《工程力學》

內力分析和內力圖授課教師：謝奇之電話箱：qzxie@163.com1編輯ppt第四章內力分析和內力圖§4–1內力方程§4–2拉伸與壓縮內力§4–3扭轉內力§4–4彎曲內力

§4–5平面鋼架和平面曲桿的內力§4–6平面桁架的內力編輯ppt引言內力分析：計算橫截面上內力，作內力圖，判斷危險橫截面。11F1F3F2F4ABCD2233例：F1=10kN；F2=20kN；F3=35kN；F4=25kN;內力圖：反映內力隨截面位置變化規律的曲線。危險截面編輯ppt§4-1內力方程例4-3、列出圖示結構水平段的內力方程。laFnnx解：取最右端為坐標原點，假設任一截面到坐標原點的距離為x內力方程：表示內力沿截面變化規律的函數。FSxMx編輯ppt§4-2拉伸與壓縮內力編輯ppt編輯ppt直列發動機原理圖編輯ppt受力特點：作用在桿件上的外力或外力合力的作用線與桿件軸線重合

變形特點：FF拉伸壓縮FF桿件變形是沿軸線方向的伸長或縮短、橫向縮小或變粗拉（壓）桿的受力簡圖編輯ppt1、截面法求內力FFmmFFNFFN(1)假想沿m-m橫截面將桿切開(2)取左半段或右半段(3)將棄去部分對留下部分的作用用內力代替(4)對留下部分寫平衡方程求出內力即軸力的值軸向拉伸或壓縮時橫截面上的內力編輯ppt2、軸力：截面上的內力

由于外力的作用線與桿件的軸線重合，內力的作用線也與桿件的軸線重合。所以稱為軸力。3、軸力正負號

拉為正（軸力背離截面）、壓為負（軸力指向截面）4、軸力圖：軸力沿桿件軸線的變化★集中外力多于兩個時，分段用截面法求軸力，作軸力圖。★軸力圖的橫坐標表示橫截面位置，縱坐標表示軸力大小?！镙S力只與外力有關，與橫截面的形狀和大小無關。★任一橫截面上的軸力=截面一側所有外力的代數和。編輯ppt已知F1=10kN；F2=20kN；

F3=35kN；F4=25kN;試畫出圖示桿件的軸力圖。11例題2.1FN1F1解：1、計算各段的軸力。F1F3F2F4ABCD2233FN3F4FN2F1F2AB段BC段CD段2、繪制軸力圖。編輯ppt討論題以下關于軸力的說法中，那一個是錯誤的（）。

（A）拉壓桿的內力只有軸力；

（B）軸力的作用線與桿軸重合；

（C）軸力是沿桿軸作用的外力；

（D）軸力與桿的橫截面和材料無關。

C編輯ppt§4-3扭轉內力汽車傳動軸汽車方向盤一、扭轉的概念和實例編輯ppt扭轉試驗機編輯ppt扭轉變形鑄鐵扭轉破壞編輯ppt受力特點：變形特點：作用在桿件上的載荷均為力偶，且力偶矢方向與軸線一致桿件的各個橫截面繞桿軸發生相對轉動扭轉變形是指桿件受到若干個與軸線方向一致的力偶矢作用，使桿件的橫截面繞軸線產生轉動。受扭轉變形桿件稱為軸，其橫截面大都是圓形的。所以本章主要介紹圓軸扭轉。gfmpqmpq編輯ppt1、直接計算外力偶矩的計算編輯ppt2、按輸入功率和轉速計算電機每秒輸入功：外力偶作功完成：已知：軸轉速－n轉/分鐘輸出功率－P

千瓦。求：力偶矩Me編輯ppt用截面法研究橫截面上的內力二、扭矩和扭矩圖11得：取左段研究:取右段研究:得：編輯ppt扭矩正負規定右手螺旋法則右手四指沿扭矩的轉向環繞，拇指指向外法線方向為正(+),反之為負(-)編輯ppt扭矩圖：表示沿桿件軸線各橫截面上扭矩變化規律的圖線。目的①扭矩變化規律；②|T|max值及其截面位置強度計算（危險截面）。xT編輯ppt例題4-1、一傳動軸如圖所示，其轉速n=300r/min，主動輪A輸入的功率為PA=36kW，若不計軸承摩擦所耗的功率，三個從動輪輸出的功率分別為PB=11kW、PC=11kW及PD=14kW，試做扭矩圖。解:計算外力偶矩編輯ppt計算CA段內任橫一截面2-2截面上的扭矩，假設T

