最優控制極小值第1頁，共174頁，2023年，2月20日，星期六本章首先介紹應用哈米爾登函數法求解變分學中的被爾扎問題，然后介紹威爾斯特拉斯E函數，為推導極小值原理做準備；最后介紹極小值原理，包括有控制變量不等式約束的極小值理、有控制變量及狀態變量不等式約束的極小值原理，以及離極小值原理。

一、波爾札問題及其解法

這一節研究變分學中的波爾札問題，通過它來介紹求解變分問題的哈米爾登函數法。哈米爾登函數法仍然屬于變分法的內容。但是，由它導出的結果在許多方面同極小值原理的結果十分相似，可以把它看成極小值原理的特殊情況，即只存在性約束條件的情況。這正是我們不把這部分內容放在研究經典變分學的第一章的原因。下面，首先討論固定端點時間的波爾札問題，然后討論未定終端時間問題。第2頁，共174頁，2023年，2月20日，星期六

1．固定端點時間、無不等式約束的波爾札問題本小節研究這樣幾個問題：(1)應用哈米爾登函數法導出在微分方程等式約束下性能泛函取極值的必要條件；(2)一般條件下的橫截條件；(3)哈米爾登函數的一個重要性質；(4)在微分方程等式約束下泛函取極值的充分條件；最后介紹若干應用實例。（1）在微分方程等式約束下性能泛函取極值的必要條件前一章研究過有等式約束的拉格郎問題，其約束方程和性指標具有下列形式：

和

現在研究在一類特殊的等式約束，即系統微分方程(2·3—1)約束下的波爾札問題。其中是維狀態矢量，是待選擇第3頁，共174頁，2023年，2月20日，星期六的m維控制矢量。取決于控制矢量和初始條件矢量。是維矢量函數，它的每個元對和有連續偏導數。給定性能泛函 （2.1—2）式中、和L都是連續可微的純量函數。假設端點時間和固定。下面我們應用哈米爾登函數法來推導在系統方程(2·1—1)的約束下，使泛函J取極值的必要條件。應用拉格朗日乘子，通過矢量拉格郎乘了把系統微分方程（2·1—1）能泛函(2·1—2)，得到

定義一個純量函數第4頁，共174頁，2023年，2月20日，星期六 （2.1—4）該函數稱做哈米爾等函數。利用這個函數，方程(2·1—3)可寫成

（2.1—5）取的一次變分，得 （2.1—6）對上式右邊積分號下最后一項使用分部積分；得到

第5頁，共174頁，2023年，2月20日，星期六把它代入方程(2·1—6)，可得

(2·1一7)泛涵J’取極值的必要條什是。在這里函數、、不受限制，方程(2·1—7)中、、為任意。于是，根據必要條件可得下面一組重要的關系式：

(2·1—8) (2·l—9)

(2·1—10)

（2·1—11）方程(2·1—8)、(2·1—9)和(2·1—10)是利用哈米爾登函數法導出的歐拉方程，分別叫做系統方程和控制方程。方程(2·1—11)是相應的橫截條件，式中n維矢量叫做協狀態矢量方程(2·1—8)和(2·1—9)一起叫做規范方程。

第6頁，共174頁，2023年，2月20日，星期六這里有2n+m個待定函數，，。方程(2·1—8)一(2·1—l0)提供2n+m獨立方程，其中有2n個一階微分方程，它們的解帶有2n個積分常數，這2n個常數正好可以利用方程(2·1—11)提供的2n個邊界條件來確定。由此可以得出結論；解方程(2．1—8)一(2·1—11)便能確定待求的最優制和最優軌線。

必須指出，要得出控制方程，必須任意。如不是任意的，就不能使用基本預備定理，這樣，條件就不一定是使J取極值的條件。第7頁，共174頁，2023年，2月20日，星期六

（2）關于橫截條件的進一步討論下面討論橫截條件的一般情況。假設初始狀態受方程 (2·1—12)的約束，其中

是r維矢量函數，它的每一個元連續可微、。終端狀態受方程 (2·1—13)約束，其中第8頁，共174頁，2023年，2月20日，星期六

是維連續可微函數，。在求性能泛函的極值時，方程(2。1—12)、(2·1—13)分別規定了初始狀態和終端狀態的取值范圍。利用矢量拉格郎乘子和，將約束條件(2，1—12)和(2·1—13)結合到函數和；得到(2·1—14)

式中和分別是r維和q維的。根據泛函取極值的必要條件，可求出初始狀態和終端狀態受約束時的橫截條件為第9頁，共174頁，2023年，2月20日，星期六

(2·1—15)

