第二節運動學運動學只研究運動的幾何性質，包括物體在空間的位置隨時間變化的規律、物體的運動軌跡、速度和加速度等，而不涉及運動與作用力、質量等之間的關系。在研究某一物體運動時，必須選擇一個參考體。在參考體上固結的坐標系稱為參考坐標系或參考系。在大多數工程實際中，一般將固結于地球上的坐標系作為參考系。以后，如不加特別說明，就以此作為描述物體運動的參考系。由于在運動學中不涉及到物體的質量，所以根據研究問題的性質將物體簡化為點和剛體兩種模型。所謂點是指不計大小和質量的幾何點。而剛體是由無數個點組成的不變形的物體。一、點的運動點的運動是研究點相對于某一選定參考系的運動規律，包括點的運動方程、軌跡、速度和加速度等。描述點的運動有矢量法、直角坐標法和自然法等。矢量法常用于理論推導，具體計算時一般采用直角坐標法和自然法。通常。點的運動軌跡已知時，采用自然法；點的運動軌跡未知時，采用直角坐標法。（一）點的運動的矢量法設動點M在空間作曲線運動，任選某固定點O為參考點(圖4—2—1)，由定點O向動點M引一矢徑r，則動點的運動方程、速度和加速度為（二）點的運動的直角坐標法過定點O建立一直角坐標系Oxyz。設動點M在瞬時t的坐標為x、y、z，其矢徑為r(圖4—2—1)，則以直角坐標表示的動點的運動方程、速度和加速度如表4—2—1所示。表中的運動方程實際上就是以t為參數的軌跡參數方程。如果從這些方程中消去t，則動點的軌跡方程可用下列兩式表示，即此兩方程分別表示兩個柱形曲面，它們的交線就是動點的軌跡。若點作平面曲線運動時，取其軌跡所在平面為Oxy，則恒有z=0；相應地，若點作直線運動時，取其軌跡為x軸，則恒有y=z=0。因此表4—2—1所列公式完全適用于這兩種點的運動。 （三）點的運動的自然法蝶在動點運動的繩軌跡上任取一愿定般點表O靈’眠作為原點，并傲規定量取弧資長圍s達的正方俊向派(叫圖辭4恢—比2唯—薄1菠)匹，將此弧長的接代數值稱為弧坡坐標。同時在仔動達點另M獸處引入自然軸辨系，這樣，以和自然法表示的塞動點的運動方糖程、速度和加寶速度如訊表渡4瞎—半2帳—及2余所示。躲表郵4嶄—鎮2駁—嫂2鴨中公式表明，敞動點的速度方栽向是沿著動點胸軌跡的切線方趙向。動若謹d塑s數／浸dt>閱0梅，則速度指向縱切線的正向；侄反之，速度指軋向切線的負向惰。動點的加速話度獻a朗處于匙τ貴和失n宮組成的密切面約內。其中，法粉向加速頸度歲a紋n祥表明速度方向已隨時間的變化專率，其方向沿拐著動點的主法識線，且指向軌故跡曲線的曲率岔中心。切向加姓速同度叔a孕τ尤表明速度的大貪小隨時間的變帳化率，其方向獵沿著動點在軌蠶跡上的切線方旬向。貿若揪d括v所／嬌dt>位0康，床則錢a遲τ雹指向墳τ笨的正向；辯若勇d嗎v溝／吸dt<艦0抖，則指向集τ壽的負向。葉當堡a標τ狗與排v頓同號時，動點翠作加速曲線運紗動；反之為減葛速曲線運動。及（四）勻速和良勻變速曲線運去動光塑速度賢v=駁常量的曲線運膏動，稱為勻速告曲線運動；切釣向加速度捷a惹τ站=藝常量的曲線運懂動，稱為勻變碗速曲線運動。忙謊設殼t=0動時，動點的初釘速度和初弧坐貍標分別為難vo善和即so葉，則口s蔬、雜v回、野a飽τ胳、卸an悼和脊t子等各運動量之攏間的關系式如車表沿4煮—扣2物—預3哨所示。棕當動點沿駁f爬軸作勻速直線坦運動或勻變速權直線運動時，凍表州4酒—雷2旋—三3握所示的關系式屢仍可適用，只傅需在這些式中壟分別用詠a績、匯xo宴、沈x同代替年a言τ苗、瑞s0夢、位s宵。顯然，對直矛線運動而言，場動點的曲率半礦徑閑ρ累＝無窮大，故睜恒有睜an垮＝估0票。屆（五）點的運掏動學問題的常管見類型霸1煉．已知點的運梨動方程求點的訴速度、加速度否和軌跡等。這唉類問題的關鍵坑是如何正確建物立點的運動方毅程。為此，首霉先要選擇適當灑的坐標系，并泰把動點置于一蹈般位置。為了昨避免符號上的殘差錯，一般將體動點放在直角賄坐標的第一象忘限或弧坐標的精正向。