離散學(xué)命題邏輯第1頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一說明主要內(nèi)容命題、聯(lián)結(jié)詞、復(fù)合命題命題公式、賦值、命題公式的分類與后續(xù)知識的關(guān)系是后續(xù)的準(zhǔn)備或前提第2頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一1命題與聯(lián)結(jié)詞數(shù)理邏輯研究的中心問題是推理。推理的前提和結(jié)論都是表達(dá)判斷的陳述句。表達(dá)判斷的陳述句構(gòu)成了推理的基本單位。第3頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一1.1命題與聯(lián)結(jié)詞稱能判斷真假而不是可真可假的陳述句為命題

（proposition）。作為命題的陳述句所表達(dá)得的判斷結(jié)果稱為命題的真值。真值只取兩個：真與假。真值為真的命題稱為真命題。真值為假的命題稱為假命題。感嘆句、疑問句、祈使句都不能稱為命題。判斷結(jié)果不唯一確定的陳述句不是命題。陳述句中的悖論不是命題。說明第4頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一4是素數(shù)。

x大于y。充分大的偶數(shù)等于兩個素數(shù)之和。今天是星期二。

請不要吸煙！這朵花真美麗啊！我正在說假話。例1.1

判斷下列句子是否為命題。

是，假命題是，真命題不是，無確定的真值是，真值客觀存在是，真值根據(jù)具體情況而定。不是，疑問句不是，祈使句不是，感嘆句不是，悖論第5頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一命題和真值的符號化用小寫英文字母p,q,r…,pi,qi

,ri

…表示命題用“1”表示真，用“0”表示假

r：充分大的偶數(shù)等于兩個素數(shù)之和。s：今天是星期二。p：4是素數(shù)。q：不能被分解成更簡單的陳述句，稱這樣的命題為簡單命題或原子命題。由簡單陳述句通過聯(lián)結(jié)詞而成的陳述句，稱這樣的命題為復(fù)合命題。

第6頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一例1.2將下面這段陳述中所出現(xiàn)的原子命題符號化，并指出它們的真值，然后再寫出這段陳述。

是有理數(shù)是不對的；2是偶素數(shù)；2或4是素數(shù)；如果2是素數(shù)，則3也是素數(shù)；2是素數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)3也是素數(shù)。

p：是有理數(shù)q：2是素數(shù)；r：2是偶數(shù)s：3是素數(shù)；t：4是素數(shù)01110非p；q并且(與)r；q或t；如果q，則s；q當(dāng)且僅當(dāng)s。第7頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一例1.2的討論半形式化形式數(shù)理邏輯研究方法的主要特征是將論述或推理中的各種要素都符號化。即構(gòu)造各種符號語言來代替自然語言。形式化語言：完全由符號所構(gòu)成的語言。將聯(lián)結(jié)詞（connective）符號化，消除其二義性，對其進(jìn)行嚴(yán)格定義。例如： 他是100米或400米賽跑的冠軍。

魚香肉絲或鍋包肉，加一碗湯。第8頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一定義1.1 否定(negation)設(shè)p為命題，復(fù)合命題“非p”(或“p的否定”)稱為p的否定式,記作┐p，符號┐稱作否定聯(lián)結(jié)詞，并規(guī)定┐p為真當(dāng)且僅當(dāng)p為假。

例如：p： 哈爾濱是一個大城市。

┐p：哈爾濱是一個不大城市。

┐p：哈爾濱不是一個大城市。p┐p1001第9頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一定義1.2 合取(conjunction)設(shè)p,q為二命題，復(fù)合命題“p并且q”(或“p與q”)稱為p與q的合取式，記作p∧q，∧稱作合取聯(lián)結(jié)詞，并規(guī)定p∧q為真當(dāng)且僅當(dāng)p與q同時為真。使用合取聯(lián)結(jié)詞時要注意的兩點(diǎn)：描述合取式的靈活性與多樣性。

自然語言中的“既……又……”、“不但……而且……”、“雖然……但是……”、“一面……一面……”等聯(lián)結(jié)詞都可以符號化為∧。分清簡單命題與復(fù)合命題。