(2·1—16)矢量方程(2·1—15)、(2·1—16)包括2n+r+q個方程，可以用來確定規范方程的2n個積分常數和r+q個待定常數。（3）哈米爾登函數的一個重要性質哈米爾登函數有一個重要性質，利用這個性質經?？梢允棺顑灴刂茊栴}的求解得到簡化。已知哈米爾登函數

將上式兩瑞對t求全導

利用歐拉方程(2.1—8)一(2.1—10)，沿著最優軌線

第10頁，共174頁，2023年，2月20日，星期六

若H不顯含t，則由上式可得或常數 (2．1—17)由此得出一條重要結果：如果哈米爾登函數H不顯含，那么，它沿著最優軌線等于常數。

（4）在微分方程等式約束下泛函取極值的充分條件假設端點時間、固定，初始狀態?？紤]微分方程約束（2.1—1）和終端約束（2.1—13）,性能泛函可寫成

第11頁，共174頁，2023年，2月20日，星期六取J的二次變分，得到

(2·3—18)由此可以得出結論：假設，J的一次變分等于零建立了J取極值的必要條件，那么，J取極小(極大)值的充分條件是n×n矩陣， (2·3—19)和(n十m)×(n十m)矩陣，即 (2·3—20)都是正定或半正定(負定或半負定)的。第12頁，共174頁，2023年，2月20日，星期六

上面從理論上導出了有系統微分方程和終端狀態方程約束時泛函取極值的充分條件。根據這個條件可以判斷求出的極值是極大值還是極小值。然而，對于實際工程問題，極值的性質是明顯的比如最短時間問題和最少燃料問題的最優解一定使性能泛函取極小，而最大平飛速度問題的最優解一定使性能泛函取極大。因此對于這樣一類實際問題不必計算矩陣(2·l—19)和(2，1—20)，可直接根據問題本身的性質來確定。

小結總結以上討論，得到如下結果：給定系統微分方程

第13頁，共174頁，2023年，2月20日，星期六和性能指標泛函

其中是n維狀態矢量，是m維控制矢量。假設、固定，純量函數、和連續可微，初始狀態受r維方程

的約束，終端狀態受q維方程

的約束，控制矢量不受限制。如果定義哈米爾登函數為

第14頁，共174頁，2023年，2月20日，星期六

那么，使性能指標泛函取極值的控制和軌線必須滿足1）系統方程2）伴隨方程3）控制方程 4）橫截條件

其中、分別是r維和q維待定拉格郎乘子。

5）如果哈米爾等函數不顯含，則沿著最優軌線

=常數第15頁，共174頁，2023年，2月20日，星期六

例2·1—3試求控制和軌線，把系統

從點轉移到直線

且使

取極小。解：這個問題的哈米爾登函數

伴隨方程是伴隨方程的解是

第16頁，共174頁，2023年，2月20日，星期六控制方程是

于是得

將它代入系統方程，然后積分，可得

利用初始條件，可得

于是

第17頁，共174頁，2023年，2月20日，星期六這里，終端橫截條件是

由后兩式得出。把、、、代入終端橫截條件，即當

t＝1，有

和

聯立求解這兩個代數方程，得，于是得到最優控制和最優軌線，即

第18頁，共174頁，2023年，2月20日，星期六

例2·1—2已知系統由3個積分環節串聯組成，其運動方程式為

，

，

，試將系統轉移到終端目標集

且使性能泛函

取極小。

第19頁，共174頁，2023年，2月20日，星期六

解：這個問題的哈米爾登函數

伴隨方程是

控制方程是 或終端橫截條件是

這里，，于是得到

因此要求出最優控制和最優軌線，需要求解下列方程組表示的兩點邊界值問題： ， ， ，第20頁，共174頁，2023年，2月20日，星期六由于終端條件是非線性的，確定積分常數比較復雜，最好利用數字計算機來求解。

例2·1—3

沒有推力ma作用在二維空間里運動的質點m上，用坐標x、y定質點的位置。質點的速度分絨分別是u和v，如圖2—1所示。假設報力加速度a為常數，重力加速度和空氣阻力忽略

圖2—1不計。試確定推力方向角的變化規律，使質點在規定終端時間進入平飛狀態，離x軸距離為h，且使平飛速度達到最大。第21頁，共174頁，2023年，2月20日，星期六第22頁，共174頁，2023年，2月20日，星期六

解：這個問題的系統微分方程是 (2·1—21) (2·1—22) (2·1—23) (2·1—24)初始條件是 (2·1—25) (2·l一26) (2·1—27)(2·1—28)