2為正值結果為負號，說明T

2應是負值扭矩由平衡方程BCxMe2Me3T222集中力偶作用點為分段點編輯ppt同理，在BC段內在AD段內注意：若假設扭矩為正值，則扭矩的實際符號與計算符號相同。Me2Me4T1T3作出扭矩圖1133xT(N.m)350700446+_從圖可見，最大扭矩在CA段內。編輯ppt某一截面的扭矩等于截面一側所有外力偶矩引起的扭矩的代數和；每一個外力偶矩引起的扭矩大小等于該外力偶矩，符號按以下規定確定：計算截面扭矩的簡便方法：外力偶矩的方向背離截面，引起的扭矩為正；反之為負。編輯ppt例4－6、試作軸的扭矩圖。解：根據載荷分布情況，應分三段研究。AB段：BC段：CD段：CABD

9kN.m3kN.m3kN.m/m2m1m1mx分布載荷的起點及終點也為分段點xT(kN.m)63+_編輯ppt思考題：受扭圓軸，其截面m-m上的扭矩T=

mMem2MeMeD編輯ppt§4-4彎曲內力起重機大梁一、彎曲的概念和實例編輯ppt車削工件編輯ppt火車輪軸編輯ppt外力（包括力偶）的作用線垂直于桿軸線。受力特征：變形特征：變形前為直線的軸線，變形后成為曲線。qFFRFRqFFRFRFF以彎曲變形為主的桿件通常稱為梁編輯ppt平面彎曲具有縱向對稱面外力都作用在縱向對稱面內,垂直于軸線彎曲變形后軸線變成對稱面內的一條平面曲線編輯ppt載荷FMeq(x)集中載荷分布載荷集中力偶支座的類型

固定鉸支座滾動支座固定端二、梁的簡化編輯ppt靜定梁的基本形式FMeq(x)簡支梁FMeq(x)外伸梁FMeq(x)懸臂梁靜定梁編輯ppt火車輪軸簡化簡化的實例

梁的簡化：用梁的軸線代替桿件本身。FF編輯ppt車床主軸的簡化編輯ppt吊車大梁簡化FFq均勻分布載荷簡稱均布載荷編輯pptF1F2F3ABxyFByFAy梁橫截面上的內力截面法xmmxymmF1aFAyxFNFSMCFS剪力，平行于橫截面的內力的合力。M彎矩，垂直于橫截面的內力系的合力偶矩。剪力和彎矩合稱為梁橫截面上的內力。FSM無三、彎曲變形的內力編輯ppt左側梁段：向上的外力引起正值的剪力向下的外力引起負值的剪力右側梁段：向下的外力引起正值的剪力向上的外力引起負值的剪力剪力和彎矩的符號規定1、剪力BFSRBFSRAA編輯ppt不論在截面的左側或右側向上的外力均將引起正值的彎矩,而向下的外力則引起負值的彎矩.2、彎矩左側梁段順時針轉向的外力偶引起正值的彎矩逆時針轉向的外力偶引起負值的彎矩右側梁段逆時針轉向的外力偶引起正值的彎矩順時針轉向的外力偶引起負值的彎矩AEcRAMdBRBMMM編輯ppt例4－7、求下圖1-1、2-2、3-3、4-4、5-5的FS、M值。qABCD12345aaaa/2解：1、外力分析FyCFyD2、內力分析1-1截面FS1M1某一截面的內力（剪力或彎矩）等于截面一側所有外力引起內力的代數和編輯ppt2-2截面3-3截面qABCD12345aaaa/2FyCqABCD12345aaaa/2FyC編輯ppt4-4截面qABCD12345aaaa/2FyDqABCD12345aaaa/2FyD5-5截面編輯ppt例4－8、下圖懸臂梁1-1、2-2截面上的FS、M值。ABC1122q0aa解：1、外力分析2、內力分析1-1截面2-2截面ABC1122q0aa編輯ppt課堂練習：計算梁中1-1與2-2截面內力。AB112aLb2FAFB編輯ppt計算梁中1-1與2-2截面內力。AB122ab1解：1-1截面2-2截面編輯ppt1、剪力方程2、彎矩方程FS=FS(x)M=M(x)表示沿梁軸線各橫截面上剪力和彎矩的變化規律的函數，分別稱作剪力方程和彎矩方程。1、剪力方程和彎矩方程四、剪力和彎矩方程剪力圖和彎矩圖編輯ppt彎矩為正值畫在x軸上側，負值畫在x軸下側2、剪力圖和彎矩圖剪力為正值畫在x軸上側，負值畫在x軸下側以平行于梁軸的橫坐標x表示橫截面的位置，以縱坐標表示相應截面上的剪力和彎矩。這種圖線分別稱為剪力圖和彎矩圖xFs(x)Fs

