高中數學必修1知識點第一章集合與函數概念一、集合有關概念：1、集合的含義：某些指定的對象集在一起就成為一個集合，其中每一個對象叫元素。2、集合的中元素的三個特性：（1）元素的確定性；（2）元素的互異性；（3）元素的無序性說明：(1)對于一個給定的集合，集合中的元素是確定的，任何一個對象或者是或者不是這個給定的集合的元素。(2)任何一個給定的集合中，任何兩個元素都是不同的對象，相同的對象歸入一個集合時，僅算一個元素。(3)集合中的元素是平等的，沒有先后順序，因此判定兩個集合是否一樣，僅需比較它們的元素是否一樣，不需考查排列順序是否一樣。(4)集合元素的三個特性使集合本身具有了確定性和整體性。3、集合的表示：{…}如{我校的籃球隊員}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}（1）用拉丁字母表示集合：A={我校的籃球隊員},B={1,2,3,4,5}（2）集合的表示方法：列舉法與描述法。（Ⅰ）列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，然后用一個大括號括上。（Ⅱ）描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內表示集合的方法。用確定的條件表示某些對象是否屬于這個集合的方法。①語言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}②數學式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x∈R|x-3>2}或{x|x-3>2}（3）圖示法（文氏圖）：4、常用數集及其記法：非負整數集（即自然數集）記作：N正整數集N*或N+整數集Z有理數集Q實數集R5、“屬于”的概念集合的元素通常用小寫的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就說a屬于集合A記作a∈A，相反，a不屬于集合A記作aA6、集合的分類：1．有限集含有有限個元素的集合2．無限集含有無限個元素的集合3．空集不含任何元素的集合二、集合間的基本關系1.“包含”關系———子集對于兩個集合A與B，如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，我們就說兩集合有包含關系，稱集合A為集合B的子集，記作AB注意：有兩種可能（1）A是B的一部分，；（2）A與B是同一集合。反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作AB或BA集合A中有n個元素,則集合A子集個數為2n.2．“相等”關系(5≥5，且5≤5，則5=5)實例：設A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同”結論：對于兩個集合A與B，如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，同時,集合B的任何一個元素都是集合A的元素，我們就說集合A等于集合B，即：A=B①任何一個集合是它本身的子集。AA②真子集:如果AB,且AB那就說集合A是集合B的真子集，記作AB(或BA)③如果AB,BC,那么AC④如果AB同時BA那么A=B3.不含任何元素的集合叫做空集，記為Φ規定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。三、集合的運算1．交集的定義：一般地，由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集．記作A∩B(讀作”A交B”)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}．2、并集的定義：一般地，由所有屬于集合A或屬于集合B的元素所組成的集合，叫做A,B的并集。記作：A∪B(讀作”A并B”)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}．3、交集與并集的性質：A∩A=A，A∩φ=φ,A∩B=B∩A，A∪A=A，A∪φ=A,A∪B=B∪A.4、全集與補集（1）全集：如果集合S含有我們所要研究的各個集合的全部元素，這個集合就可以看作一個全集。通常用U來表示。SCsAA（2）補集：設S是一個集合，A是S的一個子集（即ASSCsAA所有不屬于A的元素組成的集合，叫做S中子集A的補集（或余集）。