第14章動(dòng)能定理※

力的功※

質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能※

動(dòng)能定理※

結(jié)論與討論※

勢力場·勢能·機(jī)械能守恒定律※

功率·功率方程·機(jī)械效率※

質(zhì)點(diǎn)系普遍定理的綜合應(yīng)用§14-1力的功a.常力的功b.變力的功FMM1M2S功是代數(shù)量，其國際單位制為

J（焦耳）。c.幾種常見力的功（1）重力的功x

重力作功僅與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)始末位置的高度差有關(guān)，與運(yùn)動(dòng)軌跡形狀無關(guān)。質(zhì)點(diǎn)系：（2）彈性力的功（3）定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上作用力的功riAyxzF（4）平面運(yùn)動(dòng)剛體上力系的功MiCdrCFidriCd§14-2質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能

動(dòng)能和動(dòng)量都是表征機(jī)械運(yùn)動(dòng)的量，前者與質(zhì)點(diǎn)速度的平方成正比，是一個(gè)標(biāo)量；后者與質(zhì)點(diǎn)速度的一次方成正比，是一個(gè)矢量，它們是機(jī)械運(yùn)動(dòng)的兩種度量。動(dòng)能與功的量綱相同，也為J。剛體的動(dòng)能a.平動(dòng)剛體的動(dòng)能b.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能virimiyxzc.平面運(yùn)動(dòng)剛體的動(dòng)能PSdCvCCRvP§14-3動(dòng)能定理1.質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理2.質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理

質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的增量，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系全部力所作的元功的和微分形式。

質(zhì)點(diǎn)系在某一段運(yùn)動(dòng)過程中動(dòng)能的改變量，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系全部力所作功的和積分形式。3.理想約束′FdrOABFOF1dr22F2dr11約束反力作功等于零的約束

理想約束。CPFFN4.內(nèi)力的功zxOyFAFBABrArBFA

和FB

在drA

和drB

上所作之元功:

這一結(jié)果表明：當(dāng)兩點(diǎn)之間的距離發(fā)生變化時(shí)，這兩點(diǎn)之間的內(nèi)力所作之元功不等于零。工程上幾種內(nèi)力作功的情形◆

作為整體考察，所有發(fā)動(dòng)機(jī)的內(nèi)力都是有功力。例如汽車內(nèi)燃機(jī)工作時(shí)，氣缸內(nèi)膨脹的氣體質(zhì)點(diǎn)之間的內(nèi)力；氣體質(zhì)點(diǎn)與活塞之間的內(nèi)力；氣體質(zhì)點(diǎn)與氣缸內(nèi)壁間的內(nèi)力；這些內(nèi)力都要作功?！?/p>

有相對(duì)滑動(dòng)的兩個(gè)物體之間的摩擦力作負(fù)功。

對(duì)于簡單的剛體系統(tǒng)，將力分為主動(dòng)力和約束反力，當(dāng)其為理想約束時(shí)，約束反力不作功。例題1已知：摩擦阻力為車重的0.2倍，空車重G0求：G/G0=？lm30°k解：取車研究對(duì)象，設(shè)彈簧的最大變形為m(1)

車下滑到彈簧壓縮至最大由動(dòng)能定理得:lm30°k由動(dòng)能定理得:(2)

車卸料后又彈回原位置，由動(dòng)能定理得:解得：例題2均質(zhì)圓輪半徑為R、質(zhì)量為m，圓輪對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為JO。圓輪在重物P帶動(dòng)下繞固定軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，已知重物重量為W。求：重物下落的加速度OPWOW解：取系統(tǒng)為研究對(duì)象主動(dòng)力的功：由動(dòng)能定理得：將上式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，并注意vsC例題3已知：

m

，R,f，。

求：

純滾時(shí)盤心的加速度。FNmgvCF解：取系統(tǒng)為研究對(duì)象s由動(dòng)能定理得：主動(dòng)力的功：ⅠⅡM1M2例題6已知：