第23頁，共174頁，2023年，2月20日，星期六終端約束方程是 ，性能指標是

哈米爾登函數

伴隨方程是

伴隨方程的解為(2·1—29)(2·1—30)(2·1—31)(2·1—32)第24頁，共174頁，2023年，2月20日，星期六控制方程是

(2·1—33)已知 ，由橫截條件

和

可得第25頁，共174頁，2023年，2月20日，星期六 (2·1—34) (2·1—35) （2·l—36）

(2·l—37)

和 (2·l—38) (2·1—39)

由方程(2．1—29)一(2·1—32)和方程(2，1—34)一(2·1—37)，可得

第26頁，共174頁，2023年，2月20日，星期六

將代入控制方程(2·1—33)，可得 (2·1—40)其中

下面，我們用代替作獨立變量，解系統方程(2，l—21)一(2。1—24)。對式(2．1—40)兩邊微分，可得

另一方面，由

可得到

把它代入系統方程組，用線性正切律積分，再利用初始條件(2·—25)一(2·1—28)，可得第27頁，共174頁，2023年，2月20日，星期六式中待定常數和。要用尚未使用的兩個邊界條件即式(2·1—38)和式(2·1—39)來確定。由式(2。1—40)，知當時，有

第28頁，共174頁，2023年，2月20日，星期六可得出 (2．1—45)由式(2，I—38)和式(2．1—42)，知當時，有

由此得出，(2·2—46)

由式(2，1—45)和式(2．1—46)，可得(2·1—47)將上式代入式(2·1—40)，得到

(2·1—48)第29頁，共174頁，2023年，2月20日，星期六由式(2·1—39)、(2．1—44)、（2·1—45）、(2·1—48)，令，得到 (2·1—49)給定、、，由上式可算出，再將代入式(2·1—48)算出。將代入式(2·1—40)，便求出最優推力方向角隨時間變化的規律 （2·1—50）將式(2·1—47)、(2·1—48)代入方程(2·1—41)和(2·1—43)，得到端時間質點的平飛速度和x坐標：和

第30頁，共174頁，2023年，2月20日，星期六

請看實例：設

試求終端時間可能達到的最大平飛速度。由給定條件可算出

而

把它們代入式(2·1—49)，得到 0.2133333由上式算出，把它代入方程(2．1—51)，可算出終端時間最大平飛速度，即第31頁，共174頁，2023年，2月20日，星期六例2·1—4在高超音速流體中零攻角下旋轉體最小阻力外形第32頁，共174頁，2023年，2月20日，星期六第33頁，共174頁，2023年，2月20日，星期六子彈高速運動產生的激波第34頁，共174頁，2023年，2月20日，星期六第35頁，共174頁，2023年，2月20日，星期六日本新干線高速列車第36頁，共174頁，2023年，2月20日，星期六美國航天飛機試驗飛行第37頁，共174頁，2023年，2月20日，星期六第38頁，共174頁，2023年，2月20日，星期六AF-3Britishmilitaryjetaircraft第39頁，共174頁，2023年，2月20日，星期六第40頁，共174頁，2023年，2月20日，星期六美國隱形B2戰略轟炸機第41頁，共174頁，2023年，2月20日，星期六例2·1—4在高超音速流體中零攻角下旋轉體(見圖2—2)動壓J可以精確地表示成

(2·1—53)式中q＝動壓；x＝離開最大半徑點的軸向距離；r(x)＝旋轉體半徑，為x的函數； (2．1—54)＝牛頓近似壓力系數＝旋轉體長度；旋轉體最大半徑。

圖2—2我們的任務是根據給定的、、，酌定r(x)，使D達到最小。第42頁，共174頁，2023年，2月20日，星期六第43頁，共174頁，2023年，2月20日，星期六解：令

（2·1一55）考慮可能出現鈍頭情況，將式(2·1—54)代入式(2·3—53)，可得

或 (2·1—56)這個問題的系統方程是

性能指標是

式中

x是獨立變量；

r是狀態變量；

u是控制變量；

r(0)給定為a；r(l)未規定。第44頁，共174頁，2023年，2月20日，星期六

u是控制變量；

r(0)給定為a；r(l)未規定。

由系統方程和性能指標，哈米爾登函數

(2·1—57)伴隨方程是

控制方程是 (2·1—58)第45頁，共174頁，2023年，2月20日，星期六由橫截條件確定兩點邊界條件為

(2·1—59)哈米爾登函數不顯含x，所以H沿最優軌線等于常數。將式(2·1—58)代入式，得 常數 (2·1—60)由式(2·1—58)和(2·1—59)，可得：