圖的坐標系OM

圖的坐標系xOM(x)編輯ppt例4－3、如圖所示的懸臂梁在自由端受集中荷載F作用,試作此梁的剪力圖和彎矩圖。ABl解：(1)將坐標原點取在梁的左端，列出梁的剪力方程和彎矩方程梁的兩端點，集中力、集中力偶作用點，支座點，分布載荷的起點或終點為分段點xFSxFxMFl對應于無均布載荷作用的梁，剪力圖為平直線，彎矩圖為斜直線編輯ppt列剪力方程和彎矩方程，并利用剪力方程和彎矩方程畫剪力圖和彎矩圖的步驟；1、求支反力；懸臂梁一般不必求支反力2、找出分段點將梁分段；梁的兩端點，集中力、集中力偶作用點，支座點，分布載荷的起點和終點為分段點。3、取好坐標原點，寫出每一段的剪力方程及彎矩方程；寫某一段的剪力方程及彎矩方程，只需在這一段任取一截面，假設該截面到坐標原點的距離為x，寫出這個截面的剪力和彎矩就是這一段的剪力方程及彎矩方程。4、根據剪力方程及彎矩方程畫剪力圖和彎矩圖。編輯ppt例題4－4、圖示的簡支梁，在全梁上受集度為q的均布荷載用。試作此梁的的剪力圖和彎矩圖。lqAB解

：(1)求支反力FBFA(2)列剪力方程和彎矩方程x編輯pptlqAB剪力圖為一傾斜直線繪出剪力圖.x=0處，x=l處，ql/2+FSx編輯pptlqAB彎矩圖為一條二次拋物線。由令得駐點彎矩的極值繪出彎矩圖+l/2xM編輯ppt由圖可見，對應于作用有均布載荷的梁，剪力圖為斜直線，彎矩圖為拋物線剪力等于零的截面，彎矩取最大值lqAB編輯ppt例4－5、圖示的簡支梁在C點處受集中荷載F作用。試作此梁的剪力圖和彎矩圖。解：求梁的支反力集中力作用點C為分段點，必須分段寫剪力方程和彎矩方程。ABalbC將坐標原點取在梁的左端FAFB

AC段x編輯pptABalbCFAFBCB段x由(1),(3)兩式可知,AC,CB兩段梁的剪力圖各是一條平行于x軸的直線FSx++編輯pptABalbCFAFB由(2),(4)式可知,AC,CB兩段梁的彎矩圖各是一條斜直線。+xM編輯pptABalbCFAFBFSx++在集中力作用處的左，右兩側截面上剪力有突變，突變量等于集中力引起的剪力。+xM彎矩圖形成尖角，該處彎矩取極值。編輯pptFAABalbCm例4－6、圖示的簡支梁在C點處受矩為m的集中力偶作用。試作此梁的的剪力圖和彎矩圖.解：求梁的支反力FB將坐標原點取在梁的左端因為梁上沒有橫向外力，所以全梁只有一個剪力方程