其次，蓬根據約束的幾微何條件瓜(煌包括不變的繩演長、機構裝配只的幾何關系等瓜)旗，并運用幾何嘴學的知識建立主動點的運動方果程。最后，對奔動點的運動方凝程作求導運算賊，即可得點的傍速度、加速度妻，并利用有關渣公式可解得曲今率半徑和其他銳未知量。畢2惕．已知動點的撲加速度求動點煤的速度和運動折方程等。這類咱問題的基本運金算方法是積分從，其積分常數羊由運動的初始吧條件繼(趁即采t=t0漲時，動點的位晶置和速度來)魔確定。是為便于進行定回積分運算，有瘋時要適當地進賠行變量置換。塊即把確a秒用適當的導數志形式來表示，拿使微分方程僅劃包含兩個變量俯，并可分別分腹離在微分方程乎等式的兩邊，刮逐次積分，即把可得動點的速確度和運動方程搖。現以動點沿茂I宿軸的直線運動痕為例，將加速脅度方程的變量狗分離方法列于按表片4港—睬2知—雁4羽中。管由表止4蹲—近2輪—防4舟可知，將速度朽寫成份=dx/dt籮，并代人速度令方程，再積分外一次就可得到擺相應的運動方丟程是x=f(t)懼。乘3按．各種描述方口法相結合的綜鞏合問題。對于奴這類問題，要傳求能靈活而熟估練地運用各種抬描述方法所給裳出的關系式。攀如已知直角坐傭標法描述的點映的運動方程阿(想包括軌跡方程柱)蘆，求點沿軌跡呢的運動方程、悲切向加速度、肅法向加速度和盒曲率半徑顏p麥等。現以點的層平面曲線運動械為例，圖示這蛋一問題的求解貴途徑曬(低圖效4裳－診2施—歷2)煩。圖中虛、實蓮線分別圖示了識某些物理量的辨兩種求解方法餅。檔在實際問題中胳，點的運動學圣問題的類型頗株多，讀者應根縣據具體情況靈躍活應用上述各耍表所示的各種拿關系式進行解固算。鳳(繡六夾)品例題腿[景例廣4駱—陸2伶—姻l]奮活塞桿袋AC愧以勻速惕v朱向上運動，通御過長為五l間的連桿休AB障帶動滑塊勤B珠沿水平直槽運捏動，試求拾θ撥=30o裁時，滑塊味B奮的速度。捷[妄解點]蕩為使動點列B桶置于坐標系的塞第一象限內，蒙選固定點派O據為原點，建立照坐標系已Oxy粘如圖混4核—貼2艙—剝3恥所示。根據圖負示幾何關系，李有釣將上式對時間練求一階導數，屈得廢因扶t玻g鏡θ雨=y/x,棵,慚則宜θ橋=30o夸時滑塊礙B敞的速度棄戚負號表示弱vB棄的方向沿著湯x穗軸的負向。哪景朵[橫例患4劍—遞2犯—銅2]洞鉛直導桿以勻極速驟vo撥向心運動，并士帶動銷子肯M頸沿著拋物線蜂x=y2擾／渠3稍的槽運動，其扶中筍x語，訊y行以泰m酒計。試求罰y=并2m回處銷于跳M列在該位置的切葉向加速度。絨沿趴[甘解雪]業以銷子麗M銜為動點，由題帶意知，輕，又因動點的程加速度壓a滲必須指向軌跡漫曲線的內凹一赤邊，故可判定搞a蟲的方向是沿著游y叨軸并指向朝下持。顯然若圖示碼a=福a代τ暴+an桶的矢量關系者(聞圖綱4欺—流2閘—花4b)呼，就可通過跌a娘來解出檔a填τ瘦，為此，先將浙動點排M剖的軌跡方程對怎t良求一階導數，廁并代人育，經整理得確上式再對畏t遞求一階導數，資并代人旗y=攝2m聽，可得動點睛M虜在該處的加速鹿度為硬負號表明傲a致指向與歡y吃軸正向相反。周此結果與以上針分析是一致的擠。蝦根據動點頌M臭的軌跡方程，指可求得右y=方2m級處，竭τ宜與蒼x丹軸正向間的夾族角制α躁為嗽則由圖評4核—壩2嘆—缺4b歐所示的幾何關掉系，得指向如圖示。逝予當然，亦可由找a敗τ奇=dv/dt狂關系求解，請沒讀者自行思考熱。響二、剛體的基止本運動埋懂件剛體的基本運攜動包括剛體的約平行移撈動錘(烤簡稱移動或平表動南)掃和定軸轉動，教它主要研究剛釋體的運動規律化和剛體的運動螞與其體上各點冶運動之間的關簽系。惱（一）斤剛體的平動長在剛體運動過思程中，其上任劣一直線始終與偏它原來的位置勾保持平行，稱愁這種運動為剛蔥體的平動，如革果體內各點的雅軌跡是直線，東則稱為直線平香動；如果體內勞各點的軌跡是舍曲線，則稱為臺曲線平動。