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文檔簡介
2023屆海南省海口中學(xué)高三第三次模擬測試(A卷)數(shù)學(xué)試題一、單選題1.設(shè)全集,集合,則(
)A. B. C. D.【答案】D【分析】先化簡集合,然后用補(bǔ)集的定義即可求解【詳解】由可得,解得,因?yàn)槿裕怨蔬x:D2.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于(
)A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】C【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則求出復(fù)數(shù),然后得到對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo),從而可判斷點(diǎn)所在的象限.【詳解】復(fù)數(shù),所以復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)為,即復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限.故選:C.3.某地?cái)偧悬c(diǎn)在銷售旺季的某天接納顧客量超過1萬人次的概率是,連續(xù)兩天顧客量超過1萬人次的概率是,在該地?cái)偧悬c(diǎn)在銷售旺季的某天接納顧客量超過1萬人次的條件下,隨后一天的接納顧客量超過1萬人次概率是(
).A. B. C. D.【答案】D【分析】利用條件概率的定義及其概率計(jì)算公式求解即可.【詳解】設(shè)“某天接納顧客量超過1萬人次”為事件A,“隨后一天的接納顧客量超過1萬人次”為事件B,則,,所以,故選:D.4.下圖是戰(zhàn)國時(shí)期的一個(gè)銅鏃,其由兩部分組成,前段是高為2cm?底面邊長為1cm的正三棱錐,后段是高為0.6cm的圓柱,圓柱底面圓與正三棱錐底面的正三角形內(nèi)切,則此銅鏃的體積約為(
)A. B. C. D.【答案】D【分析】先求出內(nèi)切圓半徑為r,再分別利用三棱錐體積與圓柱體積公式即可求出總體積.【詳解】因?yàn)檎忮F的底面邊長為1,設(shè)其內(nèi)切圓半徑為r,由等面積法,可得:,解得:,所以其內(nèi)切圓半徑為.由三棱錐體積與圓柱體積公式可得:.故選:D.5.已知點(diǎn)為外接圓的圓心,且,則的內(nèi)角等于()A.30° B.45°C.60° D.90°【答案】A【分析】由題意可得,又因?yàn)椋运倪呅螢榱庑危遥纯傻么鸢?【詳解】解:由得,,由為外接圓的圓心,所以,結(jié)合向量加法的幾何意義知,四邊形為菱形,且,故.故選:A.6.已知函數(shù).若關(guān)于x的方程在區(qū)間上有且僅有兩個(gè)不相等的實(shí)根,則的最大整數(shù)值為(
)A. B.C. D.【答案】B【分析】利用換元法求出的取值范圍,再根據(jù)三角函數(shù)的圖象得到的不等式,即可得答案;【詳解】令,,,的圖象如圖所示,關(guān)于x的方程在區(qū)間上有且僅有兩個(gè)不相等的實(shí)根,在上有且僅有兩個(gè)不相等的實(shí)根,,的最大整數(shù)值為,故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查利用換元法和圖象法解三角方程,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力,求解時(shí)注意換元后新元的取值范圍.7.設(shè),則的大小關(guān)系是(
)A. B.C. D.【答案】A【解析】易得,再由,利用冪函數(shù)的單調(diào)性判斷.【詳解】因?yàn)椋遥谏线f增,所以,即,綜上:故選:A8.在正方體,中,,分別為正方形和的中心,,則平面截正方體所得截面的周長是(
)A.10 B.40 C. D.【答案】D【分析】延長,交于點(diǎn),連接并延長,分別交,于,,連接,連接并延長,交于點(diǎn),連接,得到四邊形為所求截面,進(jìn)而求得截面的周長,得到答案.【詳解】如圖所示,延長,交于點(diǎn),連接并延長,分別交,于,,連接,連接并延長,交于點(diǎn),連接,則四邊形為所求截面,因?yàn)槭钦叫蔚闹行模裕深}意易證四邊形為菱形,所以,,所以,,則為的中點(diǎn),則,從而,故所求截面的周長為.故選:D.二、多選題9.如圖,棱長為的正方體中,,分別為,的中點(diǎn),則(
