本文格式為Word版，下載可任意編輯——線性代數公式總結線性代數

①A?B?B?A

②?A?B??C?A??B?C?

③c?A?B??cA?cB?c?d?A?cA?dA④c?dA???cd?A

⑤cA?0?c?0或A?0。AT??T?A

T?A?B??AT?BT

?cA?TT?cAT。

???AB??BTAT

??n?n?1??21??Cn2?n?n?1?2D?a21A21?a22A22???a2nA2n

T轉置值不變A?A

逆值變A?1?1AcA?cnA

?,?1??2,???,?1,???,?2,?

A???1,?2,?3?，3階矩陣B???1,?2,?3?A?B?A?B

A?B???1??1,?2??2,?3??3?

A?B??1??1,?2??2,?3??3A?A0??AB0B?BE?i,j?c???1

有關乘法的基本運算

Cij?ai1b1j?ai2b2j???ainbnj線性性質?A1?A2?B?A1B?A2B，A?B1?B2??AB1?AB2?cA?B?c?AB??A?cB?結合律?AB?C?A?BC??AB??BTAT

TAB?AB

AA?AAkklk?l

??l?Akl

k?AB??AkBk不一定成立！

AE?A，EA?A

A?kE??kA，?kE?A?kA

AB?E?BA?E

與數的乘法的不同之處:?AB??AkBk不一定成立！

k無交換律因式分解障礙是交換性一個矩陣A的每個多項式可以因式分解，例如A?2A?3E??A?3E??A?E?

2無消去律（矩陣和矩陣相乘）當AB?0時??A?0或B?0由A?0和AB?0??B?0

由A?0時AB?AC??B?C（無左消去律）特別的設A可逆，則A有消去律。

左消去律：AB?AC?B?C。

右消去律：BA?CA?B?C。假使A列滿秩，則A有左消去律，即

①AB?0?B?0

②AB?AC?B?C可逆矩陣的性質

i）當A可逆時，A也可逆，且ATT???1?A?1。?A?1。

?1??TA也可逆，且Akk???1??k數c?0，cA也可逆，?cA??1?1A。c?1ii）A，B是兩個n階可逆矩陣?AB也可逆，且?AB??B?1A?1。

推論：設A，B是兩個n階矩陣，則AB?E?BA?E命題：初等矩陣都可逆，且?E?i,j???1?E?i,j???1???E??i?c???

?????E?i?c????1?E?i,j?c????1?E?i,j??c??

命題：準對角矩陣

A11A?000000A2200?000?1可逆?每個Aii都可逆，記A?00Akk0?1A1100?1A22000000?0?10Akk

伴隨矩陣的基本性質：AA*?A*A?AE當A可逆時，AA*A*?E得A?1?，（求逆矩陣的伴隨矩陣法）AA??1?A*?A?1A?1??且得：?A*??1?A?A?1?A??n?1?????1?A??A??伴隨矩陣的其他性質

①A*?A,A*?AA

?1②AT*??A*?,

T??③?cA?*?cn?1A*,④?AB?*?B*A*,

⑤Ak*??A*?，

k??⑥?A*?*?An?2?a?b?A。n?2時，?A*?*?AA*????cd??

??關于矩陣右上肩記號：T，k，?1，*

i)任何兩個的次序可交換，如AT*??A*?，

T???1T?A*???A?1?*等

?1ii)?AB??BTAT,?AB??AB?*?B*A*

?B?1A?1，

但?AB??BkAk不一定成立！k線性表示

0??1,?2,?,?s

?i??1,?2,?,?s

???1,?2,?,?s?x1?1?x2?2???xs?s??有解

???1,?2,?,?s?x??有解x??x1,?,xs?Ax??有解，即?可用A的列向量組表示AB?C??r1,r2,?,rs?，A???1,?2,?,?n?，則r1,r2,?,rs??1,?2,?,?n。

?T?

