實(shí)際問題與一元一次方程

列方程解應(yīng)用題，是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一。許多實(shí)際問題都?xì)w結(jié)為解一種方程或方程組，所以列出方程或方程組解應(yīng)用題是數(shù)學(xué)聯(lián)系實(shí)際，解決實(shí)際問題的一個重要方面；同時通過列方程解應(yīng)用題，可以培養(yǎng)我們分析問題，解決問題的能力。因此我們要努力學(xué)好這部分知識。

一．列一元一次方程解應(yīng)用題的一般步驟

（1）審題：認(rèn)真審題，理解題意，弄清題目中的數(shù)量關(guān)系，找出其中的等量關(guān)系．

（2）找出等量關(guān)系：找出能夠表示本題含義的相等關(guān)系．

（3）設(shè)出未知數(shù)，列出方程：設(shè)出未知數(shù)后，表示出有關(guān)的含字母的式子，然后利用已找出的等量關(guān)系列出方程．

（4）解方程：解所列的方程，求出未知數(shù)的值．

（5）檢驗，寫答案：檢驗所求出的未知數(shù)的值是否是方程的解，是否符合實(shí)際，檢驗后寫出答案．

二.分類知能點(diǎn)與題目

知能點(diǎn)1：市場經(jīng)濟(jì)、打折銷售問題

（1）商品利潤＝商品售價－商品成本價

（2）商品利潤率＝×100%

（3）商品銷售額＝商品銷售價×商品銷售量

（4）商品的銷售利潤＝（銷售價－成本價）×銷售量

（5）商品打幾折出售，就是按原標(biāo)價的百分之幾十出售，如商品打8折出售，即按原標(biāo)價的80%出售．

例1.某商店開張，為了吸引顧客，所有商品一律按八折優(yōu)惠出售，已知某種皮鞋進(jìn)價60元一雙，八折出售后商家獲利潤率為40%，問這種皮鞋標(biāo)價是多少元？優(yōu)惠價是多少元？

例2.一家商店將某種服裝按進(jìn)價提高40%后標(biāo)價，又以8折優(yōu)惠賣出，結(jié)果每件仍獲利15元，這種服裝每件的進(jìn)價是多少？

1．一種商品進(jìn)價為50元，為賺取20%的利潤，該商品的標(biāo)價為________元．

2．某商品的標(biāo)價為220元，九折賣出后盈利10%，則該商品的進(jìn)價為______元．

3．某種商品若按標(biāo)價的8折出售可獲利20%，若按原標(biāo)價出售，則可獲利（）．

A．25%B．40%C．50%D．1

4．兩件商品都賣84元，其中一件虧本20%，另一件贏利40%，則兩件商品賣后（）．

A．贏利元B．虧本3元C．贏利3元D．不贏不虧

5.一家商店將一種自行車按進(jìn)價提高45%后標(biāo)價，又以八折優(yōu)惠賣出，結(jié)果每輛仍獲利50元，這種自行車每輛的進(jìn)價是多少元？若設(shè)這種自行車每輛的進(jìn)價是x元，那么所列方程為（）

%×（1+80%）x-x=50B.80%×（1+45%）x-x=50

C.x-80%×（1+45%）x=50%×（1-45%）x-x=50

6.某商品的進(jìn)貨價為每件x元，零售價為每件900元，為了適應(yīng)市場競爭，商店按零售價的九折讓利40元銷售，仍可獲利10%，則x為（）

A、700元B、約733元C、約736元D、約856元

7．某商品的進(jìn)價為800元，出售時標(biāo)價為1200元，后來由于該商品積壓，商店準(zhǔn)備打折出售，但要保持利潤率不低于5%，則至多打幾折．

8．一家商店將某種型號的彩電先按原售價提高40%，然后在廣告中寫上"大酬賓，八折優(yōu)惠"．經(jīng)顧客投拆后，拆法部門按已得非法收入的10倍處以每臺2700元的罰款，求每臺彩電的原售價．

9、某商品進(jìn)價是1000元，標(biāo)價為1500元，商品要求以利潤率不低于5%的售價打折

出售，售貨員最低可以打幾折出售此商品？

知能點(diǎn)2：方案選擇問題

10．某蔬菜公司的一種綠色蔬菜，若在市場上直接銷售，每噸利潤為1000元，經(jīng)粗加工后銷售，每噸利潤可達(dá)4500元，經(jīng)精加工后銷售，每噸利潤漲至7500元，當(dāng)?shù)匾患夜臼召忂@種蔬菜140噸，該公司的加工生產(chǎn)能力是：

