汽車測試技術第1頁，共102頁，2023年，2月20日，星期一第3章測試系統的基本特性測試系統是為完成一定的測試任務所用儀器和設備的組合，根據不同的測試目的、要求測試系統可繁可簡。本章主要討論測試系統的基本要求和組成、測試系統的靜動態特性、實現不失真測試的條件以及測試系統動態特性的測定。第2頁，共102頁，2023年，2月20日，星期一3.1概述

3.1.1對測試系統的基本要求

對測試系統的要求，應當從測試對象、測試日的和測試要求出發，綜合考慮精度要求、使用環境及被測物理量變化的快慢、測量范圍、成本費用及自動化程度等因素。但最基本的要求是測試儀器或系統應該具有單值的、確定的輸入一輸出關系，其中以輸出和輸入呈線性關系為最佳。許多實際測量裝置無法在較大工作范圍內滿足線性要求，但可以在有效測量范圍內近似滿足線性測量關系的要求。在測量工作中，一般把研究對象和測量裝置作為一個系統來看待。問題簡化為處理輸入量x(t)、系統傳輸特性h(t)和輸出y(t)三者之間的關系，如圖3一1所示.下一頁返回第3頁，共102頁，2023年，2月20日，星期一3.1概述

(1)當輸入、輸出能夠測量時，可以通過它們推斷系統的傳輸特性，這就是儀器或系統的標定過程.(2)當系統特性已知，輸出可測量，可以通過它們推斷該輸出的輸入量，這就是測量.(3)如果輸入信號和系統特性已知，則可以推斷和估計系統的輸出量，這就是輸出信號的預測.

在靜態測試中，希望系統是線性的，但不是必需的，因為在靜態測試中，用校正曲線或輸出補償技術作非線性校正較容易實現。在動態測試中，測試系統本身應該力求是線性的，這不僅因為日前在動態測試中作非線性校正還比較困難，而且因為日前只能對線性系統作比較完善的數學處理與分析。實際測試系統不可能在較大的工作范圍內保持線性，因此，只能在一定的誤差范圍內和在一定的工作范圍內作線性處理.上一頁下一頁返回第4頁，共102頁，2023年，2月20日，星期一3.1概述

3.1.2線性系統及其主要性質

若系統的輸入x(t)和輸出y(t)之間的關系可以用常系數線性微分方程來描述，則稱該系統為線性定常系統，表示為式中a0,a1,...,an

和b0,b1,...,bn均為常數，由測試系統或功能組件的物理性質決定。上一頁下一頁返回第5頁，共102頁，2023年，2月20日，星期一3.1概述

嚴格地說，很多物理量是時變的，因為構成物理系統的材料、元件、部件的特性并不是穩定的。例如彈性材料的彈性模量，電子元件的電阻、電容，半導體器件的特性都受溫度的影響，而環境溫度是隨時間而緩慢變化的，它的不穩定會導致微分方程式的系數具有時變性。但在足夠的精確度范圍內，可以認為在工程中使用的測試系統、設備都是線性定常系統。線性定常系統有如下重要性質:1.疊加特性幾個輸入同時作用于系統，其輸出是各個輸入單獨作用于系統所產生的輸出的疊加。上一頁下一頁返回第6頁，共102頁，2023年，2月20日，星期一3.1概述

如果疊加特性意味著作用于線性系統的各個輸人所產生的輸出是互不影響的，因而在分析同時加在系統上的眾多輸人所產生的總效果時，可先分別分析單個輸人的效果，然后將這些效果疊加趕來夫示總的效果。2.比例特性如果x(c)→y(c)對于任意常數k，必有

kx(t)→ky(t)(3一3)上一頁下一頁返回第7頁，共102頁，2023年，2月20日，星期一3.1概述

3.微分特性系統對原輸入信號的導數等于原輸出信號的導數.如果x(t)→y(t)則4.積分特性當系統初始條件為零時，系統對原輸人信號的積分等于原輸出信號的積分。如果x(t)→y(t)則上一頁下一頁返回第8頁，共102頁，2023年，2月20日，星期一3.1概述

5.頻率保持性若系統的輸入為某一頻率的簡諧信號，則系統的穩態輸出將為同一頻率的簡諧信號。如果x(t)=x0ejwt則y(t)=Y0ej(wt+ф0)(3-6)設x(t)→y(t)根據比例特性有ω2x(t)→ω2y(t)根據微分特性有x"(t)→y"(t)根據疊加性有若則上一頁下一頁返回第9頁，共102頁，2023年，2月20日，星期一3.1概述

相應的輸出為則其唯一解為線性系統的這些主要特性，特別是疊加特性和頻率保持性，在汽車動態測試工作中具有重要作用。例如，在汽車振動及噪聲試驗中，響應信號中只有與激勵頻率相同的成分才是由該激勵引起的振動，而其他頻率成分皆為干擾噪聲，應予以剔除.上一頁返回第10頁，共102頁，2023年，2月20日，星期一3.2測試系統的特性

3.2.1測試系統的靜態特性指標

在靜態測試中，測試系統的輸入、輸出信號不隨時間而變化，因而定常線性系統的輸入一輸出微分方程式(3一1)就變成也就是說，理想的定常線性系統，其輸出將是輸入的單調、線性比例函數。總的說來，測試系統的靜態特性就是在靜態測試的情況下，實際的測試系統與理想定常線性系統的接近程度的描述。靜態特性的指標主要有靈敏度、非線性度和回程誤差。為了評定測試系統的靜態響應特性，通常采用靜態測量的方法求取輸入一輸出關系曲線，作為該裝置的標定曲線。理想線性系統的標定曲線應該是直線，但由于各種原因，實際測試系統的標定曲線(見圖3-2)并非如此.下一頁返回第11頁，共102頁，2023年，2月20日，星期一3.2測試系統的特性

