5-5-2.帶余除法（二）教學(xué)目標(biāo)能夠根據(jù)除法性質(zhì)調(diào)整余數(shù)進(jìn)行解題能夠利用余數(shù)性質(zhì)進(jìn)行相應(yīng)估算學(xué)會(huì)多位數(shù)的除法計(jì)算根據(jù)簡(jiǎn)單操作進(jìn)行找規(guī)律計(jì)算知識(shí)點(diǎn)撥帶余除法的定義及性質(zhì)1、定義：一般地，如果a是整數(shù)，b是整數(shù)（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b；我們稱上面的除法算式為一個(gè)帶余除法算式。這里：r0ab整除，qab的商或完全商r0aba除以b:如圖這是一堆書，共有a本，這個(gè)a就可以理解為被除數(shù)，現(xiàn)在要求按照b本一捆打包，那么b就是除數(shù)的角色，經(jīng)過打包后共打包了c捆，那么這個(gè)c就是商，最后還剩余d本，這個(gè)d就是余數(shù)。這個(gè)圖能夠讓學(xué)生清晰的明白帶余除法算式中4個(gè)量的關(guān)系。并且可以看出余數(shù)一定要比除數(shù)小。2、余數(shù)的性質(zhì)⑴被除數(shù)除數(shù)商余數(shù)；除數(shù)（被除數(shù)余數(shù)）商；商（被除數(shù)余數(shù)）除數(shù)；⑵余數(shù)小于除數(shù)．第1頁(yè)，共8頁(yè)3、解題關(guān)鍵得簡(jiǎn)單了．

例題精講模塊一、帶余除法的估算問題【例1】修改31743的某一個(gè)數(shù)字，可以得到823的倍數(shù)。問修改后的這個(gè)數(shù)是幾？【考點(diǎn)】帶余除法的估算問題【難度】3星【題型】解答82331743÷823=38……46，于31743823469(823-469=)354數(shù)比原來大354或354+823n也是滿足題意的改動(dòng)．有n=1354+823：1177n=2時(shí)，354+823×2=20002333743823的倍數(shù)．【答案】33743【例2】有48本書分給兩組小朋友，已知第二組比第一組多5人．如果把書全部分給第一組，那么每人4本，有剩余；每人5本，書不夠．如果把書全分給第二組，那么每人3本，有剩余；每人4本，書不夠．問：第二組有多少人?【考點(diǎn)】帶余除法的估算問題 【難度3星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué)夏令營(yíng)【解析】由484124859.6知，一組是1011人．同理可知4831648412知，二組是13、141551510人．【答案】10【例3】一個(gè)兩位數(shù)除以13的商是6，除以11所得的余數(shù)是6，求這個(gè)兩位數(shù)．【考點(diǎn)】帶余除法的估算問題 【難度3星 【題型】解答136，所以這個(gè)兩位數(shù)一定大于13678，并且小于13(61)91；11678111，這個(gè)兩位數(shù)為78583．【答案】83【例4】在小于1000的自然數(shù)中，分別除以18及33所得余數(shù)相同的數(shù)有多少個(gè)?(余數(shù)可以為0)【考點(diǎn)】帶余除法的估算問題 【難度3星 【題型】解答【解析】我們知道18，33的最小公倍數(shù)為[18，33]=198，所以每198個(gè)數(shù)一次．第2頁(yè)，共8頁(yè)P(yáng)AGE38頁(yè)1～1981，2，3，…，17，198(0)181833所得的余數(shù)相同，999÷198=5……95×18+9=99個(gè)這樣的數(shù)．【答案】99569的余數(shù)．現(xiàn)知這三余數(shù)的和是1518的余數(shù)．【考點(diǎn)】帶余除法的估算問題 【難度3星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】圣彼得堡數(shù)學(xué)奧林匹克【解析】除以3、6和9的余數(shù)分別不超過2，5，8，所以這三個(gè)余數(shù)的和永遠(yuǎn)不超過25815，既然它1[3,6,9]18設(shè)該數(shù)為a，則a1m1，即a18(m1)17（m為非零自然數(shù)，所以它除以18的余數(shù)只能為17．【答案】17模塊二、多位數(shù)的余數(shù)問題【例6】

222 2除以2000222 2除以

13所得余數(shù)是 .【考點(diǎn)】多位數(shù)的余數(shù)問題 【難度3星 【題型】填空【解析】方法一、我們發(fā)現(xiàn)222222整除13，2000÷6余2，所以答案為22÷13余9。方法二、因?yàn)?001是13的倍數(shù)222222=2221001，所以每6個(gè)2能整除13，那么2000個(gè)2中6個(gè)一組可以分為333組余2，所以答案為22÷13余9【答案】96666

