第四章濾波器設計第一頁，共129頁。4.1有限脈沖響應濾波器基礎FIR（有限脈沖響應）濾波器是非遞歸濾波器由于不依賴以前的輸出，所以非遞歸濾波器的脈沖響應為有限項。第二頁，共129頁。4.1有限脈沖響應濾波器基礎FIR濾波器的z變換表達示通過z變換的時移特性得到：可得到濾波器在z域的傳輸函數：第三頁，共129頁。4.1有限脈沖響應濾波器基礎通常通過離散時間傅立葉變換求出濾波器頻率響應的幅度可確定濾波器形狀第四頁，共129頁。4.2論滑動平均濾波器以五項滑動平均濾波器例設計，此濾波器的差分方程為：脈沖響應為：傳輸函數為：第五頁，共129頁。4.2論滑動平均濾波器頻率響應為：第六頁，共129頁。4.2論滑動平均濾波器例1設計滑動平均濾波器，要求他的-3dB頻率為480Hz，采樣頻率為10kHz。解：數字濾波器-3dB點在480Hz處，采樣頻率為10kHz。也就是數字頻率第七頁，共129頁。4.2論滑動平均濾波器對于M項滑動平均濾波器，2π/M處出現第一個零點。-3dB點大約出現在此頻率的一半處，即π/M。因為-3dB點要在0.302弧度處，所以可以確定M：得：M=10.4第八頁，共129頁。4.2論滑動平均濾波器因此，十一項滑動平均濾波器的-3dB頻率比要求的稍低些。濾波器脈沖響應為：差分方程為：第九頁，共129頁。4.2論滑動平均濾波器第十頁，共129頁。4.3逼近理想低通濾波器對于n=0時，將脈沖響應表示為sinc函數，定義：第十一頁，共129頁。4.3逼近理想低通濾波器第十二頁，共129頁。4.3逼近理想低通濾波器其中sinc(0)=1，并且在x=±nπ(n0)時，函數為零。這樣理想低通濾波器得脈沖響應可表示為：第十三頁，共129頁。4.3逼近理想低通濾波器是濾波器得截止頻率下圖得濾波器得截止頻率為：第十四頁，共129頁。4.3逼近理想低通濾波器第十五頁，共129頁。4.3逼近理想低通濾波器設計時的選擇必須大于所要求的通帶邊緣頻率第十六頁，共129頁。4.3逼近理想低通濾波器參數δp定義了通帶波紋：濾波器通帶內偏離單位增益的最大值通帶邊緣增益定義為1-δp參數δs定義了阻帶波紋：濾波器阻帶內偏離零增益的最大值阻帶邊緣處，濾波器增益為δs過渡帶寬度就是阻帶和通帶邊緣之間的距離（Hz）過渡帶寬度=阻帶邊緣頻率—通帶邊緣頻率第十七頁，共129頁。4.3逼近理想低通濾波器第十八頁，共129頁。4.3逼近理想低通濾波器例2對下圖所示的低通濾波器，確定通帶波紋、通帶邊緣頻率、阻帶波紋、阻帶邊緣頻率、過渡帶寬度、帶寬、-3dB或截止頻率。第十九頁，共129頁。4.3逼近理想低通濾波器第二十頁，共129頁。4.4窗函數窗函數的作用是從理想低通脈沖響應的無限個采樣點中選取有限個采樣點，這個重要的步驟使脈沖響應采樣值可實現為一個實際濾波器第二十一頁，共129頁。4.4.1矩形窗矩形窗函數由理想脈沖響應與有限長矩形窗相乘得到：N項矩形窗為其他處為零第二十二頁，共129頁。4.4.1矩形窗第二十三頁，共129頁。4.4.1矩形窗第二十四頁，共129頁。4.4.1矩形窗第二十五頁，共129頁。4.4.2漢寧窗長度為N的漢寧窗定義為：其他處為零第二十六頁，共129頁。4.4.2漢寧窗第二十七頁，共129頁。