)A.直線與底面所成的角為 B.平面與底面夾角的余弦值為C.直線與直線的距離為 D.直線與平面的距離為【答案】BCD【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法分別求出線面角,面面角,平行線間距離及線面距離.【詳解】如圖所示,以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),為軸,為軸,為軸,則,,,,,,A選項(xiàng):,平面的法向量,設(shè)直線與底面所成的角為,則,直線與底面所成的角不為,故A錯(cuò)誤;B選項(xiàng):,,設(shè)平面的法向量,則,令,則設(shè)平面與底面的夾角為,則,平面與底面夾角的余弦值為,故B正確;C選項(xiàng),,直線與直線的距離為:,故C正確;D選項(xiàng),,平面,平面,又,平面的法向量,直線與平面的距離為:,故D正確;故選:BCD.10.已知函數(shù),則下列結(jié)論中正確的是(
)A.當(dāng)時(shí),點(diǎn)是曲線的對稱中心B.當(dāng)時(shí),在上是增函數(shù)C.當(dāng)時(shí),在上的最大值是1D.有兩個(gè)極值點(diǎn)【答案】ABC【分析】求導(dǎo),根據(jù)導(dǎo)函數(shù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性,根據(jù)中心對稱的定義求出對稱點(diǎn).【詳解】對于A,,,正確;對于B,
,,當(dāng)時(shí),,是增函數(shù),正確;對于C,,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減,所以在上時(shí),的最大值可能是,也可能是,,,所以在區(qū)間上,正確;對于D,,當(dāng)時(shí),,方程沒有實(shí)數(shù)解,即沒有極值點(diǎn),錯(cuò)誤;故選:ABC.11.已知關(guān)于的方程表示的曲線為,以下說法正確的有(
)A.若,,,則恒過定點(diǎn)B.若,,,則表示圓C.若,,,,則表示橢圓D.若,,,,,則表示兩條直線【答案】AD【分析】根據(jù)題意,結(jié)合圓,橢圓,直線方程依次分析即可得答案.【詳解】解:對于A選項(xiàng),當(dāng),,時(shí),曲線為:,即為,顯然滿足方程,所以恒過定點(diǎn),故A正確;對于B選項(xiàng),當(dāng),,時(shí),方程為,其表示點(diǎn),故B錯(cuò)誤;對于C選項(xiàng),當(dāng),,,,方程為,所以,當(dāng)時(shí),表示圓;當(dāng)時(shí),表示橢圓;故C錯(cuò)誤;對于D,當(dāng),,,,,方程為,即為,化簡得,即表示兩條直線,故D正確.故選:AD12.已知定義在上的函數(shù)在上單調(diào)遞增,且為偶函數(shù),則(
)A.的對稱中心為B.的對稱軸為直線C.D.不等式的解集為【答案】BCD【分析】由題意可得圖象的對稱軸為直線,即可判斷A,B;結(jié)合對稱性可得在上單調(diào)遞減,從而,即可判斷C;由不等式結(jié)合的對稱性及單調(diào)性,可得,解不等式即可判斷D.【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù),所以,所以圖象關(guān)于直線對稱,故A錯(cuò)誤,B正確;又在上單調(diào)遞增,所以在上單調(diào)遞減,所以,故C正確;由不等式結(jié)合的對稱性及單調(diào)性,得,即,即,解得或,所以不等式的解集為,故D正確,故選:BCD.三、填空題13.在中,和.則的外接圓方程為_________.【答案】【分析】設(shè)出的外接圓方程,代入點(diǎn)列方程組求解即可.【詳解】設(shè)的外接圓方程為,則,解得,故的外接圓方程為故答案為:14.若的展開式中只有第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為______.【答案】45【分析】根據(jù)展開式中只有第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大可得,再由通項(xiàng)可得答案.