不要見到“與”或“和”就使用聯(lián)結(jié)詞∧。

pqp∧q1

11100010000第10頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一例1.3

將下列命題符號化吳穎既用功又聰明。吳穎不僅用功而且聰明。吳穎雖然聰明，但不用功。張輝與王麗都是三好學(xué)生。張輝與王麗是同學(xué)。

p:吳穎用功。q:吳穎聰明。r:張輝是三好學(xué)生。s:王麗是三好學(xué)生。t:張輝與王麗是同學(xué)。

(1)p∧q(2)p∧q(3)q∧┐p(4)r∧s(5)t解題要點(diǎn)：正確理解命題含義。找出原子命題并符號化。選擇恰當(dāng)?shù)穆?lián)結(jié)詞。

第11頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一合取舉例p：我們?nèi)タ措娪啊?/p>

q：房間里有十張桌子。

p∧q：我們?nèi)タ措娪安⑶曳块g里有十張桌子。

在數(shù)理邏輯中，關(guān)心的只是復(fù)合命題與構(gòu)成復(fù)合命題的各原子命題之間的真值關(guān)系，即抽象的邏輯關(guān)系，并不關(guān)心各語句的具體內(nèi)容。說明第12頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一定義1.3 析取(disjunction)設(shè)p，q為二命題，復(fù)合命題“p或q”稱作p與q的析取式，記作p∨q，∨稱作析取聯(lián)結(jié)詞，并規(guī)定p∨q為假當(dāng)且僅當(dāng)p與q同時為假。

自然語言中的“或”具有二義性，用它聯(lián)結(jié)的命題有時具有相容性，有時具有排斥性，對應(yīng)的聯(lián)結(jié)詞分別稱為相容或和排斥或(排異或)。說明pqp∨q1

11101011000第13頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一例1.4將下列命題符號化

張曉靜愛唱歌或愛聽音樂。張曉靜只能挑選202或203房間。張曉靜是江西人或安徽人。他昨天做了二十或三十道習(xí)題。設(shè)p：張曉靜愛唱歌，q：張曉靜愛聽音樂。

相容或，符號化為

p∨q設(shè)t：張曉靜挑選202房間，

u：張曉靜挑選203房間。

排斥或，符號化為：(t∧┐u)∨(┐t∧u)設(shè)r：張曉靜是江西人，

s：張曉靜是安徽人。

排斥或，符號化為：r∨s。

(排斥或聯(lián)結(jié)的兩個命題事實(shí)上不可能同時為真)

或符號化為：(r∧┐s)∨(┐r∧s)原子命題，因?yàn)椤盎颉敝槐硎玖肆?xí)題的近似數(shù)目。第14頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一定義1.4 蘊(yùn)涵(implication)設(shè)p，q為二命題，復(fù)合命題“如果p，則q”稱作p與q的蘊(yùn)涵式，記作p→q，并稱p是蘊(yùn)涵式的前件，q為蘊(yùn)涵式的后件，→稱作蘊(yùn)涵聯(lián)結(jié)詞,并規(guī)定p→q為假當(dāng)且僅當(dāng)p為真q為假。

說明p→q的邏輯關(guān)系表示q是p的必要條件。

q是p的必要條件有許多不同的敘述方式

只要p，就q

因?yàn)閜，所以qp僅當(dāng)q只有q才p除非q才p除非q，否則非p

pqp→q1

11100011001第15頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一例1.5將下列命題符號化，并指出其真值

如果3+3＝6，則雪是白的。如果3+3≠6，則雪是白的。如果3+3＝6，則雪不是白的。如果3+3≠6，則雪不是白的。解：令p：3+3＝6，p的真值為1。

q：雪是白色的，q的真值也為1。

p→q┐p→q p→┐q ┐p→┐q 1101第16頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一例1.5將下列命題符號化，并指出其真值

以下命題中出現(xiàn)的a是一個給定的正整數(shù)：(5)只要a能被4整除，則a一定能被2整除。(6)a能被4整除，僅當(dāng)a能被2整除。(7)除非a能被2整除，a才能被4整除。(8)除非a能被2整除，否則a不能被4整除。(9)

只有a能被2整除，a才能被4整除。(10)只有a能被4整除，a才能被2整除。解：令r：a能被4整除

s：a能被2整除(5)至(9)五個命題均敘述的是a能被2整除是a能被4整除的必要條件，因而都符號化為r→s。其真值為1在(10)中，將a能被4整除看成了a能被2整除的必要條件，因而應(yīng)符號化為s→r。a值不定時，真值未知。第17頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一關(guān)于蘊(yùn)含的進(jìn)一步說明作為一種規(guī)定，當(dāng)p為假時，無論q是真是假，p→q均為真。也就是說，只有p為真q為假這一種情況使得復(fù)合命題p→q為假。稱為實(shí)質(zhì)蘊(yùn)含。例：如果x>5，則x>2。