1.靈敏度靈敏度是用來描述測試系統對被測量變化的反應能力的指標。當測試系統的輸入x有一增量△x，引起輸出Y發生相應的變化△Y時，則定義靈敏度(見圖3-2)為非線性系統的靈敏度S是一個變量，即x一7,關系曲線的斜率，輸入量不同，靈敏度就,不同，通常用擬合直線的斜率表示測試系統的平均靈敏度。對于理想的定常線性系統，有上一頁下一頁返回第12頁，共102頁，2023年，2月20日，星期一3.2測試系統的特性

靈敏度是輸入一輸出關系直線的斜率，斜率越大，其靈敏度就越高。靈敏度的量綱由輸入和輸出的量綱決定。當測試系統的輸出和輸入為同一量綱時，靈敏度常稱為放大倍數。一般來說，系統的靈敏度越高，測試范圍往往越窄，越容易受外界干擾的影響，即系統的穩定性越差。

2.非線性度非線性度是指實際的標定曲線與其理論的擬合直線之間的最大偏差。在靜態測試中，通常用試驗的方法求取測試系統的輸入、輸出關系曲線，稱其為標定曲線若在標稱(全量程)輸出范圍A內，標定曲線偏離擬合直線的最大偏差為B，如圖3-3所示，則非線性度的定義為上一頁下一頁返回第13頁，共102頁，2023年，2月20日，星期一3.2測試系統的特性

擬合直線的確定方法，目前國內外還無統一的標準，較常用的是最小二乘法.3.回程誤差回程誤差也稱為滯后誤差或變差，是描述測試系統的輸出與輸入變化方向有關的特性。理想的測試系統輸出與輸入有完全單調的一一對應關系，實際測試系統在輸入量由小增大和由大減小的測試過程中，對應于同一個輸入量往往有不同的輸出量。在同樣的測試條件下，若在滿量程輸出范圍內，對于同一個輸入量所得到的兩個數值不同的輸出量之間最大差值hmax(見圖3-4)和滿量程A的比值定義回程誤差為上一頁下一頁返回第14頁，共102頁，2023年，2月20日，星期一3.2測試系統的特性

回程誤差一般是由遲滯現象產生的，也可能是由系統存在工作死區所造成的，即由于裝置內部的彈性元件、磁性元件的滯后特性以及機械部分的摩擦、間隙、灰塵積塞等原因造成。

4.精度該指標與評價測試裝置產生的測量誤差大小有關，表示在相同測量條件下，重復測量同一被測量，測量儀器提供相近示值的能力，也表示測試裝置的隨機誤差接近于零的程度。當作為測試裝置的性能指標時，常用誤差限表示。

5.分辨力與分辨率分辨力與分辨率都是用來表示測試裝置能夠檢測出被測量的最小量值指標。分辨率是以滿量程的百分數來表示的，是一個無量綱比率的上一頁下一頁返回第15頁，共102頁，2023年，2月20日，星期一3.2測試系統的特性

量;分辨力是以最小量程的單位值來表示的，是一個有量綱的量值。分辨力是指測試裝置有效地鑒別緊密相鄰量值的能力;分辨率是指能引起輸出量發生變化時輸入量的最小變化量，表明測試裝置分辨輸入量微小變化的能力。

6.精確度精確度是指測量儀器的指示值和被測量真值的符合程度。它通過所宣稱的概率界限將儀器輸出與被測量的真值關聯起來。為了使測試結果正確，要求測試系統有足夠的靈敏度，而線性度和回程誤差要盡可能小.若測試系統靜態參數不符合測試要求，則應查找根源所在，并設法排除和采取改善措施,以至更換測試環節或測試系統。上一頁下一頁返回第16頁，共102頁，2023年，2月20日，星期一3.2測試系統的特性

3.2.2測試系統的動態特性

測試系統的動態特性是指輸入量隨時間變化時，其輸出隨輸入而變化的關系。在輸入變化時，輸出量不僅受到研究對象動態特性的影響，也受到測試系統動態特性的影響。如用壓電式傳感器組成的測試系統去測量汽車地板上某一點的振動加速度，所得的測量結果中不僅反映該點的振動加速度變化值，還包含測試系統動態特性的影響。在對動態物理量(如汽車振動的波形)進行測試時，測試系統的輸出變化是否能真實地反映輸入變化，取決于測試系統的動態特性。系統的動態特性一般通過描述系統的傳遞函數、頻率響應函數進行研究.上一頁下一頁返回第17頁，共102頁，2023年，2月20日，星期一3.2測試系統的特性

1.測試系統的傳遞函數和頻率響應函數(1)傳遞函數對微分方程(3一1)式進行拉氏變換建立傳遞函數的概念，來表示測試系統的動態特性.對微分方程(3一1)兩邊取拉普拉斯變換，得式中s為復變量，S=б+jw;Gh(s)與初始條件有關.上一頁下一頁返回第18頁，共102頁，2023年，2月20日，星期一3.2測試系統的特性