烘剛體作平動時肝，體內各點的騎軌跡形狀相同僵，在每一瞬時舞，各點具有相養同的速度和加資速度。因此，灌整個剛體的運態動，完全可由族體內任一點的僻運動來確定。史（二）川剛體的定軸轉仁動膏剛體運動時，燕體傲內糾(呈或其延展部總分單)律有一直線始終斃保持不動，稱炒這種運動為剛堅體的定軸轉動障。保持不動的版那條直線稱為別轉軸或轉動軸炎。暫表潤4市—酷2貝—也5站列底出關了轉動剛體的衫運動學公式。汪表中，角低φ駐稱為剛體的轉柴角，單位刮為客rad僑(伸弧中度所)泄。轉角靠φ征和角速度獎ω深均是一個代數室量，可根據右襖手法則確定其口正負省號物(撒圖檢4咱—琴2肅—修6a唯)限。角速度刮ω局的大小表示了裕轉動的快慢，罵其正負號表明疾了剛體轉動的當轉向。角速度娘的單位典為得rad/s習(剛弧度／脅秒頓)賀。工程上常用號轉想速托n拴來表示轉動快場慢，其單位旦為漲rp雪m詠或釣r植／內min強(稿轉／俯分丟)筆。角速度與轉疤速的關系為眾角加速度燕ε里也是代數量，瀉其正向與轉角投φ茂的正向一致。然代數量的正負機號表示了舟ε鳳的轉向。顯然記，當余ε歪與滅ω捧同號時，剛體塔作加速轉動；優當積ε決與冒ω早異號時，剛體酸作減速轉動。芹角加速度的單敵位股為舍ra忠d天／脆s2季(勞弧蘋度隊/美秒遲2凈)虛。坊應當指出，角晴速度和角加速幻度可以用沿著劫轉軸的一個滑偷動矢量來表示歉，角速度芒矢遞ω別和角加速度矢托ε聲的指向，可根般據它們代數量吃的正負號按右燭手法則確烘定露(分圖熔4惕—曲2亮—扶6a賤)哈。任（三）歷轉動剛體上各收點的速度和加俗速紅度慶研轉動剛體與其區體上任一淹點己M廣的運動學關系甩如薪表糟4容—慚2每—垂6磨所示。籃表中，弊α皮為加速度姻矢棄a存與轉動半絞徑跟O騰M棄之間的夾剝角富(飛圖蓋4嗚—凳2喪—糟6b萍)該。由表中各式慧可知，在每一吧瞬時，轉動純剛體內任一點閑的速度和加速鹽度的大小都與歸轉動半晨徑殿R憲成正比，且各福點的加速度與威轉動半徑成相俱同的夾角。多（四）蚊剛體基本運動階的問題類型時1銷．研究平動剛上體的運動規律巴。因平動剛體檢的運動學問題唇可歸結為點的櫻運動學問題來復研究，故一般較取傳遞運動的容接觸點或連接條點作為分析對續象。次應當注意，剛蔬體作曲線平動躬時，各點有各勺自的曲率中心大和自然軸系，堪這一點在圖示本平動剛體各點屠的運動元素時壁，要多加注意訴。踐2趕．研究轉動剛賣體及其體上一襪點的運動規律門。議(1暫)菌求謊ω落和屈ε孔或轉動剛體上館某一點懇的前v都和年a算。這類問題，別若已知轉動方嚼程，則可通作過惡劫辯求導得到相應忙的融ω竹和斤ε跑，從而求出剛層體上某點惰的拐v可和簽a殼；或已知轉動默剛體上某點的吩運動方程，用扔上述類似方法呆可求得體上其燙他點序的打v芳和度a奧及剛體深的飲ω脅和兆ε子。擾(2今)告求轉動方程或訓剛體上一點的祖運動方程。這丑類問題一般可煤通過對已知的么ε先方程或險體挪預模上一點押的沫a判方程，進行積鋤分運算得以解烤決。但尚須已牢知運動的初始富條件，綁即阿t=楊0地時，轉角搶φ保。和角速麻度天ω轎。或弧坐權標蝴s贈。和初速版度翠v緒。（五）例題揮[齒例守4析—串2灑—圍3]常瘋圖示機構由匯桿釋O喬1A拋、彩02撇B拋和矩形援板棗ABC惜D志組成。已項知鹽OlA=02驢B=狠r脖，對Ol02=A今B=DC=2拖r作，共AD=BC=多d錘，能桿元O仁1A極以紡ε白=2tra興d睛／司s霉2娛的角加速度耳繞真O贊l淺軸轉動，其迷中救t廳以撓s眼計，長度逃以簽m寫計。鑰設桃t=泉0姐時，玻，求當卷φ國=90浪0設時，矩形板頂勞點炊D協和上邊緣中艦點吼E鉗的速度、加速噸度。斥[拐解隙]老首先求傻桿餃Ol匯A筒的角速度節ω員。因沉桿品O依1A趨作變速轉動環，剃t=般0運時由，故有既得：柔由此可知，當鈴φ術轉過隊π疤/2ra鋪d責時，經歷的時拘間應為抵該瞬時兔桿雷Ol將A軋的角速度熟其次計算局點違D啄和柿E素的速度、加速蘿度。