由此得出或 (2·1—61)第46頁，共174頁，2023年，2月20日，星期六將代入式(2．1—60)，得

由式(2．1—60)和上式得到用斜率表示的旋轉體半徑表達式，即 （2·1—62）對上式兩邊求微分，得 (2·1—63)由式(2·1—55)，可求出

dr＝一udx或dx＝一dr／u(2·1—64)將上式代入式(2·1—63)；整理后積分，可得

由此求得 （2·1—65）上式表示x與斜率u之間的關系。方程(2·1—62)和(2·1—65)是旋轉體最優形狀參數方程。現解第47頁，共174頁，2023年，2月20日，星期六

下面這兩個超越方程： (2．1—66) (2．1—67)可以確定頂點半徑r(l)和x＝0上的斜率u。

圖2—3表示固定，為幾種不同值時旋轉體的幾何形狀。由式(2·1—62)一(2·1—64)，可得

將上式代入式(2·1—56)，并注意到

和可得

參考面積為。因此，最小阻力系數為

第48頁，共174頁，2023年，2月20日，星期六第49頁，共174頁，2023年，2月20日，星期六

(2·1—68)假設＝1000mm，＝250mm；形式(2·l—67)除(2·1—66)，

解上述方程得

將代入式(2·1—66)和(2·1—68)，得第50頁，共174頁，2023年，2月20日，星期六

例2·1—5給出長為的繩子，連在一根長為2的直線的兩端，，試用哈米爾登函數法，求使繩子同直線間面積最大的繩子的形狀。解：設繩子與直線間的關系如圖2—4所示，由題意可列出如下關系式：

其中是繩子形狀函數曲線的斜率。設是從起到處的一段繩長，則第51頁，共174頁，2023年，2月20日，星期六第52頁，共174頁，2023年，2月20日，星期六

因此有

且

于是，得到這個問題的系統方程是

其中x、y是狀態變量；是控制變量，t是獨立變量。這個問題的性能指標

初始條件 (2·1一69)第53頁，共174頁，2023年，2月20日，星期六哈米爾登函數可表示為 (2·1—71)伴隨方程為 (2·1—72)

控制方程為

因此 (2·1—73)第54頁，共174頁，2023年，2月20日，星期六哈米爾登函數不顯含，因此，沿最優軌線等于常數。由式(2·1—72)和(2·1—73)，可得， (2·1—74)由式(2·1—71)和(2·1—73)，可得 (2·1—75)對(2·1—74)兩邊取微分，可求得’

因此有 (2·1—76)令。當時，由式(2·1—75)和式(2·1—69)第一式，可得 (2·1—77)由式(2·1—75)和(2·1—70)，當時，有 (2·1—78)第55頁，共174頁，2023年，2月20日，星期六由式(2·1—77)、(2·1—78)，可得(2·1—79)由式(2·1—76)，可知

即(2·1—80)因此由式(2。1—79)、(2·1—80)，得到

把和代入式(2·1—76)、(2·1—77)，得到

， (2·1—81)由式(2·1—74)和式(2．1—81)，得

當，有第56頁，共174頁，2023年，2月20日，星期六

當，有

比較以上兩式知c＝0，于是得到 (2．1—82)由式(2·1—74)、(2。1—75)和式（2。1—81）以及c＝o，可得

和

將上面兩式兩邊平方然后相加，得到繩子最優形狀方程，即

第57頁，共174頁，2023年，2月20日，星期六這是一段圓弧方程圓心位于，半徑為，其中已知，通過求解超越方程(2·1—82)可求出相應的。

例2·1—6把一火箭運載工具從一已知的初始環形軌道在預定時間內發．射值至最大可能的環形軌道。假設火箭發動機的推力大小恒定，即為常數，如圖2—5所示，試求推力方向角的變化規律。

解：令

r為宇宙飛船至引力巾心的徑向距離；

u為速度的徑向分量；

v為速度的切向分量；為運載火箭的質量；為燃料消耗的速率，設為常數；為推力方向角；為引力常數。第58頁，共174頁，2023年，2月20日，星期六第59頁，共174頁，2023年，2月20日，星期六由題意可列出系統運動方程，即