H(s)被稱為系統的傳遞函數，與系統輸入及初始條件無關，只反映系統本身的特性傳遞函數以代數式的形式表征了系統的傳輸、轉換特性，包含了系統瞬態、穩態響應和頻率響應的全部信息。式(3一13)中分母s的冪次n代表系統的微分方程的階數，如;n=1或;n=2，分別稱為一階系統或二階系統.若初始條件為零，即Gh(s)=0有傳遞函數有以下幾個特點:①傳遞函數描述了系統本身的動態特性，與輸入量無關。對具體系統而言，H(s)不因輸入x(t)的變化而不同，對任一具體輸入x(t)都確定地給出相應的輸出y(t)，上一頁下一頁返回第19頁，共102頁，2023年，2月20日，星期一3.2測試系統的特性

②傳遞函數只反映系統的傳輸特性，而不拘泥于系統的物理結構。不管是熱系統、機械系統還是電路系統，只要動態特性相似，就可用同一類型的傳遞函數H(s)來描述。例如，液柱溫度計和簡單的RC低通濾波器同是一階系統，具有相似的傳遞函數;動圈式電表、振動子、彈簧一質量一阻尼系統和LRC振蕩電路都是二階系統，具有相似的傳遞函數③傳遞函數與微分方程等價。由于拉普拉斯變換是一一對應變換，不丟失任何信息，故傳遞函數與微分方程等價。H(s)中的分母取決于系統的結構，分子則表示系統和外界的關系，如輸入(激勵)點的位置、輸入方式、被測量以及測點的布置情況。上一頁下一頁返回第20頁，共102頁，2023年，2月20日，星期一3.2測試系統的特性

(2)頻率響應特性傳遞函數是在復數域中描述系統特性的，頻率響應函數是在頻率域中描述系統特性的，且有明確的物理概念，容易通過試驗來建立，已成為試驗研究系統的重要工具。在定常線性系統中，.s=б+jw，令б=0，則有s=jw，將其代入H(s)，得到系統的頻率響應函數為在初始條件為零時有上一頁下一頁返回第21頁，共102頁，2023年，2月20日，星期一3.2測試系統的特性

定常線性系統在簡諧信號的激勵下，其穩態輸出信號和輸入信號的幅值比定義為該系統的幅頻特性，記為A(Ω);穩態輸出對輸入的相位差定義為該系統的相頻特性，記為φ(ω).兩者統稱為系統的頻率特性，也稱為系統的頻率響應函數，記為如將H(ω)的實部和虛部分開，有H(ω)=P(ω)+jQ(ω)，其中，P(ω)和Q(ω)都是ω的實函數，以頻率。為橫坐標，以P(})和Q}})為縱坐標所繪制的圖形分別稱為系統的實頻特性曲線與虛頻特性曲線，即上一頁下一頁返回第22頁，共102頁，2023年，2月20日，星期一3.2測試系統的特性

式中(A)一ω曲線稱為幅頻特性曲線;φ(ω)一ω曲線稱為相頻特性曲線。利用它們可以從頻率域形象、直觀、定量地表征測試系統的動態特性。用頻率響應函數來描述系統的最大優點是它可以通過實驗來求得，也可在初始條件全為零的情況下，同時測得輸入x(t)和y(t)輸出，由其傅里葉變換X(w)和y(w)求得頻率響應函數為需要特別指出，頻率響應函數是描述系統的簡諧輸入和相應的穩態輸出的關系，因此在測量系統頻率響應函數時，應當在系統響應達到穩態階段時才進行測量

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盡管頻率響應函數是對簡諧激勵而言的，但如前所述，任何信號都可分解成簡諧信號的疊加，因而在任何復雜信號輸入下，系統頻率特性也是適用的。這時，幅頻、相頻特性分別表征系統對輸入信號中各個頻率分量幅值的縮放能力和相位角前后移動的能力。頻率響應函數可以用多種不同形式的曲線表示，常用的有:①以ωτ或ω/ωn,為橫坐標，以A(ω)、φ(ω)為縱坐標的幅頻、相頻特性曲線②奈奎斯特(Nycruist)圖是將式(3一18),(3一19)所示的頻率特性在復平血上表示出來，用一條曲線表示頻率響應函數的幅頻和相頻的信息，也稱幅相特性曲線或極坐標圖。③伯德(Bode)圖用幅值一頻率、相角一頻率圖分別表示幅頻特性上一頁下一頁返回第24頁，共102頁，2023年，2月20日，星期一3.2測試系統的特性

和相頻特性。這兩張圖的橫軸坐標都是頻率，但按頻率的對數分度繪制的，所以伯德圖又稱為對數頻率特性圖。在對數幅頻圖上，縱軸表示20lgA(w)，單位為分貝(dB)，并采用均勻分度;在對數相頻圖上，縱軸表示相位角，以度(或弧度)為單位的均勻分度頻率特性用對數坐標圖表示的優點:一是可以將幅值相乘除轉化為幅值相加減;二是繪圖方便，冪函數在對數圖上的圖像是直線;三是當動態范圍很寬的情況下，采用對數刻度比線性刻度更易于表達特性變化規律。

2.測試環節的串聯和并聯測試系統可以簡單地由單一環節組成，如液柱溫度計，也可由若干個復雜環節組成，如動態電阻應變儀。為了求得整個系統的傳遞函數，需要研究系統中各環節之間的聯系。上一頁下一頁返回第25頁，共102頁，2023年，2月20日，星期一3.2測試系統的特性