667的余數(shù)是多少？1995個(gè)6【考點(diǎn)】多位數(shù)的余數(shù)問題 【難度3星 【題型】解答1，【解析】方法一：因?yàn)?|666666，所以連續(xù)6個(gè)6為一個(gè)周期．又因19956332 3，而6667951，故符合題意的余數(shù)是1．方法二：利用余數(shù)判別法⑹，因?yàn)檫B續(xù)6個(gè)6奇數(shù)節(jié)和偶數(shù)節(jié)的各位數(shù)字和抵消，而19956332 3，且666795 1，故符合題意的余數(shù)是1．【答案】1【例7】77777除以41的余數(shù)是多少？1996個(gè)7【考點(diǎn)】多位數(shù)的余數(shù)問題 【難度4星 【題型】解答741□77741□3677741□39777741□28，7777741□0所以77777是41的倍數(shù)，而19965399 1，所以77777可以分成1996個(gè)7399段77777和1個(gè)7組成，那么它除以41的余數(shù)為7．【答案】7【例8】已知a20082008 2008，問：a除以13所得的余數(shù)是多少？2008個(gè)2008【考點(diǎn)】多位數(shù)的余數(shù)問題 【難度4星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯，5年級(jí)，第3題【解析】20××136，10000133，注意到200820082008100002008；20082008200820082008100002008；2008200820082008200820082008100002008；根據(jù)這樣的遞推規(guī)律求出余數(shù)的變化規(guī)律：20××20××13余6361311，813余1136390813的倍數(shù)．而2008除31，所以a

2008除以13的余數(shù)與2008除以13的余數(shù)相同，為6.【答案】6

2008個(gè)2008模塊三、找規(guī)律計(jì)算【例9】5小時(shí)做一次記錄。做第十二次記錄時(shí)，掛鐘的時(shí)針恰好指向9?【考點(diǎn)】找規(guī)律計(jì)算 【難度3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】華杯賽，初賽，第15題【解析】從第一次記錄到第十二次記錄，相隔十一次，共5×11＝55(小時(shí))。時(shí)針轉(zhuǎn)一圈是12小時(shí)，55除以12余數(shù)是7，9－7＝2答：時(shí)針指向2?！敬鸢浮?【例10】一筐蘋果分成小盒包裝，每盒裝3只，剩2只；每盒裝5只，剩3只。每盒裝6只，剩 只。【考點(diǎn)】找規(guī)律計(jì)算 【難度3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯，4年級(jí)，決賽，第3題，8分【解析】除以5余3的數(shù)從小到大為3、8、13、18，其中8322，所以除以3余2，除以5余3的數(shù)從小到大排列為823、38、53、，其中8612236352只或者5只?！敬鸢浮?或511、、、、、、、21……3所得的余數(shù)為多少？【考點(diǎn)】找規(guī)律計(jì)算【難度】3星【題型】解答理將斐波那契數(shù)列轉(zhuǎn)換為被3、1、、、22、、1、12、第九項(xiàng)和第十項(xiàng)連續(xù)兩個(gè)是1，與第一項(xiàng)和第二項(xiàng)的值相同且位置連續(xù)，所以斐波那契數(shù)列被38個(gè)一個(gè)周期循環(huán)出現(xiàn)，由于20××8020××3830.【答案】0【鞏固】有一列數(shù)：1，3，9，25，69，189，517，…其中第一個(gè)數(shù)是1，第二個(gè)數(shù)是3，從第三個(gè)數(shù)起，每個(gè)數(shù)恰好是前面兩個(gè)數(shù)之和的2倍再加上1，那么這列數(shù)中的第20××個(gè)數(shù)除以6，得到的余是 ．【考點(diǎn)】找規(guī)律計(jì)算 【難度3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，五年級(jí)，初賽，第4題，6分【解析】這列數(shù)除以6的余數(shù)有以下規(guī)律因?yàn)?0086669 1，所第20××個(gè)數(shù)除以6余1．【答案】1【鞏固】有一列數(shù)排成一行，其中第一個(gè)數(shù)是3，第二個(gè)數(shù)是10，從第三個(gè)數(shù)開始，每個(gè)數(shù)恰好是前兩個(gè)數(shù)的和，那么第1997個(gè)數(shù)被3除所得的余數(shù)是多少？【考點(diǎn)】找規(guī)律計(jì)算 【難度3星 【題型】解答【解析】方法一：3，10，13，23，36，69，95， 被3除后的余數(shù)依次為0，1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，2，2，1，0，1，1， 2，1為周期重復(fù)出現(xiàn)．19978249 5，余數(shù)為0．方法二：找余數(shù)的規(guī)律我們還可以這樣做：從第三個(gè)數(shù)起，利用同余的可加性，把前面兩個(gè)數(shù)被3除所得的余數(shù)相加，然后除以3，就得到這個(gè)數(shù)除以3的余數(shù)，這樣就很容易算出余數(shù)依循環(huán)，19978249 5，所以余數(shù)為0．