4.4.2漢寧窗第二十八頁，共129頁。4.4.3哈明窗長度為N的哈明窗定義為：其他處為零第二十九頁，共129頁。4.4.3哈明窗第三十頁，共129頁。4.4.3哈明窗第三十一頁，共129頁。4.4.4布萊克曼窗長度為N的布萊克曼窗定義為：其他處為零第三十二頁，共129頁。4.4.4布萊克曼窗第三十三頁，共129頁。4.4.4布萊克曼窗第三十四頁，共129頁。4.4.5凱塞窗長度為N的凱塞窗定義為：其他處為零I0(x)是零階修正第一類貝塞爾函數,定義為:A所期望的阻帶衰減值第三十五頁，共129頁。4.4.5凱塞窗第三十六頁，共129頁。4.4.5凱塞窗第三十七頁，共129頁。4.5低通FIR濾波器的設計窗函數法設計濾波器時，低通濾波器通帶邊緣頻率Ω1的選擇必須考慮到所有項引起的模。第三十八頁，共129頁。4.5低通FIR濾波器的設計第三十九頁，共129頁。4.5低通FIR濾波器的設計第四十頁，共129頁。4.5低通FIR濾波器的設計例3要求濾波器阻帶衰減為75dB，過渡帶寬度為1kHz。采樣頻率為16kHz。選擇什么窗函數，長度為多少？第四十一頁，共129頁。4.5低通FIR濾波器的設計解由表可知有兩個窗函數最符合阻帶要求，即布萊克曼和β=8的凱塞窗。布萊克曼窗需要的項數為：β=8的凱塞窗需要的項數為：第四十二頁，共129頁。4.5低通FIR濾波器的設計注：如果向上近似，濾波器性能略高于設計要求；如果向下近似，濾波器性能將低于設計要求第四十三頁，共129頁。4.5.1低通FIR濾波器設計步驟加窗低通FIR濾波器的設計步驟：1、在過渡帶寬度的中間，選擇通帶邊緣頻率（Hz）2、計算Ω1=2πf1/fs，并將此值代入理想低通濾波器的脈沖響應h1[n]中：第四十四頁，共129頁。4.5.1低通FIR濾波器設計步驟3、從表中選擇滿足阻帶衰減及其他濾波器要求的窗函數，用表中N的公式計算所需窗的非零項數目。選擇奇函數，計算窗函數ω[n]4、對于，從式計算脈沖響應，對于其他n值h[n]=0，此脈沖響應是非因果的將脈沖響應右移(N-1)/2,確保第一個非零值在n=0處,使此低通濾波器為因果第四十五頁，共129頁。4.5.1低通FIR濾波器設計步驟例4根據下列指標設計低通濾波器通帶邊緣頻率2kHz阻帶邊緣頻率3kHz阻帶衰減40dB采樣頻率10kHz第四十六頁，共129頁。4.5.1低通FIR濾波器設計步驟解第一步:計算過渡帶寬度過渡帶寬度=3000-2000=1000Hz第二步:第四十七頁，共129頁。4.5.1低通FIR濾波器設計步驟第三步,選擇窗函數.因為阻帶衰減40dB,在表中選擇漢寧窗,并且:選擇N=33.窗函數變成:其中第四十八頁，共129頁。4.5.1低通FIR濾波器設計步驟第四步計算濾波器的脈沖響應,并移位第四十九頁，共129頁。4.5.1低通FIR濾波器設計步驟第五十頁，共129頁。4.5.1低通FIR濾波器設計步驟例5根據下列指標設計低通濾波器通帶邊緣頻率10kHz阻帶邊緣頻率22kHz阻帶衰減75dB采樣頻率50kHz第五十一頁，共129頁。4.5.1低通FIR濾波器設計步驟解第一步,計算過渡帶寬度過渡帶寬度=22000-10000=12000Hz第二步.第五十二頁，共129頁。