性能泛函為

初始條件為

終端條件為

于是，可列出哈米爾登函數

伴隨方程是第60頁，共174頁，2023年，2月20日，星期六

控制方程是

即

在這里

出此可得終端橫截條件：第61頁，共174頁，2023年，2月20日，星期六出此可得終端橫截條件：

于是，得到以下兩點邊界值問題：

第62頁，共174頁，2023年，2月20日，星期六 ， ， ，

，求解上面的非線性、時變兩點邊界值問題，可求出狀態變量，協狀態變量，拉格郎乘子、進而由可求出推力方向角隨時間的變化規律。第63頁，共174頁，2023年，2月20日，星期六

2．未定終端時間、無不等式約束的波爾扎問題前一小節用哈米爾登函數法研究了端點時間固定的波爾札問題現在討論終端時間未規定的情況。在這里終端約束條件是終端狀態和終端時間的函數，而對終端時間未做規定。為方便起見，假設初始時間已知。現在的問題是在系統微分方程 未規定 (2·1—83)約束T，求控制u(t)和軌線x(t)，使性能泛函 (2·1—84)取極小，且在未定終端時間滿足下面個終端約束方程： (2·1—85)這個終端約束條件是前一章研究過的終端條件：的更一般情況。使用矢量拉格郎乘子和v，把約束方程(2·1—83)、(2·1—84)第64頁，共174頁，2023年，2月20日，星期六·85)結合到性能泛函(2。1—84)，可得到

或 (2·1—86)式中哈米爾登函數H和純量函數別定義為

和

第65頁，共174頁，2023年，2月20日，星期六令

把它們代入式(2·1—86)，構成

再把展開成臺勞級數，取它的線性項，得到泛函J的一次變分

為分析方便，式中省去了符號“*”。對上式右邊積分號下最后項使用分部積分，并注意列第66頁，共174頁，2023年，2月20日，星期六

(2·1—87)得

圖2—6是式(2．1—87)的幾何說明。上式中各個變分、、圖2-6 第67頁，共174頁，2023年，2月20日，星期六 、、、互不相關且任意，根據泛函J取極值的必要條件，可以得出如下結果： (2·1—88) (2·1—89) (2·1—90)第68頁，共174頁，2023年，2月20日，星期六

(2·1一91)

(2·1—92)(2·1—93)(2·1—94)

方程(2·1—88)一(2·1—90)代表2n個一階微分方程和m個代數方程，用來確定2n十m個未知函數(i＝1，2，…，n)和(j＝1，2，…，m)。方程(2。1—91)一(2，1—94)代表2n十q十1條件，，用來確定2n個積分常數，q個拉格朗乘子(k＝1，2，…q)和一個最優終端時間。同固定端點時間問題相比，這里增加一個方程，即式(2·1—94)。這個階加方程正好是確定未知終端時間需要的。第69頁，共174頁，2023年，2月20日，星期六

上一小節證明了哈米爾登函數的一個重要性質，即如果它不顯含t，則沿最優軌線等于常數。對于未定終端時間問題，可以證明上述性質同樣存在，特別是如果函數和都不顯含t，則由方程(2。1—94)可得出

由此可以得出結淪：如果終端時間未規定，且函數H、和不顯含t，則哈米爾登函數沿最優軌線等于零，即 ，小結總結以上討論，得到如下結果：給定系統微分方程

和性能指標

其中第70頁，共174頁，2023年，2月20日，星期六

是n維狀態矢量；是m維控制矢量。假設固定，未規定。純量函數和L連續可微，初始狀態未規定，終端狀態受q個方程，即

約束，控制向量不受限制。定義哈米爾登函數

那么，如果、、分別是最優控制、最優軌線和最優終端時間，則它們同一起在區間上必須滿足：1）系統方程2）伴隨方程3）控制方程第71頁，共174頁，2023年，2月20日，星期六4）橫截條件

5）如果哈米爾登函數H和函數、都不顯含t，則

例2。1—7給定單積分系統

，求控制變量使，并使

第72頁，共174頁，2023年，2月20日，星期六

取極小。其中和是給定常數，終端時間未規定。解；這個問題的哈米爾登函數

控制方程是 或伴隨方程是

它的解是 常數系統方程的解是

第73頁，共174頁，2023年，2月20日，星期六利用邊界條件

可得

終端約束方程和附加方程是

和

或

給定和，可由上述方程求出和，進而求出最優控制和最優軌線。例如，假設，則可算出： ， ，第74頁，共174頁，2023年，2月20日，星期六例2·1—8對于例2·1—3所描述的系統，假設推力加速度。為常數，重力加速度和空氣阻力忽略不計。要求用最短時間把質點送到垂直坐標為的水平軌道上；且使水平速度達到規定值 ，而對x坐標未規定，試求推力方向角的變化規律。解：由題意，可列出這個問題的系數微分方程：

