommute;TheHeisenbergUncertaintyPrinciple42第42頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四考慮積分：3．測不準關系

設和的對易關系為，即5.算符對易關系兩力學量同時有確定值的條件測不準關系

Operatorcommute;TheHeisenbergUncertaintyPrinciple43第43頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四由代數中二次定理知，這個不等式成立的條件是系數必須滿足下列關系：（稱為測不準關系）5.算符對易關系兩力學量同時有確定值的條件測不準關系

Operatorcommute;TheHeisenbergUncertaintyPrinciple44第44頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四or

此為坐標和動量的測不準關系，和不能同時為零，坐標x的均方差越小，則與它共軛的動量px

的均方偏差越大，亦就是說，坐標愈測量準，動量就愈測不準。對于坐標和動量，

如果不等于零，則和的均方偏差不會同時為零，它們的乘積要大于一正數，這意味著F和G不能同時測定。5.算符對易關系兩力學量同時有確定值的條件測不準關系

Operatorcommute;TheHeisenbergUncertaintyPrinciple45第45頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四由測不準關系看出：若兩個力學量算符和不對易，則一般說來與不能同時為零，即F和G不能同時測定（但注意，的特殊態可能是例外），或者說它們不能有共同本征態。反之，若兩個厄米算符和對易，則可以找出這樣的態，使和同時滿足，即可以找出它們的共同本征態。

測不準關系的應用利用測不準關系估算線性諧振子的零點能5.算符對易關系兩力學量同時有確定值的條件測不準關系

Operatorcommute;TheHeisenbergUncertaintyPrinciple46第46頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四諧振子的能量

Solve：平均能量：

5.算符對易關系兩力學量同時有確定值的條件測不準關系

Operatorcommute;TheHeisenbergUncertaintyPrinciple47第47頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四5.算符對易關系兩力學量同時有確定值的條件測不準關系

Operatorcommute;TheHeisenbergUncertaintyPrinciple48第48頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四

故所謂零點能即為測不準關系要求的最小能量，零點能在舊量子理論是沒有的（零點能）5.算符對易關系兩力學量同時有確定值的條件測不準關系

Operatorcommute;TheHeisenbergUncertaintyPrinciple49第49頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四此式表明力學量平均值隨時間發生變化有兩方面的原因:6.力學量隨時間的變化守恒律ThedynamicalvariablewithrespecttotimeTheconservationlaws體系所處的狀態隨時間而變化力學量算符是時間的顯函數，使隨時間變化1、力學量平均值隨時間的變化（1）50第50頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四由薛定諤方程：

代入（1）：因是厄米算符

6.力學量隨時間的變化守恒律ThedynamicalvariablewithrespecttotimeTheconservationlaws51第51頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四（2）利用對易子記號

則6.力學量隨時間的變化守恒律ThedynamicalvariablewithrespecttotimeTheconservationlaws52第52頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四

力學量的平均值不隨時間而變化,則稱為運動積分，或在運動中守恒。2、運動積分——力學量守恒的條件若：力學量算符不顯含時間t，且與哈米頓算符對易則有常量結論:即，6.力學量隨時間的變化守恒律ThedynamicalvariablewithrespecttotimeTheconservationlaws53第53頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四又故自由粒子的動量是運動積分——動量守恒

守恒例1：自由粒子的動量不顯含時間6.力學量隨時間的變化守恒律ThedynamicalvariablewithrespecttotimeTheconservationlaws54第54頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四例3：哈米頓算符不顯含時間的體系能量當不顯含t時，

又

即：能量守恒定律！

6.力學量隨時間的變化守恒律ThedynamicalvariablewithrespecttotimeTheconservationlaws55第55頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四空間反演算符也稱為宇稱算符3、哈米頓算符對空間反演時的不變宇稱空間反演：反演空間反演算符反演算符的本征值6.力學量隨時間的變化守恒律ThedynamicalvariablewithrespecttotimeTheconservationlaws56第56頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四(偶宇稱)(奇宇稱)本征值具有偶宇稱或奇宇稱的波函數稱為具有確定的宇稱。宇稱是運動空間對稱