精選第25屆全國中學生物理競賽復賽理論試題參考解答第25屆全國中學生物理競賽復賽理論試題參考解答與評分標準PAGEPAGE7第25屆全國中學生物理競賽復賽理論試題參考解答一、答案1.2.(答也給)3.T二、參考解答：1.橢圓半長軸a等于近地點和遠地點之間距離的一半，亦即近地點與遠地點矢徑長度〔皆指衛星到地心的距離〕與的算術平均值，即有(1)代入數據得km(2)橢圓半短軸b等于近地點與遠地點矢徑長度的幾何平均值，即有(3)代入數據得(4)橢圓的偏心率(5)代入數據即得(6)2.當衛星在16小時軌道上運行時，以和分別表示它在近地點和遠地點的速度，根據能量守恒，衛星在近地點和遠地點能量相等，有(7)式中是地球質量，是萬有引力常量.因衛星在近地點和遠地點的速度都與衛星到地心的連線垂直，根據角動量守恒，有(8)注意到(9)由(7)、(8)、(9)式可得(10)(11)當衛星沿16小時軌道運行時，根據題給的數據有由(11)式并代入有關數據得km/s(12)依題意，在遠地點星載發動機點火，對衛星作短時間加速，加速度的方向與衛星速度方向相同，加速后長軸方向沒有改變，故加速結束時，衛星的速度與新軌道的長軸垂直，衛星所在處將是新軌道的遠地點.所以新軌道遠地點高度km，但新軌道近地點高度km.由(11)式，可求得衛星在新軌道遠地點處的速度為km/s(13)衛星動量的增加量等于衛星所受推力F的沖量，設發動機點火時間為t，有(14)由(12)、(13)、(14)式并代入有關數據得t=(約2.5分)(15)這比運行周期小得多.3.當衛星沿橢圓軌道運行時，以r表示它所在處矢徑的大小，v表示其速度的大小，表示矢徑與速度的夾角，那么衛星的角動量的大小(16)其中〔17〕是衛星矢徑在單位時間內掃過的面積，即衛星的面積速度.由于角動量是守恒的，故是恒量.利用遠地點處的角動量，得(18)又因為衛星運行一周掃過的橢圓的面積為(19)所以衛星沿軌道運動的周期(20)由(18)、(19)、(20)式得(21)代入有關數據得s(約15小時46分)(22)注：本小題有多種解法.例如，由開普勒第三定律，繞地球運行的兩亇衛星的周期T與T0之比的平方等于它們的軌道半長軸a與a0之比的立方，即假設是衛星繞地球沿圓軌道運動的軌道半徑，那么有得從而得代入有關數據便可求得(22)式.4.在繞月圓形軌道上，根據萬有引力定律和牛頓定律有(23)這里是衛星繞月軌道半徑，是月球質量.由(23)式和(9)式，可得(24)代入有關數據得(25)三、參考解答：足球射到球門橫梁上的情況如下列圖〔圖所在的平面垂直于橫梁軸線〕.圖中B表示橫梁的橫截面，O1為橫梁的軸線；為過橫梁軸線并垂直于軸線的水平線；A表示足球，O2為其球心；O點為足球與橫梁的碰撞點，碰撞點O的位置由直線O1OO2與水平線的夾角表示.設足球射到橫梁上時球心速度的大小為v0，方向垂直于橫梁沿水平方向，與橫梁碰撞后球心速度的大小為v，方向用它與水平方向的夾角表示如圖.以碰撞點O為原點作直角坐標系Oxy，y軸與O2OO1重合.以表示碰前速度的方向與y軸的夾角，以表示碰后速度的方向與y軸(負方向)的夾角，足球被橫梁反彈后落在何處取決于反彈后的速度方向，即角的大小.以Fx表示橫梁作用于足球的力在x方向的分量的大小，Fy表示橫梁作用于足球的力在y方向的分量的大小，t表示橫梁與足球相互作用的時間，m表示足球的質量，有(1)(2)式中、、和分別是碰前和碰后球心速度在坐標系Oxy中的分量的大小.根據摩擦定律有(3)由〔1〕、〔2〕、〔3〕式得(4)根據恢復系數的定義有〔5〕因〔6〕〔7〕由〔4〕、〔5〕、〔6〕、〔7〕各式得〔8〕由圖可知〔9〕假設足球被球門橫梁反彈后落在球門線內，那么應有(10)在臨界情況下，假設足球被反彈后剛好落在球門線上，這時.