第7頁（共7頁）中檔解答題特訓之——模擬篇（3）2016-2017學年河北省衡水中學高三（下）三調數學試卷（理科）1．已知數列{an}的前n項和為Sn，a1≠0，常數λ＞0，且λa1an=S1+Sn對一切正整數n都成立．（1）求數列{an}的通項公式；（2）設a1＞0，λ=100，當n為何值時，數列的前n項和最大？2．某同學在研究性學習中，收集到某制藥廠今年前5個月甲膠囊生產產量（單位：萬盒）的數據如下表所示：月份x12345y（萬盒）44566（1）該同學為了求出y關于x的線性回歸方程=+，根據表中數據已經正確計算出=0.6，試求出的值，并估計該廠6月份生產的甲膠囊產量數；（2）若某藥店現有該制藥廠今年二月份生產的甲膠囊4盒和三月份生產的甲膠囊5盒，小紅同學從中隨機購買了3盒甲膠囊，后經了解發現該制藥廠今年二月份生產的所有甲膠囊均存在質量問題．記小紅同學所購買的3盒甲膠囊中存在質量問題的盒數為ξ，求ξ的分布列和數學期望．3．已知多面體ABCDEF如圖所示，其中ABCD為矩形，△DAE為等腰等腰三角形，DA⊥AE，四邊形AEFB為梯形，且AE∥BF，∠ABF=90°，AB=BF=2AE=2．（1）若G為線段DF的中點，求證：EG∥平面ABCD；（2）線段DF上是否存在一點N，使得直線BN與平面FCD所成角的余弦值等于？若存在，請指出點N的位置；若不存在，請說明理由．4．在平面直角坐標系xOy中，斜率為1的直線l過定點（﹣2，﹣4）．以O為極點，x軸非負半軸為極軸建立極坐標系．已知曲線C的極坐標方程為ρsin2θ﹣4cosθ=0．（1）求曲線C的直角坐標方程以及直線l的參數方程；（2）兩曲線相交于M，N兩點，若P（﹣2，﹣4），求|PM|+|PN|的值．1．已知數列{an}的前n項和為Sn，a1≠0，常數λ＞0，且λa1an=S1+Sn對一切正整數n都成立．（1）求數列{an}的通項公式；（2）設a1＞0，λ=100，當n為何值時，數列的前n項和最大？【考點】8H：數列遞推式；8E：數列的求和．【分析】（1）利用遞推關系即可得出．（2）利用對數的運算性質、等差數列的通項公式與單調性即可得出．【解答】解：（1）令n=1，得，因為a1≠0，所以，當n≥2時，，，兩式相減得2an﹣2an﹣1=an（n≥2），所以an=2an﹣1（n≥2），從而數列{an}為等比數列，所以．（2）當a1＞0，λ=100時，由（1）知，an=，bn=lg==2﹣nlg2．所以數列{bn}是單調遞減的等差數列，公差為﹣lg2，所以，當n≥7時，，所以數列的前6項和最大．【點評】本題考查了等差數列的通項公式、數列遞推關系、數列的單調性、對數的運算性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．2．某同學在研究性學習中，收集到某制藥廠今年前5個月甲膠囊生產產量（單位：萬盒）的數據如下表所示：月份x12345y（萬盒）44566（1）該同學為了求出y關于x的線性回歸方程=+，根據表中數據已經正確計算出=0.6，試求出的值，并估計該廠6月份生產的甲膠囊產量數；（2）若某藥店現有該制藥廠今年二月份生產的甲膠囊4盒和三月份生產的甲膠囊5盒，小紅同學從中隨機購買了3盒甲膠囊，后經了解發現該制藥廠今年二月份生產的所有甲膠囊均存在質量問題．記小紅同學所購買的3盒甲膠囊中存在質量問題的盒數為ξ，求ξ的分布列和數學期望．【考點】CG：離散型隨機變量及其分布列；BK：線性回歸方程；CH：離散型隨機變量的期望與方差．【分析】（1）由線性回歸方程過點（，），得=﹣，而，易求，且=0.6，從而可得的值，把x=6代入回歸方程可得6月份生產的甲膠囊產量數；（2）ξ=0，1，2，3，利用古典概型的概率計算公式可得P（ξ=0）、P（ξ=1）、P（ξ=2）、P（ξ=3），從而可得ξ的分布列，由期望公式可求ξ的期望；【解答】解：（1）==3，（4+4+5+6+6）=5，因線性回歸方程=x+過點（，），∴=﹣=5﹣0.6×3=3.2，∴6月份的生產甲膠囊的產量數：=0.6×6+3.2=6.8．