因矩形板療作曲線平動，在其體上各點都太有各自樂的已單泡曲率中心，在典同一瞬時，各宇點的曲率半徑宗是相互平行的完，如寄圖嫁4裹—曠2派—蕩7查所示等的圾D門和國E鞏點的運動軌跡篇，故有方向如圖示。梁幕肅方向如圖示。燃三、點的合成摸運動諷點的合成運動葵這部分內容，雞主要是應用運秩動的合成與分歇解的概念，研節究同一動點相暫對于兩個不同資參考系的運動榆之間的關系。中從而建立了點蠢的速度合成定歇理和加速度合伏成定理。憑（一）殘靜讓系做·刮動系狹固結于某一參這考體上的坐標杏系縣Oxy慣z賢稱為靜坐標系壘，簡稱靜系。勢通常如不加說北明，則以固結驟于地球表面上端的坐標系作為花靜系。占固結于相對靜法系運動的參考幻體上的坐標否系柄O朱’牧x瀉’罰y車’奏z項’丈稱為動坐標系公，簡稱動系。炭（二）踏三種運墓動桃·窩三種速蝕度理·估三種加速度枕動點相對于靜隱系的運動稱為棗絕對運動。在陸絕對運動中的班軌跡、速度和敗加速度稱為動暫點的相對軌跡勇、相對速度和劑相對加速度，遼并以排v赴a費和電a翼a釀分別表示此速親度和加速度。蕉動系相對靜系墊的運動稱為牽音連運動。在某峽一瞬時，動系艷上與動點相重姻合的一點稱為居動點在此瞬時燭的牽連點。牽炕連點的速度和辰加速度稱為動娘點在該瞬時的尿牽連速度和牽足連加速度，并屑分別膜以桶v煮r坊和外a票r材表示之。位上述三種運動鵲的關系如任圖虜4侵—屠2槍—影8貿所示。即動點仆的絕對運動可刪視為相對運動捷與牽連運動的孔合成運動。反仆之，動點的絕接對運動也可分懂解為牽連運動精和相對運動。雙（三）坊點的速度合成懼定理紐可以證明，動艇點的三種速街度虧v稍a牧，纏v警e跨，山v貞r阿之間有如下關沸系式：銅v產a怖=v獵e詞+v魚r獨即動點的絕對杠速度等于它的辟牽連速度和相揉對速度的矢量打和，這就是點舟的速度合成定繼理。根據此定痛理可逢知恰v受a尿，鹿v改e副，低v診r粱構成一速度平嘩行四邊形，其槍對角線為絕對奮速鹿度腦v浪a尸。弄由于每個速度手矢量包含大小號和方向二個量指，因此上式總細共含有六個量憶，當已知其中遼任意四個量時括，便可求出其亭余兩個未知量灰。它應當指出，由敵于存在相對運仔動，所以不同變瞬時，動系上展與動點相重合喊的那一點即牽振連點，在動系辜上的位置也隨淚之而變化的。輔（四）點的加加速度合成定理義動點的加速度庸合成與牽連運慎動的性質有關袍，當牽連運動摸為平動或轉動饅時，動點的加音速度合成定理央如下：盯牽連運動為平料動：手a艇a遠=a聲e育+a惕r時牽連運動為轉雅動：幻a婚a邀=a斥e副+a均r崗+a曾k炮式昏中作a饒k壤稱為科氏加速勾度。它是由于程牽連運動與相幼對運動相互影蜓響而產生的仿。器a攪k山的矢量表達式車為涌a顏k備=2去ω嶄×vr塌其剃中叛然ω傳為動系的角速怪度矢。設棄ω櫻與歸v陵r旱間的夾角為脫θ鄙喚(乎圖題4始—朋2咱—禁9飲)刮，忌則昆a瑞k逗的大小奇為舍妖ak=2回ω憲vrsin改θ弱a衫k乓的指向由挺ω償與欣v抽r芒的矢積確定。兵選叫對于平面機構扎，降因灶a于a腔、趕a艱e簽、符a漿r改和電a蘋k押等各加速度矢器都位于同一平哀面中，所以運擱用加速度合成曾定理只能求解藝大小或方向共細兩個未知量。裹由鳥于距a像a您或闊a擦e涌或廚a舟r驕都可能存在切撈向與法向兩個襪加速度分量，抬因此在求解中每，常應用合矢美量投影定理進最行具體計算。綁（五）應用速瓶度或加速度合正成定理解題的嶺一般步驟和方摩法粥1平．分析機構的序運動情況，根喚據題意適當地偷選取動點、動丈系和靜系。它怪們的選取方法芬，一般可從兩粱個方面來考慮草：其一，動系籮相對靜系有運返動，動點相對株動系也有運動嚷；其二，除題滴意特別指明動費系或動點外，況盡可能使選取滔的動點對動系哥有明顯而簡單厭的相對運動軌夕跡。在一般機雁構中，通常可庫選取傳遞運動秧的接觸點為動連點，與其鄰接樣的剛體為動系抵。嘆2跪．分析絕對運口動、相對運動主和牽連運動。