4.5.1低通FIR濾波器設計步驟第三步,選擇窗函數.因為阻帶衰減75dB,在表中選擇布萊克曼窗(可以避免復雜的計算),并且:選擇N=25.窗函數變成:其中第五十三頁，共129頁。4.5.1低通FIR濾波器設計步驟第四步計算濾波器的脈沖響應,并移位第五十四頁，共129頁。4.5.1低通FIR濾波器設計步驟第五十五頁，共129頁。4.6帶通和高通FIR濾波器帶通和高通濾波器可以先設計低通濾波器,再進行頻率移位來獲得待求的濾波器.第五十六頁，共129頁。4.6帶通和高通FIR濾波器第五十七頁，共129頁。第五十八頁，共129頁。4.6帶通和高通FIR濾波器第五十九頁，共129頁。4.6帶通和高通FIR濾波器由低通濾波器轉換為高通或帶通濾波器,低通濾波器的脈沖響應必須與余弦函數相乘:得到:Ω0為雙邊濾波器形狀的待求中心頻率第六十頁，共129頁。4.6帶通和高通FIR濾波器低通濾波器的設計過程做兩個修改1、在第三步和第四步之間，數字頻率f0是待求濾波器的中心頻率對于帶通濾波器,這個頻率將介于0到fs/2之間對于高通濾波器,此中心頻率應等于奈奎肆特界限fs/2第六十一頁，共129頁。4.6帶通和高通FIR濾波器2、第四步中必須包含因子這時高通濾波器的脈沖響應為:第六十二頁，共129頁。4.6帶通和高通FIR濾波器例6為采樣頻率22kHz的系統設計FIR帶通濾波器,帶通濾波器如圖所示,中心頻率4kHz,帶通邊緣在3.5和4.5kHz處.過渡帶寬度500Hz,阻帶衰減50dB第六十三頁，共129頁。4.6帶通和高通FIR濾波器第六十四頁，共129頁。4.6帶通和高通FIR濾波器解:由于采樣頻率為22kHz,所以只畫出0到11kHz這段頻率.帶通濾波器的通帶邊緣頻率為3.5和4.5kHz,中心4kHz,所以低通濾波器的通帶邊緣必須在500Hz.由于帶通濾波器過渡帶寬度為500Hz,所以低通濾波器的過渡帶寬度也為500Hz,得通帶邊緣頻率和等效數字頻率為:第六十五頁，共129頁。4.6帶通和高通FIR濾波器脈沖響應為第六十六頁，共129頁。4.6帶通和高通FIR濾波器查表知,所需得阻帶衰減要求用哈明窗:最近奇整數為N=151,所以窗函數為:第六十七頁，共129頁。4.6帶通和高通FIR濾波器因為帶通濾波器得中心頻率要求為4kHz,,故余弦函數得中心頻率Ω0,必須位于最后脈沖響應下式得:第六十八頁，共129頁。4.6帶通和高通FIR濾波器第六十九頁，共129頁。4.6帶通和高通FIR濾波器例7需要一個通帶邊緣8kHz,阻帶邊緣為6kHz得高通濾波器,阻帶增益至少比帶通增益低40dB.采樣頻率為22kHz,設計濾波器并給出他得脈沖響應第七十頁，共129頁。4.6帶通和高通FIR濾波器第七十一頁，共129頁。4.6帶通和高通FIR濾波器設計第一步是求出高通濾波器得低通等效。高通濾波器得中心頻率f0選在1/2采樣頻率處,即11kHz.高通濾波器的通帶處在8kHz到11kHz之間.過渡帶寬度為8-6=2kHz,所以低通濾波器的通帶邊緣在3kHz,阻帶邊緣在5kHz第七十二頁，共129頁。4.6帶通和高通FIR濾波器低通濾波器通帶邊緣頻率及相應得數字頻率為脈沖響應為第七十三頁，共129頁。