微分方程數值解演示文稿現在是1頁\一共有73頁\編輯于星期三微分方程數值解現在是2頁\一共有73頁\編輯于星期三“計算數學”就是研究在計算機上解決數學問題的理論和數值方法。今天的數值計算方法，無論從形式到內容，還是從工具到效果，已遠非半世紀前VonNeumann、Lax等先驅們所處的環境和條件了，計算機技術和應用軟件的發展，讓計算數學展開了雙翼。許多迅速發展的其他學科和社會進步給計算數學的發展開拓出更為廣闊的新天地?，F在是3頁\一共有73頁\編輯于星期三隨著計算機軟件硬件的不斷更新和計算方法的迅速發展，科學計算與實驗以及理論研究成為現代科學研究的三大主要手段?？茖W計算還能解決實驗及理論無法解決的問題，并由此發現一些新的物理現象，加深人們對物理機理的理解和認識，促進科學的發展。作為三種科學研究手段之一的科學計算是一門工具性、方法性、邊緣性的新學科，發展迅速，它的物質基礎是計算機(包括其軟硬件系統)，其理論基礎主要是計算數學。現在是4頁\一共有73頁\編輯于星期三一.引言2現在是5頁\一共有73頁\編輯于星期三現在是6頁\一共有73頁\編輯于星期三計算數學發展的歷史回顧2現在是7頁\一共有73頁\編輯于星期三

1.從計算物理談起計算數學的發展與科學工程計算是緊密相聯的，計算數學的發展歷史也就是與其他學科結合，利用計算機不斷形成新的理論及數值方法并不斷形成新的學科的歷史，例如：“計算物理”。現在是8頁\一共有73頁\編輯于星期三１９５９年５月美國總統發布命令，可以揭開曼哈頓計劃的內幕，部分內容可以解密。故以“計算物理方法”叢書的名義陸續編輯出版現在是9頁\一共有73頁\編輯于星期三我們常說:計算物理的物質基礎是計算機；計算物理的關鍵技術是“計算方法”和“程序設計”;計算物理發展的原始動力是美國核武器研制的刺激。現在是10頁\一共有73頁\編輯于星期三美國從1942年8月13日開始曼哈頓計劃，到1945年制造出三顆原子彈：代號為：“三一”，用于試驗（7月16日），“瘦子”投于廣島(8月6日)，“胖子”投于長崎(8月9日)。歷時三年，涉及到理論物理、爆轟物理、中子物理、金屬物理、彈體彈道等大量的數值計算?，F在是11頁\一共有73頁\編輯于星期三1949年8月蘇聯第一次原子彈爆炸后，杜魯門總統在1950年1月31日下令繼續研究各種類型的原子彈武器，成立以氫彈之父特勒(E.Teller)為首的氫彈研制小組。直到1952年10月31日爆炸了代號為“麥克”的核試驗?，F在是12頁\一共有73頁\編輯于星期三在研制原子彈和氫彈過程中，許多物

理規律必須通過計算機上的計算摸清

楚。計算物理、理論物理與實驗物理

相輔相成相互促進共同發展，形成現

代物理學的三大分支?，F在是13頁\一共有73頁\編輯于星期三由于核武器研制需要，1950年全球只有15臺，到了1962年9月僅美國就有16187臺計算機。現在是14頁\一共有73頁\編輯于星期三60年代中期開始推出小型計算機，70年代末推出個人計算機，80年代中期又推出高性能的超級微機。而計算物理發展所涉及的大規模科學計算和模擬所需要的大型計算機卻未得到發展。現在是15頁\一共有73頁\編輯于星期三1981年以哈佛大學普雷斯(W.H.Press)為首的11位著名科學家聯名上書，向美國國家科學基金會(NSF)呈送“發展計算物理的建議書”，大聲疾呼計算物理發展正處于一個危機階段，是NSF采取實質性行動的時候了。現在是16頁\一共有73頁\編輯于星期三２.科學計算現在是17頁\一共有73頁\編輯于星期三1983年一個由美國著名數學家拉克斯(P.Lax)為首的不同學科的專家委員會向美國政府提出的報告之中，強調“科學計算是關系到國家安全、經濟發展和科技進步的關鍵性環節，是事關國家命脈的大事。”現在是18頁\一共有73頁\編輯于星期三1984年美國政府大幅度地增加對科學計算經費的支持,新建成五個國家級超級計算中心（分別在普林斯頓大學、圣地亞哥、伊里諾大學、康奈爾大學、匹茲堡），配備當時最高性能的計算機，建立NSF-net新網絡。現在是19頁\一共有73頁\編輯于星期三80年代中期我國將“大規?？茖W與工程計算”列入國家資助重大項目。現在是20頁\一共有73頁\編輯于星期三1987年起美國NSF把“科學與工程計算”、“生物工程”“全局性科學”作為三大優先資助的領域?，F在是21頁\一共有73頁\編輯于星期三1990年美國國家研究委員會發表《振