記作：CSA，即CSA={x|xS且xA}（3）性質：⑴CU(CUA)=A⑵(CUA)∩A=Φ⑶(CUA)∪A=U(4)(CUA)∩(CUB)=CU(A∪B)(5)(CUA)∪(CUB)=CU(A∩B)二、函數的有關概念1．函數的概念：設A、B是非空的數集，如果按照某個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數．記作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數的值域．注意：1、如果只給出解析式y=f(x)，而沒有指明它的定義域，則函數的定義域即是指能使這個式子有意義的實數的集合；2、函數的定義域、值域要寫成集合或區間的形式．定義域補充：能使函數式有意義的實數x的集合稱為函數的定義域，求函數的定義域時列不等式組的主要依據是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被開方數不小于零；(3)對數式的真數必須大于零；(4)指數、對數式的底必須大于零且不等于1.(5)如果函數是由一些基本函數通過四則運算結合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.（6）指數為零底不可以等于零(7)實際問題中的函數的定義域還要保證實際問題有意義.(注意：求出不等式組的解集即為函數的定義域。)2、構成函數的三要素：定義域、對應關系和值域注意：（1）構成函數三個要素是定義域、對應關系和值域．由于值域是由定義域和對應關系決定的，所以，如果兩個函數的定義域和對應關系完全一致，即稱這兩個函數相等（或為同一函數）。（2）兩個函數相等當且僅當它們的定義域和對應關系完全一致，而與表示自變量和函數值的字母無關。相同函數的判斷方法：①定義域一致；②表達式相同(兩點必須同時具備)值域補充(1)、函數的值域取決于定義域和對應法則，不論采取什么方法求函數的值域都應先考慮其定義域.(2)、應熟悉掌握一次函數、二次函數、指數、對數函數及各三角函數的值域，它是求解復雜函數值域的基礎。3.函數圖象知識歸納(1)定義：在平面直角坐標系中，以函數y=f(x),(x∈A)中的x為橫坐標，函數值y為縱坐標的點P(x，y)的集合C，叫做函數y=f(x),(x∈A)的圖象．C上每一點的坐標(x，y)均滿足函數關系y=f(x)，反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序實數對x、y為坐標的點(x，y)，均在C上.即記為C={P(x,y)|y=f(x),x∈A}圖象C一般的是一條光滑的連續曲線(或直線),也可能是由與任意平行于Y軸的直線最多只有一個交點的若干條曲線或離散點組成。(2)畫法：A、描點法：根據函數解析式和定義域，求出x,y的一些對應值并列表，以(x,y)為坐標在坐標系內描出相應的點P(x,y)，最后用平滑的曲線將這些點連接起來.B、圖象變換法：常用變換方法有三種，即平移變換、對稱變換和伸縮變換Ⅰ、對稱變換:（1）將y=f(x)在x軸下方的圖象向上翻得到y=∣f(x)∣的圖象如：書上P21例5（2）y=f(x)和y=f(-x)的圖象關于y軸對稱。如（3）y=f(x)和y=-f(x)的圖象關于x軸對稱。如Ⅱ、平移變換:由f(x)得到f(xa)左加右減；由f(x)得到f(x)a上加下減(3)作用：A、直觀的看出函數的性質；B、利用數形結合的方法分析解題的思路；C、提高解題的速度；發現解題中的錯誤。4．區間的概念（1）區間的分類：開區間、閉區間、半開半閉區間；（2）無窮區間；（3）區間的數軸表示．5．映射定義：一般地，設A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應法則f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應，那么就稱對應f：AB為從集合A到集合B的一個映射。記作“f：AB”給定一個集合A到B的映射，如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b對應，那么，我們把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象說明:函數是一種特殊的映射，映射是一種特殊的對應，①集合A、B及對應法則f是確定的；②對應法則有“方向性”，即強調從集合A到集合B的對應，它與從B到A的對應關系一般是不同的；③對于映射f：A→B來說，則應滿足：（Ⅰ）集合A中的每一個元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；（Ⅱ）集合A中不同的元素，在集合B中對應的象可以是同一個；（Ⅲ）不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象。