，觀察得8個(gè)一方法三：找余數(shù)的規(guī)律我們還可以運(yùn)用余數(shù)判別法做把每個(gè)數(shù)的各位數(shù)字相加，然后再除以3，就得到這個(gè)數(shù)除以3的余數(shù)，這樣就很容易算出余數(shù)依次【答案】0

環(huán)，19978249 5，所以余數(shù)為0．

，觀察得8個(gè)一循【例12】有一串?dāng)?shù)：1，1，2，3，5，8，……，從第三個(gè)數(shù)起，每個(gè)數(shù)都是前兩個(gè)數(shù)之和，在這串?dāng)?shù)的前20××個(gè)數(shù)中，有幾個(gè)是5的倍數(shù)？【考點(diǎn)】找規(guī)律計(jì)算 【難度3星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】20××年，走美，初賽，六年級(jí)5555可以發(fā)現(xiàn)這串余數(shù)中，每20個(gè)數(shù)為一個(gè)循環(huán)，且一個(gè)循環(huán)中，每5個(gè)數(shù)中第五個(gè)數(shù)是5于20095401420××4015的倍數(shù)．【答案】401【例13】將七位數(shù)“1357924”重復(fù)寫287次組成一個(gè)20××位數(shù)“924…”。刪去這個(gè)數(shù)中所有位于奇數(shù)位上的數(shù)字；按上述方法一直刪除下去直到剩下一個(gè)數(shù)字為止，則最后剩下的數(shù)字是【考點(diǎn)】找規(guī)律計(jì)算 【難度4星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】華杯賽，決賽，第3題【解析】本題考察二進(jìn)制，最后剩下的數(shù)是位值上的數(shù)字，周期為7，所以10243【關(guān)鍵詞】3

2，那【例14】30粒珠子依8粒紅色、2粒黑色、8粒紅色、2粒黑色的次序串成一圈，一只螞蚱從第2粒黑珠子起跳，每次跳過6粒珠子落在下一粒珠子上，這只螞蚱至少要跳 次才能落到黑珠上?！究键c(diǎn)】找規(guī)律計(jì)算【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯，3年級(jí)，初賽，第12題【解析】觀察可知，每次跳過6粒珠子，則隔7個(gè)珠子，現(xiàn)在知第1個(gè)黑珠子在10，第二個(gè)在17，第3個(gè)在24，第4個(gè)在31-30=1，第5個(gè)在38-10=8，第6個(gè)在5，第7個(gè)在2，第8個(gè)在30。所以這只螞蚱至少要跳7次才能落到黑珠子上。【答案】7次【例15】有這樣一類20××位數(shù)，它們不含有數(shù)字0，任何相鄰兩位（按照原來的順序）組成的兩位數(shù)都有一個(gè)約數(shù)和20相差1，這樣的位數(shù)共有 個(gè)．【考點(diǎn)】找規(guī)律計(jì)算 【難度5星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯，5年級(jí)，第8題【解析】第一個(gè)數(shù)確定，就能確定第二個(gè)數(shù)，以此類推，整個(gè)數(shù)就定下來了，所以一共就9個(gè)數(shù)?！敬鸢浮?個(gè)16】72的數(shù)的個(gè)位與十位之間添加一個(gè)小數(shù)點(diǎn)，其?【考點(diǎn)】找規(guī)律計(jì)算 【難度4星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】華杯賽，初賽，第15題【解析】原來的總和是10＋11＋…＋98＋99＝（1099）90＝49052被7除余2的兩位數(shù)是7×2＋2＝16，7×3＋2＝23，…，7×13＋2＝93．共12個(gè)數(shù)。這些數(shù)按題中要求添加小數(shù)點(diǎn)以后，都變?yōu)樵瓟?shù)的，因此這一手續(xù)使總和減少了(16＋23＋…＋93)×(1－1

16912

9＝588.610 2 10所以，經(jīng)過改變之后，所有數(shù)的和是4905－588.6＝4316.4【答案】4316.4模塊四、特殊的數(shù)字9【例1】將從1開始的到103的連續(xù)奇數(shù)依次寫成一個(gè)多位數(shù)＝171921……979910110則數(shù)a共有