奇函數(shù)與偶函數(shù)的傅里葉級數(shù)第1頁，共16頁，2023年，2月20日，星期一展開式中只含有正弦函數(shù)的傅里葉級數(shù)，稱為正弦函數(shù)，只含有余弦函數(shù)包括常數(shù)項的稱為余弦級數(shù).假設以2為周期的周期函數(shù)f(x)

在[,]內是奇函數(shù)，那么傅里葉級數(shù)一定是正弦級數(shù).即此時傅氏系數(shù)8.4.1、奇函數(shù)與偶函數(shù)的傅里葉級數(shù)第2頁，共16頁，2023年，2月20日，星期一于是在區(qū)間()內f(x)cosnx為奇函數(shù)，而奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的積分為零，所以又因f(x)sinnx在區(qū)間()內是偶函數(shù)，第3頁，共16頁，2023年，2月20日，星期一故有

同理可以推出，當函數(shù)

f(x)是偶函數(shù)時，其展開式為余弦級數(shù)，即此時傅里葉系數(shù)為第4頁，共16頁，2023年，2月20日，星期一設周期函數(shù)f(x)在其一個周期上的表達式例4試將其展開成傅里葉級數(shù).解函數(shù)f(x)的圖形如圖所示，≤≤f(x)Ox第5頁，共16頁，2023年，2月20日，星期一因此我們應根據(jù)(12.6.6)式計算傅里葉系數(shù).由圖形的對稱性可知f(x)是偶函數(shù)，第6頁，共16頁，2023年，2月20日，星期一即故所求的傅里葉級數(shù)收斂于f(x)，又因為f(x)處處連續(xù)，第7頁，共16頁，2023年，2月20日，星期一

(x)稱為f(x)的周期延拓函數(shù).且以2為周期的函數(shù)，如果(x)滿足收斂定理的條件，我們設想有一個函數(shù)(x)，設函數(shù)f(x)定義在[0,]上，它是定義在()上而在[0,]上，(x)=f(x).那么(x)在()上就可展開為傅里葉級數(shù)，取其[0,]上一段，即為f(x)在[0,]上的傅里葉級數(shù)，8.4.3函數(shù)

f(x)

在[0,]上展開為正弦級數(shù)與余弦級數(shù)第8頁，共16頁，2023年，2月20日，星期一在理論上或實際工作中，下面的周期延拓是最為常用:將f(x)先延拓到(,0)，使延拓后的函數(shù)成為奇函數(shù)，然后再延拓為以2為周期的函數(shù).這種延拓稱為周期奇延拓;yx322O周期奇延拓第9頁，共16頁，2023年，2月20日，星期一這種延拓稱為周期偶延拓.將f(x)先延拓到(,0)，使延拓后的函數(shù)為偶函數(shù)，然后再延拓為以2為周期的函數(shù)，周期偶延拓yx322O第10頁，共16頁，2023年，2月20日，星期一顯然，周期奇延拓的結果為正弦級數(shù)，其傅里葉系數(shù)按公式(12.6.5)計算.即(因在[0,]上，(x)=f(x)).周期偶延拓的結果為余弦級數(shù)，

其傅里葉系數(shù)公式為第11頁，共16頁，2023年，2月20日，星期一例5試將解按式(12.6.8)計算傅里葉級數(shù)，第12頁，共16頁，2023年，2月20日，星期一且延拓的函數(shù)在x=0，處連續(xù)，因此(0≤x≤

).第13頁，共16頁，2023年，2月20日，星期一展開成正弦級數(shù).例6

試將函數(shù)0≤x≤≤