6、函數的表示法：常用的函數表示法及各自的優點：1函數圖象既可以是連續的曲線，也可以是直線、折線、離散的點等等，注意判斷一個圖形是否是函數圖象的依據：作垂直于x軸的直線與曲線最多有一個交點。2解析法：必須注明函數的定義域；3圖象法：描點法作圖要注意：確定函數的定義域；化簡函數的解析式；觀察函數的特征；4列表法：選取的自變量要有代表性，應能反映定義域的特征．注意：解析法：便于算出函數值。列表法：便于查出函數值。圖象法：便于量出函數值補充一：分段函數在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數。在不同的范圍里求函數值時必須把自變量代入相應的表達式。分段函數的解析式不能寫成幾個不同的方程，而應寫成函數值幾種不同的表達式并用一個左大括號括起來，并分別注明各部分的自變量的取值情況．注意：（1）分段函數是一個函數，不要把它誤認為是幾個函數；（2）分段函數的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集．補充二：復合函數如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),則y=f[g(x)]=F(x)，(x∈A)稱為f是g的復合函數。7．函數單調性（1）．增函數設函數y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內的某個區間D內的任意兩個自變量x1，x2，當x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，那么就說f(x)在區間D上是增函數。區間D稱為y=f(x)的單調增區間；如果對于區間D上的任意兩個自變量的值x1，x2，當x1<x2時，都有f(x1)＞f(x2)，那么就說f(x)在這個區間上是減函數.區間D稱為y=f(x)的單調減區間.注意：1、函數的單調性是在定義域內的某個區間上的性質，是函數的局部性質；2、必須是對于區間D內的任意兩個自變量x1，x2；當x1<x2時，總有f(x1)<f(x2)（或f(x1)＞f(x2)）。（2）圖象的特點如果函數y=f(x)在某個區間是增函數或減函數，那么說函數y=f(x)在這一區間上具有(嚴格的)單調性，在單調區間上增函數的圖象從左到右是上升的，減函數的圖象從左到右是下降的.(3).函數單調區間與單調性的判定方法(A)定義法：1任取x1，x2∈D，且x1<x2；2作差f(x1)－f(x2)；3變形（通常是因式分解和配方）；4定號（即判斷差f(x1)－f(x2)的正負）；5下結論（指出函數f(x)在給定的區間D上的單調性）．u=g(x)y=f(u)y=f[g(x)]增增增增減減減增減減減增(B)圖象法(從圖象上看升降)(C)復合函數的單調性：復合函數f[g(x)]的單調性與構成它的函數u=g(x)，y=f(u)的單調性密切相關，其規律如下：復合函數單調性：口訣：同增異減注意：1、函數的單調區間只能是其定義域的子區間,不能把單調性相同的區間和在一起寫成其并集.（4）判斷函數的單調性常用的結論①函數與的單調性相反；②當函數恒為正或恒有負時，與函數的單調性相反；③函數與函數（C為常數）的單調性相同；④當C>0（C為常數）時，與的單調性相同；當C<0（C為常數）時，與的單調性相反；⑤函數、都是增（減）函數，則仍是增（減）函數；⑥若且與都是增（減）函數，則也是增（減）函數；若且與都是增（減）函數，則也是減（增）函數；⑦設，若在定義域上是增函數，則、、都是增函數，而是減函數.8．函數的奇偶性（1）偶函數一般地，對于函數f(x)的定義域內的任意一個x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函數．（2）奇函數一般地，對于函數f(x)的定義域內的任意一個x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函數．注意：1、函數是奇函數或是偶函數稱為函數的奇偶性，函數的奇偶性是函數的整體性質；函數可能沒有奇偶性,也可能既是奇函數又是偶函數。2、由函數的奇偶性定義可知，函數具有奇偶性的一個必要條件是，對于定義域內的任意一個x，則－x也一定是定義域內的一個自變量（即定義域關于原點對稱）．（3）具有奇偶性的函數的圖象的特征偶函數的圖象關于y軸對稱；奇函數的圖象關于原點對稱．