兩個傳遞函數各為H1(s)和H2(s)的環節串聯時，如圖3一5所示，它們的阻抗匹配合理，之間沒有能量交換，系統在初始條件為零時，其傳遞函數為類似地，對;:個環節串聯組成的系統，有若兩個環節并聯，如圖3-6所示，則因Y(s)=Y1(s)+Y2(s)故有上一頁下一頁返回第26頁，共102頁，2023年，2月20日，星期一3.2測試系統的特性

對由n個環節并聯組成的系統，也類似地有由傳遞函數和頻率響應函數的關系，可得到n個環節串聯系統頻率響應函數為n個環節并聯系統頻率響應函數為上一頁下一頁返回第27頁，共102頁，2023年，2月20日，星期一3.2測試系統的特性

例3一1某一振動測試系統，如果測量電路靈敏度S,=5mV/(m/sz),讀數儀表的靈敏度S2=2mm/mV，試求該測試系統總的靈敏度。解:依題意該測試系統是由串聯環節組成，根據式(3-24)可得到該測試系統總的靈敏度為

S=S1xS2=5x2=10mm/(m/s2)3.典型測試系統的動態特性在工程測試領域中，盡管測試系統的物理結構千差萬別，但描述系統的微分方程具有相似的形式，其動態特性也就相似，可理想化為單自由度的零階、一階和二階系統。式(3一1)中的、高于三次(n>3)的高階系統都可以看成若干個一階系統和二階系統的并聯或串聯.上一頁下一頁返回第28頁，共102頁，2023年，2月20日，星期一3.2測試系統的特性

(1)零階系統電位器式位移傳感器、寬頻帶電子放大器、延時環節等均可視為零階測試系統.對零階測試系統，式(3一1)可寫為式中S=b0/a0稱為測試系統的靜態靈敏度對式(3一27)進行傅里葉變換，可得到零階測試系統的頻率響應函數為上一頁下一頁返回第29頁，共102頁，2023年，2月20日，星期一3.2測試系統的特性

上式說明輸出信號無畸變地復現輸入信號及其頻譜。可見，理想的零階測試系統不存在動態測試誤差。

(2)一階系統信號的輸入、輸出關系用一階微分方程來描述，液體溫度計、熱電偶傳感器、RC濾波器、LC諧振測量電路、彈簧一阻尼機械系統等都是一階測試系統。①彈簧一阻尼系統如圖3一7所示為彈簧一阻尼機械系統，x(t)為激勵信號，y(t)為輸出響應信號，由牛頓定律得上一頁下一頁返回第30頁，共102頁，2023年，2月20日，星期一3.2測試系統的特性

令為一階系統靈敏度，則一階系統其運動微分方程為②Rc電路系統如圖3一8所示為常用的RC低通濾波器電路，令x(t)為輸入電壓信號，y(t)為輸出電壓信號，由克希霍夫電壓定律得令RC=τ，一階系統的運動微分方程為上一頁下一頁返回第31頁，共102頁，2023年，2月20日，星期一3.2測試系統的特性

將式(3一33)作拉氏變換，便可得到系統的傳遞函數為令S=Jw，就可得到一階系統頻率響應特性為其幅頻、相頻特性分別為上一頁下一頁返回第32頁，共102頁，2023年，2月20日，星期一3.2測試系統的特性

幅頻、相頻特性曲線如圖3-9所示應用MATLAB軟件中bode(num,den)和nyquist(num,den)命令可繪制出一階系統的伯德圖和一階系統的奈魁斯特圖，如圖3一10，圖3一11所示.MATLAB程序如下:num=[0,0,1];den=[0,0.01,1];bode=[0,0.01,1];nyquist(num,den)grid上一頁下一頁返回第33頁，共102頁，2023年，2月20日，星期一3.2測試系統的特性

例3-2已知一階系統的理想濾波器的時間常數:=0.04，求周期信號x(t)=20sin(100t-44o)通過該濾波器所得到的穩態響應。解:該理想濾波器為一階系統，時間常數τ=0.04，代入式(3一36)得代入式(3一37)得通過該濾波器所得到的穩態響應為上一頁下一頁返回第34頁，共102頁，2023年，2月20日，星期一3.2測試系統的特性

(3)二階系統①彈簧阻尼質量系統該系統如圖3一12所示，由牛頓定律建立其微分方程為對上式進行拉氏變換求得其傳遞函數為式中-----振動系統的固有頻率;上一頁下一頁返回第35頁，共102頁，2023年，2月20日，星期一3.2測試系統的特性

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式中-----系統的固有頻率;----系統的阻尼比。將s=jw代入，得相應的幅頻特性和相頻特性，分別為幅頻、相頻特性曲線如圖3一14所示。圖3一15、圖3一16為相應的伯德圖和奈魁斯特圖.

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4.一階和二階測試系統的可測頻率范圍(1)一階系統的可測頻率范圍給定一個一階測試系統，相應的，其時間常數τ可以確定，若再規定一個允許的幅值誤差ξ，則允許系統測試的最高信號頻率ωk也相應確定，規定0~ωk為可用頻率范圍，當被測信號頻率在此范圍內時，如圖3一17,幅值測試誤差小于允許值.