性能指標(2·1—96)終端約束條件

(2·1—96) (2·1—37) (2·I—98)第75頁，共174頁，2023年，2月20日，星期六于是得到哈米爾登函數

伴隨方程是 (2．I一99) (2·1—100) (2、1一101) (2·1—102)半隨方程的解為

(2·1—103) (2·1—104)控制方程

第76頁，共174頁，2023年，2月20日，星期六

(2．1—105)這個問題的初始條件是

(2·1—106)(2．1—107)(2．1—108)(2·1—109)終端橫截條件是 (2·1—110) (2·1—111)

(2．1—112) (2·1—113)第77頁，共174頁，2023年，2月20日，星期六

和(2·1—114)(2．1—115)(2·1—116)這里

因為H和N都不顯含t，所以，于是有

利用終端橫截條件可確定伴隨方程解的積分常數由式(2·1—103)一(2·1—105)及上面求出的積分常數，可得

(2．1—117)其中

解系統方程，得到第78頁，共174頁，2023年，2月20日，星期六

(2·1—118) (2·3—119)

(2·1—120)

(2·1—121)由式(2·1—117)，當時，有

因此，。由方程(2·1—115)和(2·1—119)，可得

第79頁，共174頁，2023年，2月20日，星期六因此，，于是得到 (2·1—122) (2·1—123)利用式(2·1—114)、(2·1—116)、(2．1—118)、(2．1—120)、(2。1—121)和(2，1—122)，并注意到

可得 （2·1—124） （2·l—125） (2·2—126)由式(2．1—124)、(2·1—125)消去c，可得第80頁，共174頁，2023年，2月20日，星期六

(2．1—127)將式(2，1—123)代入(2，1—124)，消去c，可求出 （2·1—128）如果給定a、h和U，則可以式(2·1—127)算出，再由式(2．1—128)和(2．1—126)計算出最短時問和終端時間的x坐標；然后把式(2·1—123)代入(2·l—117)得到最優推力方向角隨時間的變化規律。例如，假設

a＝150m／，h＝200m，U＝737m／s第81頁，共174頁，2023年，2月20日，星期六那么，利用上面導出的關系式可算出：

例2·1—9在例2·1—8中考慮重力加速度g的影響，試確定1)

初始推力方向角；2)終端推力方向角；3)最短時間；4)終端時間的坐標。解：這個問題的系統方程是 ， ，性能指標泛函是式(2·l—95)，終端約束條件是方程(2·1—96)—(2．1—98)；哈米爾登函數是

伴隨方程是方程(2·l—99)一(2·1—102)；初始條件是式(2·1—l06)

一(2．1—209)；終端橫截條件是式(2．1—110)一(2．3—116)；控

第82頁，共174頁，2023年，2月20日，星期六制方程是方程(2·1—117)。解系統方程，可得

用終端橫截條件(2．1—114)一(2·1—116)，可得 (2·l—129) (2·1—130)

(2·1—131)外，當時，有 (2·1—132)第83頁，共174頁，2023年，2月20日，星期六

(2·1—133)方程(2·1—130)和(2·1—133)，可得 (2·1—134)方程(2，1—129)一(2．1—131)和方程(2·I—133)，可得

(2．1—135)由方程(2·1—129)一(2。1—133)，可得 (2．1—136)如果給定阿a、h和U，則由式(2·1—134)、(2．1—135)可算出和，然后把它們代入式(2·1—132)、(2·1—136)可算出和。例如，給定 ，h＝200m，U＝737In／s可算出 ，