(1)x=6 如果6>5，則6>2。

(2)

x=3

如果3>5，則3>2。

(3)x=1 如果1>5，則1>2。

例：如果我有車，那么我去接你常出現(xiàn)的錯誤，沒有分清充分條件與必要條件。第18頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一定義1.5 等價(two-way-implication)設(shè)p，q為二命題，復(fù)合命題“p當(dāng)且僅當(dāng)q”稱作p與q的等價式，記作pq，稱作等價聯(lián)結(jié)詞，并規(guī)定pq為真當(dāng)且僅當(dāng)p與q同時為真或同時為假。說明“當(dāng)且僅當(dāng)”（ifandonlyif）pq的邏輯關(guān)系為p與q互為充分必要條件。

(p→q)∧(q→p)與pq的邏輯關(guān)系完全一致。pqpq1

11100010001第19頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一例1.6將下列命題符號化，并討論它們的真值

π是無理數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)加拿大位于亞洲。2+3＝5的充要條件是π是無理數(shù)。若兩圓A，B的面積相等，則它們的半徑相等；反之亦然。當(dāng)王小紅心情愉快時，她就唱歌；反之，當(dāng)她唱歌時，一定心情愉快。設(shè)p：π是無理數(shù)，q：加拿大位于亞洲。

符號化為pq，真值為0。設(shè)p：2+3＝5，q：π是無理數(shù)。

符號化為pq，真值為1。設(shè)p：兩圓A，B的面積相等，q：兩圓A，B的半徑相等。

符號化為pq，真值為1。設(shè)p：王小紅心情愉快，q：王小紅唱歌。

符號化為pq，真值由具體情況而定。第20頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一關(guān)于基本聯(lián)結(jié)詞的說明{┐,∧,∨,→,}，稱為一個聯(lián)結(jié)詞集。由聯(lián)結(jié)詞集{┐,∧,∨,→,}中的一個聯(lián)結(jié)詞聯(lián)結(jié)一個或兩個原子命題組成的復(fù)合命題是最簡單的復(fù)合命題，可以稱它們?yōu)榛镜膹?fù)合命題。基本復(fù)合命題的真值見下表：第21頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一關(guān)于基本聯(lián)結(jié)詞的說明多次使用聯(lián)結(jié)詞集中的聯(lián)結(jié)詞，可以組成更為復(fù)雜的復(fù)合命題。求復(fù)雜復(fù)合命題的真值時，除依據(jù)上表外，還要規(guī)定聯(lián)結(jié)詞的優(yōu)先順序，將括號也算在內(nèi)。本書規(guī)定的聯(lián)結(jié)詞優(yōu)先順序?yàn)椋?)，┐，∧，∨，→，，對于同一優(yōu)先級的聯(lián)結(jié)詞，先出現(xiàn)者先運(yùn)算。第22頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一例1.7令 p：北京比天津人口多。

q：2+2＝4.

r：烏鴉是白色的。

求下列復(fù)合命題的真值：

(1)((┐p∧q)∨(p∧┐q))→r

(2)(q∨r)→(p→┐r)

(3)(┐p∨r)(p∧┐r)解：p、q、r的真值分別為 1、1、0

(1)1

(2)1

(3)0我們關(guān)心的是復(fù)合命題中命題之間的真值關(guān)系，而不關(guān)心命題的內(nèi)容。說明第23頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一1.2命題公式及其賦值簡單命題是真值唯一確定的命題邏輯中最基本的研究單位，所以也稱簡單命題為命題常項(xiàng)或命題常元。