兩絕對運動和相型對運動都是指衫動點的運動。匆在相對運動的毒分析中，可設井想觀察者站在雙動系上，觀察便到的動點運動乞即為它的相對騎運動。而牽連取運動是指動系薦的運動，也就泡是固結著動系碑的剛體相對靜提系的絕對運動賽。艇3冬．根據題意，撇分析動點的各潤種速度或加速劉度，并圖示速犧度或加速度矢餃量圖。動點厲的壟v丟a杏、黃a孤a胸和蘿v值r摘、燦a便r裝一般可以根據惹其絕對運動和屯相對運動進行蛋分析。而在分贏析淺v桌e倒和博a膨e剩時，關鍵在于銷明確該瞬時牽門連點的位置，群然后根據動系級運動性質分析生牽連點的速度燥和加速度，亦莊即動點的牽連坑速善度選v銜e販和牽連加速左度騾a纖e范；或可以認為脊動點暫不作相碌對運動，而把揀它固結在動系早上，則動點隨誠動系運動的速血度和加速度即聚為長v覆e靜和失ae魄另外，在動點什的各加速度分員量中，當牽連晝運動為平動時全，不含有科氏鈴加速呼度濫a夸k硬。栗4什．根據速度和汗加速度合成定攻理求解。歸(1惕)視運乞用告a群e砌=v澇e棒+v壩r朝，求解未知量柿時，一般可應即用半圖解法，繪即作出速度平紗行四邊形，然客后根據圖示的爆幾何關系求得塑待求量。初(2位)早應用加速度合患成定理時，首絲先要區分牽連弊運動是平動還千是轉動，然后巖列出相應的矢喝量式，非即妻a高a透=a倘e炭+a妨r額，衛或綿a膚a徑=a至e巷+a附r穩+a桌k菌，因在最一般燥情況下，加速技度合成定理可悅寫為座詳休所以，通常應堆用合矢量投影替定理進行具體榮計算。不過，享應當防止類似且于伍∑尼ax=大0俱或放“紀已知矢量投曉影普=逆未知矢量投成影莊”射等這類錯誤出旱現。（六）例題鍬[屬例炊4-顆2貫—倒4]糕談曲注柄揉O寒A嫂長害為裙r穗，以勻角速度不ω果繞鴉軸稱O閑逆時針向轉動競，從而通過曲來柄雨的子A壩端推動滑性桿簡BC貴沿鉛直方向上政升，如罩圖格4綠—軌2疏—池1件0貢所示。求當蟻θ搜=60激0騙時，滑幕桿豬B炎C棵的速度和加速京度。黨[避解賣]取現取保O稱A評上凝的希A順點為動點，滑擱桿省B稅C鍛為動系。動牢點江A奮的絕對運動是負圓周運動；相宇對運動是水平擴直線運動；牽陳連運動是滑物桿盞B赤C看的平動。動雙點趨A齊的速度和加速扭度矢量圖如洋圖掩4盯—簡2雹—狼1蜜0紐所示。引由略圖燭4耳—蓮2展—址1景0再所示的速度和吹加速度平行四怕邊形，得滑茫桿愿B銅C厲的速諒度幫v忍和加速妨度惑a豎的大小為方向如圖示。凈晴逼本題若取滑桿井上舟的農A桂1話點為動點調，善O異A云桿為動系。逗則昆A屆1肉點的相對軌跡糧顯然不是一條謎水平直線。我銹們可以這樣思醋考，設腐桿割O繪A露不轉動，深僅嘆B曉C似桿運動，民則洪A教1型點相對族桿禍O腫A廢作鉛垂直線運崗動；反之，若饑扦帆B樓C鎮不動，攤僅五O佩A室桿轉動，賠則稅A尖1孤要相對感桿守O班A淘作順時針向的因圓周運動。實愿際上，棚桿講O手A考與規B憶C宣同時在運動，迎故械A買l族點相對童桿刻O保A登的相對運動應子是鉛垂直線運只動和圓周運動抽的合成運動，孩即相對軌跡為鳥一平面曲線，摸故在加速度計徒算中，除多一慣項手a零k炕外，還因相對流軌跡未知，造啦成肢了聲ar像n名的計算困難。艷這就表明，若朱以不恒是運動籌過程中的接觸曠點鄰A關為動點，則將覽給求解帶來不學便。盲[麗例歇4儉—宣2提—撓5]趨址圖示平面機構欲中，弊桿油A株B萍以勻榆速攤u盯沿水平方向運銀動，并通過滑行塊牙B默推動包桿馳O夜C認轉動。試求巾α鍬=60池0傲時，滑室塊心B欲相對冠桿伸O謀C悅的加速度和錘桿雞O波C向的角加速度。拋[等解堂]劈施取滑壘塊輕B喬為動點，深桿倉O招C范為動系。動點鏈的絕對運動是達水平直線運動桑；相對運動是予沿喇桿藝O正C爽的直線運動；蠢牽連運動是垂桿奧O接C傅繞裁軸夸O撿的轉動。動段點嘩B亡的速度分析如浪圖潛4-2-11概所示。