數學建模最優化模型第1頁，共47頁，2023年，2月20日，星期六最優化方法概述1、最優化理論和方法是近二十多年來發展十分迅速的一個數學分支。2、在數學上，最優化是一種求極值的方法。3、最優化已經廣泛的滲透到工程、經濟、電子技術等領域。第2頁，共47頁，2023年，2月20日，星期六在實際生活當中，人們做任何事情，不管是分析問題，還是進行決策，都要用一種標準衡量一下是否達到了最優。（比如基金人投資）在各種科學問題、工程問題、生產管理、社會經濟問題中，人們總是希望在有限的資源條件下，用盡可能小的代價，獲得最大的收獲。（比如保險）

第3頁，共47頁，2023年，2月20日，星期六數學家對最優化問題的研究已經有很多年的歷史。以前解決最優化問題的數學方法只限于古典求導方法和變分法（求無約束極值問題），拉格朗日（Lagrange）乘數法解決等式約束下的條件極值問題。計算機技術的出現，使得數學家研究出了許多最優化方法和算法用以解決以前難以解決的問題。第4頁，共47頁，2023年，2月20日，星期六幾個概念最優化是從所有可能方案中選擇最合理的一種以達到最優目標的學科。最優方案是達到最優目標的方案。最優化方法是搜尋最優方案的方法。最優化理論就是最優化方法的理論。第5頁，共47頁，2023年，2月20日，星期六經典極值問題包括：①無約束極值問題②約束條件下的極值問題第6頁，共47頁，2023年，2月20日，星期六1、無約束極值問題的數學模型2、約束條件下極值問題的數學模型其中，極大值問題可以轉化為極小值問題來進行求解。如求：可以轉化為：第7頁，共47頁，2023年，2月20日，星期六1、無約束極值問題的求解例1：求函數y=2x3+3x2-12x+14在區間[-3,4]上的最大值與最小值。解：令f(x)=y=2x3+3x2-12x+14 f’(x)=6x2+6x-12=6(x+2)(x-1)

解方程f’(x)=0，得到x1=-2，x2=1，又 由于f(-3)=23，f(-2)=34，f(1)=7，f(4)=142，綜上得，函數f(x)在x=4取得在[-3,4]上得最大值f(4)=142，在x=1處取得在[-3,4]上取得最小值f(1)=7第8頁，共47頁，2023年，2月20日，星期六第9頁，共47頁，2023年，2月20日，星期六用MATLAB解無約束優化問題其中等式（3）、（4）、（5）的右邊可選用（1）或（2）的等式右邊.

函數fminbnd的算法基于黃金分割法和二次插值法，它要求目標函數必須是連續函數，并可能只給出局部最優解.常用格式如下：（1）x=fminbnd(fun,x1,x2)（2）x=fminbnd(fun,x1,x2，options)（3）[x，fval]=fminbnd（…）（4）[x，fval，exitflag]=fminbnd（…）（5）[x，fval，exitflag，output]=fminbnd（…）第10頁，共47頁，2023年，2月20日，星期六MATLAB(wliti1)主程序為wliti1.m:f='2*exp(-x).*sin(x)';fplot(f,[0,8]);%作圖語句

[xmin,ymin]=fminbnd(f,0,8)f1='-2*exp(-x).*sin

(x)';[xmax,ymax]=fminbnd(f1,0,8)第11頁，共47頁，2023年，2月20日，星期六例2有邊長為3m的正方形鐵板，在四個角剪去相等的正方形以制成方形無蓋水槽，問如何剪法使水槽的容積最大？解先編寫M文件fun0.m如下:function

f=fun0(x)f=-(3-2*x).^2*x;主程序為wliti2.m:[x,fval]=fminbnd('fun0',0,1.5);xmax=xfmax=-fval運算結果為:xmax=0.5000,fmax=2.0000.即剪掉的正方形的邊長為0.5m時水槽的容積最大,最大容積為2m3.MATLAB(wliti2)第12頁，共47頁，2023年，2月20日，星期六命令格式為:（1）x=fminunc（fun,X0）；或x=fminsearch（fun,X0）（2）x=fminunc（fun,X0，options）；或x=fminsearch（fun,X0，options）（3）[x，fval]=fminunc（...）；或[x，fval]=fminsearch（...）（4）[x，fval，exitflag]=fminunc（...）；或[x，fval，exitflag]=fminsearch（5）[x，fval，exitflag，output]=fminunc（...）；或[x，fval，exitflag，output]=fminsearch（...）

2.多元函數無約束優化問題標準型為：min第13頁，共47頁，2023年，2月20日，星期六例用fminsearch函數求解輸入命令:

f='100*(x(2)-x(1)^2)^2+(1-x(1))^2';[x,fval,exitflag,output]=fminsearch(f,[-1.22])運行結果:

x=1.00001.0000fval=1.9151e-010exitflag=1output=iterations:108funcCount:202algorthm:'Nelder-Meadsimplexdirectsearch'第14頁，共47頁，2023年，2月20日，星期六有約束最優化最優化方法分類（一）線性最優化：目標函數和約束條件都是線性的則稱為線性最優化。