?1,?2,?,?t??1,?2,?,?s，

則存在矩陣C，使得??1,?2,?,?t????1,?2,?,?s?C

線性表示關系有傳遞性當?1,?2,?,?t??1,?2,?,?s?r1,r2,?,rp，

則?1,?2,?,?t?r1,r2,?,rp。等價關系：假使

?1,?2,?,?s與?1,?2,?,?t相互可表示

?1,?2,?,?s???1,?2,?,?t記作?1,?2,?,?s??1,?2,?,?t。

線性相關

s?1，單個向量?，x??0

?相關???0

?1,?2相關?a1:b1?a2:b2???an:bn

s?2，?1,?2相關?對應分量成比例

①向量個數s=維數n，則?1,?,?n線性相（無）關??1??n????0A???1,?2,?,?n?，Ax?0有非零解?A?0

假使s?n，則?1,?2,?,?s一定相關

Ax?0的方程個數n?未知數個數s②假使?1,?2,?,?s無關，則它的每一個部分組都無關

③假使?1,?2,?,?s無關，而?1,?2,?,?s,?相關，則???1,?2,?,?s

④當???1,?,?s時，表示方式唯一??1??s無關

（表示方式不唯一??1??s相關）

⑤若?1,?,?t??1,?,?s，并且t?s，則?1,?,?t一定線性相關。各性質的逆否形式

①假使?1,?2,?,?s無關，則s?n。

②假使?1,?2,?,?s有相關的部分組，則它自己一定也相關。

③假使?1??s無關，而????1,?,?s，則?1,?,?s?無關。

⑤假使?1??t??1??s，?1??t無關，則t?s。

推論：若兩個無關向量組?1??s與?1??t等價，則s?t。極大無關組

一個線性無關部分組?I?，若#?I?等于秩?1,?2,?4,?6??I?，?I?就一定是極大無關組①?1,?2,?,?s無關????1,?2,?,?s??s

②???1,?2,?,?s????1,?2,?,?s,??????1,?,?s?另一種說法：取?1,?2,?,?s的一個極大無關組?I?

?I?也是?1,?2,?,?s,?的極大無關組??I?,?相關。矩陣的秩的簡單性質0?r?A??mi?nm,n?r?A??0?A?0A行滿秩：r?A??mA列滿秩：r?A??nn階矩陣A滿秩：r?A??n

A滿秩?A的行（列）向量組線性無關?A?0?A可逆

?Ax?0只有零解，Ax??唯一解。矩陣在運算中秩的變化

初等變換保持矩陣的秩①rA???r?A?

T②c?0時，r?cA??r?A?③r?A?B??r?A??r?B?

④r?AB??min?r?A?,r?B??

⑤A可逆時，r?AB??r?B?

弱化條件：假使A列滿秩，則??AB????B?

⑥若AB?0，則r?A??r?B??n（A的列數，B的行數）⑦A列滿秩時r?AB??r?B?B行滿秩時r?AB??r?A?

⑧r?AB??n?r?A??r?B?解的性質

1．Ax?0的解的性質。假使

?1,?2,?,?e是一組解，則它們的任意線性組合

c1?1?c2?2???ce?e一定也是解。

?i,A?i?0?A?c1?1?c2?2???ce?e??02．Ax?????0?

①假使?1,?2,?,?e是Ax??的一組解，則

c1?1?c2?2???ce?e也是Ax??的解?c1?c2???ce?1c1?1?c2?2???ce?e是Ax?0的解?c1?c2???ce?0

A?i????i

A?c1?1?c2?2???ce?e??c1A?1?c2A?2???ceA?e??c1?c2???ce??

特別的：當?1,?2是Ax??的兩個解時，?1??2是Ax?0的解②假使?0是Ax??的解，則n維向量?也是Ax??的解??解的狀況判別

方程：Ax??，即x1?1?x2?2???xn?n??有解????1,?2,?,?n

??0是Ax?0的解。

???A|?????A?????1,?2,?,?n,??????1,?2,?,?n?

無解???A|?????A?唯一解???A|?????A??n

無窮多解???A|?????A??n方程個數m：

??A|???m,??A??m

①當??A??m時，??A|???m，有解

②當m?n時，??A??n，不會是唯一解對于齊次線性方程組Ax?0，

只有零解???A??n（即A列滿秩）（有非零解???A??n）特征值特征向量

?是A的特征值??是A的特征多項式xE?A的根。

兩種特別情形：

（1）A是上（下）三角矩陣，對角矩陣時，特征值即對角線上的元素。

??1?A??0?0?xE?A?*?20*?????3???*x??20?*????x??1??x??2??x??3?x??3x??100（2）r?A??1時：A的特征值為0,0,?,0,tr?A?特征值的性質

命題：n階矩陣A的特征值?的重數?n?r??E?A?命題：設A的特征值為?1,?2,?,?n，則①?1?2??n?A②?1??2????n?tr?A?命題：設?是A的特征向量，特征值為?，即A????，則①對于A的每個多項式f?A?，f?A???f?x??

②當A可逆時，A???11??，A*??|A|??

命題：設A的特征值為?1,?2,?,?n，則

①f?A?的特征值為f??1?,f??2?,?,f??n?②A可逆時，A的特征值為

?1111,,?,?1?2?nA*的特征值為

|A||A||A|,,?,?1?2?n③A的特征值也是?1,?2,?,?n特征值的應用

①求行列式|A|??1,?2,?,?n②判別可逆性?是A的特征值?T?E?A?0?A??E不可逆A??E可逆??不是A的特征值。

當f?A??0時，假使f?c??0，則A?cE可逆

若?是A的特征值，則f???是f?A?的特征值?f????0。f?c??0?c不是A的特征值?AcE可逆。n階矩陣的相像關系

當AU?UA時，B?A，而AU?UA時，B?A。相像關系有i）對稱性：A~B?B~AU?1AU?B，則A?UBU?1

ii）有傳遞性：A~B，B~C，則A~CU?1AU?B，V?1BV?C，則

?1?UV?A?UV??V?1U?1AUV