(propositionconstant)稱真值可以變化的陳述句為命題變項(xiàng)或命題變元

(propositionvariable)。也用p,q,r,…表示命題變項(xiàng)。當(dāng)p,q,r,…表示命題變項(xiàng)時，它們就成了取值0或1的變項(xiàng)，因而命題變項(xiàng)已不是命題。這樣一來，p,q,r,…既可以表示命題常項(xiàng)，也可以表示命題變項(xiàng)。在使用中，需要由上下文確定它們表示的是常項(xiàng)還是變項(xiàng)。將命題變項(xiàng)用聯(lián)結(jié)詞和圓括號按一定的邏輯關(guān)系聯(lián)結(jié)起來的符號串稱為合式公式或命題公式。第24頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一定義1.6合式公式(wff)(1)單個命題變項(xiàng)是合式公式，并稱為原子命題公式。(2)若A是合式公式，則(┐A)也是合式公式。(3)若A，B是合式公式，則(A∧B)，(A∨B)，(A→B)，(AB)也是合式公式。(4)只有有限次地應(yīng)用(1)～(3)形式的符號串才是合式公式。合式公式也稱為命題公式或命題形式，并簡稱為公式。設(shè)A為合式公式，B為A中一部分，若B也是合式公式，則稱B為A的子公式。合式公式：WellFormedFormula

第25頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一關(guān)于合式公式的說明定義1.6給出的合式公式的定義方式稱為歸納定義或遞歸定義方式。定義中引進(jìn)了A,B等符號，用它們表示任意的合式公式，而不是某個具體的公式，這與p,p∧q,(p∧q)→r等具體的公式是有所不同的。A,B等符號被稱作元語言符號。p,q等被稱作對象語言符號。所謂對象語言是指用來描述研究對象的語言，而元語言是指用來描述對象的語言，這兩種語言是不同層次的語言。例如中國人學(xué)習(xí)英語時，英語為對象語言，而用來學(xué)習(xí)英語的漢語則是元語言。第26頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一關(guān)于合式公式的說明(┐A)、(A∧B)等公式單獨(dú)出現(xiàn)時，外層括號可以省去，寫成┐A、A∧B等。公式中不影響運(yùn)算次序的括號可以省去，

如公式(p∨q)∨(┐r)可以寫成p∨q∨┐r。合式公式的例子：

(p→q)∧(qr)

(p∧q)∧┐r

p∧(q∧┐r)不是合式公式的例子

pq→r

(p→(r→q)第27頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一定義1.7公式層次(1)若公式A是單個的命題變項(xiàng)，則稱A為0層合式。(2)稱A是n+1(n≥0)層公式是指下面情況之一：

(a)A＝┐B，B是n層公式；

(b)A＝B∧C，其中B,C分別為i層和j層公式，且n=max(i,j)；

(c)A＝B∨C，其中B,C的層次及n同(b)；

(d)A＝B→C，其中B,C的層次及n同(b)；

(e)A＝BC，其中B,C的層次及n同(b)。(3)若公式A的層次為k，則稱A是k層公式。例如：(┐p∧q)→r，(┐(p→┐q))∧((r∨s)┐p)

分別為3層和4層公式第28頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一公式的解釋在命題公式中，由于有命題符號的出現(xiàn)，因而真值是不確定的。當(dāng)將公式中出現(xiàn)的全部命題符號都解釋成具體的命題之后，公式就成了真值確定的命題了。(p∨q)→r若p：2是素數(shù)，q：3是偶數(shù)，r：π是無理數(shù)，則p與r被解釋成真命題，q被解釋成假命題，此時公式(p∨q)→r被解釋成：若2是素數(shù)或3是偶數(shù)，則π是無理數(shù)。（真命題）r被解釋為：π是有理數(shù)，則(p∨q)→r被解釋成：若2是素數(shù)或3是偶數(shù)，則π是有理數(shù)。（假命題）將命題變項(xiàng)p解釋成真命題，相當(dāng)于指定p的真值為1，解釋成假命題，相當(dāng)于指定p的真值為0。

第29頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一定義1.8賦值或解釋設(shè)p1,p2,…,pn是出現(xiàn)在公式A中的全部命題變項(xiàng)，給p1,p2,…,pn各指定一個真值，稱為對A的一個賦值或解釋。若指定的一組值使A的真值為1，則稱這組值為A的成真賦值；若使A的真值為0，則稱這組值為A的成假賦值。對含n個命題變項(xiàng)的公式A的賦值情況做如下規(guī)定：

(1)若A中出現(xiàn)的命題符號為p1,p2,…,pn，給定A的賦值α1,α2,…,αn

是指p1＝α1，p2＝α2,…，pn＝αn。

(2)若A中出現(xiàn)的命題符號為p，q，r...,給定A的賦值α1,α2,…,αn是指p＝α1，q＝α2,…，最后一個字母賦值αn。上述αi取值為0或1，i＝1,2,…,n。

第30頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一賦值舉例在公式(┐p1∧┐p2∧┐p3)∨(p1∧p2)中，