J1

，J2，R1，R2，

i12=

R2/R1，

M1

，

M2

。求：

軸Ⅰ的角加速度。ⅠⅡM1M2解：取系統(tǒng)為研究對(duì)象由運(yùn)動(dòng)學(xué)可知：主動(dòng)力的功：由動(dòng)能定理得：ⅠⅡM1M2將上式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，并注意:主動(dòng)力的功：由動(dòng)能定理得：例題5BACPmgvC解：取桿為研究對(duì)象主動(dòng)力的功：由動(dòng)能定理得：將方程對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，并注意:解得：BACPmgvC由動(dòng)能定理得：ABBAO例題6已知：

兩均質(zhì)桿質(zhì)量為m

，長度為l,

輪B質(zhì)量為m

。求：輪B的速度。ABBAO解：取系統(tǒng)為研究對(duì)象vBvAAB由運(yùn)動(dòng)學(xué)可知，AB桿速度瞬心在A點(diǎn)主動(dòng)力的功：由動(dòng)能定理得：OBCDArR例題7已知：

重物A質(zhì)量為m1

，滑輪D質(zhì)量不計(jì),鼓輪B半徑r,輪C半徑為R,總質(zhì)量為m2,對(duì)其水平軸O的回轉(zhuǎn)半徑為

。求：輪重物A的加速度。OBCDArR解：取系統(tǒng)為研究對(duì)象主動(dòng)力的功：由動(dòng)能定理得：svm1gPOACBP例題8已知：輪O質(zhì)量為m，P，f。求：輪O移動(dòng)距離S時(shí)輪的角速度、角加速度。OCBPOACBPFFTFNmg解：取輪O為研究對(duì)象主動(dòng)力的功：由動(dòng)能定理得：OCBPOACBPFFTFNmg解：取輪O為研究對(duì)象主動(dòng)力的功：由動(dòng)能定理得：

關(guān)于摩擦力的作功

M

功是力與其作用點(diǎn)位移的點(diǎn)乘。這里“位移”并不是力作用點(diǎn)在空間中的位移，而是指受力物體上受力作用那一點(diǎn)的位移。0OFNF§13-4功率·功率方程·機(jī)械效率1.功率力的功率－力所作之功對(duì)時(shí)間的變化率力的功率等于切向力與其作用點(diǎn)速度的標(biāo)積。

作用在轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上的力矩或力偶矩的功率等于力矩或力偶矩與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)角速度的標(biāo)積。2.功率方程質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理的微分形式等式兩邊同除以dt質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)等于作用在系統(tǒng)上所有有功力的功率之代數(shù)和?！?/p>

功率方程——

輸入功率——

有用功率，輸出功率——

無用功率，損耗功率3.機(jī)械效率——

系統(tǒng)的總效率例題9車床電動(dòng)機(jī)的功率P輸入＝5.4kW。傳動(dòng)零件之間的磨擦損耗功率為輸入功率的30％。工件的直徑d＝100mm。求：轉(zhuǎn)速n=42r/min和

n=112r/min的允許最大切削力。解：車床正常工作時(shí)，工件勻速旋轉(zhuǎn)，動(dòng)能無變化其中:切削力F與工件在切削力作用點(diǎn)的速度v同向當(dāng)n=42r/min時(shí)當(dāng)n=112r/min時(shí)其中:例題10已知：桿AB質(zhì)量m1，長l，

輪A質(zhì)量為m2，半徑為R。求：=45°點(diǎn)A在初瞬時(shí)的加速度。RABBRA

解：取系統(tǒng)為研究對(duì)象，在任意角時(shí)由運(yùn)動(dòng)學(xué)可知：系統(tǒng)總動(dòng)能：m2gm1gDvBvACvCABBRA

m2gm1g系統(tǒng)的總功率：代入功率方程：注意到

和vA

都是t的函數(shù)，且有：BRA

m2gm1g注意到初瞬時(shí)：vA

=0，

==45°§13-5勢力場·勢能·機(jī)械能守恒定律1.勢力場

如果一物體在某空間任一位置都受到一個(gè)大小和方向完全由所在位置確定的力作用，則這部分空間稱為——力場。如果物體在某力場內(nèi)運(yùn)動(dòng)，作用于物體的力所作的功只與力作用點(diǎn)的初始位置和終了位置有關(guān)，而與該點(diǎn)的軌跡形狀無關(guān)，這種力場稱為——?jiǎng)萘觯ūＪ亓觯?.勢能