如果對蔬菜進(jìn)行精加工，每天可加工16噸，如果進(jìn)行精加工，每天可加工6噸，但兩種加工方式不能同時進(jìn)行，受季度等條件限制，公司必須在15天將這批蔬菜全部銷售或加工完畢，為此公司研制了三種可行方案：

方案一：將蔬菜全部進(jìn)行粗加工．

方案二：盡可能多地對蔬菜進(jìn)行粗加工，沒來得及進(jìn)行加工的蔬菜，在市場上直接銷售．

方案三：將部分蔬菜進(jìn)行精加工，其余蔬菜進(jìn)行粗加工，并恰好15天完成．

你認(rèn)為哪種方案獲利最多？為什么？

11．某市移動通訊公司開設(shè)了兩種通訊業(yè)務(wù)："全球通"使用者先繳50元月基礎(chǔ)費(fèi)，然后每通話1分鐘，再付電話費(fèi)元；"神州行"不繳月基礎(chǔ)費(fèi)，每通話1分鐘需付話費(fèi)元（這里均指市內(nèi)電話）．若一個月內(nèi)通話x分鐘，兩種通話方式的費(fèi)用分別為y1元和y2元．

（1）寫出y1，y2與x之間的函數(shù)關(guān)系式（即等式）．

（2）一個月內(nèi)通話多少分鐘，兩種通話方式的費(fèi)用相同？

（3）若某人預(yù)計一個月內(nèi)使用話費(fèi)120元，則應(yīng)選擇哪一種通話方式較合算？

12．某地區(qū)居民生活用電基本價格為每千瓦時元，若每月用電量超過a千瓦時，則超過部分按基本電價的70%收費(fèi)．

（1）某戶八月份用電84千瓦時，共交電費(fèi)元，求a．

（2）若該用戶九月份的平均電費(fèi)為元，則九月份共用電多少千瓦時？應(yīng)交電費(fèi)是多少元？

13．某家電商場計劃用9萬元從生產(chǎn)廠家購進(jìn)50臺電視機(jī)．已知該廠家生產(chǎn)3種不同型號的電視機(jī)，出廠價分別為A種每臺1500元，B種每臺2100元，C種每臺2500元．

（1）若家電商場同時購進(jìn)兩種不同型號的電視機(jī)共50臺，用去9萬元，請你研究一下商場的進(jìn)貨方案．

（2）若商場銷售一臺A種電視機(jī)可獲利150元，銷售一臺B種電視機(jī)可獲利200元，銷售一臺C種電視機(jī)可獲利250元，在同時購進(jìn)兩種不同型號的電視機(jī)方案中，為了使銷售時獲利最多，你選擇哪種方案？

14.小剛為書房買燈。現(xiàn)有兩種燈可供選購，其中一種是9瓦的節(jié)能燈，售價為49元/盞，另一種是40瓦的白熾燈，售價為18元/盞。假設(shè)兩種燈的照明效果一樣，使用壽命都可以達(dá)到2800小時。已知小剛家所在地的電價是每千瓦時元。

(1).設(shè)照明時間是x小時，請用含x的代數(shù)式分別表示用一盞節(jié)能燈和用一盞白熾燈的費(fèi)用。（費(fèi)用=燈的售價+電費(fèi)）