非線性最優化：目標函數和約束條件如果含有非線性的，則稱為非線性最優化。

（二）靜態最優化：如果可能的方案與時間無關，則是靜態最優化問題。

動態最優化：如果可能的方案與時間有關，則是動態最優化問題第15頁，共47頁，2023年，2月20日，星期六有約束最優化問題的數學建模有約束最優化模型一般具有以下形式：或其中f(x)為目標函數，省略號表示約束式子，可以是等式約束，也可以是不等式約束。第16頁，共47頁，2023年，2月20日，星期六根據目標函數，約束條件的特點將最優化方法包含的主要內容大致如下劃分：線性規劃整數規劃非線性規劃動態規劃多目標規劃對策論最優化方法主要內容第17頁，共47頁，2023年，2月20日，星期六兩個引例問題一：某工廠在計劃期內要安排生產I、II兩種產品，已知生產單位產品所需的設備臺時及A、B兩種原材料的消耗，如下表所示12kg40原材料B16kg04原材料A8臺時21設備III該工廠每生產一件產品I可獲利2元，每生產一件產品II可獲利3元。問應如何安排計劃使該工廠獲利最多？第18頁，共47頁，2023年，2月20日，星期六解：該工廠生產產品Ix1件，生產產品IIx2件，我們可建立如下數學模型：s.t.第19頁，共47頁，2023年，2月20日，星期六問題二：某廠每日8小時的產量不低于1800件.為了進行質量控制，計劃聘請兩種不同水平的檢驗員.一級檢驗員的標準為：速度25件/小時，正確率98%，計時工資4元/小時；二級檢驗員的標準為：速度15件/小時，正確率95%，計時工資3元/小時.檢驗員每錯檢一次，工廠要損失2元.為使總檢驗費用最省，該工廠應聘一級、二級檢驗員各幾名？解設需要一級和二級檢驗員的人數分別為x1、x2人,則應付檢驗員的工資為：因檢驗員錯檢而造成的損失為：第20頁，共47頁，2023年，2月20日，星期六故目標函數為：約束條件為：第21頁，共47頁，2023年，2月20日，星期六

運用最優化方法解決最優化問題的一般方法步驟如下：①前期分析：分析問題，找出要解決的目標，約束條件，并確立最優化的目標。②定義變量，建立最優化問題的數學模型，列出目標函數和約束條件。③針對建立的模型，選擇合適的求解方法或數學軟件。④編寫程序，利用計算機求解。⑤對結果進行分析，討論諸如：結果的合理性、正確性，算法的收斂性，模型的適用性和通用性，算法效率與誤差等。第22頁，共47頁，2023年，2月20日，星期六線性規劃某豆腐店用黃豆制作兩種不同口感的豆腐出售。制作口感較鮮嫩的豆腐每千克需要0.3千克一級黃豆及0.5千克二級黃豆，售價10元；制作口感較厚實的豆腐每千克需要0.4千克一級黃豆及0.2千克二級黃豆，售價5元。現小店購入9千克一級黃豆和8千克二級黃豆。問：應如何安排制作計劃才能獲得最大收益。第23頁，共47頁，2023年，2月20日，星期六一、問題前期分析該問題是在不超出制作兩種不同口感豆腐所需黃豆總量條件下合理安排制作計劃，使得售出各種豆腐能獲得最大收益。二、模型假設1．假設制作的豆腐能全部售出。2．假設豆腐售價無波動。第24頁，共47頁，2023年，2月20日，星期六變量假設：設計劃制作口感鮮嫩和厚實的豆腐各x1千克和x2千克，可獲得收益R元。目標函數：獲得的總收益最大。總收益可表示為：受一級黃豆數量限制：受二級黃豆數量限制：第25頁，共47頁，2023年，2月20日，星期六綜上分析，得到該問題的線性規劃模型s.t.第26頁，共47頁，2023年，2月20日，星期六用Matlab編程求解程序如下：[X,FVAL,EXITFLAG,OUTPUT]=LINPROG(f,A,b)

f=-[105];A=[0.30.4;0.50.2];B=[9;8];[X,FVAL,EXITFLAG,OUTPUT]=LINPROG(f,A,b)X=10.000015.0000FVAL=-175.0000第27頁，共47頁，2023年，2月20日，星期六用YALMIP編程求解程序如下：x=sdpvar(1,2);C=[105];a=[0.30.4;0.50.2];b=[98];f=C*x';F=set(0<=x<=inf);F=F+set(a*x'<=b');solvesdp(F,-f)double(f)double(x)

