授課11單元教案第八章常微分方程授課單元名稱第一節常微分方程的基本概念

授課學時 8單元教學目標

1、了解微分方程和常微分方程的階、解、通解、特解、初始條件等概念；2（二階常系數線性微分方程）及解法3會用微分方程解一些簡單的應用題；1．掌握微分方程、通解、特解等概念2。掌握常用的幾種微分方程解法。3主要教學知識點教材處理

1、微分方程、常微分方程、常微分方程的階、解、通解、特解、初始條件的概念；2、常見微分方程的類型（可 教學難分離變量方程、一階線性方程、二階常系數線性微分方程）及解法基本概念以教材一致，例題參考資料有調整

常微分方程的基本概念常見微分方程解法高等數學》，侯風波主編，高等教育出版社。《分層數學》，李德才主編，北京交通大學出版社。教學資源 1）教材2）課件3）參考書

1、常微分方程的基本概念2、常見微分方程的類型（可分教學方法與手段

啟發式、講練結合 考核評價點教學內容

離變量方程、一階線性方程、二階常系數線性微分方程）及解法第一節微分方程的基本概念教學過程一、引入新課知量所施行的數學運算的不同，我們可以將方程分成許多不同的類型來研究。引例1二、新授課1、微分方程的定義：含有未知函數的導數或微分的方程，稱為微分方程如果未知函數是一元函數的微分方程稱為常微分方程式；如果未知函數是多元函數的微分方程式稱為偏微分方程。dxxyd2y是常微分方程;dy dx2zxy是偏微分方程.x微分方程中未知函數的最高階導數的階數，稱為微分方程式的階一階微分方程的一般形式為 F(x,y,y)0y)2x3y5x4

0，x(

)22ydyx0都是一階微分方程。dx dx二階微分方程的一般形式為 F(x,y,,0例如：

d2y2ydy

sinx0y)2k2(2y2)3都是二階微分方程。dx2 dx類似可寫出n階微分方程的一般形式F(x,y,y,yy(n))0。其中F是n+2個變F(xyyy

y(n))0中，y(n)必須出現，而x,y,y,yyn1)yn)f(x)也是n階微分方程。1．指出下列方程中哪些是微分方程，并說明它們的階數：1(1)dyy2dx0; (2)y22yx;1d2y(3)xdyy2sinxdx0;

dt2

3ye2t;(5)yy'3x; (6)dy(7)xy(y')20.2、微分方程的解能夠滿足微分方程的函數都稱為微分方程的解求微分方程的解的過程，稱為解微分方程

yxy2

dx;1例如，函數x3是微分方程6

d2dx2

x的解。如果微分方程的解中含有相互獨立的任意常數達式。1例如y=x3CxC1

是微分方程

d2

x的通解。6 1

dx2在通解中，利用附加條件確定任意常數的取值，所得的解稱為該微分方程的特解，這種附加條件稱為初始條件，例如微分方程1

d2ydx2

x，初始條件y(0)1,y'(0)2，則滿足初始條件的特解為y=6

x32x1。帶有初始條件的微分方程稱為微方程的初值問題。微分方程的通解不一定包含所有的解，不在通解中的解稱為奇解。由于微分方程的解是通過積分而獲得的分曲線，把通解稱為微分方程的積分曲線族。微分方程的解根據函數的形式可分為顯式解和隱式解。2驗證下列函數(其中C(1)xy'2y,yCx2,yx2;y''y,ysinx,y3sinx4cosx;dy2y,yex,yCe2x.dydx如果微分方程中關于未知函數及其導數x(t),x'(t),x"(t),...,x(n)(t)是一次有理整式，則稱方程是線性的，稱它是n階線性微分方程，一般形式為：x(n)(t)a1

(t)x(n1)(t)

n1

(t)x'(t)an

x(t)f(t)如果f(t)0n為線性方程的非齊次項。三、小結四、練習課堂完成P97 2第二節常微分方程的分離變量法可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程：形如dyf(x)gy稱為可分離變量的微分方程，其dx特點是方程的左端可分離為只含x的函數f(x)與只含y的函數g(y)的乘積。可分離變量的微分方程的求解步驟：第一步 分離變量為 g(y)dy=f(x)dx第二步將上式兩端積分得：

g(y)dyf(x)dx設分別為、dyf(xgy的通解為dxG(y)F(x)Cdy y1求解方程dx xdy dx解分離變量，方程化為y x兩端積分，即得通積分lnylnxC1或lnylnCx(C0)解出，得方程通解yCx (C0)y0.yCxC可以取零練習求微分方程dy2xy的通解dx2求解方程