例3一3設有一階系統其時間常數τ=0.1s，輸入一簡諧信號，輸入信號頻率w為多少時，其輸出信號的幅值誤差不大于6%?這時輸出信號的滯后角是多少?解:一階系統的幅頻特性為上一頁下一頁返回第38頁，共102頁，2023年，2月20日，星期一3.2測試系統的特性

將τ=0.1s代入，得即f=0~0.578Hz此時輸出信號的滯后角為相頻特性φ(ω)一ω。是接近于通過零點的直線。上一頁下一頁返回第39頁，共102頁，2023年，2月20日，星期一3.2測試系統的特性

(2)二階測試系統的可測頻率范圍和最佳阻尼比ζb對二階測試系統有兩種情況特別值得重視。①阻尼比ζ<0.1若給定測試誤差ξ，設η=ω/ωn，則只要求解方程即可，因ξ為很小，4ξ2n2才可以忽略不計，得到上一頁下一頁返回第40頁，共102頁，2023年，2月20日，星期一3.2測試系統的特性

假設ξ=5%或10%，則對應的η=ω/ωn=0.22或0.316≈0.3

小阻尼的二階測量裝置，例如壓電式加速度計，儀器使用說明書通常規定其可測頻率范圍是(0~0.3)ωn，其根據即在于此②大阻尼比(ζ>0.1)與最佳阻尼比ζb

小阻尼比情況，有用頻率范圍太窄，只占其無阻尼自振頻率的30%(規定ξ=10%)要設法將它拓寬，常用辦法是增大阻尼比。例3-4設有兩個結構相同的二階測量裝置，其無阻尼自振頻率ωn相同，而阻尼比不同，一個是0.1，另一個是0.65，如果允許的幅值測量誤差是10%，它們的可測頻率范圍各是多少?上一頁下一頁返回第41頁，共102頁，2023年，2月20日，星期一3.2測試系統的特性

以η=ω/ωn為橫坐標，A(η)為縱坐標畫出ζ=0.1和ζ=0.65兩條幅頻特性曲線，分別作出A(η)=1.1和A(η)=0.9兩條平行線，前者與ζ=0.1的幅頻特性曲線交于1、2兩點，后者與ζ=0.1的幅頻特性曲線交于4點，而ζ=0.65的幅頻特性曲線只和A(η)=0.9的直線有一個交點3，如圖3一18所示a)求直線A(η)=1.1和ζ=0.1的幅頻特性的交點:得到兩個正實數根:上一頁下一頁返回第42頁，共102頁，2023年，2月20日，星期一3.2測試系統的特性

(b)求直線A(η)=1.1和ζ=0.65的幅頻特性的交點:此方程無實數解.c)求直線A(η)=0.9和ζ=0.1的幅頻特性的交點:得到一個正實數相上一頁下一頁返回第43頁，共102頁，2023年，2月20日，星期一3.2測試系統的特性

(d)求直線A(η)=0.9和ζ=0.65的幅頻特性的交點:得到一個正實數根(e)可測頻率范圍:對ζ=0.1的測試裝置，對ζ=0.65的測試裝置，

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由此例題可見，阻尼比ζ顯著影響二階測試系統的可測頻率范圍。當ζ由0.1增至0.65時，其可測頻率范圍由ω/ωn=0~0.304,增至ω/ωn=0.815,擴大了1.68倍.

在小阻尼情況，當ω/ωn≤0.3時，φ(ω)≈0，因而相位誤差不明顯;在大阻尼情況當ζb在0.6~0.7之間時，其相頻特性近于通過(0,0)和(0，-π/2)兩點的一條直線，所以相位誤差也可不考慮。但要注意，一般大阻尼比的二階測試裝置其實際幅頻特性與理論頗有差距，所以通常取可用頻率范圍為ω/ωn=0~0.6

因為一、二階測量裝置當其幅值誤差小于給定值時，相位誤差也不顯著。所以一般儀器說明書中往往只給出幅頻特性而不給出相頻特性。但是要注意幅值誤差合適，因相位誤差過大而顯著影響測量結果的事例也是有的，這種現象常發生在測量通道中存在積分放大器的情況。

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5.測試系統在典型輸入下的動態響應通過式(3一14)、(3一16)求得然后對Y(S)求拉氏逆變換，或對Y(ω)求傅氏逆變換，即可得到在任意輸入下的時域響應y(t).(1)單位脈沖輸入系統的響應若輸入為單位脈沖信號，即x(t)=δ(t)，如圖3一19(a)所示，則X=L[δ(t)]=1。測試系統相應的輸出拉氏變換將Y(s)=H(s).X(s)=H(s),其時域描述可通過對Y(s)的拉式逆變換得到，即上一頁下一頁返回第46頁，共102頁，2023年，2月20日，星期一3.2測試系統的特性

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利用MATLAB中的impulse命令可得到系統的響應，程序如下:毛單位脈沖信號輸入的一階系統響應num=[0,0,1];den=[0,1,1];impulse(num,den)%單位脈沖信號輸入的二階系統響應num=[0，0，50];den=[25，2，1];impulse(num,den)holdon上一頁下一頁返回第48頁，共102頁，2023年，2月20日，星期一3.2測試系統的特性

(2)單位階躍輸入系統的響應對測試系統的突然加載或突然卸載即屬于階躍輸入，這種輸入方式簡單易行，又能允分揭示測試系統的動態特性。若輸入為單位階躍信號,即x(t)=u(t)=1，如圖3-20(a)所示，則X(s)=L[u(t)]=1/s，此時有將式(3一34)代入式(3一50)，可求得一階系統的階躍響應為

上一頁下一頁返回第49頁，共102頁，2023年，2月20日，星期一3.2測試系統的特性

系統響應如圖3一20(b)所示，對于任意物理結構的一階測試系統都是適用的。這一指數曲線在，-0那一點的切線斜率等于1/z。這是一階系統單位階躍響應的一個特點，根據這一點，可以在參數未知的情況下，由一階系統的單位階躍響應試驗曲線來確定其時間常數τ。時間常數τ越小，y(t)上升速度越快，達到穩態值所用的時間越短，也就是系統慣性越小;反之τ越大，系統對信號的響應越緩慢，系統慣性越大。因此,τ的大小反映了一階系統慣性的大小。一般希望系統響應速度越快越好，通過調整構成系統的元件參數，減少τ值，可以提高系統的快速響應性.