第84頁，共174頁，2023年，2月20日，星期六

問題2·1—1給定系統方程

初姑條件為

終端條件為 未規定試求控制和軌線，使性能泛函

達到極小。問題2·1—2給定系統方程為

端點條件為

未規定試求控制和軌線，使性能泛函

達到極小。

第85頁，共174頁，2023年，2月20日，星期六

問題2·1—3給定系統方程

端點條件為 未規定試求控制和軌線，使性能泛函

達到極小。

問題2·1—4試求控制和軌線，把系統

從轉移到，且使性能泛函達到極小。

問題2·1—5試在例2·l—4所述最優彈頭形狀問題中，用式2·1—61)表示的另一結果，導出彈頭形狀曲線方程，并討論所得結果。

問題2·1—6給定系統方程為

性能泛函為 ，未規定初始條件為

第86頁，共174頁，2023年，2月20日，星期六

終端條件為

試求使J取極小的、和應滿足的微分方程式和邊界條件。

問題2·1—7試用哈米爾登函數法求解例1·4—3。

問題2·1—8設有一質點在平面上從點向點運動，其瞬時速度是該質點所在位置的函數，即V=V(x，y)，質點運動方程式是

式中是速度方向與x軸間的夾角。試證明當質點沿著最優時間軌線行進時控制變量必須滿足下列微分方程：

問題2·1—9試用哈米爾登函數法求在t—x平面上由點到直線具有最短弧長的曲線方程。

第87頁，共174頁，2023年，2月20日，星期六

二、充分條件及威爾斯持拉斯E函數本章主要任務是介紹極小值原理。但是，極小值原理的嚴格證明全十分復雜的，我們只做簡單的證明。在推導極小值原理時，要用到泛函取極值的一個充分條件。這個條件是建立在威爾期特拉斯E函數基礎上的。這一節的任務是介紹這個充分條件及威爾斯特拉斯E函數。1．極值曲線場在(t，x)平面上，如果對其中的某個域D上的每一點都有曲線族x＝x(t,c)中的一條曲線而且只有一條曲線經過，我們便說曲線族在D域上形成一個場，或更準確地說，形成一個正常場。在曲線族x＝x(t，c)上點(t，x)處切線的斜率，叫做場在該點的斜率，記為p(t，x)。顯然，如果x(t，c)連續可微，則p(t，c)在場中每一點上都唯一確定。如果真x(t，c)是分段光滑的，那么，除角點以外，p(t，x)在場中每—點也都唯一確定。例如，在圓域內一切乎行直線形成一個場，這個場的斜率為p(t，x)＝1，如圖2—7所示。如果曲線族x＝x(t，c)的全部曲線都通過某一點A(t。，x。)，形成一個曲線束，束中曲線布滿整個域D，束心也在其中，并且除束心以外曲線在域D內不再相交，如圖2—8所示，我們就說曲線族x＝x(t，c)也形成一個場。為了同前面說的正常場相區別，稱它為中心場。第88頁，共174頁，2023年，2月20日，星期六第89頁，共174頁，2023年，2月20日，星期六

如果正常場或中心場是由某個變分問題的極值曲線族形成D，則稱這個場為極值曲線場。在第于章曾經指出，關于某個變分問題的歐拉方程的積分曲線代表一族曲線，這樣一族曲線就是所述變分問題的極值曲線族。場的概念也可以由平面情況推廣到任意維空間情況。如果對于空間的域D內的每一點，都有曲線族(i＝1，2，…，n)中的一條并且只有一條曲線經過，則曲線族在域D內形成一個場。在點

處函數對t的偏導數，叫做場的斜率函數(i＝1，2，…，n)。如果寫成量形式，則有

其中

任意維空間里的中心場也可以用同樣方法來定義。第90頁，共174頁，2023年，2月20日，星期六

2．威爾斯特拉斯E函數

假設在性能泛函

求p極值問題中，極值曲線起始于，終止于它被包含在斜率等于p(t，x)的極值曲線場內，如圖2—9所示。取c是經過A、B兩點與鄰近的容許曲線，則性能泛函J的增量

(2．2—1)式中積分和分別表示性能泛函 沿著容許曲線c的積分值和沿著極值曲線的積分值。

圖2。9第91頁，共174頁，2023年，2月20日，星期六第92頁，共174頁，2023年，2月20日，星期六勿庸置疑，如果泛函J在任何一條與曲線鄰近的曲線上的積分值都不小于(不大于)在曲線上的積分值，也就是，則泛函J在曲線上達到極小(極大)值。由此可見，要確定極值的性質，就要確定的符號，這就需要判斷方程(2．2—1)右邊的兩項中哪一項大，哪一項小。但是由于這兩項的積分路線不同，直接進行比較是困難的。為了把它們化成便于比較的形式，可把式(2·2—1)右邊第二項沿曲線積分，變成等價的，沿曲線c的積分。為了便于數學上處理，我們引入如下輔助函數 (2·2—2)其中p是極值曲線場在點(t,x)，處的斜率，即通該點的極值曲線線在該點的切線斜率，dx/dt是容許曲線在(t,x)處切線的斜率率。

第93頁，共174頁，2023年，2月20日，星期六在圖2—10上，點劃線表示一族極值曲線，c表示與極值曲線鄰近的一條容許曲線，那么，在點處，有

圖2—10

下面我們來證明積分(2，2J2)與積分路徑無關。由普通微積分學可知，曲線積分

與積分路徑無關的充分必要條件是函數N(x，y)和M(x，y)在各點滿足關系式： （2。2—3）把函數(2·2—2)改寫成第94頁，共174頁，2023年，2月20日，星期六第95頁，共174頁，2023年，2月20日，星期六

