2023屆海南省海口中學(xué)高三第三次模擬測試（Ａ卷）數(shù)學(xué)試題一、單選題1．設(shè)全集，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先化簡集合，然后用補(bǔ)集的定義即可求解【詳解】由可得，解得，因?yàn)槿裕怨蔬x：D2．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則求出復(fù)數(shù)，然后得到對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可判斷點(diǎn)所在的象限.【詳解】復(fù)數(shù)，所以復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)為，即復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限.故選：C.3．某地?cái)偧悬c(diǎn)在銷售旺季的某天接納顧客量超過1萬人次的概率是，連續(xù)兩天顧客量超過1萬人次的概率是，在該地?cái)偧悬c(diǎn)在銷售旺季的某天接納顧客量超過1萬人次的條件下，隨后一天的接納顧客量超過1萬人次概率是（

）.A． B． C． D．【答案】D【分析】利用條件概率的定義及其概率計(jì)算公式求解即可．【詳解】設(shè)“某天接納顧客量超過1萬人次”為事件A，“隨后一天的接納顧客量超過1萬人次”為事件B，則，，所以，故選：D．4．下圖是戰(zhàn)國時(shí)期的一個(gè)銅鏃，其由兩部分組成，前段是高為2cm?底面邊長為1cm的正三棱錐，后段是高為0.6cm的圓柱，圓柱底面圓與正三棱錐底面的正三角形內(nèi)切，則此銅鏃的體積約為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出內(nèi)切圓半徑為r，再分別利用三棱錐體積與圓柱體積公式即可求出總體積.【詳解】因?yàn)檎忮F的底面邊長為1，設(shè)其內(nèi)切圓半徑為r，由等面積法，可得：，解得：，所以其內(nèi)切圓半徑為.由三棱錐體積與圓柱體積公式可得：.故選：D.5．已知點(diǎn)為外接圓的圓心，且，則的內(nèi)角等于()A．30° B．45°C．60° D．90°【答案】A【分析】由題意可得，又因?yàn)椋运倪呅螢榱庑危遥纯傻么鸢?【詳解】解：由得，，由為外接圓的圓心，所以，結(jié)合向量加法的幾何意義知，四邊形為菱形，且，故.故選：A.6．已知函數(shù)．若關(guān)于x的方程在區(qū)間上有且僅有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則的最大整數(shù)值為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用換元法求出的取值范圍，再根據(jù)三角函數(shù)的圖象得到的不等式，即可得答案；【詳解】令，，，的圖象如圖所示，關(guān)于x的方程在區(qū)間上有且僅有兩個(gè)不相等的實(shí)根，在上有且僅有兩個(gè)不相等的實(shí)根，，的最大整數(shù)值為，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用換元法和圖象法解三角方程，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意換元后新元的取值范圍.7．設(shè)，則的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】易得，再由，利用冪函數(shù)的單調(diào)性判斷.【詳解】因?yàn)椋遥谏线f增，所以，即，綜上：故選：A8．在正方體，中，，分別為正方形和的中心，，則平面截正方體所得截面的周長是（

）A．10 B．40 C． D．【答案】D【分析】延長，交于點(diǎn)，連接并延長，分別交，于，，連接，連接并延長，交于點(diǎn)，連接，得到四邊形為所求截面，進(jìn)而求得截面的周長，得到答案.【詳解】如圖所示，延長，交于點(diǎn)，連接并延長，分別交，于，，連接，連接并延長，交于點(diǎn)，連接，則四邊形為所求截面，因?yàn)槭钦叫蔚闹行模裕深}意易證四邊形為菱形，所以，，所以，，則為的中點(diǎn)，則，從而，故所求截面的周長為．故選：D.二、多選題9．如圖，棱長為的正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，則（

）A．直線與底面所成的角為 B．平面與底面夾角的余弦值為C．直線與直線的距離為 D．直線與平面的距離為【答案】BCD【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法分別求出線面角，面面角，平行線間距離及線面距離.【詳解】如圖所示，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，則，，，，，，A選項(xiàng)：，平面的法向量，設(shè)直線與底面所成的角為，則，直線與底面所成的角不為，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：，，設(shè)平面的法向量，則，令，則設(shè)平面與底面的夾角為，則，平面與底面夾角的余弦值為，故B正確；C選項(xiàng)，，直線與直線的距離為：，故C正確；D選項(xiàng)，，平面，平面，又，平面的法向量，直線與平面的距離為：，故D正確；故選：BCD.10．已知函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)是曲線的對稱中心B．當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)C．當(dāng)時(shí)，在上的最大值是1D．有兩個(gè)極值點(diǎn)【答案】ABC【分析】求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)中心對稱的定義求出對稱點(diǎn).【詳解】對于A，，，正確；對于B，