興美國數學：90年代的計劃》的報告

，建議對由計算引發的數學給予特殊

的鼓勵和資助?，F在是22頁\一共有73頁\編輯于星期三報告指出由于大存儲的高速計算機的使用已導致了科學和技術方面的兩大突出進展：現在是23頁\一共有73頁\編輯于星期三一是大量用于設計工作的實驗被數學模型的研究逐步取代，如航天飛機設計、反應堆設計、人工心瓣膜設計等；二是能獲取和存儲大量的數據，并能提取隱秘的信息，如計算機層析X射線攝影，核磁共振等?，F在是24頁\一共有73頁\編輯于星期三3．戰略計算

“戰略計算”一詞首次出現在1995年美國為了確保核庫存的性能、安全性、可靠性和更新需要而實施的“加速戰略計算創新（ASCI）計劃”?，F在是25頁\一共有73頁\編輯于星期三這是因為美國克林頓總統在1995年8月11日宣布：“美國決定謀求真正的“零當量”全面禁止試驗核武器條約”。現在是26頁\一共有73頁\編輯于星期三這并不意味著核競賽的結束，恰恰相反是核武器計劃新時代的開始，要求通過逼真的建模和模擬計算來取代傳統的反復試驗的工程處理方法?，F在是27頁\一共有73頁\編輯于星期三這主要依賴于先進的數值計算和模擬能力，為此應用程序必須達到高分辯、三維、全物理和全系統的水平?，F在是28頁\一共有73頁\編輯于星期三1995年8月22日（即美國總統宣布決定后的11天），能源部（DOE）

就采購世界上最快的一臺計算機（運算速度超過萬億次）交付圣地亞實驗室（96年12月安裝）?，F在是29頁\一共有73頁\編輯于星期三１９９８年７月３０－３１日，美國的DOE（DepartmentofEnergy

）/FNS共同聯合組織召開了關于“先進科學計算”的全國會議。會議強調科學模擬的重要性，希望應用科學模擬來攻克復雜的科學與工程難題?，F在是30頁\一共有73頁\編輯于星期三１９９８年９月，美國ＤＯＥ在全國范圍內倡議實施“科學模擬計劃”(SSP)，提出要加速“燃燒系統”與全球氣候系統“這兩大應用領域的科學模擬研究。現在是31頁\一共有73頁\編輯于星期三

提問：數值計算方法是做什么用的？研究對象：數值問題——有限個輸入數據（問題的自變量、原始數據）與有限個輸出數據（待求解數據）之間函數關系的一個明確無歧義的描述。如一階微分方程初值問題求函數解析表達式數學問題求函數在某些點的近似函數值數值問題現在是32頁\一共有73頁\編輯于星期三程序設計上機計算設計高效、可靠的數值方法數值問題求解近似結果輸出重點討論數值問題的來源：實際問題建立數學模型數值問題現在是33頁\一共有73頁\編輯于星期三數值方法的設計原則收斂性：方法的可行性穩定性：初始數據等產生的誤差對結果的影響便于編程實現：邏輯復雜度要小計算量要小：時間復雜度要小，運行時間要短存貯量要盡量?。嚎臻g復雜度要小可靠性分析計算復雜性誤差估計：運算結果不能產生太大的偏差且能夠控制誤差現在是34頁\一共有73頁\編輯于星期三

誤差

/*Error*/一、誤差的來源與分類

/*Source&Classification*/

1、從實際問題中抽象出數學模型

——模型誤差

/*ModelingError*/

2、通過觀測得到模型中某些參數（或物理量）的值

——觀測誤差

/*MeasurementError*/

3、數學模型與數值算法之間的誤差求近似解

——方法誤差

(截斷誤差

/*TruncationError*/)