x+FSx可見，梁的剪力圖是一條平行于x軸的直線。繪出剪力圖編輯pptAC段和BC段的彎矩方程不同ABalbCmAC段

xCB段xFAFB兩梁段的彎矩圖各是一條傾斜直線。AC段CB段+xM編輯ppt梁上集中力偶作用處左、右兩側橫截面上的彎矩有突變，其突變值等于集中力偶矩引起的彎矩。此處剪力圖沒有變化。編輯ppt例4－13、一簡支梁受移動荷載F的作用如圖所示，試求梁的最大彎矩為極大時荷載F的位置。xABl解:先設F在距左支座A為x的任意位置C。FAFB令當移動荷載F在簡支梁的跨中時，梁的最大彎矩為極大。最大彎矩值編輯ppt

以下各梁應分幾段列彎矩方程及剪力方程ABCABCDABEFCDGH

若僅列剪力方程，應分幾段

列剪力方程時，集中力偶作用點不是分段點編輯ppt2、以集中力、集中力偶作用處、分布荷載開始或結束處，及支座截面處為界點將梁分段.分段寫出剪力方程和彎矩方程，然后繪出剪力圖和彎矩圖.1、取梁的左端點為座標原點，x軸向右為正;剪力圖向上為正；彎矩圖向上為正.5、最大彎矩發生在集中載荷作用處，或剪力為零的截面處.小結3、梁上集中力作用處左、右兩側橫截面上，剪力（圖）有突變，其突變值等于集中力的數值.在此處彎矩圖則形成一個尖角.4、梁上集中力偶作用處左、右兩側橫截面上的彎矩值（圖）也有突變，其突變值等于集中力偶矩的數值.但在此處剪力圖沒有變化.編輯pptxyF1F2ABMexdxCdxq(x)

略去二階微量后得：五、剪力和彎矩圖的簡便畫法編輯ppt幾何意義（1）剪力圖上某點處的切線斜率等于該點處載荷集度的大小。（2）彎矩圖上某點處的切線斜率等于該點處剪力的大小。載荷集度、剪力和彎矩微分關系：編輯pptM(x)圖為一向上凸的二次拋物線.FS(x)圖為一向右下方傾斜的直線.xFs(x)Oq(x)、Fs(x)圖、M（x）圖三者間的關系1、梁上有向下的均布荷載，即q(x)<0xOM(x)編輯ppt2、梁上無荷載區段，即q(x)=0剪力圖為一條水平直線.彎矩圖為一斜直線.xFs(x)O當FS(x)>0時，向右上方傾斜.當F

S(x)<0時，向右下方傾斜.xOM(x)OM(x)x編輯ppt3、梁上最大彎矩Mmax可能發生在FS(x)=0的截面上;或發生在集中力所在的截面上；或集中力偶作用處；最大剪力可能發生在集中力所在的截面上；或分布載荷發生變化的區段上.4、在集中力作用處剪力圖有突變，其突變值等于集中力的值.彎矩圖有轉折.5、在集中力偶作用處彎矩圖有突變，其突變值等于集中力偶的值，但剪力圖無變化.編輯ppt集中力FC集中力偶mC向下傾斜的直線上凸的二次拋物線在C處有轉折一段梁上的外力情況剪力圖的特征彎矩圖的特征表4-1在幾種荷載下剪力圖與彎矩圖的特征q<0向下的均布荷載在C處有突變F在C處有突變m在C處無變化C無荷載水平直線一般斜直線或三圖形狀口訣：0—平—斜；平—斜—拋編輯ppt載荷、剪力和彎矩之間關系繪制剪力圖與彎矩圖的方法1、外力分析（求約束反力）；約束反力的方向為實際方向2、建立FS一x和M一x坐標系；3、找出分段點將梁分段；對應每一段，根據載荷集度、剪力及彎矩之間的微分關系（0—平—斜，平—斜—拋），確定剪力圖及彎矩圖的形狀；4、對應每一段，確定相應控制面的剪力值或彎矩值，并在坐標系中描點；分段點左右兩側面均為控制面5、根據剪力圖及彎矩圖的形狀連線畫出剪力圖及彎矩圖。控制面上的剪力或彎矩可根據集中載荷與剪力和彎矩之間的關系，截面法或積分關系求得編輯ppt（-）（+）解：1．確定約束力FAy＝0.89kNFFy＝1.11kN2．確定控制面為A、C、D、B兩側截面。FBYBA1.5m1.5m1.5mFAY1kN.m2kNDC3．從A截面左測開始畫剪力圖。Fs（kN）0.891.11例題4-6簡支梁受力的大小和方向如圖示,試畫出其剪力圖和彎矩圖。編輯ppt（-）（-）4．從A截面左測開始畫彎矩圖。M（kN.m）從A左到A右從C左到C右從D左到D右從A右到C左1.3300.330從C右到D左1.665（-）（+）FBYBA1.5m1.5m1.5mFAY1kN.m2kNDCFs（kN）0.891.11從D右到B左從B左到B右編輯ppt