x(y2y(x20解y分離變量得

，x1(x

y

1)0時，xdx ydy 0x21 y21積分，得方程的通積分lnx2

1lny

1lnC (C0))或 (x

y2

C (C0)練習1求微分方程(1+x2)dyxydx0的通解能用初等函數表達所求的結果，通常稱為“積不出精三、小結四、練習11x2(2)

y'x,y

x0

0;2。課外作業

(4)y'

x2y2,y|xy

x1

1.P103 1 (1)（2）(4) 2 (3)求下列微分方程滿足所給初始條件的特解：y'sinxylny,y

e;x2(3)y'e2xy,y

x0

0;6．設一曲線過原點，且在點(x,y)處的切線斜率等于2xy，求此曲線方程。第三節一階線性微分方程的解法一階線性微分方程的形式是dyp(x)yf(x)（1）dx如果f(x)0，即dyp(x)y0 (2)dx稱為.如果f(x)(1)為1、一階線性非齊次方程的通解先考慮線性齊次方程(2)，(2)是一個變量可分離方程，由1.2節易知它的通解是yCep(x)dx

(3)下面使用常數變易法再求線性非齊次方程(1)的解.其想法是：當C為常數時，函數（3)的導數，恰等于該函數乘上-p(x),從而(3)為齊次方程(2)的解.現在要求非齊次方程(1)的解，則需要該函數的導數還要有一項等于f(x).為此，(3)CC(x)，即令yC(x)ep(x)dx

(4)為方程(1)的解，其中C(x)待定.將(4)代入(1)，有C(x)ep(x)dx

p(x)C(x)ep(x)dx

p(x)C(x)ep(x)dx

f(x)即 C(x)f(x)ep(x)dx積分后得C(x)

f(x)ep(x)dxdxC把上式代入(1.37)，得到(1)的通解公式為yCep(x)dxep(x)dxf(x)ep(x)dxdx (5)在求解具體方程時，不必記憶通解公式，只要按常數變易法的步驟來求解即可.例1求解方程dyyx2 (6)dx x解顯然，這是一個一階線性非齊次方程.先求對應齊次方程dyydx x的通解為 y=C(x)由常數變易法，令y=C(x)x為方程(6)的解，代入(6)有C(x)C(x)C(x)x2即 C(x)x1積分得 C(x) x2C12代回后得原方程(6)的通解為1yCx x32例2求解方程dyycotx2xsinx （7）dx解顯然這也是一個一階線性非齊次方程.先解對應齊次方程dyycotx0dx分離變量后再積分有dyy

cotxdxlnC即取指數后，得齊次通解由常數變易法，令為非齊次方程(7)的解，代入后得即積分得于是原方程7)的通解為仔細看一下非齊次方程(1)的通解公式(5)，我們可以發現它由兩項組成.第一項是對應齊次方程的通解，第二項是非齊次方程的一個特解.因此有如下的結論：線性非齊次方程(1)的通解，等于它所對應的齊次方程(2)的通解與非齊次方程(1)的一個特解之和.為了求解初值問題常數變易法可采用定積分形式.即(4)可取為（8）代入(1)并化簡，得積分得代入(8)得到將初值條件 代入上式，有 ，于是所求初值問題解為或小結會用常數變易法求解一階線性微分方作業:P103 5 (1)第四節二階常系數齊次線性微分方程一、二階常系數齊次線性微分方程解的性質

(9)(10)定義1：形如0 （1）的方程（其中p、q為常數），稱為二階常系數齊次線性微分方程定理1：若y,y1 2

是齊次線性方程ycy11

cy2

也是（1）的解，yy1 2

線性無關時，ycy11

cy2

就是式（1）的通解二、二階常系數齊次線性微分方程解的求解方法令yerx為（1）的解并代入（1）得r2erxprerxqerx0所以有 r2prq0 稱（2）為（1）的特征方程的根稱為特征根。、當特征方程有兩個不同的實根r和r1 2

時，則方程（1）有兩個線性無關1求的通解.

y″－5y′=0解特征方程為λ2－5λ＝0λ1＝0，λ2＝5，故所求通解為y=C1+C2e5x其中C1，C2為任意常數.例2求方程y″－5y′+6y＝0x0時，y1,λ2－5λ+6＝0λ1＝2，λ2＝3，故所求通解為y=C1e2x