【詳解】因?yàn)檎归_式中只有第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,所以,展開式的通項(xiàng)為,令得,所以展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.故答案為:.15.用數(shù)學(xué)的眼光看世界就能發(fā)現(xiàn)很多數(shù)學(xué)之“美”.現(xiàn)代建筑講究線條感,曲線之美讓人稱奇.衡量曲線彎曲程度的重要指標(biāo)是曲率,曲線的曲率定義如下:若是的導(dǎo)函數(shù),是的導(dǎo)函數(shù),則曲線在點(diǎn)處的曲率.若曲線和在處的曲率分別為,則__________.【答案】【分析】由函數(shù)和,分別求出,以及和,代入曲率公式計(jì)算,化簡求值即可.【詳解】,則,,,;,則,,,;則故答案為:四、雙空題16.橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,,過焦點(diǎn)的直線交橢圓于,兩點(diǎn),則的周長為______;若,兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為和,且,則的內(nèi)切圓半徑為______.【答案】
8
【解析】利用橢圓的定義可求得的周長,利用兩種方法求出的面積相等可得的內(nèi)切圓半徑.【詳解】由知,,所以,,,所以,,根據(jù)橢圓的定義可得,,所以的周長為.因?yàn)椋O(shè)的內(nèi)切圓半徑為,則,所以,解得.故答案為:;.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:利用兩種方法求出的面積相等求解的內(nèi)切圓半徑是解題關(guān)鍵.五、解答題17.在中,角A,,所對的邊分別為,,,且.(1)若,,求角(2)設(shè)的角平分線交于點(diǎn),若面積為,求長的最大值.【答案】(1)(2)【分析】(1)從正弦定理出發(fā)進(jìn)行角換邊,再利用余弦定理求得角A,再利用一次正弦定理求得角度.(2)利用角平分線性質(zhì)及面積公式得到,再利用基本不等式得出最值.【詳解】(1)解:因?yàn)椋罁?jù)正弦定理,所以,即,由余弦定理變形知,因?yàn)椋裕驗(yàn)椋瑒t在中,由正弦定理得:又,因?yàn)椋裕?)法一:因?yàn)椋堑慕瞧椒志€,而,所以,即,所以,因?yàn)椋遥蔄D當(dāng)且僅當(dāng)取等,所以最大值為.答:當(dāng)時(shí),最大值為.法二:因?yàn)?設(shè),,在,中由正弦定理知:①,②,因?yàn)椋寓佗诘茫睿捎冢裕椎么撕瘮?shù)在為單調(diào)遞增函數(shù),所以當(dāng)時(shí),最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查正余弦定理解三角形,利用正弦定理解決范圍與最值問題,涉及求余弦定理的值域或最值,利用單調(diào)性求最值,屬于較難題.18.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,,.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)記,數(shù)列的前項(xiàng)和為,求的值.【答案】(1)(2)【分析】(1)根據(jù)得到是以2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,求出通項(xiàng)公式;(2)由(1)得,由等差數(shù)列求和公式得到,利用裂項(xiàng)相消法求和.【詳解】(1)由得到,當(dāng)時(shí),,兩式相減,有,得到,由于,,因?yàn)椋缮鲜鲞f推關(guān)系知,所以是以2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,所以,所以.(2)由(1)知:,則,所以數(shù)列為等差數(shù)列,所以數(shù)列的前項(xiàng)和為,則,所以.19.如圖,為圓的直徑,點(diǎn)在圓上,且為等腰梯形,矩形和圓所在的平面互相垂直,已知.(1)求證:平面平面;(2)當(dāng)?shù)拈L為何值時(shí),二面角的大小為.