（+）

（-）qBADa4aFAyFByqa解：1．確定約束力2．確定控制面，即A、B、D兩側截面。3．從A截面左測開始畫剪力圖。

Fs

9qa/4

7qa/4qa例題4-7試畫出梁的剪力圖和彎矩圖。編輯ppt（+）M

（+）

（-）qBADa4aFAyFByqa

Fs

9qa/4

7qa/4qa4．求出剪力為零的點到A的距離。B點的彎矩為-1/2×7qa/4×7a/4+81qa2/32=qa2AB段為上凸拋物線。且有極大值。該點的彎矩為1/2×9qa/4×9a/4=81qa2/325．從A截面左測開始畫彎矩圖

81qa2/32qa2編輯ppt（-）（-）（+）（+）（-）

Fs例題4-8試畫出圖示有中間鉸梁的剪力圖和彎矩圖。解：1．確定約束力從鉸處將梁截開qFDyFDyqaFAyFByMAFAyFByqa/2qa/2qaMqa2/2qa2/2BAaqaCaaDqMA編輯ppt1、平面剛架某些機器的機身由幾根直桿組成，而各桿在其聯接處的夾角不能改變，這種聯接稱為剛節點。有剛節點的框架稱為剛架。各直桿和外力均在同一平面內的剛架為平面剛架。平面剛架的內力一般有軸力、剪力和彎矩?！?-5平面剛架和曲桿的內力編輯ppt試畫出剛架的內力圖。例題4-19、已知平面剛架上的均布載荷集度q,長度l。解：2、寫出各段的內力方程qllABC1、確定約束力AB段BC段編輯pptqABCl豎桿AB：3、根據各段的內力方程畫內力圖橫桿CB：M圖畫在受壓一側；FS圖與FN圖可畫在任一側，但應注明正負號；FN+FS+M編輯ppt2、平面曲桿的內力平面曲桿軸線為平面曲線的構件稱為平面曲桿。當外力與平面曲桿均在同一平面內時，曲桿的內力有軸力、剪力和彎矩。引起拉伸變形的軸力為正；使軸線曲率增加的彎矩為正；剪力對所取的一段曲桿內任一點取矩，若力矩為順時針方向，則剪力為正。內力正負號規定編輯ppt例4-15已知：如圖所示，F及R

。試繪制FS、M、FN圖。解：建立極坐標,O為極點,OB極軸，q表示截面m–m的位置。qmmxOFRABOFBqmmxFNFSM編輯pptOOFN圖FF–+xOFRqmmAB+FS圖FABOM圖2FR+編輯ppt武漢長江大橋。全長1679米。于1957年建成?？缍?28米。

編輯ppt英國福斯灣橋。鋼懸臂桁架雙線鐵路橋?？缍?21米。1890年建成。

北京首都國際機場航空港內鋼結構飛機庫。

編輯ppt編輯ppt桁架的簡化計算模型編輯ppt桁架的優點：輕，能充分發揮材料性能。力學中的桁架模型(基本三角形)：三角形有穩定性1、各桿件為直桿，各桿軸線位于同一平面內；2、桿件與桿件間均用光滑鉸鏈連接；3、載荷作用在節點上，且位于桁架幾何平面內；4、各桿件自重不計或均分布在節點上。在上述假設下，桁架中每根桿件均為二力桿關于平面桁架的幾點假