從響應開始到進入穩態所經過的時間稱調整時間。理論上講，t→∞時，一階系統才能結束瞬態過程進入穩態過程，并且輸出等于輸入，上一頁下一頁返回第50頁，共102頁，2023年，2月20日，星期一3.2測試系統的特性

其穩態誤差為零。實際工程測試中t=3τ或t=4zτ寸，其誤差在2%一5%之間，可以認為已達到穩態.例3-5一個溫度計，其時間常數τ=7s，若將其從20℃的空氣中突然插入到80℃的熱水中，問經過15s后，該溫度計指示的溫度為多少?解:溫度計是一階系統，式(3一51)為其階躍響應，得將式(3一41)代入式(3一50)得出二階系統的階躍響應為上一頁下一頁返回第51頁，共102頁，2023年，2月20日，星期一3.2測試系統的特性

式中輸出y(t)的波形如圖3-20(c)所示。二階系統在單位階躍信號輸入下的穩態輸出誤差也為零，但是系統的響應在很大程度上取決于阻尼比g和固有頻率wn。系統固有頻率由其主要結構參數決定，。越高，系統的響應越快。阻尼比ζ直接影響超調量和振蕩次數當ζ=0時，超調量為100%，且持續不斷振蕩下去，達不到穩定ζ>1，則系統蛻化等同于兩個一階環節的串聯，此時雖然不發生振蕩(即不發生超調)，但也需要較長時間才能達到.穩定;如果阻尼比ζ在0.6~0.8之間，則最大超調量將在2.5%~10%之間，其以允許2%~5%的誤差趨近“穩態”的調整時間也是最短，約為(3~4)/(ζwn)。很多測試系統阻尼比打選在0.6~0.8之間即在于此上一頁下一頁返回第52頁，共102頁，2023年，2月20日，星期一3.2測試系統的特性

3.2.2測試系統實現不失真測試的條件

1.不失真測試的條件信號通過系統產生失真現象的類型有頻率失真、幅值失真與相位失真，對于線性系統而言，只存在幅值失真與相位失真所謂幅值失真，是指信號通過系統時，系統對信號中各頻率分量的幅度產生不同程度的衰減，使各頻率分量的幅值相對比例產生變化;而相位失真則是指由于各頻率分量產生的相移不與頻率呈線性關系，結果各頻率分量在時間軸上的相對位置產生變化。幅值失真和相位失真引起了信號的波形畸變。上一頁下一頁返回第53頁，共102頁，2023年，2月20日，星期一3.2測試系統的特性

圖3一21表示被測信號x(t)經過二階測試系統以后產生波形失真的情況。假定振動源信號x(t)包含w1及w3兩個頻率成分，根據系統的頻率響應特性，當原信號x(t)被測試系統檢測和轉換以后，相當于一個加權系數H(w)，對原信號x(t)的譜X(w)給予加權修正，在幅值上的加權系數為|H(w)|，而相位則為φ(w).

圖3一21(a)表示幅值失真情況。因為對原信號x(t)的頻率分量w1及w3的幅值加權系數IH(w1)|與IH(w3)|不等，所以信號x(t)通過系統以后，其幅值比例關系被改變，故合成波形發生畸變。圖3-21(b)則表示相位失真情況。因為源信號x(t)通過系統后，頻率分量ω1及ω3的相位角分別為φ1及φ3，由于φ(ω)--ω的非線性關系，使得時間滯后φ1/ω1不等于φ3/ω3，故合成波形亦發生畸變。上一頁下一頁返回第54頁，共102頁，2023年，2月20日，星期一3.2測試系統的特性

設有一個測試裝置，其輸出y(t)和x(t)輸入滿足下列關系:式中A0和τ0、都是常數。此式表明這個裝置輸出的波形和輸入波形精確地一致，只是幅值放大了A0倍和在時間上滯后了τ0，如圖3一22所示，因此可以說輸出不失真復現了輸入，也就是實現了不失真測試根據式(3一53)來考察測試裝置實現不失真測試的頻率特性。對該式作傅里葉變換，若考慮當t<0時，x(t)=0,y(t)=0，則有可見，若要求測試系統的輸出波形不失真，則其幅頻和相頻特性應分別滿足:上一頁下一頁返回第55頁，共102頁，2023年，2月20日，星期一3.2測試系統的特性

應當指出，滿足式(3一55)和(3一56)所示的條件后，系統的輸出仍然滯后于輸入一定時間。如果測試的日的是精確的測試出輸入波形，那么上述條件完全滿足不失真測試的要求了;如測試結果要用來作為反饋的信號，那么還應當注意到輸出對輸入的時間滯后有可能破壞系統的穩定性。這時應根據具體要求，力求減小時間滯后。

2.測試系統不失真測試的頻率范圍對實際測試裝置，即使在某一頻率范圍內工作，也難以完全理想地實現不失真測試。對于單一頻率成分的信號，因為通常線性系統具有頻率保持性，只要其幅值未進入非線性區，輸出信號的頻率也是單一的，也就無所謂失真問題。對于含有多種頻率成分的，顯然有可能既引起幅值失真，又引起相位失真，見圖3-23.上一頁下一頁返回第56頁，共102頁，2023年，2月20日，星期一3.2測試系統的特性

為此，首先要選用合適的測試裝置，在測試頻率范圍內，其幅、相頻特性接近不失真測試條件;其次，對輸入信號做必要的前置處理，及時濾去非信號頻帶內的噪聲，尤其要防止混入某些頻率位于測試系統共振區的噪聲。從實現測試波形不失真條件和其他工作性能綜合來看，對于一階測試系統而言，時間常數τ越小，則系統裝置的響應越快，動態誤差越小，失真小的頻率范圍越寬.