由〔9〕式得(11)因足球是沿水平方向射到橫梁上的，故，有(12)這就是足球反彈后落在球門線上時入射點位置所滿足的方程.解〔12〕式得(13)代入有關數據得(14)即(15)現要求球落在球門線內，故要求(16)四、參考解答：1.當閥門F關閉時，設封閉在M和B中的氫氣的摩爾數為n1，當B處的溫度為T時，壓力表顯示的壓強為p，由理想氣體狀態方程，可知B和M中氫氣的摩爾數分別為(1)(2)式中R為普適氣體恒量.因(3)解〔1〕、〔2〕、〔3〕式得(4)或(5)(4)式說明，與成線性關系，式中的系數與儀器結構有關.在理論上至少要測得兩個溫度下的壓強，作對的圖線，就可求出系數.由于題中己給出室溫T0時的壓強p0，故至少還要測定另一己知溫度下的壓強，才能定量確定T與p之間的關系式.2.假設蒸氣壓溫度計測量上限溫度時有氫氣液化，那么當B處的溫度時，B、M和E中氣態氫的總摩爾數應小于充入氫氣的摩爾數.由理想氣體狀態方程可知充入氫氣的總摩爾數〔6〕假定液態氫上方的氣態氫仍可視為理想氣體，那么B中氣態氫的摩爾數為〔7〕在〔7〕式中，已忽略了B中液態氫所占的微小體積.由于蒸氣壓溫度計的其它都分仍處在室溫中，其中氫氣的摩爾數為〔8〕根據要求有〔9〕解〔6〕、〔7〕、〔8〕、〔9〕各式得(10)代入有關數據得(11)五、答案與評分標準：1．(3分)2(2分)2．如圖(15分.代表電流的每一線段3分，其中線段端點的橫坐標占1分，線段的長度占1分，線段的縱坐標占1分)11234x/sI/neO1234-1-2-3-40.831.172.002.834.00六、參考解答：如果電流有衰減，意味著線圈有電阻，設其電阻為R，那么在一年時間內電流通過線圈因發熱而損失的能量為〔1〕以表示鉛的電阻率，S表示鉛絲的橫截面積，l表示鉛絲的長度，那么有〔2〕電流是鉛絲中導電電子定向運動形成的，設導電電子的平均速率為v，根據電流的定義有〔3〕所謂在持續一年的時間內沒有觀測到電流的變化，并不等于電流一定沒有變化，但這變化不會超過電流檢測儀器的精度I，即電流變化的上限為.由于導電電子的數密度是不變的，電流的變小是電子平均速率變小的結果，一年內平均速率由v變為v-v，對應的電流變化〔4〕導電電子平均速率的變小，使導電電子的平均動能減少，鉛絲中所有導電電子減少的平均動能為〔5〕由于I<<I，所以v<<v，式中v的平方項已被略去.由〔3〕式解出v，〔4〕式解出v，代入〔5〕式得(6)鉛絲中所有導電電子減少的平均動能就是一年內因發熱而損失的能量，即〔7〕由(1)、(2)、(6)、(7)式解得〔8〕式中〔9〕在〔8〕式中代入有關數據得(10)所以電阻率為0的結論在這一實驗中只能認定到(11)七、參考解答：按照斯特藩-玻爾茲曼定律，在單位時間內太陽外表單位面積向外發射的能量為(1)其中為斯特藩-玻爾茲曼常量，Ts為太陽外表的絕對溫度.假設太陽的半徑為Rs，那么單位時間內整個太陽外表向外輻射的能量為(2)單位時間內通過以太陽為中心的任意一個球面的能量都是.設太陽到地球的距離為rse，考慮到地球周圍大氣的吸收，地面附近半徑為的透鏡接收到的太陽輻射的能量為(3)薄凸透鏡將把這些能量會聚到置于其后焦面上的薄圓盤上，并被薄圓盤全部吸收.另一方面，因為薄圓盤也向外輻射能量.設圓盤的半徑為，溫度為，注意到簿圓盤有兩亇外表，故圓盤在單位時間內輻射的能量為(4)顯然，當(5)即圓盤單位時間內接收到的能量與單位時間內輻射的能量相等時，圓盤到達穩定狀態，其溫度到達最高.由(1)、(2)、(3)、(4)、(5)各式得(6)依題意，薄圓盤半徑為太陽的像的半徑的2倍，即.由透鏡成像公式知(7)于是有(8)把(8)式代入(6)式得(9)代入數據，注意到K，TD=1.4×103K(10)即有(11)八、參考解答：1．根據愛因斯坦質能關系，3H和3He的結合能差為