4、由于機器字長有限，原始數據和計算過程會產生新的誤差

——舍入誤差

/*RoundoffError*/現在是35頁\一共有73頁\編輯于星期三二、誤差分析的基本概念

/*BasicConcepts*/設為真值（精確值），為的一個近似值稱為近似值的絕對誤差，簡稱誤差。注：誤差可正可負，常常是無限位的絕對誤差限/*accuracy*/——絕對值的上界如：絕對誤差還不能完全表示近似值的好壞（絕對誤差/*absoluteerror*/）現在是36頁\一共有73頁\編輯于星期三近似值的誤差與準確值的比值：稱為近似值的相對誤差，記作注：實際計算時，相對誤差通常取因為（相對誤差/*relativeerror*/）現在是37頁\一共有73頁\編輯于星期三一個算法如果輸入數據有擾動（即誤差），而計算過程中舍入誤差不增長,則稱此算法是數值穩定的，否則此算法就稱為不穩定的。（數值穩定性/*NumericalStability*/）對數學問題本身如果輸入數據有微小擾動，引起輸出數據（即問題真解）的很大擾動，這就是病態問題。（病態問題/*ill-posedproblem*/）

它是數學問題本身性質所決定的，與算法無關，也就是說對病態問題，用任何算法（或方法）直接計算都將產生不穩定性。

現在是38頁\一共有73頁\編輯于星期三此公式精確成立記為則初始誤差????!!!Whathappened?!例計算公式一：現在是39頁\一共有73頁\編輯于星期三考察第n步的誤差我們有責任改變。造成這種情況的是不穩定的算法

/*unstablealgorithm*/迅速積累，誤差呈遞增趨勢。初始的小擾動公式二：注意此公式與公式一在理論上等價。方法：先估計一個IN

,再反推要求的In(n<<N)?？扇‖F在是40頁\一共有73頁\編輯于星期三取現在是41頁\一共有73頁\編輯于星期三考察反推一步的誤差：以此類推，對n<N

有：誤差逐步遞減,這樣的算法稱為穩定的算法

/*stablealgorithm*/

在我們今后的討論中，誤差將不可回避，算法的穩定性將會是一個非常重要的話題?，F在是42頁\一共有73頁\編輯于星期三例：蝴蝶效應

——紐約的一只蝴蝶翅膀一拍，風和日麗的北京就刮起臺風來了？！紐約北京這是一個病態問題現在是43頁\一共有73頁\編輯于星期三蝴蝶效應在社會學界用來說明：一個壞的微小的機制，如果不加以及時地引導、調節，會給社會帶來非常大的危害，戲稱為“龍卷風”或“風暴”；一個好的微小的機制，只要正確指引，經過一段時間的努力，將會產生轟動效應，稱為“革命”。蝴蝶效應是氣象學家洛倫茲1963年提出來的。其大意為：一只南美洲亞馬孫河流域熱帶雨林中的蝴蝶，偶爾扇動幾下翅膀，可能在兩周后引起美國德克薩斯引起一場龍卷風?，F在是44頁\一共有73頁\編輯于星期三幾點注意事項

/*Remarks*/1、

避免相近二數相減例：a1=0.12345，a2=0.12346，各有5位有效數字。而a2

a1=0.00001，只剩下1位有效數字。

幾種經驗性避免方法：當|x|<<1時：現在是45頁\一共有73頁\編輯于星期三2、

避免小分母:分母小會造成浮點溢出

/*overflow*/3、避免大數吃小數例：用單精度計算的根。精確解為算法1：利用求根公式在計算機內，109存為0.11010，1存為0.1101。做加法時，兩加數的指數先向大指數對齊，再將浮點部分相加。即1的指數部分須變為1010，則：1=0.00000000011010，取單精度時就成為：

109+1=0.100000001010+0.000000001010=0.100000001010大數吃小數現在是46頁\一共有73頁\編輯于星期三算法2：先解出再利用注：求和時從小到大相加，可使和的誤差減小。例：按從小到大、以及從大到小的順序分別計算1+2+3+…+40+1094、

先化簡再計算，減少步驟，避免誤差積累。一般來說，計算機處理下列運算的速度為5、選用穩定的算法?，F在是47頁\一共有73頁\編輯于星期三二.計算數學的兩大分支現在是48頁\一共有73頁\編輯于星期三1.微分方程及其數值解計算機解決實際問題的步驟建立數學模型選擇數值方法編寫程序上機計算現在是49頁\一共有73頁\編輯于星期三現實世界中絕大多數事物的內外聯系是及其復雜的，其狀態隨著時間、地點、條件的不同而不同，我們只能通過對問題進行簡化和作某些假定，從中找出其狀態和狀態的變化規律之間的關系，也即一個或一些函數與它們的導數之間的關系，這種關系的數學表達就是微分方程。