由圖示等的幾何關系，仿得褲因揭OB=布b鞋／炸sin璃a吸，則狂α乞=60陽0斧時，謠桿根O淘C際的角速度為議轉向順畫著鹿v熟e抬的指向，如席圖孔4能—鈔2槍—撓1緩1終所示。屈根據牽連運動漲為轉動時點的感加速度合成定冤理，可作出動酬點憐B妄的加速度矢量咽圖如題圖桶4吃—口2鞠—隔1吩2恥所示。脹因陶aa=務0跑，故得式中縣將上述矢量式語分別攔向販x炮軸陷和揚y艙軸投影，得襖由此可解得幻桿濾O梢C滔的角加速度鵲ε烤和嗓a兵r永分別為瞞應當注意，圖書中標示的碑ε潔轉向要擾與炕ae稀τ儲的指向保持一顯致，故廳ε課得負值，表示震與圖示的愈ε厲轉向相反，即管為逆時針轉向嫩。詠若將角隆α創視為變量，博求巾v趨r陳和殼ω謙對時間的一階蕩導數，則亦可啊解排得倡a攏r壺和茫ε炭，即籮因淡ω頂的轉向與呈α定正向相反，故群有校d么α象／漠dt窩=廊－膽ω解，將此關系式追和小α旬=60章0環代婆入伍以上二式，則針得效這現里略a狀r攝取正值，表示粉與唐v欠r殘方向一致；伸ε幟取負值，表示猛與介ω俯轉向相反。此抵結果與上述結作果相同。舊注意，關系左式更a鳥e山τ蕩=dv叫e階/d敲t寇是不成立的。僵因誰v徹e岔=usin妙α帶是反映了不同兇瞬時的牽連點盡的速度與角乎α柏的函數關系，降并不表示圖示助瞬時牽連點的旅速度的函數關挺系，菌故梢dv弦e漠／撥d笑t幫不是圖示瞬時膀牽連點的切向賢加速度。但當半牽連運動是平閉動時宏，段a撐e秧τ齡=dv多e象/d箏t鹽是成立的。其冷理由請讀者自惜行思考。救四、剛體的平幟面運動捉應用合成運動貌的概念，將剛惰體的平面運動尺分解為平動和撒轉動，并據此解來研究平面運剩動剛體的角速橫度、角加速度麗及其剛體上任扶一點的速度和圈加速度。惹（一）袋剛體的平面運張動方程介1濫．平面運動的衫特點過在運動過程中掏，剛體上任一掏點離某固定平遵面的距離始終接保持不變，稱愧這種運動為剛聚體的平面運動螺。形剛體的平面運原動可以簡化為據一平面圖形在薄其自身平面內策的運動。2．運動方程女設平面圖備形冊S評在固定平指面李Ox拌y獻內運裕動東(亮圖洋4牲－語2付—駐15變)蹤，顯然，圖來形淚S暢的位置完全由胳其上任一線殃段兵O嗽’躁M御的位置所確定險。這就是說，送圖漁形及S類在任一瞬時的血位置可用任一另點安O婦’辱的坐絹標乖xo慈’固、魯yo揚’犧及拖O質’段M皇與程x霜軸正向間的夾采角騎φ幻來表示。即剛似體的平面運動捏方程可寫為體樹疼通常，懼將濃O于’賤點稱為基點。棟（二）侮平面運動分解捷為平動和轉動籌若世取慎Ox尊y撞為靜系，平面甩圖形上任一比點噴O章’筋為基點，并煉在使O騰’使點上固結一隨辛其作平動的動察系及O瓦’熱x偵’飼y壟’腐(胡圖旦4鐮—樓2焰—嘴15敢)麥。則圖常形河S睡的相對運動為秤繞基平點任O愛’險的轉動；圖形根的絕對運動就花是平面運動；襪而牽連運動為譽動系隨問基歉點川O胸’頓的平動。由此料可見，平面圖民形乒S間的運動可以分澤解為隨基點的悟平動和繞基點醉的轉動。為了皆方便，在下面便敘述中，一般光將不再圖示動幻系和靜系。各應當注意，平日面運動隨同基澡點的平動規律連與基點的選擇暑有關，而繞基墳點的轉動規律筍與基點的選擇瘋無關。因此，勺在論及角速度塌和角加速度時狂，無需指明它勇們是對哪個基才點而言的，并怒可統稱為圖形屋的角速度和角恩加速度。又因椒動系作平動，冷故在動系中觀關察到圖形的角逆速度與角加速約度就是圖形相踢對靜系的絕對神角速度和絕對桌角加速度。劉（三）鄉平面圖形內各飽點的速度彈平面圖形內各哪點的速度有三羨種求解方法，健如善表景4研—樓2孩—吩7從所示。通常，堤瞬心法和投影蛙法應用較多。姓表中，關系式叼稱為速度投影齊定理，該定理差對任何運動形齊式的剛體都是稅適用的。由于嘴它是一個代數臘方程，故根據沒此定理可求出辱式中一個未知干量。輸由瞬心法所表貝述的關系式可倒知，當以速度推瞬俯心浪C裕為基點時，平框面圖形上各點她的速度分布規擾律與剛體繞定營軸轉動時一樣濤。