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】(1)先根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理得平面,即得,再根據(jù)圓性質(zhì)得,根據(jù)線面垂直判定定理得平面,,最后根據(jù)面面垂直判定定理得結(jié)論;(2)先根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)方程組求各面法向量,根據(jù)向量數(shù)量積求向量夾角,最后根據(jù)向量夾角與二面角關(guān)系建立方程,求出的長.【詳解】(1)證明:平面平面,且,平面平面,平面ABCD,所以平面,因?yàn)槠矫妫裕忠驗(yàn)闉閳A的直徑,所以,BF,CB在平面內(nèi)相交,所以平面,又由平面,所以平面平面.(2)設(shè)的中點(diǎn)分別為,以為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示,設(shè),則點(diǎn)D的坐標(biāo)為,則,設(shè)平面的法向量為),則,即,取,可得,則,由(1)可知平面,平面的一個(gè)法向量為,則,因?yàn)槎娼堑拇笮椋傻媒獾茫跃€段的長為.20.已知橢圓經(jīng)過點(diǎn),.(1)求橢圓的方程;(2)為橢圓的右焦點(diǎn),直線垂直于軸,與橢圓交于點(diǎn),,直線與軸交于點(diǎn),若直線與直線交于點(diǎn),證明:點(diǎn)在橢圓上.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】(1)根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及橢圓上的兩點(diǎn)求得的值,即可得橢圓的方程;(2)設(shè),,,不妨令,可得直線的直線方程,聯(lián)立直線方程求交點(diǎn)坐標(biāo),將橫縱坐標(biāo)代入橢圓方程進(jìn)行驗(yàn)證即可證明.【詳解】(1)由題意知,將點(diǎn)代入橢圓方程得,即,所以橢圓C的方程.(2)證明:由(1)知,設(shè),,設(shè),,不妨令,則,,聯(lián)立兩直線方程解得,,從而,,有,,從而,所以點(diǎn)M在橢圓上.21.某加盟連鎖店總部對旗下600個(gè)加盟店中每個(gè)店的日銷售額(單位:百元)進(jìn)行了調(diào)查,如圖是隨機(jī)抽取的50個(gè)加盟店的日銷售額的頻率分布直方圖.若將日銷售額在的加盟店評定為“四星級”加盟店,日銷售額在的加盟店評定為“五星級”加盟店.(1)根據(jù)上述調(diào)查結(jié)果,估計(jì)這50個(gè)加盟店日銷售額的平均數(shù)和中位數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表,結(jié)果精確到0.1);(2)若該加盟連鎖店總部旗下所有加盟店的日銷售額,其中近似為(1)中的樣本平均數(shù),根據(jù)X的分布估計(jì)這600個(gè)加盟店中“五星級”加盟店的個(gè)數(shù)(結(jié)果精確到整數(shù));(3)該加盟連鎖店總部決定對樣本中“四星級”及“五星級”加盟店進(jìn)一步調(diào)研,現(xiàn)從這些加盟店中隨機(jī)抽取3個(gè),設(shè)Y為抽取的“五星級"加盟店的個(gè)數(shù),求Y的概率分布列與數(shù)學(xué)期望.參考數(shù)據(jù):若,則,,.【答案】(1)平均數(shù)為13.0百元,中位數(shù)為13百元(2)14(3)分布列見解析,1【分析】(1)由平均數(shù)和中位數(shù)的計(jì)算公式計(jì)算即可得出答案;(2)由(1)知,,由正態(tài)分布的性質(zhì)求出的概率,即可求出這600個(gè)加盟店中“五星級”加盟店的個(gè)數(shù);(3)求出Y的所有可能取值和每個(gè)變量對應(yīng)的概率,即可求出Y的分布列,再由期望公式求出Y的數(shù)學(xué)期望.【詳解】(1)由頻率分布直方圖得樣本中日銷售額為,,,,,,的頻率分別為0.08,0.10,0.20,0.24,0.20,0.12,0.06,∴估計(jì)這50個(gè)加盟店日銷售額的平均數(shù)為:(百元).∵,,∴中位數(shù)在內(nèi),設(shè)中位數(shù)為x百元,則,解得.∴估計(jì)中位數(shù)為13百元.(2)由(1)知,∵,,∴,∴估計(jì)這600個(gè)加盟
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