寧波市2022學年第二學期高考模擬考試高三數學試卷說明：本試卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分。考試時間120分鐘，本次考試不得使用計算器，請考生將所有題目都做在答題卡上。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若集合，則（）A．B．C．D．2．設i為虛數單位，若復數z滿足，則z的虛部為（）A．B．C．1D．23．設隨機變量服從正態(tài)分布，的分布密度曲線如圖所示，若，則與分別為（）A．B．C．D．4．己知非零向量滿足，則（）A．B．C．D．5．我國古代數學名著《數書九章》中有“天池盆測雨”題，在下雨時，用一個圓臺形的天池盆接雨水，天池盆盆口直徑為36寸，盆底直徑為12寸，盆深18寸．若某次下雨盆中積水的深度恰好是盆深的一半，則平均降雨量是（注：平均降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積）（）A．寸B．2寸C．寸D．3寸6．已知函數的圖象關于直線對稱，且在上沒有最小值，則的值為（）A．2B．4C．6D．107．設橢圓的右焦點為，點在橢圓外，P，Q在橢圓上，且P是線段AQ的中點．若直線PQ，PF的斜率之積為，則橢圓的離心率為（）A．B．C．D．8．己知函數，則的零點個數為（）A．2023B．2025C．2027D．2029二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9．根據某地3月5日到3月15日的每天最高氣溫與最低氣溫數據（單位：）繪制如下折線圖，那么下列敘述正確的是（）A．5號到11號的最低氣溫與日期之間呈線性相關關系且為正相關B．9號的最高氣溫與最低氣溫的差值最大C．最高氣溫的眾數為D．5號到15號的最低氣溫的極差比最高氣溫的極差大10．己知函數與及其導函數與的定義域均為，是偶函數，的圖象關于點對稱，則（）A．B．C．D．11．已知平面于點O，A，B是平面上的兩個動點，且，則（）A．SA與SB所成的角可能為B．SA與OB所成的角可能為C．SO與平面SAB所成的角可能為D．平面SOB與平面SAB的夾角可能為12．三支不同的曲線交拋物線于點，F為拋物線的焦點，記的面積為，下列說法正確的是（）A．為定值B．C．若，則D．若，則三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若函數在區(qū)間上的最大值與最小值的差為2，則__________．14．寫出一個半徑為1，且與圓和圓均外切的圓的方程__________．15．任取一個正整數，若是奇數，就將該數乘3再加上1；若是偶數，就將該數除以2．反復進行上述兩種運算，經過有限次步驟后，必進入循環(huán)圈“1→4→2→1”．這就是數學史上著名的“冰雹猜想”（又稱“角谷猜想”等）．如取正整數，根據上述運算法則得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需經過8個步驟變成1（簡稱為8步“雹程”）．猜想的遞推關系如下：已知數列滿足（m為正整數），若，則m所有可能取值的集合為___________．16．正四面體ABCD的棱長為3，P在棱AB上，且滿足，記四面體ABCD的內切球為球，四面體PBCD的外接球為球，則_________．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（10分）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．（I）若，求；（Ⅱ）若的最大角為最小角的2倍，求a的值．18．（12分）盲盒，是指消費者不能提前得知具體產品款式的玩具盒子，具有隨機屬性．某品牌推出2款盲盒套餐，A款盲盒套餐包含4款不同單品，且必包含隱藏款X；B款盲盒套餐包含2款不同單品，有的可能性出現隱藏款X．為避免盲目購買與黃牛囤積，每人每天只能購買1件盲盒套餐．開售第二日，銷售門店對80名購買了套餐的消費者進行了問卷調查，得到如下列聯(lián)表：A款盲盒套餐B款盲盒套餐合計年齡低于30歲183048年齡不低于30歲221032合計404080（I）根據列聯(lián)表，判斷是否有的把握認為A，B款盲盒套餐的選擇與年齡有關；（Ⅱ）甲、乙、丙三人每人購買1件B款盲盒套餐，記隨機變量為其中隱藏款X的個數，求的分布列和數學期望；（Ⅲ）某消費者在開售首日與次日分別購買了A款盲盒套餐與B款盲盒套餐各1件，并將6件單品全部打亂放在一起，從中隨機抽取1件打開后發(fā)現為隱藏款X，求該隱藏款來自于B款盲盒套餐的概率．