與圓有關(guān)的最值問題專題一.圓中與距離最值有關(guān)的常見的結(jié)論：結(jié)論1.圓外一點(diǎn)到圓上距離最近為，最遠(yuǎn)為；例1．拋物線的焦點(diǎn)到圓上點(diǎn)的距離的最大值為（

）A．6 B．2 C．5 D．8答案：A.結(jié)論2.過圓內(nèi)一點(diǎn)的弦最長為圓的直徑，最短的弦為與過該點(diǎn)的直徑垂直的弦；例2．在圓中，過點(diǎn)的最長弦和最短弦分別為和，則四邊形的面積為（

）A． B． C． D．答案：B結(jié)論3.直線與圓相離，則圓上點(diǎn)到直線的最短距離為圓心到直線的距離,最近為；例3．已知P是半圓C：上的點(diǎn)，Q是直線上的一點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．答案：D二.與切線長有關(guān)的最值結(jié)論：從圓外任一點(diǎn)向圓引兩條切線，圓心，兩切點(diǎn)，我們把線段的長度叫做切線長，設(shè)圓的半徑為，則有：結(jié)論4.切線長的計(jì)算：,當(dāng)半徑給定，切線長最小等價(jià)于最小.結(jié)論5.過圓外一點(diǎn)向圓引兩條切線，切點(diǎn)記為，則四邊形面積的最值等價(jià)于圓心到點(diǎn)的距離最值.例4.若是直線：上一動(dòng)點(diǎn)，過作圓：的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，則四邊形面積的最小值為（）A． B． C． D．解析：因?yàn)橹本€與圓相切，所以，且所以四邊形面積，又，所以當(dāng)最小時(shí)，最小，四邊形面積的最小值，由圖象可得，最小值即為點(diǎn)C到直線的距離，所以，所以，所以四邊形面積的最小值，故選：B三.圓中與角度有關(guān)的最值問題.結(jié)論6.圓上兩點(diǎn)與圓外一點(diǎn)的連線的夾角（圓外一點(diǎn)為頂點(diǎn)）中，以這兩條直線為切線時(shí)最大.例5．已知圓：，線段在直線：上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)為線段上任意一點(diǎn)，若圓上存在兩點(diǎn)，，使得，則線段長度的最大值是______.解：由題意知，圓心，半徑所以，圓心到直線的距離，即直線和圓相離.從直線上的點(diǎn)向圓上的點(diǎn)連線成角，當(dāng)且僅當(dāng)兩條線為切線時(shí)最大，不妨設(shè)切線為，由知，即.所以，解得.所以在直線上，當(dāng)最大時(shí)，點(diǎn)到圓心的距離為.所以，此時(shí)長度最大值為.故答案為:.結(jié)論7.圓上一點(diǎn)、圓心與圓外一點(diǎn)連線的夾角（圓外一點(diǎn)為頂點(diǎn)）中，以這條直線為切線時(shí)最大.結(jié)論8.圓上一點(diǎn)、圓外兩點(diǎn)連線的夾角（圓外一點(diǎn)為頂點(diǎn)）中，以這條直線為切線時(shí)最大.例6.（2021新高考1卷）．已知點(diǎn)在圓上，點(diǎn)，，則（

）A．點(diǎn)到直線的距離小于B．點(diǎn)到直線的距離大于C．當(dāng)最小時(shí)，D．當(dāng)最大時(shí)，解析：圓的圓心為，半徑為，直線的方程為，即，圓心到直線的距離為，所以，點(diǎn)到直線的距離的最小值為，最大值為，A選項(xiàng)正確，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；如下圖所示：當(dāng)最大或最小時(shí)，與圓相切，連接、，可知，，，由勾股定理可得，CD選項(xiàng)正確.故選：ACD.四．將軍飲馬型最值三角不等式（將軍飲馬）：任意兩邊之和大于等于第三邊，任意兩邊之差小于等于第三邊，取等條件當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線.結(jié)論9.如圖動(dòng)點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，為直線一側(cè)的兩個(gè)定點(diǎn)，那么的最大值當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線.倘若在兩側(cè)，則需先利用對(duì)稱將其搬到一側(cè)再尋找最大值！此時(shí)，的最小值為0，即為中垂線與的交點(diǎn).總結(jié)：“和最小，化異側(cè)，差最大，轉(zhuǎn)同側(cè)”例7．已知圓，圓，分別為圓和圓上的動(dòng)點(diǎn)，為直線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為A． B． C． D．解析：由圓，圓，可知圓圓心為，半徑為1，如圖，圓圓心為，半徑為2，圓關(guān)于直線的對(duì)稱圓為圓，連結(jié)，交于，則為滿足使最小的點(diǎn)，此時(shí)點(diǎn)為與圓的交點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)，為與圓的交點(diǎn)，最小值為，而，的最小值為，故選A.五．逆用阿波羅尼斯圓1.阿氏圓定義：已知平面上兩點(diǎn)，則所有滿足的動(dòng)點(diǎn)的軌跡是一個(gè)以定比為內(nèi)分和外分定線段的兩個(gè)分點(diǎn)的連線為\t"/item/%E9%98%BF%E6%B0%8F%E5%9C%86/_blank"直徑的圓.若,則圓的半徑為，圓心為.結(jié)論10：已知圓上任意一點(diǎn)和坐標(biāo)軸上任意兩點(diǎn)，求形如的最值問題，可逆用阿氏圓轉(zhuǎn)化為三點(diǎn)共線最值計(jì)算.例8．已知圓是以點(diǎn)和點(diǎn)為直徑的圓，點(diǎn)為圓上的動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)，點(diǎn)，則的最大值為（

）A． B． C． D．解析：由題設(shè)，知：且，即圓的半徑為4，∴圓：，如上圖，坐標(biāo)系中則，∴，即△△，故，（亦可逆用阿氏圓，其實(shí)就是阿氏圓的幾何推導(dǎo)）.∴，在△中，∴要使最大，共線且最大值為的長度.∴.故選：A六.圓有關(guān)的平行線束最值問題結(jié)論11．兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)分別在兩條平行線上運(yùn)動(dòng),這兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)間的最短距離為兩條平行線間的距離.例9.對(duì)于圓上任意一點(diǎn)，的值與和無關(guān)，則當(dāng)時(shí)，的最大值是（

） B．1 C．2 D．4解析：因?yàn)椋员硎?/p>