(2).小剛想在這兩種燈中選購一盞。

①當(dāng)照明時間是多少時，使用兩種燈的費(fèi)用一樣多？

②試用特殊值判斷：

照明時間在什么范圍內(nèi)，選用白熾燈費(fèi)用低？照明時間在什么范圍內(nèi)，選用節(jié)能燈費(fèi)用低？

(3).小剛想在這種燈中選購兩盞。假定照明時間是3000小時，使用壽命都是2800小時。請你設(shè)計一種費(fèi)用最低的選燈照明方案，并說明理由。

知能點(diǎn)3儲蓄、儲蓄利息問題

(1）顧客存入銀行的錢叫做本金，銀行付給顧客的酬金叫利息，本金和利息合稱本息和，存入銀行的時間叫做期數(shù)，利息與本金的比叫做利率。利息的20%付利息稅

(2）利息=本金×利率×期數(shù)本息和=本金+利息利息稅=利息×稅率（20%）

(3）

例3.某同學(xué)把250元錢存入銀行，整存整取，存期為半年。半年后共得本息和元，求銀行半年期的年利率是多少？（不計利息稅）

例4.為了準(zhǔn)備6年后小明上大學(xué)的學(xué)費(fèi)20000元，他的父親現(xiàn)在就參加了教育儲蓄，下面有三種教育儲蓄方式：

(1）直接存入一個6年期；

(2）先存入一個三年期，3年后將本息和自動轉(zhuǎn)存一個三年期；

(3）先存入一個一年期的，后將本息和自動轉(zhuǎn)存下一個一年期；你認(rèn)為哪種教育儲蓄方式開始存入的本金比較少？

15．利息稅的計算方法是：利息稅=利息×20%．某儲戶按一年定期存款一筆，年利率%，一年后取出時，扣除了利息稅90元，據(jù)此分析，這筆存款的到期利息是____元，本金是_______元，銀行向儲戶支付的現(xiàn)金是________元．

16．小剛的爸爸前年買了某公司的二年期債券4500元，今年到期，扣除利息稅后，共得本利和約4700

17．為了準(zhǔn)備小明三年后上高中的學(xué)費(fèi)，他的父母準(zhǔn)備現(xiàn)在拿出3000元參加教育儲蓄，已知教育儲蓄一年期利率為%，二年期利率為%，三年期利率為%，請你幫小明的父母計算一下如何儲蓄三年后得到的利息最多．

18．（北京海淀區(qū)）白云商場購進(jìn)某種商品的進(jìn)價是每件8元，銷售價是每件10元（銷售價與進(jìn)價的差價2元就是賣出一件商品所獲得的利潤）．現(xiàn)為了擴(kuò)大銷售量，把每件的銷售價降低x%出售，但要求賣出一件商品所獲得的利潤是降價前所獲得的利潤的90%，則x應(yīng)等于（）．

A．1B．C．2D．10

19.某人按定期2年向銀行儲蓄1500元，假設(shè)每年利率為3%（不計復(fù)利）到期支取時，扣除利息所得稅（稅率為20%）此人實(shí)得利息為（）

A、1272元B、36元C、72元D、1572元

20.用若干元人民幣購買了一種年利率為10%的一年期債券，到期后他取出本金的一半用作購物，剩下的一半和所得的利息又全部買了這種一年期債券（利率不變），到期后得本息和1320元。問張叔叔當(dāng)初購買這咱債券花了多少元？

21.購買了25000元某公司1年期的債券，一年后扣除20%的利息稅之后得到本息和為26000元，這種債券的年利率是多少？

知能點(diǎn)4：工程問題

工作量＝工作效率×工作時間工作效率＝工作量÷工作時間

工作時間＝工作量÷工作效率完成某項任務(wù)的各工作量的和＝總工作量＝1

例5.一件工作，甲獨(dú)作10天完成，乙獨(dú)作8天完成，兩人合作幾天完成？

例6.一件工程，甲獨(dú)做需15天完成，乙獨(dú)做需12天完成，現(xiàn)先由甲、乙合作3天后，甲有其他任務(wù)，剩下工程由乙單獨(dú)完成，問乙還要幾天才能完成全部工程？

例7.一個蓄水池有甲、乙兩個進(jìn)水管和一個丙排水管，單獨(dú)開甲管6小時可注滿水池；單獨(dú)開乙管8小時可注滿水池，單獨(dú)開丙管9小時可將滿池水排空，若先將甲、乙管同時開放2小時，然后打開丙管，問打開丙管后幾小時可注滿水池？

22.一批工業(yè)最新動態(tài)信息輸入管理儲存網(wǎng)絡(luò)，甲獨(dú)做需6小時，乙獨(dú)做需4小時，甲先做30分鐘，然后甲、乙一起做，則甲、乙一起做還需多少小時才能完成工作？

23某車間有16名工人，每人每天可加工甲種零件5個或乙種零件4個．在這16名工人中，一部分人加工甲種零件，其余的加工乙種零件．已知每加工一個甲種零件可獲利16元，每加工一個乙種零件可獲利24元．若此車間一共獲利1440元，求這一天有幾個工人加工甲種零件．

24.一項工程甲單獨(dú)做需要10天，乙需要12天，丙單獨(dú)做需要15天，甲、丙先做3天后，甲因事離去，乙參與工作，問還需幾天完成？

知能點(diǎn)5：若干應(yīng)用問題等量關(guān)系的規(guī)律

（1）和、差、倍、分問題此類題既可有示運(yùn)算關(guān)系，又可表示相等關(guān)系，要結(jié)合題意特別注意題目中的關(guān)鍵詞語的含義，如相等、和差、幾倍、幾分之幾、多、少、快、慢等，它們能指導(dǎo)我們正確地列出代數(shù)式或方程式。增長量＝原有量×增長率現(xiàn)在量＝原有量＋增長量