000(p1＝0，p2＝0，p3＝0)，

110(p1＝1，p2＝1，p3＝0)都是成真賦值，

001(p1＝0，p2＝0，p3＝1)，

011(p1＝0，p2＝1，p3＝1)都是成假賦值。在(p∧┐q)→r中，

011(p1＝0，p2＝1，p3＝1)為成真賦值，

100(p1＝1，p2＝0，p3＝0)為成假賦值。重要結(jié)論：

含n(n≥1)個命題變項(xiàng)的公式共有2n個不同的賦值。

第31頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一定義1.9真值表將命題公式A在所有賦值下取值情況列成表，稱作A的真值表。構(gòu)造真值表的具體步驟如下：(1)找出公式中所含的全體命題變項(xiàng)p1,p2,…,pn(若無下角標(biāo)就按字典順序排列)，列出2n個賦值。本書規(guī)定，賦值從00…0開始，然后按二進(jìn)制加法依次寫出各賦值，直到11…1為止。(2)按從低到高的順序?qū)懗龉降母鱾€層次。(3)對應(yīng)各個賦值計算出各層次的真值，直到最后計算出公式的真值。

公式A與B具有相同的或不同的真值表，是指真值表的最后一列是否相同，而不考慮構(gòu)造真值表的中間過程。

說明第32頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一例1.8求下列公式的真值表，并求成真賦值和成假賦值。(1)(┐p∧q)→┐r(2)(p∧┐p)(q∧┐q)(3)┐(p→q)∧q∧r

第33頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一定義1.10重言式、永真式、可滿足式設(shè)A為任一命題公式(1)若A在它的各種賦值下取值均為真,則稱A是重言式(tautology)或永真式。(2)若A在它的各種賦值下取值均為假,則稱A是矛盾式(contradiction)或永假式。(3)若A不是矛盾式,則稱A是可滿足式（satisfactableformula）。第34頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一定義1.10的進(jìn)一步說明A是可滿足式的等價定義是：A至少存在一個成真賦值。重言式一定是可滿足式，但反之不真。因而，若公式A是可滿足式，且它至少存在一個成假賦值，則稱A為非重言式的可滿足式。真值表可用來判斷公式的類型:若真值表最后一列全為1，則公式為重言式。若真值表最后一列全為0，則公式為矛盾式。若真值表最后一列中至少有一個1，則公式為可滿足式。說明n個命題變項(xiàng)共產(chǎn)生2n個不同賦值含n個命題變項(xiàng)的公式的真值表只有種不同情況

第35頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一例題例題1.9

下列各公式均含兩個命題變項(xiàng)p與q，它們中哪些具有相同的真值表?

(1)p→q (4)(p→q)∧(q→p)

(2)pq (5)┐q∨p

(3)┐(p∧┐q)第36頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一啞元設(shè)公式A,B中共含有命題變項(xiàng)p1,p2,…,pn，，而A或B不全含有這些命題變項(xiàng)，比如A中不含pi,pi+1,…,pn,稱這些命題變項(xiàng)為A的啞元，A的取值與啞元的變化無關(guān)，因而在討論A與B是否有相等的真值表時，將A,B都看成p1,p2,…,pn的命題公式。第37頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一例題

例1.10

下列公式中,哪些具有相同的真值表?

(1)p→q

(2)┐q∨r

(3)(┐p∨q)∧((p∧r)→p)

(4)(q→r)∧(p→p)第38頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一主要內(nèi)容命題與真值（或真假值）。簡單命題與復(fù)合命題。聯(lián)結(jié)詞：┐，∧，∨，→，。命題公式（簡稱公式）。命題公式的層次和公式的賦值。真值表。公式的類型：重言式（永真式），矛盾式（永假式），可滿足式。

第39頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一學(xué)習(xí)要求在5種聯(lián)結(jié)詞中，要特別注意蘊(yùn)涵聯(lián)結(jié)的應(yīng)用，要弄清三個問題：p→q的邏輯關(guān)系p→q的真值p→q的靈活的敘述方法寫真值表要特別仔細(xì)認(rèn)真，否則會出錯誤。深刻理解各聯(lián)結(jié)詞的邏輯含義。熟練地將復(fù)合命題符號化。會用真值表求公式的成真賦值和成假賦值。第40頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一典型習(xí)題命題符號化求復(fù)合命題的真值與