ans=175ans=1015第28頁，共47頁，2023年，2月20日，星期六線性規劃

設某工廠有甲、乙、丙、丁四個車間，生產A、B、C、D、E、F六種產品。根據機床性能和以前的生產情況，得知每單位產品所需車間的工作小時數、每個車間在一個季度工作小時的上限以及單位產品的利潤，如下表所示(例如，生產一個單位的A產品，需要甲、乙、丙三個車間分別工作1小時、2小時和4小時)問：每種產品各應該每季度生產多少，才能使這個工廠每季度生產利潤達到最大。第29頁，共47頁，2023年，2月20日，星期六生產單位產品所需車間的工作小時數ABCDEF每個車間一個季度工作小時的上限甲111323500乙255500丙425500丁138500利潤(百元)4.02.45.55.04.58.5第30頁，共47頁，2023年，2月20日，星期六這是一個典型的最優化問題，屬線性規劃。假設：產品合格且能及時銷售出去；工作無等待情況等變量說明：

xj：第j種產品的生產量（j=1,2,……,6）

aij：第i車間生產單位第j種產品所需工作小時數（i=1,2,3,4;j=1,2,……,6）

bi：第i車間的最大工作上限

cj：第j種產品的單位利潤則：cjxj為第j種產品的利潤總額；

aijxj表示第i車間生產第j種產品所花時間總數；第31頁，共47頁，2023年，2月20日，星期六于是，我們可建立如下數學模型：s.t.計算結果：Z(百元)x1x2x3x4x5x6132000604010040第32頁，共47頁，2023年，2月20日，星期六運輸問題要從甲城調出蔬菜2000噸，從乙城調出蔬菜2500噸，從丙地調出3000噸，分別供應A地2000噸，B地2300噸、C地1800噸、D地1400噸，已知每噸運費如下表：供應單位調出單位ABCD甲21271340乙45513720丙32352030問：如何調撥才能使運費最省？第33頁，共47頁，2023年，2月20日，星期六假設：①假設題目中所給運費已考慮各地間公里數；②只考慮運量和運費，不考慮車輛調撥等其它相關因素③不考慮車輛返空的費用（或：所給運費已包含車輛返空的費用）變量說明：xij:從第i城運往第j地的蔬菜數量（i=1,2,3;j=1,2,3,4）aij:從第i城運往第j地的單位運費（i=1,2,3;j=1,2,3,4）bi:從第i城調出的蔬菜總量cj:第j地所需蔬菜總量第34頁，共47頁，2023年，2月20日，星期六可以建立如下模型：s.t.第35頁，共47頁，2023年，2月20日，星期六整數規劃最優化問題中的所有變量均為整數時，這類問題稱為整數規劃問題。如果線性規劃中的所有變量均為整數時，稱這類問題為線性整數規劃問題。整數規劃可分為線性整數規劃和非線性整數規劃，以及混合整數規劃等。如果決策變量的取值要么為0，要么為1，則這樣的規劃問題稱為0－1規劃。第36頁，共47頁，2023年，2月20日，星期六例1某鋼廠兩個煉鋼爐同時各用一種方法煉鋼。第一種煉法每爐用a小時，第二種用b小時（包括清爐時間）。假定這兩種煉法，每爐出鋼都是k公斤，而煉1公斤鋼的平均燃料費第一法為m元，第二法為n元。若要求在c小時內煉鋼公斤數不少于d，試列出燃料費最省的兩種方法的分配方案的數學模型。第37頁，共47頁，2023年，2月20日，星期六設用第一種煉法煉鋼x1爐，第二種煉鋼x2爐s.t.第38頁，共47頁，2023年，2月20日，星期六引例2.資源分配問題：某個中型的百貨商場要求售貨人員每周工作5天，連續休息2天，工資200元/周，已知對售貨人員的需求經過統計分析如下表，問如何安排可使配備銷售人員的總費用最少？星期一二三四五六日所需售貨員人數18151216191412開始休息的人數x1x2x3x4x5x6x7設決策變量如上，可建立如下模型：第39頁，共47頁，2023年，2月20日，星期六第40頁，共47頁，2023年，2月20日，星期六非線性規劃非線性規劃問題的一般數學模型：其中，，為目標函數，為約束函數，這些函數中至少有一個是非線性函數。第41頁，共47頁，2023年，2月20日，星期六應用實例：供應與選址

某公司有6個建筑工地要開工，每個工地的位置（用平面坐標系a，b表示，距離單位：km）及水泥日用量d(t)由下表給出．目前有兩個臨時料場位于A(5,1)，B(2,7)，日儲量各有20t．假設從料場到工地之間均有直線道路相連．（1）試制定每天的供應計劃，即從A，B兩料場分別向各工地運送多少水泥，可使總的噸千米數最小．（2）為了進一步減少噸千米數，打算舍棄兩個臨時料場，改建兩個新的，日儲量各為20t