25.某糧庫裝糧食，第一個倉庫是第二個倉庫存糧的3倍，如果從第一個倉庫中取出20噸放入第二個倉庫中，第二個倉庫中的糧食是第一個中的問每個倉庫各有多少糧食？

（2）等積變形問題

常見幾何圖形的面積、體積、周長計算公式，依據(jù)形雖變，但體積不變．

①圓柱體的體積公式

V=底面積×高＝S·h＝r2h

②長方體的體積

V＝長×寬×高＝abc

26.一個裝滿水的內(nèi)部長、寬、高分別為300毫米，300毫米和80毫米的長方體鐵盒中的水，倒入一個內(nèi)徑為200毫米的圓柱形水桶中，正好倒?jié)M，求圓柱形水桶的高（精確到毫米，≈）．

27.長方體甲的長、寬、高分別為260mm，150mm，325mm，長方體乙的底面積為130×130mm2，又知甲的體積是乙的體積的倍，求乙的高？

知能點(diǎn)6：行程問題

基本量之間的關(guān)系：路程＝速度×?xí)r間時間＝路程÷速度速度＝路程÷時間

（1）相遇問題（2）追及問題

快行距＋慢行距＝原距快行距－慢行距＝原距

（3）航行問題

順?biāo)L(fēng)）速度＝靜水（風(fēng)）速度＋水流（風(fēng)）速度

逆水（風(fēng)）速度＝靜水（風(fēng)）速度－水流（風(fēng)）速度

抓住兩碼頭間距離不變，水流速和船速（靜不速）不變的特點(diǎn)考慮相等關(guān)系．

例6.甲、乙兩站相距480公里，一列慢車從甲站開出，每小時行90公里，一列快車從乙站開出，每小時行140公里。

（1）慢車先開出1小時，快車再開。兩車相向而行。問快車開出多少小時后兩車相遇？

（2）兩車同時開出，相背而行多少小時后兩車相距600公里？

（3）兩車同時開出，慢車在快車后面同向而行，多少小時后快車與慢車相距600公里？

（4）兩車同時開出同向而行，快車在慢車的后面，多少小時后快車追上慢車？

（5）慢車開出1小時后兩車同向而行，快車在慢車后面，快車開出后多少小時追上慢車？

例7.甲乙兩人在同一道路上從相距5千米的A、B兩地同向而行，甲的速度為5千米/小時，乙的速度為3千米/小時，甲帶著一只狗，當(dāng)甲追乙時，狗先追上乙，再返回遇上甲，再返回追上乙，依次反復(fù)，直至甲追上乙為止，已知狗的速度為15千米/小時，求此過程中，狗跑的總路程是多少？

例8.某船從A地順流而下到達(dá)B地，然后逆流返回，到達(dá)A、B兩地之間的C地，一共航行了7小時，已知此船在靜水中的速度為8千米/時，水流速度為2千米/時。A、C兩地之間的路程為10千米，求A、B兩地之間的路程。

28．有一火車以每分鐘600米的速度要過完第一、第二兩座鐵橋，過第二鐵橋比過第一鐵橋需多5秒，又知第二鐵橋的長度比第一鐵橋長度的2倍短50米，試求各鐵橋的長．

29．已知甲、乙兩地相距120千米，乙的速度比甲每小時快1千米，甲先從A地出發(fā)2小時后，乙從B地出發(fā)，與甲相向而行經(jīng)過10小時后相遇，求甲乙的速度？

30．一隊學(xué)生去軍事訓(xùn)練，走到半路，隊長有事要從隊頭通知到隊尾，通訊員以18米/分的速度從隊頭至隊尾又返回，已知隊伍的行進(jìn)速度為14米/分。問：?若已知隊長320米，則通訊員幾分鐘返回？?若已知通訊員用了25分鐘，則隊長為多少米？

31．一架飛機(jī)在兩個城市之間飛行，風(fēng)速為24千米/小時，順風(fēng)飛行需要2小時50分，逆風(fēng)飛行需要3小時，求兩個城市之間的飛行路程？