對于二階裝置，其特性曲線上有兩個頻段值得注意。在ω<0.3ωn,范圍內，φ(ω)的數值較小，且φ(ω)---ω。特性曲線接近直線，A(ω)在該頻率范圍內的變化不超過10%，若用于測量，則波形輸出失真很小;在ω>(2.5~3)ωn范圍內，φ(ω)接近180o，且隨。變化甚小，上一頁下一頁返回第57頁，共102頁，2023年，2月20日，星期一3.2測試系統的特性

此時如在實際測量電路中或數據處理中減去固定相位差或把測量信號反相180o

，則其相頻特性基本上滿足不失真測量條件。但是此時幅頻特性A(ω)太小，輸出幅值太小。若二階裝置輸入信號的頻率ω在(0.3ω，2.5ω)區間內，裝置的頻率特性受ζ的影響很大，需要作具體分析一般來說，在ζ=0.6~0.8時，可以獲得較為合適的綜合特性。計算表明，對二階系統當ζ=0.7時，ω在0~0.58ωn。的頻率范圍內，幅值特性A(ω)的變化不超過5%，同時相頻特性φω也接近于直線，因而所產生的相位失真也很小。二階測試系統的固有頻率。越高，則工作頻帶越寬，動態誤差與時間滯后越小。若測試系統的固有頻率ωn≥10ω，動態誤差就不會太大了。因此，選定測試裝置的固有頻率。時，要遠遠大于被測試信號的圓頻率ω，即ω>>ω但也不可能太大，因為ωn越大，靈敏度越低，故要選擇適當。上一頁下一頁返回第58頁，共102頁，2023年，2月20日，星期一3.2測試系統的特性

測量系統中，任何一個環節產生的波形失真，必然會引起整個系統最終輸出波形失真雖然各環節失真對最后波形的失真影響程度不一樣，但是原則上在信號頻帶內都應使每個環節基本上滿足不失真測量的要求。上一頁下一頁返回第59頁，共102頁，2023年，2月20日，星期一3.2測試系統的特性

3.2.3測試系統動態特性的測定

要使測試裝置精確可靠，不僅其定度要精確，而且要定期校準，并對測試裝置的動態特性參數進行試驗測定。動態特性參數的測定方法，常因測試裝置的形式不同而不完全相同，從原理上一般可分為正弦信號響應法、階躍信號響應法和隨機信號響應法等。

1.頻率響應法測試系統的動態特性可通過不同頻率的穩態正弦激勵的試驗方法求得。對測試系統施以正弦激勵，即x(t)=x0sin2πft在輸出達到穩態后，測量輸出與輸入幅值比和相角差，這樣可得到在該激勵頻率下測試裝置的傳遞特性，在較寬的頻率范圍內用正弦信號發生器以頻率上一頁下一頁返回第60頁，共102頁，2023年，2月20日，星期一3.2測試系統的特性

接近零頻的足夠低的頻率開始，逐點增加輸入信號頻率，即可得到幅頻A(f)和φ(f)相頻曲線，如圖3一24所示.(1)求一階系統動態特性參數τ

對于一階裝置，主要的動態特性參數是時間常數τ，可以通過其幅頻特性或相頻特性，用式(3-36)和(3-37)直接確定:值。圖3-25為一階測試系統幅頻特性圖。由圖可知，轉折點處頻率ωτ，由此可測得時間常數:(2)求二階系統動態特性參數ζ和ω。對二階系統裝置的動態特性參數ζ和ω，可由頻率響應試驗求得。圖3-26是欠阻尼二階系統(ξ<1)的頻率響應試驗曲線，其幅頻特性A(ω)的峰值在稍偏離ωn的ωr處。從圖3-26中可以得到三個特征量A(0),A(ωr)、ωr，則圖中各參數之間有如下關系:上一頁下一頁返回第61頁，共102頁，2023年，2月20日，星期一3.2測試系統的特性

A(ωr)和靜態輸出A(0)之比為據式(3-58)和式(3-59)可以計算出阻尼比ζ和固有頻率ωn。

2.用階躍響應法求測試系統的動態特性測定幅頻特性時，測量儀器本身的頻率特性，在被校驗的測量系統的工作頻率范圍內必須接近于理想的儀器，即接近于零階儀器。這樣，測試儀器本身頻率特性的影響才可以忽略。若測試系統不是純電氣系統，而是機械電氣或其他物理系統，一般較難獲得正弦的輸人信號，而獲得階躍輸人信號卻很方便。在這種情況下，使用階躍輸人信號來測定系統裝置的動態特性參數更為方便。上一頁下一頁返回第62頁，共102頁，2023年，2月20日，星期一3.2測試系統的特性