在勢力場中，質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到任選的點(diǎn)M0，有勢力所作的功稱為質(zhì)點(diǎn)在點(diǎn)M相對(duì)于點(diǎn)M0的勢能，以V表示為a.重力場中的勢能b.彈性力場中的勢能取M0為零勢能點(diǎn)，則點(diǎn)M的勢能為：取彈簧自然位置為零勢能點(diǎn)，則有：c.萬有引力場中的勢能取無窮遠(yuǎn)處為零勢能點(diǎn)，則有：★有勢力所作的功等于質(zhì)點(diǎn)系在運(yùn)動(dòng)過程的初始與終了位置的勢能的差。3.機(jī)械能守恒定律●保守系統(tǒng)—僅在有勢力作用下的系統(tǒng)。●

機(jī)械能—系統(tǒng)所具有的動(dòng)能與勢能的總稱?！駲C(jī)械能守恒—系統(tǒng)僅在有勢力作用下運(yùn)動(dòng)時(shí)，其機(jī)械能保持恒定。動(dòng)力學(xué)普遍定理動(dòng)量定理動(dòng)量矩動(dòng)量動(dòng)能定理動(dòng)量方法能量方法§13-6質(zhì)點(diǎn)系普遍定理的綜合應(yīng)用動(dòng)力學(xué)兩類問題與分析程序主動(dòng)力質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)動(dòng)約束力非自由質(zhì)點(diǎn)系一般分析程序：

先避開未知約束力，求解運(yùn)動(dòng)量；然后再現(xiàn)在合適的定理，確定動(dòng)約束力。動(dòng)力學(xué)兩類問題與分析程序需要特別注意自由度的概念，注意分析約束的性質(zhì)確定：系統(tǒng)是單自由度還是多自由度；是一處約束還是多處約束；是理想約束還是非理想約束。

對(duì)于具有理想約束，特別是具有多處約束的一個(gè)自由度系統(tǒng)，一般先應(yīng)用動(dòng)能定理分析運(yùn)動(dòng)，然后再采用動(dòng)量定理或動(dòng)量矩定理，確定動(dòng)約束力。

對(duì)于具有一處約束的系統(tǒng)，或者雖然具有多處約束的系統(tǒng)，但所要求的是瞬時(shí)二階運(yùn)動(dòng)量和未知約束力，這時(shí)可以聯(lián)合應(yīng)用動(dòng)量定理和動(dòng)量矩定理。

對(duì)于二自由度系統(tǒng)或多自由度系統(tǒng)，需要綜合應(yīng)用動(dòng)能定理、動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理。這種情形下需要特別注意系統(tǒng)的守恒情形。動(dòng)力學(xué)兩類問題與分析程序例題11BO2AO1C均質(zhì)圓輪A和B的半徑均為R，圓輪A和B以及物塊C的質(zhì)量均為m