因此，平面賞圖形在任一瞬砍時的運動可以壓看成繞速度瞬菌心脅C藝的瞬時轉動。星于是，速度瞬甩心又稱為平面畢圖形的瞬時轉寸動中心，圖形尿上怠任之—嘩點萬M勝與等C棋點的連線，稱獄為瞬時轉動半債徑。顯然，在瓶不同瞬時，平系面圖形具有不堆問的速度瞬心址。旋瞬心法的關鍵桶是確定平面圖丟形在每一瞬時月的瞬心位置，史表劇4燕—閥2館—撿8姿給出了按巳知慣運動條件，確邀定平面圖形速衛度瞬竄心抹C充的幾種方集法哥.咳表均號4-2-8皂應該注意，剛寨體作瞬時平動英時，其各點的禁速度相等，角肯速被度為零。但此克瞬時，剛休各獲點的加速度并層不相同，且角蜘加速度亦不為瓣零。證（四）床平面圖形內娃各頁點的加速度黃由牽連運動為僵平動時的點的軋加速度合成定角理，可得平畫甜圖形上任一喬點陪M既的加速度關系累式為押稱此為加速度到合成法或基點犧法。式箱中需aO壇’逃為基鼻點示O吃’擠的加速度；相謎對切向加速度鎖大小幼，方位垂滋直何O紫’助M害，指向順著角鬧加速駁度廈ε作的轉向；相對也法向加速度大體小禽，方位沿匯著浙O題’鑼M螺連線，并總是殃指向基鉗點隱O截’杠。孔上式是一個平態面矢量等式，店故可用以求解漸式中兩個未知碧量。薦（五）峽平面運動分析紛的內容和方法監研究平面運動尋剛體的運動，申主要是分析剛莊體的角速蓬度謎ω您、角加速到度諒ε些及其體上一點鞋的速麻度漠v佛、加速燙度卷a背。由于在實際截機構中，平面泊運動剛體通常譯與平動剛體、譽定軸轉動剛體廉等組成平面機早構，因而平面廳運動剛體的運堡動分析問題，割常常包含在平豐面機構的運動填分析之中。這震就是說剛體所掌涉及到的運動府學問題，通常組是綜合性問題肌，需要靈活應渣用運動學知識稱加以分析。下驢面結合平面機疏構運動分析，催著重將平面運沉動剛體的運動菜分析的內容和貝步驟歸納如下柄。款1掙．根據機構的嫩約束條件，判囑斷各剛體的運芳動類型，即哪胞些剛體作平動傲，哪些剛體作社定軸轉動或平櫻面運動，或純撐滾動。同時，離弄清相鄰兩剛糕體的連接情況役，相鄰兩剛體在是通過連接啊點掃(反如鉸接咬點項)旗還是接觸到點漲(挑如凸輪與挺桿誕的接觸征點間)率進行運動傳遞姥的盈?畫若是接觸點，判相接觸的兩點吳之間是否有相食對運憑動解?踩在運動過程中迷，接觸點是否題有變交化暫?生等等。魚2述．明確求解思啊路。一般，從前已知運動的剛訊體著手，通過績連接點或接觸腎點的運動分析單，求解指定剛璃體或點的運動救。一般來說，齒連接點的運動朱，可用剛體運困動知識進行分恢析；接觸點的脊運動可用點的隱合成運動概念罵進行分析。但是應當注意，當懶牽連運動為剛喇體的平面運動奶時，應有科氏及加速度存在。讀此外，有時運看用點的運動學狗知識直接求解腥更為方便。納3錦．平面圖形的俗角速度及其剛最體上任一點的剛速度分析。通短常，點的速度丸求解，可應用止速度投影定理奧或速度瞬心法蔬，或兩者綜合竊應用；圖形的欄角速度求解，觸可用速度瞬心灌法。但當給出蝦的題意條件不建能選用此兩種憶方法求解未知克量時，則可選著用速度合成法伯。宰在求解過程中倉，應注意下面怖幾點。催礙棋(1與)瓜根據選用的求恨解方法，圖示月必要的運動元濁素及幾何關系乓。銜太青(2鉛)襖在應用速度合兔成法時，點的跪絕對速度必須嗓是速度平行四卷邊形的對角線造；在應用速度裂投影定理時，益所選的兩點必疾須在同一平面這圖形上；在應以用速度瞬心法房時，要正確地寇找出圖形的速尺度瞬心位置，填且圖形的瞬心臭位置將隨時間幸而改變。暈(3項)質剛體的平動和閘平面圖形的瞬慘時平動兩者不延可混淆。平動澤剛體的角速度香和角加速度均幻為零，其體上驗各點的速度和繼加速度均相等鼠；而瞬時平動障是指某瞬時，漏該平面圖形的使角速度等于零閣，但角加速度右不等于零；其卡體內各點的速拒度相等，但各膨點的加速度不尤等。退4嗎．平面圖形的旨角加速度及其浴體上任一點的敢加速度分析。鳳運用加速度合但成法求解時，趁應考慮如下幾劇方面問題。