4.6帶通和高通FIR濾波器查表知,所需得阻帶衰減要求用漢寧窗:最近奇整數為N=37,所以窗函數為:第七十四頁，共129頁。4.6帶通和高通FIR濾波器因為帶通濾波器得中心頻率要求為11kHz,,故余弦函數得中心頻率Ω0,必須位于最后脈沖響應下式得:第七十五頁，共129頁。4.6帶通和高通FIR濾波器第七十六頁，共129頁。4.7帶阻FIR濾波器帶阻濾波器抑制了一個范圍得頻率，而其他部分可以通過.設計方法:正確選擇通帶邊緣頻率,通過把低通和高通濾波器結合起來,來構造出帶阻濾波器第七十七頁，共129頁。4.7帶阻FIR濾波器第七十八頁，共129頁。4.7帶阻FIR濾波器兩種濾波器的脈沖響應h低[n]和h高[n]h低[n]h高[n]X[z]Y[z]第七十九頁，共129頁。4.7帶阻FIR濾波器總傳輸函數為濾波器的脈沖響應為第八十頁，共129頁。4.8無限脈沖響應濾波器基礎第八十一頁，共129頁。4.8無限脈沖響應濾波器基礎例8求遞歸濾波器的脈沖響應解：用h[n]代替y[n],δ[n]代替x[n],則得到脈沖響應:第八十二頁，共129頁。4.8無限脈沖響應濾波器基礎遞歸濾波器的傳輸函數假定N>M,且每項乘以zN,有:第八十三頁，共129頁。4.9低通模擬濾波器在連續域中,濾波器用s表示而不用z表示.簡單的低通模擬濾波器的傳輸函數為:模擬濾波器的頻率響應為:幅度響應為第八十四頁，共129頁。4.9低通模擬濾波器若ω很大,趨于0;ω很小,就趨近于1.若ω=1,等于第八十五頁，共129頁。4.9低通模擬濾波器可以改變傳輸函數使-3dB頻率變為不是ω=1,而是其他頻率對這個模擬傳輸函數進行傅立葉變換為:第八十六頁，共129頁。4.9低通模擬濾波器幅度為:這仍然是一個低通濾波器.但-3dB的頻率在第八十七頁，共129頁。4.9低通模擬濾波器第八十八頁，共129頁。4.9低通模擬濾波器通常模擬濾波器包括巴特沃斯、切比雪夫Ι型、切比雪夫Ⅱ型和橢圓濾波器等。區別:巴特沃斯濾波器在通帶和阻帶都單調的,意味著他們在一個方向上平滑變化;切比雪夫Ι型在阻帶內是單調的,但在通帶內是有波紋的切比雪夫Ⅱ型濾波器在通帶內是單調的,但在阻帶內是波紋的橢圓濾波器在通帶和阻帶內都有波紋第八十九頁，共129頁。第九十頁，共129頁。4.9.1雙線性變換雙線性變換為模擬濾波器和數字濾波器之間的轉換提供了一種方法,定義:fs是采樣頻率,用ejΩ代替z第九十一頁，共129頁。4.9.1雙線性變換運用歐拉等式進一步簡化為:第九十二頁，共129頁。4.9.1雙線性變換帶回原式,s變為jω,然后將j消去.得:此方程稱為預扭曲方程注意模擬頻率和數字頻率的范圍第九十三頁，共129頁。4.9.1雙線性變換第九十四頁，共129頁。4.9.1雙線性變換例:9下列習題說明這樣把z域復平面上的點通過雙線性變換映射到s域復平面上a、進行雙線性變換第九十五頁，共129頁。4.9.1雙線性變換b、z=0進行雙線性變換C、z=2+j進行雙線性變換第九十六頁，共129頁。4.9.1雙線性變換例10一階模擬低通濾波器的傳輸函數濾波器的-3dB頻率是2000弧度/秒(或2000/2π=318.31Hz).求出此濾波器相對應的數字濾波器的傳輸函數H(z),采樣率為1500Hz第九十七頁，共129頁。