，斜面的傾角為,圓輪A在斜面上作純滾動(dòng)。不計(jì)圓輪B的軸承的摩擦力。求：1、物塊C的加速度；2、二圓輪之間的繩索所受的拉力；3、圓輪B的軸承約束力；4、斜面和圓輪A間的摩擦力。解：1、確定物塊C的加速度取系統(tǒng)為研究對(duì)象1vmgs2BO2AO1Cmg2、取物塊C為研究對(duì)象FBCaCmgO2BmgFAB23、取圓輪B為研究對(duì)象4、取圓輪A為研究對(duì)象AO1mg1FFN例題12均質(zhì)圓盤O放置在光滑的水平面上，質(zhì)量為m，半徑為R，勻質(zhì)細(xì)桿OA長為l，質(zhì)量為m。開始時(shí)桿在鉛垂位置，且系統(tǒng)靜止。求：桿運(yùn)動(dòng)到圖示位置時(shí)的角速度。AO30°CAO30°CAO30°C解：取系統(tǒng)為研究對(duì)象，因輪置于光滑面上，固其作平動(dòng)。設(shè)其速度為vO。桿轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為。對(duì)系統(tǒng)整體應(yīng)用動(dòng)能定理:由剛體的平面運(yùn)動(dòng)分析得:vCAvCmgmgAO30°CAO30°CvCAvCmgmg由系統(tǒng)在水平方向的動(dòng)量守恒得:將

vO代入動(dòng)能定理方程可解得:結(jié)論與討論※

關(guān)于動(dòng)量和動(dòng)能的再討論※

正確計(jì)算剛體平面運(yùn)動(dòng)時(shí)的動(dòng)能※

速度(角速度)分析與動(dòng)能計(jì)算※

關(guān)于三個(gè)動(dòng)力學(xué)定理的綜合應(yīng)用※

關(guān)于動(dòng)能定理與機(jī)械能守恒※

關(guān)于溜溜球與人造衛(wèi)星的溜溜消旋關(guān)于汽車驅(qū)動(dòng)問題的結(jié)論

發(fā)動(dòng)機(jī)給出的主動(dòng)力偶克服阻力和阻力偶作功使汽車的動(dòng)能增加；與汽車行駛方向相同的摩擦力克服方向相反的摩擦力與空氣的阻力使汽車的動(dòng)量增加。

如果路面很滑，摩擦力很小，發(fā)動(dòng)機(jī)功率再大汽車也只能打滑，而不能向前行駛；反之，如果路面很粗糙，摩擦力可以很大，而發(fā)動(dòng)機(jī)不能發(fā)出足夠大的功率，汽車同樣不能向前行駛。運(yùn)動(dòng)員跑步時(shí)，腳底與地面之間的摩擦力并不作功，其作用是使運(yùn)動(dòng)員的動(dòng)量增加；小腿的肌肉(比目魚肌)收縮產(chǎn)生內(nèi)力而作功，使運(yùn)動(dòng)員的動(dòng)能增加。二者都是運(yùn)動(dòng)員跑步前進(jìn)的驅(qū)動(dòng)力。應(yīng)用動(dòng)能定理時(shí)，很重要的是，正確計(jì)算系統(tǒng)的動(dòng)能。特別是正確計(jì)算剛體平面運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能。因此，要正確應(yīng)用柯希尼定理。

質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能(絕對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)能)，等于系統(tǒng)跟隨質(zhì)心平移的動(dòng)能(牽連運(yùn)動(dòng)動(dòng)能)與相對(duì)于質(zhì)心平移系運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能(相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)能)之和。正確計(jì)算剛體平面運(yùn)動(dòng)時(shí)的動(dòng)能ABOxx

均質(zhì)桿AB長度為l、質(zhì)量為m,A端與小圓滾輪鉸接，小圓滾輪的重量不計(jì)。廣義坐標(biāo)q=(x,)。請(qǐng)判斷關(guān)于系統(tǒng)動(dòng)能的下列表達(dá)式是否正確：ORr

0C*行星輪機(jī)構(gòu)中，小圓輪的質(zhì)量為m。請(qǐng)判斷關(guān)于小圓輪動(dòng)能的下列表達(dá)式是否正確？計(jì)算動(dòng)能必須正確確定速度或角速度。為此需要首先分析運(yùn)動(dòng)，進(jìn)而選擇相應(yīng)的方法計(jì)算速度或角速度。確定速度和角速度的方法

點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析方法——選擇合適的描述點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系，寫出的運(yùn)動(dòng)方程或方程組，再將方程或方程組對(duì)時(shí)間求一次導(dǎo)數(shù)，即得點(diǎn)的速度。