(1)求一階系統動態特性參數τ

如圖3-27(a)所示，只要給一階系統輸入一單位階躍信號，記錄其輸出波形，從中找到輸出值達到最終穩態值的63.2%的點，該點所對應的時間就是時間常數τ。但是用此種方法確定的:值，實際上未涉及階躍響應的全過程，測量結果僅僅取決于某些個別的瞬時值，特別是取決于是否能精確地確定t=0的點，所以測量結果的可靠性不足。為此，改用下述方法確定時間常數z，可獲得較可靠的結果。根據式(3一51)，一階系統裝置的階躍響應函數為令Z=一t/τ，上式可改寫為上一頁下一頁返回第63頁，共102頁，2023年，2月20日，星期一3.2測試系統的特性

兩邊取對數，就有

Z和時間t呈線性關系，因此可以根據測得的y(t)值做出In[1一y(t)]一t，曲線，并根據其斜率值求得時間常數τ=-△t/△Z，如圖3-27(b)，所示·這種方法既考慮了響應的全過程，又對該裝置是否符合一階系統作出了判斷。如果數據Z各點偏離直線很多，則可判定該系統裝置實際并非一階測試系統.(2)求二階系統動態特性參數ζ和ωn。描述二階測試系統的動態特性參數有阻尼比ζ和固有頻率ωn。對于一個欠阻尼(ζ<1)的二階測試系統的動態參數，也可用最大超調量M、上升時間tr(響應曲線從原始工作狀態出發，第一次達到輸出

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穩態值所需要的時間)、峰值時間氣(峰值時間是響應曲線到達超調量第一個峰值所需要的時間)以及振蕩周期Td來表示，如圖3-28。典型的欠阻尼二階系統裝置的階躍響應如式(3一52)。它的瞬態響應是以為圓頻率的衰減振蕩。此圓頻率稱為有阻尼的固有頻率ωd。其峰值時間為按照求極值的通用方法，可以求得各振蕩峰值所對應的時間上一頁下一頁返回第65頁，共102頁，2023年，2月20日，星期一3.2測試系統的特性

將t=π/ωd代入式((3-52)，并求極大值，就可求得最大超調量M和阻尼比ξ的關系式，如圖3一28所示，即因此，測得M之后，便可按式(3一63)和式(3一64)，或作出M一g圖(如圖3一29所示)，求取阻尼比ζ.

如果測得的是階躍響應的較長的瞬變過程，則可利用任意兩個超調量M和Mi+n來求取其阻尼比(其中n是該兩峰值相隔的整周期數)。設M和Mi+n所對應的時間分別為t和ti+n，則上一頁下一頁返回第66頁，共102頁，2023年，2月20日，星期一3.2測試系統的特性

將上式代入二階系統階躍響應的表達式y(t)中，可得整理后可得根據式(3一66)和(3一67)式即可按實際測得的Mi和Mi+n經бn而求取ζ考慮到ζ<0.3時，以1替代進行近似計算，不會產生過大的誤差，則由式(3-67)上一頁下一頁返回第67頁，共102頁，2023年，2月20日，星期一3.2測試系統的特性

可得這樣，計算ζ就更方便了.

若系統裝置是精確的二階系統裝置時，n值采用任意正整數所得的ζ值不會有差別;反之，若LL取不同值，獲得不同的ζ值，則表明該系統裝置不是線性二階系統.

欠阻尼振動系統響應的振動圓頻率為振動周期Td=2π/wd,，則可求得系統的固有頻率為上一頁下一頁返回第68頁，共102頁，2023年，2月20日，星期一3.2測試系統的特性

由上述可知，對某一欠阻尼測試系統，若保持阻尼比ζ不變，則超調量M不變。這時ω增加到峰值時間tp或振蕩周期Td均減小，也就是響應速度快;若ωn不變，ζ增大，則超調量M下降，而峰值時間增加，響應速度減慢。因此，二階測試系統的響應速度取決于系統的阻尼比ζ和固有圓頻率ωn，所以減少測試系統動態誤差的措施是選擇合適的系統阻尼比，通常選取ζ=0.6~0.8，系統的固有頻率ωn應盡可能地高.上一頁返回第69頁，共102頁，2023年，2月20日，星期一思考題

3一1何為測試系統的靈敏度?該值越高越好嗎?3一2一壓電式壓力傳感器靈敏度為Sp=5pC/Pa，將它與一只靈敏度Sv=0.005V/pC的電荷放大器連接，然后接到靈敏度為Sx=20mm/V的光線示波器上記錄，試問:(1)該測試系統的總靈敏度是多少?(2)用該測試系統測60Pa的壓力變化時，光線示波器上的光點的移動距離是多少?3-3一階系統測量100Hz的正弦信號，要求振幅誤差在5%以內，求該系統的時間常數的取值范圍.3-4用一個時間常數為0.35s的一階裝置去測量周期分別為1s,2s和5s的正弦信號，問幅值誤差分別為多少?下一頁返回第70頁，共102頁，2023年，2月20日，星期一思考題

3-5用一個時間常數τ=0.004s的一階裝置作正弦信號的測量，要求限制振幅誤差在5%以內，試問:該裝置所能測量的正弦信號的最高頻率f.為何值?利用該裝置測量周期為0.008s的正弦信號，其幅值誤差將為多少?3一6求周期信號x(t)=0.5cos10t+0.2cos(100t-45o)通過傳遞函數H(s)=的裝置后所得到的穩態響應.3-7已知一理想濾波器，其|H(w)|=1,φ(ω)=0.04ω，如果在輸入端加一個20V的階躍信號作為激勵，求濾波器輸出信號上升到18V時所需要的時間.