(2·2—4)如果上述積分與積分路徑無關，利用關系式(2‘2—3)，就有 (2·2—5)桓等式(2。2-5)兩邊都是全偏導數，把它展開，可得

或 (2·2—6)第96頁，共174頁，2023年，2月20日，星期六容易看出，方程(2。2—6)恰巧是方程

的展開式，這也正是歐拉方程

當時的展開式，而場的斜率就是歐拉方程積分曲線切線的斜率，因此，對所述極值曲線場中的來說，必然滿足歐拉方程。這就證明了恒等式(2·2—5)必然成立，從而證實了輔助函數(2·2—4)或(2·2—2)與積分路徑無關；因此下式立：

第97頁，共174頁，2023年，2月20日，星期六因為在極值曲線場中沿著極值曲線每一點，因此，上式右邊變成

于是得到

對于任意選擇的，上式都成立。因此，增量方程(2。2—1)可以變換成如下形式：

第98頁，共174頁，2023年，2月20日，星期六上式右邊的被積函數叫做威爾斯特技斯俄E函數。用符號表示，即

于是J的增量方程可寫成顯然，如果函數E不為負，則一定有。因此，泛函J在曲線上達到極小值的充分條件是；反之，如果E不為正，則必有。于是，泛函J在曲線上達到極大值的充分條件是。這個根據函數的符號來判斷泛函取極小值或極大值條件，叫做威爾斯特拉斯條件。在極值曲線場中，每一點都有一條極值曲線經過，容許曲線c上的每一點(t，x)同時也是經過該點的極值曲線上的點(t，x*)。例如，在圖2—10所示的極值曲線場中，容許曲線上的點同樣也是通過該點的極值曲線上的點。這個點的縱坐標第99頁，共174頁，2023年，2月20日，星期六

對容許曲線而言記為，對極值曲線而言記為。因此，威爾斯特拉斯條件也可以這樣說：如果函數

則性能泛函取極小(極大值。這里

上述條件也可以推廣到多變量，即函數為矢量的情況。假設性能泛函

其中為一n維矢量，那么，J沿某一容許曲線

c的積分值與沿極值曲線的積之差第100頁，共174頁，2023年，2月20日，星期六

如果

或

則性能泛函J取極小(極大)值。其中和3．弱極值和強極值如果對于一切，在同時滿足容許曲線上的x值與極第101頁，共174頁，2023年，2月20日，星期六值曲線上的點相接近，容許曲線上的值也與極值曲線上的p相接近的條件下，有，則泛函達到的極值稱為弱極?。O大）值，具有這樣性質的容許曲線如圖2—11所示。如果對于一切，在容許曲線上的與極值曲線上的點相接近，對于任意，有，則泛函達到的極值稱為強極小(極大)值。在這樣的情況下，容許曲線不僅包括圖2—11中的那一類，而且也包括圖2—12中的那一類。由此可見，如果泛函在上有強極值，那么，它在上也有弱極值；反之，如果它在上有弱極值，那并不一定在上有強極值。

圖2—11圖2—12在此以前，我們根據泛函的臺勞級數展開式的線性項建立極值的必要條件根據它的二次項來判斷極值的性質。這就要求和都是微變量。也就是說，要求對于一切，容許曲線及其導數分別接近極值曲線及其導數。這正是弱極值要求的條件，因此，所確定的極值屬于弱極值。第102頁，共174頁，2023年，2月20日，星期六

小結

總結以上討論，得到如下結果：給定性能泛函其中是一n維矢量，建立威爾斯特拉斯E函數

或

如果在區間上滿足威爾斯特拉斯條件

或

則性能泛品J取極小(極大)值。第103頁，共174頁，2023年，2月20日，星期六如果上述條件是在容許曲線上的值與極值曲線上的點相接近，同時容許曲線上的x位也與板位曲線上的p相接近的條件下達到的，那么，泛函達到的極值稱為弱極值。如果只要求x接近，而不要求也接近于p，那么，泛函達到的極位稱為強極值。例2．2—1給定性能泛函其中a＞0，b＞o。直線族是它的歐拉方程的解。利用端點條件，可求出極值只能在直線

上達到。而且直線形成一。個以點(0，0)為中心，其中包括直線第104頁，共174頁，2023年，2月20日，星期六的中心場，如圖2—13所示。這個問題的威爾斯特拉斯函數是

在極值曲線上，場的斜率p＝b／a＞0，如果取近似于