（2）ξ=0，1，2，3，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，其分布列為ξ0123P所以Eξ==．【點評】本題考查線性回歸方程、離散型隨機變量的分布列及其數學期望，考查學生分析解決問題的能力．3．已知多面體ABCDEF如圖所示，其中ABCD為矩形，△DAE為等腰等腰三角形，DA⊥AE，四邊形AEFB為梯形，且AE∥BF，∠ABF=90°，AB=BF=2AE=2．（1）若G為線段DF的中點，求證：EG∥平面ABCD；（2）線段DF上是否存在一點N，使得直線BN與平面FCD所成角的余弦值等于？若存在，請指出點N的位置；若不存在，請說明理由．【考點】MI：直線與平面所成的角；LS：直線與平面平行的判定．【分析】（1）以B為原點，BA，BF，BC分別為x軸，y軸，z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，求出平面ABCD的一個法向量，通過，推出，即可證明EG∥平面ABCD．（2）當點N與點D重合時，直線BN與平面FCD所成角的余弦值等于．理由如下：直線BN與平面FCD所成角的余弦值為，即直線BN與平面FCD所成角的正弦值為，求出平面FCD的法向量，設線段FD上存在一點N，使得直線BN與平面FCD所成角的正弦值等于，設，通過向量的數量積，轉化求解λ，推出當N點與D點重合時，直線BN與平面FCD所成角的余弦值為．【解答】解：（1）證明：因為DA⊥AE，DA⊥AB，AB∩AE=A，故DA⊥平面ABFE，故CB⊥平面ABFE，以B為原點，BA，BF，BC分別為x軸，y軸，z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，則F（0，2，0），D（2，0，1），，E（2，1，0），C（0，0，1），所以，易知平面ABCD的一個法向量，所以，所以，又EG?平面ABCD，所以EG∥平面ABCD．（2）當點N與點D重合時，直線BN與平面FCD所成角的余弦值等于．理由如下：直線BN與平面FCD所成角的余弦值為，即直線BN與平面FCD所成角的正弦值為，因為，設平面FCD的法向量為，由，得，取y1=1得平面FCD的一個法向量假設線段FD上存在一點N，使得直線BN與平面FCD所成角的正弦值等于，設，則，，所以，所以9λ2﹣8λ﹣1=0，解得λ=1或（舍去）因此，線段DF上存在一點N，當N點與D點重合時，直線BN與平面FCD所成角的余弦值為．【點評】本題考查空間向量的應用，直線與平面平行以及直線與平面所成角的求法，考查數形結合以及轉化思想的應用．4．在平面直角坐標系xOy中，斜率為1的直線l過定點（﹣2，﹣4）．以O為極點，x軸非負半軸為極軸建立極坐標系．已知曲線C的極坐標方程為ρsin2θ﹣4cosθ=0．（1）求曲線C的直角坐標方程以及直線l的參數方程；（2）兩曲線相交于M，N兩點，若P（﹣2，﹣4），求|PM|+|PN|的值．【考點】Q4：簡單曲線的極坐標方程．【分析】（1）由斜率為1的直線l過定點（﹣2，﹣4），可得參數方程為：，（t為參數）．由曲線C的極坐標方程為ρsin2θ﹣4cosθ=0，即ρ2sin2θ﹣4ρcosθ=0，利用互化公式可得直角坐標方程．（2）把直線l的方程代入拋物線方程可得：t2﹣12t+48=0．利用根與系數的關系及其|PM|+|PN|=|t1|+|t2|=|t1+t2|即可得出．【解答】解：（1）由斜率為1的直線l過定點（﹣2，﹣4），可得參數方程為：，（t為參數）．由曲線C的極坐標方程為ρsin2θ﹣4cosθ=0，即ρ2sin2θ