4.9.1雙線性變換解模擬域原傳輸函數H(s)為:濾波器形狀為第九十八頁，共129頁。4.9.1雙線性變換要設計的數字濾波器必須與該模擬濾波器相匹配.采樣頻率1500Hz,雙線性變換要求模擬傳輸函數中的每個s都要用來代替.數字域的傳輸函數為:第九十九頁，共129頁。4.9.1雙線性變換濾波器的頻率響應為:第一百頁，共129頁。4.9.1雙線性變換第一百零一頁，共129頁。4.9.1雙線性變換例11模擬傳輸函數所表示的簡單模擬低通濾波器要轉換為數字濾波器,數字濾波器的-3dB頻率為318.3Hz,采樣頻率為1500Hz.求數字濾波器的傳輸函數和頻率響應表達示.解:-3dB頻率fp1=318.3Hz,采樣頻率1500Hz,數字截止頻率為:第一百零二頁，共129頁。4.9.1雙線性變換考慮到雙線性變換的扭曲,預扭曲模擬頻率:用這個頻率代替未扭曲的原型模擬濾波器的傳輸函數為:第一百零三頁，共129頁。4.9.1雙線性變換用雙線性變換,轉換為數字濾波器，得到傳輸函數:該扭曲的數字濾波器的頻率響應為:第一百零四頁，共129頁。4.9.1雙線性變換第一百零五頁，共129頁。4.9.1雙線性變換例12在例11中,預扭曲的模擬濾波器轉換成1500Hz采樣系統的數字濾波器.用預扭曲的模擬濾波器形狀表達示求出數字濾波器的形狀解模擬濾波器的形狀為第一百零六頁，共129頁。4.9.1雙線性變換將連同1500Hz的采樣頻率代入模擬濾波器形狀表達示,得到數字濾波器形狀:第一百零七頁，共129頁。4.10.1巴特沃斯濾波器設計傳輸函數為:特性為:這是一階的巴特沃斯濾波器.第一百零八頁，共129頁。4.10.1巴特沃斯濾波器設計n階的巴特沃斯濾波器的濾波器形狀為:該濾波器具有低通特性,而且階數越高，他的滾降越陡峭.第一百零九頁，共129頁。4.10.1巴特沃斯濾波器設計第一百一十頁，共129頁。4.10.1巴特沃斯濾波器設計第一百一十一頁，共129頁。4.10.1巴特沃斯濾波器設計第一百一十二頁，共129頁。4.10.1巴特沃斯濾波器設計濾波器設計通帶從選擇滿足要求的模擬濾波器階數開始,對于n階模擬巴特沃斯濾波器,滿足通帶和阻帶設計要求所需的階數為:是模擬濾波器預扭曲的通帶邊緣頻率,是模擬濾波器預扭曲的阻帶邊緣頻率第一百一十三頁，共129頁。4.10.1巴特沃斯濾波器設計傳輸函數為:第一百一十四頁，共129頁。4.10.1巴特沃斯濾波器設計低通巴特沃斯濾波器的設計步驟:1、確定待求通帶邊緣頻率、待求阻帶邊緣頻率和待求阻帶衰減,通帶邊緣頻率必須對應-3dB2、用式把由Hz表示的待求邊緣頻率轉換成由弧度表示的數字頻率和3、計算預扭曲模擬頻率以避免雙線性變換帶來的失真。由求得和,單位弧度/秒第一百一十五頁，共129頁。4.10.1巴特沃斯濾波器設計4、由已定得阻帶衰減確定阻帶邊緣增益5、用下式計算所需濾波器的階數:第一百一十六頁，共129頁。4.10.1巴特沃斯濾波器設計6、把代入n階模擬巴特沃斯濾波器傳輸函數H(s)中,并對H(s)進行雙線性變換得到n階數字傳輸函數H(z).濾波器實現所需的差分方程可直接從傳輸函數H(z)求出,把代入:即可得到濾波器形狀第一百一十七頁，共129頁。4.10.1巴特沃斯濾波器