32．一輪船在甲、乙兩碼頭之間航行，順?biāo)叫行枰?小時，逆水航行需要5小時，水流的速度為2千米/時，求甲、乙兩碼頭之間的距離。

知能點(diǎn)7：數(shù)字問題

（1）要搞清楚數(shù)的表示方法：一個三位數(shù)的百位數(shù)字為a，十位數(shù)字是b，個位數(shù)字為c（其中a、b、c均為整數(shù)，且1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9）則這個三位數(shù)表示為：100a+10b+c。然后抓住數(shù)字間或新數(shù)、原數(shù)之間的關(guān)系找等量關(guān)系列方程．

（2）數(shù)字問題中一些表示：兩個連續(xù)整數(shù)之間的關(guān)系，較大的比較小的大1；偶數(shù)用2n表示，連續(xù)的偶數(shù)用2n+2或2n-2表示；奇數(shù)用2n+1或2n-1表示。

例1.一個三位數(shù)，三個數(shù)位上的數(shù)字之和是17，百位上的數(shù)比十位上的數(shù)大7，個位上的數(shù)是十位上的數(shù)的3倍，求這個三位數(shù)

例2.一個兩位數(shù)，個位上的數(shù)是十位上的數(shù)的2倍，如果把十位與個位上的數(shù)對調(diào)，那么所得的兩位數(shù)比原兩位數(shù)大36，求原來的兩位數(shù)

等量關(guān)系：原兩位數(shù)+36=對調(diào)后新兩位數(shù)

33．一個兩位數(shù)，十位數(shù)與個位上的數(shù)字之和為11，如果把十位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字對調(diào)，那么得到的數(shù)比原來的數(shù)大63，求原來的兩位數(shù)？

答案13、解：按購A，B兩種，B，C兩種，A，C兩種電視機(jī)這三種方案分別計算，

設(shè)購A種電視機(jī)x臺，則B種電視機(jī)y臺．

（1）①當(dāng)選購A，B兩種電視機(jī)時，B種電視機(jī)購（50-x）臺，可得方程

1500x+2100（50-x）=90000即5x+7（50-x）=3002x=50x=25

50-x=25

②當(dāng)選購A，C兩種電視機(jī)時，C種電視機(jī)購（50-x）臺，

可得方程1500x+2500（50-x）=900003x+5（50-x）=1800x=35

50-x=15

③當(dāng)購B，C兩種電視機(jī)時，C種電視機(jī)為（50-y）臺．

可得方程2100y+2500（50-y）=90000

21y+25（50-y）=900，4y=350，不合題意

由此可選擇兩種方案：一是購A，B兩種電視機(jī)25臺；二是購A種電視機(jī)35臺，C種電視機(jī)15臺．

（2）若選擇（1）中的方案①，可獲利150×25+250×15=8750（元）

若選擇（1）中的方案②，可獲利150×35+250×15=9000（元）

9000>8750

故為了獲利最多，選擇第二種方案．

例4[分析]這種比較幾種方案哪種合理的題目，我們可以分別計算出每種教育儲蓄的本金是多少，再進(jìn)行比較。

解：(1）設(shè)存入一個6年的本金是X元,依題意得方程X（1+6×%）=20000，解得X=17053

(2）設(shè)存入兩個三年期開始的本金為Y元，

Y（1+%×3）(1+%×3）=20000，X=17115

(3）設(shè)存入一年期本金為Z元，

Z（1+%）6=20000，Z=17894

所以存入一個6年期的本金最少。

16、元，問這種債券的年利率是多少（精確到%）．

解：設(shè)這種債券的年利率是x，根據(jù)題意有

4500+4500×2×x×（1-20%）=4700，解得x=

答：這種債券的年利率為．17、解：利用公式分三種情況（一年期、二年期、三年期）進(jìn)行計算，再進(jìn)行比較即可獲得答案．

一年期：設(shè)利息為x元，則x=3000×%×1=（元）

二年期：設(shè)利息為x元，則x=3000×%×2=135（元）

三年期：設(shè)利息為x元，則x=3000×%×3=（元）

∵<∴三年期儲蓄利息最多．

18、C[點(diǎn)撥：根據(jù)題意列方程，得（10-8）×90%=10（1-x%）-8，解得x=2，故選C]例6此題關(guān)鍵是要理解清楚相向、相背、同向等的含義，弄清行駛過程。故可結(jié)合圖形分析。

（1）分析：相遇問題，畫圖表示為：

等量關(guān)系是：慢車走的路程+快車走的路程=480公里。

解：設(shè)快車開出x小時后兩車相遇，由題意得，140x+90(x+1)=48