，，當(dāng)時(shí)，，是增函數(shù)，正確；對于C，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以在上時(shí)，的最大值可能是，也可能是，，，所以在區(qū)間上，正確；對于D，，當(dāng)時(shí)，，方程沒有實(shí)數(shù)解，即沒有極值點(diǎn)，錯(cuò)誤；故選：ABC.11．已知關(guān)于的方程表示的曲線為，以下說法正確的有（

）A．若，，，則恒過定點(diǎn)B．若，，，則表示圓C．若，，，，則表示橢圓D．若，，，，，則表示兩條直線【答案】AD【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圓，橢圓，直線方程依次分析即可得答案.【詳解】解：對于A選項(xiàng)，當(dāng)，，時(shí)，曲線為：，即為，顯然滿足方程，所以恒過定點(diǎn)，故A正確；對于B選項(xiàng)，當(dāng)，，時(shí)，方程為，其表示點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；對于C選項(xiàng)，當(dāng)，，，，方程為，所以，當(dāng)時(shí)，表示圓；當(dāng)時(shí)，表示橢圓；故C錯(cuò)誤；對于D，當(dāng)，，，，，方程為，即為，化簡得，即表示兩條直線，故D正確.故選：AD12．已知定義在上的函數(shù)在上單調(diào)遞增，且為偶函數(shù)，則（

）A．的對稱中心為B．的對稱軸為直線C．D．不等式的解集為【答案】BCD【分析】由題意可得圖象的對稱軸為直線，即可判斷A，B；結(jié)合對稱性可得在上單調(diào)遞減，從而，即可判斷C；由不等式結(jié)合的對稱性及單調(diào)性，可得，解不等式即可判斷D．【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，所以圖象關(guān)于直線對稱，故A錯(cuò)誤，B正確；又在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，所以，故C正確；由不等式結(jié)合的對稱性及單調(diào)性，得，即，即，解得或，所以不等式的解集為，故D正確，故選：BCD．三、填空題13．在中，和．則的外接圓方程為_________．【答案】【分析】設(shè)出的外接圓方程，代入點(diǎn)列方程組求解即可.【詳解】設(shè)的外接圓方程為，則，解得，故的外接圓方程為故答案為：14．若的展開式中只有第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為______.【答案】45【分析】根據(jù)展開式中只有第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大可得，再由通項(xiàng)可得答案.【詳解】因?yàn)檎归_式中只有第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以，展開式的通項(xiàng)為，令得，所以展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：.15．用數(shù)學(xué)的眼光看世界就能發(fā)現(xiàn)很多數(shù)學(xué)之“美”．現(xiàn)代建筑講究線條感，曲線之美讓人稱奇．衡量曲線彎曲程度的重要指標(biāo)是曲率，曲線的曲率定義如下：若是的導(dǎo)函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的曲率．若曲線和在處的曲率分別為，則__________．【答案】【分析】由函數(shù)和，分別求出，以及和，代入曲率公式計(jì)算，化簡求值即可．【詳解】，則，，，；，則，，，；則故答案為：四、雙空題16．橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過焦點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，則的周長為______；若，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為和，且，則的內(nèi)切圓半徑為______.【答案】