總結：利用定義判斷函數奇偶性的格式步驟：1首先確定函數的定義域，并判斷其定義域是否關于原點對稱；2確定f(－x)與f(x)的關系；3作出相應結論：若f(－x)=f(x)或f(－x)－f(x)=0，則f(x)是偶函數；若f(－x)=－f(x)或f(－x)＋f(x)=0，則f(x)是奇函數．注意：函數定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的必要條件．首先看函數的定義域是否關于原點對稱，若不對稱則函數是非奇非偶函數.若對稱，(1)再根據定義判定;(2)有時判定f(-x)=±f(x)比較困難，可考慮根據是否有f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1來判定;(3)利用定理，或借助函數的圖象判定.函數奇偶性的性質奇函數在關于原點對稱的區間上若有單調性，則其單調性完全相同；偶函數在關于原點對稱的區間上若有單調性，則其單調性恰恰相反.②奇函數的圖象關于原點對稱,偶函數的圖象關于軸對稱.③若為偶函數，則.④若奇函數定義域中含有0，則必有.⑤定義在關于原點對稱區間上的任意一個函數，都可表示成“一個奇函數與一個偶函數的和（或差）”.如設是定義域為R的任一函數，則，.⑥復合函數的奇偶性特點是：“內偶則偶，內奇同外”.⑦既奇又偶函數有無窮多個（，定義域是關于原點對稱的任意一個數集）.9、函數的解析表達式（1）函數的解析式是函數的一種表示方法，要求兩個變量之間的函數關系時，一是要求出它們之間的對應法則，二是要求出函數的定義域.（2）求函數的解析式的主要方法有：待定系數法、換元法、消參法等，A、如果已知函數解析式的構造時，可用待定系數法；B、已知復合函數f[g(x)]的表達式時，可用換元法，這時要注意元的取值范圍；當已知表達式較簡單時，也可用湊配法；C、若已知抽象函數表達式，則常用解方程組消參的方法求出f(x)10．函數最大（小）值（定義見課本p30頁）（1）利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（小）值；（2）利用圖象求函數的最大（小）值；（3）利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值：如果函數y=f(x)在區間[a，b]上單調遞增，在區間[b，c]上單調遞減則函數y=f(x)在x=b處有最大值f(b)；如果函數y=f(x)在區間[a，b]上單調遞減，在區間[b，c]上單調遞增則函數y=f(x)在x=b處有最小值f(b)；第二章基本初等函數一、指數函數（一）指數與指數冪的運算1．根式的概念：負數沒有偶次方根；0的任何次方根都是0，記作=0。注意：(1)(2)當n是奇數時，，當n是偶數時，2．分數指數冪正數的正分數指數冪的意義，規定：正數的正分數指數冪的意義：0的正分數指數冪等于0，0的負分數指數冪沒有意義3．實數指數冪的運算性質（1）（2）（3）注意：在化簡過程中，偶數不能輕易約分；如（二）指數函數及其性質1、指數函數的概念：一般地，函數叫做指數函數，其中x是自變量，函數的定義域為R．注意：指數函數的底數的取值范圍，底數不能是負數、零和1．即a>0且a≠12、指數函數的圖象和性質0<a<1a>1圖像性質定義域R,值域（0，+∞）（1）過定點（0，1）,即x=0時，y=1(2)在R上是減函數(2)在R上是增函數（3）當x>0時,0<y<1;當x<0時,y>1（3）當x>0時,y>1;當x<0時,0<y<1圖象特征函數性質共性向x軸正負方向無限延伸函數的定義域為R函數圖象都在x軸上方函數的值域為R+圖象關于原點和y軸不對稱非奇非偶函數函數圖象都過定點（0，1）過定點（0，1）0<a<1自左向右看，圖象逐漸下降減函數在第一象限內的圖象縱坐標都小于1當x>0時,0<y<1;在第二象限內的圖象縱坐標都大于1當x<0時,y>1圖象上升趨勢是越來越緩函數值開始減小極快，到了某一值后減小速度較慢；a>1自左向右看，圖象逐漸上升增函數在第一象限內的圖象縱坐標都大于1當x>0時,y>1;在第二象限內的圖象縱坐標都小于1當x<0時,0<y<1圖象上升趨勢是越來越陡函數值開始增長較慢，到了某一值后增長速度極快；注意：指數增長模型：y=N(1+p)x指數型函數：y=kax3考點：（1）ab=N,當b>0時，a,N在1的同側；當b<0時，a,N在1的異側。（2）指數函數的單調性由底數決定的，底數不明確的時候要進行討論。掌握利用單調性比較冪的大小，同底找對應的指數函數，底數不同指數也不同插進1(=a0)進行傳遞或者利用（1）的知識。（3）求指數型函數的定義域可將底數去掉只看指數的式子，值域求法用單調性。（4）分辨不同底的指數函數圖象利用a1=a，用x=1去截圖象得到對應的底數。