角平分線的性質第1頁，共13頁，2023年，2月20日，星期四1、會用尺規作角的平分線.角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等2、角的平分線的性質:OCB1A2PDEPD⊥OA，PE⊥OB∵

OC是∠AOB的平分線∴PD＝PE用數學語言表述：復習第2頁，共13頁，2023年，2月20日，星期四

反過來，到一個角的兩邊的距離相等的點是否一定在這個角的平分線上呢？已知：如圖,QD⊥OA，QE⊥OB，點D、E為垂足，QD＝QE．求證：點Q在∠AOB的平分線上．思考第3頁，共13頁，2023年，2月20日，星期四證明:∵

QD⊥OA，QE⊥OB（已知），∴∠QDO＝∠QEO＝90°（垂直的定義）

在Rt△QDO和Rt△QEO中

QO＝QO（公共邊）

QD=QE

∴Rt△QDO≌Rt△QEO（HL）∴∠QOD＝∠QOE∴點Q在∠AOB的平分線上已知：如圖,QD⊥OA，QE⊥OB，點D、E為垂足，QD＝QE．求證：點Q在∠AOB的平分線上．第4頁，共13頁，2023年，2月20日，星期四判定：到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上。∵

QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE∴點Q在∠AOB的平分線上．用數學語言表示為：性質：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.∵

QD⊥OA,QE⊥OB,點Q在∠AOB的平分線上∴QD＝QE用數學語言表示為：第5頁，共13頁，2023年，2月20日，星期四如圖,△ABC的角平分線BM,CN相交于點P,

求證：點P到三邊AB、BC、CA的距離相等∵BM是△ABC的角平分線,點P在BM上,ABCPMNDEF∴PD=PE

(角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等).同理,PE=PF.∴PD＝PE=PF.即點P到三邊AB、BC、CA的距離相等證明：過點P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F第6頁，共13頁，2023年，2月20日，星期四如圖，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分線相交于點F，求證：點F在∠DAE的平分線上．證明：過點F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于MGHM∵點F在∠BCE的平分線上，FG⊥AE，FM⊥BC∴FG＝FM又∵點F在∠CBD的平分線上，FH⊥AD，FM⊥BC∴FM＝FH∴FG＝FH∴點F在∠DAE的平分線上第7頁，共13頁，2023年，2月20日，星期四如圖，在△ABC中，D是BC的中點，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E，F，且BE＝CF。

求證：AD是△ABC的角平分線。ABCEFD第8頁，共13頁，2023年，2月20日，星期四利用結論，解決問題練一練

1、如圖，為了促進當地旅游發展，某地要在三條公路圍成的一塊平地上修建一個度假村.要使這個度假村到三條公路的距離相等,應在何處修建?想一想

在確定度假村的位置時,一定要畫出三個角的平分線嗎?你是怎樣思考的?你是如何證明的?第9頁，共13頁，2023年，2月20日，星期四拓展與延伸2、直線表示三條相互交叉的公路,現要建一個貨物中轉站,要求它到三條公路的距離相等,則可供選擇的地址有:()

A.一處B.兩處

C.三處D.四處分析:由于沒有限制在何處選址,故要求的地址共有四處。第10頁，共13頁，2023年，2月20日，星期四到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上。∵

QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE．∴點Q在∠AOB的平分線上．用數學語言表示為：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.∵

QD⊥OA,QE⊥OB,點Q在∠AOB的平分線上∴QD＝QE課堂小結用數學語言表示為：第11頁，共13頁，2023年，2月20日，星期四拓展與延伸3、已知:BD⊥AM于點D,CE⊥AN于點E,BD,CE交點F,CF=BF,求證:點F在∠A的平分線上.AAAAAAADNEBFMCA第12頁，共13頁，2023年，2月20日，星期四

1.角平分線的性質定理：角平分線上的點到角的兩邊的距離相等

2.