現在是50頁\一共有73頁\編輯于星期三偏微分方程數值解主要是有限差分法和有限元法。

現在是51頁\一共有73頁\編輯于星期三偏微分方程發展史：(1)十八世紀初,Taylor:(2)十九世紀中期，三類偏微分方程：

(3)十九世紀末到二十世紀初，其它方程：

高階方程：KDV方程：現在是52頁\一共有73頁\編輯于星期三如果能找到一個（或一族）具有所要求階連續導數的解析函數，將它代入微分方程（組）中，恰好使得方程（組）的所有條件都得到滿足，我們就將它稱為這個方程（組）的解析解（也稱古典解）?！拔⒎址匠痰恼娼狻被颉拔⒎址匠痰慕狻本褪侵附馕鼋?。尋找解析解的過程稱為求解微分方程。

微分方程的解在數學意義上的存在性可以在非常一般的條件下得到證明，這已有許多重要的結論。但從實際上講，人們需要并不是解在數學中的存在性，而是關心某個定義范圍內，對應某些特定的自變量的解的取值或是近似值-這樣一組數值稱為這個微分方程在該范圍內的數值解，尋找數值解的過程稱為數值求解微分方程。

現在是53頁\一共有73頁\編輯于星期三為什么要研究數值求解方法呢？

1）在實際問題中我們所能獲取的或感興趣的，往往只是一個特定點上的數據。如空間的溫度分布只能一個點一個點地測定，火箭升空傳回的控制信息只能以某個確定的時間為間隔，一個個地發送和接受，如此等等。這些離散點上的函數值對于解決實際問題，已經足夠了，尋找解析解的一般形式未必必要。

現在是54頁\一共有73頁\編輯于星期三2）在很多情況下，尋找解析解也并無可能?，F實問題中歸結的微分方程不滿足解析解的存在條件的比比皆是，方程中出現的有些函數連續性都無法保證，它們并不存在前述意義的解析解。于是，求數值解便成了在這種情況下解決問題的重要手段了。

現在是55頁\一共有73頁\編輯于星期三3）即使微分方程的解析解存在，以并不意味可以將它表示為初等函數，如多項式、對數函數、指數函數三角函數及它們的不定積分的有限組合形式——顯式解。

事實上，有顯式解的微分方程只占解析解存在的微分方程中的非常小的一部分。

現在是56頁\一共有73頁\編輯于星期三現在是57頁\一共有73頁\編輯于星期三由于數字電子計算機只能存儲有限個數據和作有限次運算，所以任何一種適用于計算機解題的方法，都必須把連續問題離散化，最終化成有限形式的代數方程組?，F在是58頁\一共有73頁\編輯于星期三數值求解方法概述1）區域剖分把整個定義域分成若干個小塊，以便對每小塊上的點或片求出近似值，這樣按一定規律對定義域分切的過程稱為區域剖分。2）微分方程的離散區域剖分完畢后，依據原來的微分方程去形成關于這些離散點或片的函數值的遞推公式或方程。這是它們的未知量已不是一個連續函數，而成了若干個離散的未知值的某種組合了，這個步驟稱為微分方程離散?，F在是59頁\一共有73頁\編輯于星期三3）初始和邊界條件處理離散后系統是一個遞推公式，那它需要若干個初值才能啟動。若是一個方程組，那它所含的方程個數一般少于未知量的個數，要想求解還需要補充若干個方程。這些需要補充的初值和方程往往可以通過微分方程的初始條件和邊界條件來得到，這就是初始和邊界條件處理過程。現在是60頁\一共有73頁\編輯于星期三4）離散系統的性態研究我們主要研究：這個系統是否可解，即解的存在性、唯一性問題；它與精確解的差距有多大，這個差距當區域剖分的尺寸趨于零時，是否也會趨于零，趨于零的速度多快，即解的收斂性和收斂速度問題；當外界對數據有所干擾時，所得的解是否會嚴重背離離散系統的固有的解，即解的穩定性問題。現在是61頁\一共有73頁\編輯于星期三上述問題說道底是一個誤差分析問題，因為如果從實際問題到得出數值解的每一步都沒有任何誤差的話（當然，這是不可能的），那么數值解就應該是離散點上的精確值，也就不用煞費苦心去討論上面的問題了?，F在是62頁\一共有73頁\編輯于星期三數值求解微分方程過程示意微分方程區域剖分離散系統的性態研究遞推計算或解線性代數方程組微分方程離散初始和邊界條件處理解的存在性、唯一性解的收斂性和收斂速度解的穩定性得到數值解現在是63頁\一共有73頁\編輯于星期三求解過程中產生的誤差現實問題數學模型離散格式模型誤差建模離散舍入誤差觀測模型截斷誤差數值解計算現在是64頁\一共有73頁\編輯于星期三2.數值代數數值線性代數又