(5)指數型函數：y=N(1+p)x簡寫：y=kax二、對數函數（一）對數1．對數的概念：一般地，如果，那么數x叫做以a為底N的對數，記作：（a—底數，N—真數，—對數式）說明：1.注意底數的限制，a>0且a≠1；2.真數N>03.注意對數的書寫格式．2、兩個重要對數：（1）常用對數：以10為底的對數,；（2）自然對數：以無理數e為底的對數的對數,．3、對數式與指數式的互化對數式指數式對數底數←a→冪底數對數←x→指數真數←N→冪結論：（1）負數和零沒有對數（2）logaa=1,loga1=0特別地，lg10=1,lg1=0,lne=1,ln1=0(3)對數恒等式：（二）對數的運算性質如果a>0，a1，M>0，N>0有：1、兩個正數的積的對數等于這兩個正數的對數和2、兩個正數的商的對數等于這兩個正數的對數差3、一個正數的n次方的對數等于這個正數的對數n倍說明:1)簡易語言表達:”積的對數=對數的和”……2)有時可逆向運用公式3)真數的取值必須是(0,＋∞)4)特別注意：注意：換底公式利用換底公式推導下面的結論①②③（二）對數函數1、對數函數的概念：函數(a>0，且a≠1)叫做對數函數，其中x是自變量，函數的定義域是（0，+∞）．注意：（1）對數函數的定義與指數函數類似，都是形式定義，注意辨別。如：，都不是對數函數，而只能稱其為對數型函數．（2）對數函數對底數的限制：a>0，且a≠12、對數函數的圖像與性質：對數函數(a>0，且a≠1)0＜a＜1a＞1圖像yyx0(1,0)yyx0(1,0)性質定義域：（0，＋∞）值域：R過點(1,0),即當x＝1時,y＝0在(0,+∞)上是減函數在(0,+∞)上是增函數當x>1時，y<0當x=1時，y=0當0<x<1時，y>0當x>1時，y>0當x=1時，y=0當0<x<1時，y<0重要結論：在logab中，當a,b同在(0,1)或(1,+∞)內時，有logab>0;當a,b不同在(0,1)內，或不同在(1,+∞)內時,有logab<0.口訣：底真同大于0（底真不同小于0）.（其中，底指底數，真指真數，大于0指logab的值）3、如圖，底數a對函數的影響。規律:底大枝頭低,頭低尾巴翹。4考點：Ⅰ、logab,當a,b在1的同側時,logab>0；當a,b在1的異側時,logab<0Ⅱ、對數函數的單調性由底數決定的，底數不明確的時候要進行討論。掌握利用單調性比較對數的大小，同底找對應的對數函數，底數不同真數也不同利用（1）的知識不能解決的插進1(=logaa)進行傳遞。Ⅲ、求指數型函數的定義域要求真數>0，值域求法用單調性。Ⅳ、分辨不同底的對數函數圖象利用1=logaa，用y=1去截圖象得到對應的底數。Ⅴ、y=ax(a>0且a≠1)與y=logax(a>0且a≠1)互為反函數，圖象關于y=x對稱。5比較兩個冪的形式的數大小的方法:(1)對于底數相同指數不同的兩個冪的大小比較,可以利用指數函數的單調性來判斷.(2)對于底數不同指數相同的兩個冪的大小比較,可以利用比商法來判斷.(3)對于底數不同也指數不同的兩個冪的大小比較,則應通過中間值來判斷.常用1和0.6比較大小的方法(1)利用函數單調性(同底數)；(2)利用中間值（如:0,1.）；(3)變形后比較；(4)作差比較（三）冪函數1、冪函數定義：一般地，形如的函數稱為冪函數，其中x是自變量，α為常數．2、冪函數性質歸納．（1）所有的冪函數在（0，+∞）都有定義，并且圖象都過點（1，1）；（2）α>0時，冪函數的圖象通過原點，并且在[0,+∞）上是增函數．特別地，當α>1時，冪函數的圖象下凸；當0<α<1時，冪函數的圖象上凸；（3）α<0時，冪函數的圖象在（0，+∞）上是減函數．在第一象限內，當x從右邊趨向原點時，圖象在y軸右方無限地逼近y軸正半軸，當x趨于+∞時，圖象在x軸上方無限地逼近x軸正半軸．第三章函數的應用一、方程的根與函數的零點1、函數零點的概念：對于函數y=f(x),使f(x)=0的實數x叫做函數的零點。（實質上是函數y=f(x)與x軸交點的橫坐標）2、函數零點的意義：方程f(x)=0有實數根?函數y=f(x)的圖象與x軸有交點?函數y=f(x)有零點3、零點定理：函數y=f(x)在區間[a,b]上的圖象是連續不斷的，并且有f(a)f(b)<0,那么函數y=f(x)在區間（a,b）至少有一個零點c，使得f(c)=0,此時c也是方程f(x)=0的根。4、函數零點的求法：求函數y=f(x)的零點：（1）（代數法）求方程f(x)=0的實數根；（2）（幾何法）對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數y=f(x)的圖象聯系起來，并利用函數的性質找出零點．5、二次函數的零