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【解析】利用橢圓的定義可求得的周長，利用兩種方法求出的面積相等可得的內(nèi)切圓半徑.【詳解】由知，，所以，，，所以，，根據(jù)橢圓的定義可得，，所以的周長為.因?yàn)椋O(shè)的內(nèi)切圓半徑為，則，所以，解得.故答案為：；.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用兩種方法求出的面積相等求解的內(nèi)切圓半徑是解題關(guān)鍵.五、解答題17．在中，角A，，所對的邊分別為，，，且．(1)若，，求角(2)設(shè)的角平分線交于點(diǎn)，若面積為，求長的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）從正弦定理出發(fā)進(jìn)行角換邊，再利用余弦定理求得角A，再利用一次正弦定理求得角度.（2）利用角平分線性質(zhì)及面積公式得到，再利用基本不等式得出最值.【詳解】（1）解：因?yàn)椋罁?jù)正弦定理，所以，即，由余弦定理變形知，因?yàn)椋裕驗(yàn)椋瑒t在中，由正弦定理得：又，因?yàn)椋裕?）法一：因?yàn)椋堑慕瞧椒志€，而，所以，即，所以，因?yàn)椋遥蔄D當(dāng)且僅當(dāng)取等，所以最大值為．答：當(dāng)時(shí)，最大值為．法二：因?yàn)?設(shè)，，在，中由正弦定理知：①，②，因?yàn)椋寓佗诘茫睿捎冢裕椎么撕瘮?shù)在為單調(diào)遞增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，最大值為．【點(diǎn)睛】本題考查正余弦定理解三角形，利用正弦定理解決范圍與最值問題，涉及求余弦定理的值域或最值，利用單調(diào)性求最值，屬于較難題．18．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)得到是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，求出通項(xiàng)公式；（2）由（1）得，由等差數(shù)列求和公式得到，利用裂項(xiàng)相消法求和.【詳解】（1）由得到，當(dāng)時(shí)，，兩式相減，有，得到，由于，，因?yàn)椋缮鲜鲞f推關(guān)系知，所以是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，所以．（2）由（1）知：，則，所以數(shù)列為等差數(shù)列，所以數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，所以．19．如圖，為圓的直徑，點(diǎn)在圓上，且為等腰梯形，矩形和圓所在的平面互相垂直，已知.(1)求證：平面平面；(2)當(dāng)?shù)拈L為何值時(shí)，二面角的大小為.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）先根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理得平面，即得，再根據(jù)圓性質(zhì)得，根據(jù)線面垂直判定定理得平面，，最后根據(jù)面面垂直判定定理得結(jié)論；（2）先根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)方程組求各面法向量，根據(jù)向量數(shù)量積求向量夾角，最后根據(jù)向量夾角與二面角關(guān)系建立方程，求出的長.【詳解】（1）證明：平面平面，且，平面平面，平面ABCD,所以平面，因?yàn)槠矫妫裕忠驗(yàn)闉閳A的直徑，所以，BF,CB在平面內(nèi)相交，所以平面，又由平面，所以平面平面.（2）設(shè)的中點(diǎn)分別為，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為，則，設(shè)平面的法向量為)，則，即，取，可得，則，由（1）可知平面，平面的一個(gè)法向量為，則，因?yàn)槎娼堑拇笮椋傻媒獾茫跃€段的長為.20．已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，．(1)求橢圓的方程；(2)為橢圓的右焦點(diǎn)，直線垂直于軸，與橢圓交于點(diǎn)，，直線與軸交于點(diǎn)，若直線與直線交于點(diǎn)，證明：點(diǎn)在橢圓上．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及橢圓上的兩點(diǎn)求得的值，即可得橢圓的方程；（2）設(shè)，，，不妨令，可得直線的直線方程，聯(lián)立直線方程求交點(diǎn)坐標(biāo)，將橫縱坐標(biāo)代入橢圓方程進(jìn)行驗(yàn)證即可證明.【詳解】（1）由題意知，將點(diǎn)代入橢圓方程得，即，所以橢圓C的方程．（2）證明：由（1）知，設(shè)，，設(shè)，，不妨令，則，，聯(lián)立兩直線方程解得，，從而，，有，，從而，所以點(diǎn)M在橢圓上．21．某加盟連鎖店總部對旗下600個(gè)加盟店中每個(gè)店的日銷售額（單位：百元）進(jìn)行了調(diào)查，如圖是隨機(jī)抽取的50個(gè)加盟店的日銷售額的頻率分布直方圖．若將日銷售額在的加盟店評(píng)定為“四星級(jí)”加盟店，日銷售額在的加盟店評(píng)定為“五星級(jí)”加盟店．(1)根據(jù)上述調(diào)查結(jié)果，估計(jì)這50個(gè)加盟店日銷售額的平均數(shù)和中位數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表，結(jié)果精確到0.1）；(2)若該加盟連鎖店總部旗下所有加盟店的日銷售額，其中近似為（1）中的樣本平均數(shù)，根據(jù)X的分布估計(jì)這600個(gè)加盟店中“五星級(jí)”加盟店的個(gè)數(shù)（結(jié)果精確到整數(shù)）；(3)該加盟連鎖店總部決定對樣本中“四星級(jí)”及“五星級(jí)”加盟店進(jìn)一步調(diào)研，現(xiàn)從這些加盟店中隨機(jī)抽取3個(gè)，設(shè)Y為抽取的“五星級(jí)"加盟店的個(gè)數(shù)，求Y的概率分布列與數(shù)學(xué)期望.參考數(shù)據(jù)：若，則，，．【答案】(1)平均數(shù)為13.0百元，中位數(shù)為13百元(2)14(3)分布列見解析，1【分析】（1）由平均數(shù)和中位數(shù)的計(jì)算公式計(jì)算即可得出答案；（2）由（1）知，，由正態(tài)分布的性質(zhì)求出的概率，即可求出這600個(gè)加盟店中“五星級(jí)”加盟店的個(gè)數(shù)；（3）求出Y的所有可能取值和每個(gè)變量對應(yīng)的概率，即可求出Y的分布列，再由期望公式求出Y的數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）由頻率分布直方圖得樣本中日銷售額為，，，，，，的頻率分別為0.08，0.10，0.20，0.24，0.20，0.12，0.06，∴估計(jì)這50個(gè)加盟店日銷售額的平均數(shù)為：（百元）．∵，，∴中位數(shù)在內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為x百元，則，解得．∴估計(jì)中位數(shù)為13百元．（2）由（1）知，∵，，∴，∴估計(jì)這600個(gè)加盟