點(diǎn)的復(fù)合運(yùn)動(dòng)分析方法——正確選擇動(dòng)點(diǎn)和動(dòng)系，確定牽連速度、相對(duì)速度和絕對(duì)速度。

剛體平面運(yùn)動(dòng)分析方法——建立在速度合成定理基礎(chǔ)上的基點(diǎn)法、速度投影法、瞬時(shí)速度中心法。CAr半徑為r的大圓環(huán)，不計(jì)質(zhì)量，繞O軸旋轉(zhuǎn)。大圓環(huán)上套有質(zhì)量為m的小圓環(huán)A。小圓環(huán)在光滑的大圓環(huán)上自由滑動(dòng)。怎樣確定小圓環(huán)的速度，進(jìn)而確定其動(dòng)能？Oxy動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理和動(dòng)能定理的比較動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理和動(dòng)能定理都是描述質(zhì)點(diǎn)系整體運(yùn)動(dòng)的變化與質(zhì)點(diǎn)系所受的作用力之間的關(guān)系。整體運(yùn)動(dòng)的變化所受的作用力動(dòng)量定理動(dòng)能定理動(dòng)量矩定理動(dòng)量力(沖量)動(dòng)量矩力矩動(dòng)能力的功動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理和動(dòng)能定理都可以用于求解動(dòng)力學(xué)的兩類基本問題。動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理一般限于研究物體機(jī)械運(yùn)動(dòng)范圍內(nèi)的運(yùn)動(dòng)變化問題。動(dòng)能定理可以用于研究機(jī)械運(yùn)動(dòng)與其他運(yùn)動(dòng)形式之間的運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化問題。動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理的表達(dá)式為矢量形式，描述質(zhì)點(diǎn)系整體運(yùn)動(dòng)時(shí)，不僅涉及有關(guān)運(yùn)動(dòng)量的大小，而且涉及運(yùn)動(dòng)量的方向。動(dòng)能定理的表達(dá)式為標(biāo)量形式，描述質(zhì)點(diǎn)系整體運(yùn)動(dòng)時(shí)，不涉及運(yùn)動(dòng)量的方向，無論質(zhì)點(diǎn)系如何運(yùn)動(dòng)，動(dòng)能定理只能提供一個(gè)方程。動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理的表達(dá)式中含有時(shí)間參數(shù)。動(dòng)能定理的表達(dá)式中含有路程參數(shù)。動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理的表達(dá)式中只包含外力，而不包含內(nèi)力(內(nèi)力的主矢和主矩均為零)動(dòng)能定理的表達(dá)式中可以包含主動(dòng)力和約束力，主動(dòng)力中可以是外力，也可以是內(nèi)力(可變質(zhì)點(diǎn)系)；對(duì)于理想約束，則只包含主動(dòng)力。分析和解決復(fù)雜系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)問題時(shí)，選擇哪一個(gè)定理的原則是：

1、所要求的運(yùn)動(dòng)量在所選擇的定理中能不能比較容易地表達(dá)出來；

2、在所選擇的定理表達(dá)式中，不出現(xiàn)相關(guān)的未知力。對(duì)于由多個(gè)剛體組成的復(fù)雜系統(tǒng)，求解動(dòng)力學(xué)問題時(shí)，如果選用動(dòng)量定理或動(dòng)量矩定理，需要將系統(tǒng)拆開，不僅涉及的方程數(shù)目比較多，而且會(huì)涉及求解聯(lián)立方程。如果選用動(dòng)能定理，對(duì)于受理想約束的系統(tǒng)，可以不必將系統(tǒng)拆開，而直接對(duì)系統(tǒng)整體應(yīng)用動(dòng)能定理，建立一個(gè)標(biāo)量方程，求得速度或加速度(角速度或角加速度)。BCAWWk,l0Oxx為求物塊A下降至任意位置(x)時(shí)的加速度，可以采用哪一個(gè)動(dòng)力學(xué)定理？