附：，其中，P（）0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.6350.82819．（12分）如圖，在四棱錐中，平面平面ABCD，平面平面ABCD．（I）求證：平面ABCD；（Ⅱ）設，，，平面PBC與平面PCD的夾角的余弦值為，求BC的長．20．（12分）己知等比數列的前n項和滿足．（I）求首項的值及的通項公式；（Ⅱ）設，求滿足的最大正整數n的值．21．（12分）已知雙曲線，點與雙曲線上的點的距離的最小值為．（I）求雙曲線E的方程；（Ⅱ）直線與圓相切，且交雙曲線E的左、右支于A，B兩點，交漸近線于點M，N．記，的面積分別為，當時，求直線l的方．22．（12分）已知函數．（I）討論函數的單調性：（Ⅱ）若是方程的兩不等實根，求證：（i）；（ii）．參考答案一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．B2．D3．C4．D5．C6．A7．B8．C二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9．AC10．ABC11．AC12．AD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．214．或（填一個即可）15．16．四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（I）當時，，在中，由余弦定理，得，2分所以．4分（Ⅱ）由已知，最大角為角A，最小角為角C，即，由正弦定理得，即，6分又，所以，8分將，代入上式得，9分解得．10分18．（I）零假設為：：A，B款盲盒套餐的選擇與年齡之間無關聯(lián)．根據列聯(lián)表中的數據，經計算得，根據小概率值的獨立性檢驗，推斷不成立，即有的把握認為A，B款盲盒套餐的選擇與年齡有關．4分（Ⅱ）的所有可能取值為0，1，2，3，，所以的分布列為：0123P（或）．8分（Ⅲ）設事件A：隨機抽取1件打開后發(fā)現為隱藏款X，設事件：隨機抽取的1件單品來自于A款盲盒套餐，設事件：隨機抽取的1件單品來自于B款盲盒套餐，，故由條件概率公式可得．10分19．（I）如圖，在平面ABCD中取一點E，并過點E作直線，因為平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD，所以平面PAD，因為平面PAD，所以；同理，過點E作直線，因為平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD，所以平面PAB，因為平面PAB，所以；因為，平面ABCD，所以平面ABCD．5分（Ⅱ）由（I）及，如圖，以A為原點，AD，AB，AP方向分別為x軸，y軸，z軸正向，建立空間直角坐標系，設，則，所以，7分設平面PBC的法向量為，由得，設平面PCD的法向量為，由得，10分由題知，即，解得，所以BC的長為．12分20．（I）解法1：當時，，則，即，因為數列是等比數列，所以公比為2，2分當時，，即，所以，且滿足題意，4分所以的通項公式為．5分解法2：由題知，，即，由①代入②，得，解得或．（舍去），所以的通項公式為．5分（Ⅱ）由（I）得，所以，所以，8分由得，即，令，則，所以在時單調遞增，且，10分而，所以滿足條件的最大正整數．12分21．（I）設是雙曲線上的任意一點，則，2分所以當時，的最小值為，所以，得，所以雙曲線E的方程為．4分（Ⅱ）由直線與圓相切得，由直線交雙曲線的左、右支于A，B兩點，設，得，可得6分（注：解得扣1分），點到AB的距離，故，8分設，聯(lián)立方程組，，點O到MN的距離，故，10分當時，，整理得，即（舍去），所以，所以直線方程為．12分22．（I），當時，在上單調遞增；2分當時，由得，由得，所以在上單調遞增，在上單調遞減．4分（Ⅱ）因為是方程的兩不等實根，即是方程的兩不等實根，令，則，即是方程的兩不等實根，令，則，所以在上遞增，在上遞減，，當時，，當時，且，所以，即，令．（i）要證，只需證，解法1：記，則，令，則，所以在上遞增，，所以，所以，所以，所以，即，所以得證．