基(1新)球在作加速度分激析以前，為了離便于解得各法瓶向加速度，一診般先作速度分血析，求出圖形愉的角速度及其輕體上相應點的郊速度。奸督拔(2扎)瞞選已知點作為撫基點，根據加昂速度合成法列扣出所求點的加栗速度矢量式，漫并據此在該點進處圖示各項加最速度矢量。這蘇里，應提請注砍意，由于速度肢瞬心的加速度喪并不等于零。腐因此，在圖示尼加速度時，切緒不可將速度瞬麻心誤作為加速雨度瞬心處理。慣(3哪)銜用加速度合成插法建立的加速姿度矢量等式是超一個平面矢量導等式，故據此源等式只能求解竄兩個未知量，壞且通常是選用拜合矢量投影定易理進行具體計暫算。愧(4胡)鈔半徑扎為崖R桶、圓心講為政O斥的圓輪，沿固濾定面作純滾時腸，其與固定面僑的接觸險點拜C云的速度和加速詠度蝶為探vc=經0慢和斤a吩c炮≠守0禍，且有酸關系唯式谷ω房0=v0/刑R嗎和小ε慢0=但。纖（五）平面運誕動分析的內容想和方法薯研究平面運動裁剛體的運動，掩主要是分析剛露體的角速居度樹ω烏、角加速鋸度克ε姿及其體上一點妄的速怖度滅v常、加速貓度進a亡。由于在實際業機構中，平面籃運動剛體通常廳與平動剛體、吹定軸轉動剛體竟等組成平面機艷構，因而平面躍運動剛體的運低動分析問題，樹常常包含在平呢面機構的運動篩分析之中。這滑就是說剛體所莖涉及到的運動秀學問題，通常搬是綜合夏性問題，需要推靈活應用運動遲學知識加以分啊析。下面結合睬平面機構運動拜分析，著重將哨平面運動剛體濱的運動分析的辟內容和步驟歸鋪納如下。庭1英．根據機構的濤約束條件，判光斷各剛體的運魚動類型，即哪美些剛體作平動日，哪些剛體作塔定軸轉動或平敞面運動，或純廳滾動。同時，低弄清相鄰兩剛午體的連接情況濱，相鄰兩剛體維是通過連接醉點汁(商如鉸接陷點亦)鈴還是接觸黨點歇(朗如凸輪與挺桿胃的接觸姜點籮)罪進行運動傳遞姻的戰?搞若是接觸點，竹相接觸的兩點挽之間是否有相顫對運場動壞?跟在運動過程中幟，接觸點是否端有變根化俊?貢等等。玉2樸．明確求解思武路。一般，從蝴已知運動的剛聲體著手，通過帶連接點或接觸舞點的運動分析作，求解指定剛收體或點的運動聚。一般來說，拉連接點的運動鉛，可用剛體運使動知識進行分源析；接觸點的女運動可用點的養合成運動概念漠進行分析。但洽應當注意，當旬牽連運動為剛撥體的平面運動維時，應有科氏扇加速度存在。不此外，有時運慌用點的運動學甲知識直接求解壺更為方便。川3望．平面圖形的劃角速度及其剛垂體上任一點的翅速度分析。通艦常，點的速度棗求解，可應用左速度投影定理益或速度瞬心法刺，或兩者綜合首應用；圖形的王角速度求解，國可用速度瞬心苗法。但當給出蠻的題意條件不命能選用此兩種洲方法求解未知果量時，則可選姿用速度合成法常。限在求解過程中京，應注意下面韻幾點。閥鞏賢(1扔)泊根據選用的求兔解方法，圖示撐必要的運動元貴素及幾何關系如。恐儲勤(2禁)尾在應用速度合酸成法時，點的場絕對速度必須希是速度平行四擦邊形的對角線申；在應用速度齒投影定理時，竊所選的兩點必控須在同一平面戚圖形上；在應亭用速度瞬心法灌時，要正確地儲找出圖形的速短度瞬心位置，隊且圖形的瞬心蚊位置將隨時間源而改變。仁(3息)刮剛體的平動和煮平面圖形的瞬牌時平動兩者不忘可混淆。平動削剛體的角速度情和角加速度均街為零，其體上炎各點的速度和冤加速度均相等溝；而瞬時平動鍛是指某瞬時，幫該平面圖形的春角速度等于零孔，但角加速度遷不等于零；其乎體內各點的速紗度相等，但各眾點的加速度不動等。禮4眨．平面圖形的艇角加速度及其扶體上任一點的貢加速度分析。態運用加速度合仍成法求解時，齒應考慮如下幾抵方面問題。叮(1寨)案在作加速度分移析以前，為了慘便于解得各法織向加速度，一落般先作速度分播析，求出圖形妖的角速度及其倆體上相應點的弄速度。笑騙寨(2惜)返選已知點作為奧基點，根據加景速度合成法列渾出所求點的加導速度矢量式，鉤并據此在該點仙處圖示各項加峽速度矢量。這座里，應提請注潤意，由于速度瘋瞬心的加速度向并不等于零。繡因此，在圖