廣東省佛山市順德區中考數學二模試卷一、選擇題（10個題，每題3分，共30分）1．（3分）16的算術平方根為（）A．±4 B．4 C．﹣4 D．82．（3分）2018年廣東省經濟保持平穩健康發展，經國家統計局核定，實現地區生產總值（GDP）97300000000元．將數據97300000000用月科學記數法表示為（）A．9.73×1010 B．973×1011 C．9.73×1012 D．0.973×10133．（3分）下列圖形中是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形的是（）A．線段 B．圓 C．平行四邊形 D．角4．（3分）計算正確的是（）A．（﹣2019）0＝0 B．x6÷x2＝x3 C．（﹣a2b3）4＝﹣a8b12 D．3a4?2a＝6a55．（3分）在一個不透明的口袋中裝有2個綠球和若干個紅球，這些球除顏色外無其它差別．從這個口袋中隨機摸出一個球，摸到綠球的概率為，則紅球的個數是（）A．2 B．4 C．6 D．86．（3分）若一個多邊形的外角和是其內角和的，則這個多邊形的邊數為（）A．2 B．4 C．6 D．87．（3分）下列一元二次方程中，沒有實數根的是（）A．x2﹣2x＝0 B．x2+4x﹣1＝0 C．2x2﹣4x+3＝0 D．3x2＝5x﹣28．（3分）如圖，數軸上的實數a、b滿足|a|﹣|a﹣b|＝2a，則是（）A． B． C． D．9．（3分）△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6．以點C為圓心、5為半徑作圓C，則圓C與直線AB的位置關系是（）A．相交 B．相切 C．相離 D．不確定10．（3分）二次函數y＝ax2+bx+c的部分圖象如圖，則下列說法正確的有（）①對稱軸是直線x＝﹣1；②c＝3；③ab＞0；④當x＜1時，y＞0；⑤方程ax2+bx+c＝0的根是x1＝﹣3和x2＝1A．2個 B．3個 C．4個 D．5個二、填空題（6個題，每題4分，共24分）11．（4分）數據﹣5，﹣3，﹣3，0，1，3的眾數是．12．（4分）如圖所示的不等式組的解集是．13．（4分）分解因式：a3﹣25a＝．14．（4分）如圖，⊙O的兩條直徑分別為AB、CD，弦CE∥AB，∠COE＝40°，則∠BOD＝°．15．（4分）如圖，點P在反比例函數y＝的圖象上，PM⊥x軸于M．若△PMO的面積為1，則k為．16．（4分）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠A＝45°，∠B＝120°，AB＝5，BC＝10，則CD的長為．三、解答題（一）（3個題，每題6分，共18分）17．（6分）計算：tan60°+（﹣1）2019．18．（6分）先化簡，再求代數式的值，其中．19．（6分）A城市到B城市鐵路里程是300千米，若旅客從A城市到B城市可選擇高鐵和動車兩種交通工具，高鐵速度是動車速度的1.5倍，時間相差30分鐘，求高鐵的速度．四、解答題（二）（3個題，每題7分，共21分）20．（7分）如圖，△ABC中，AC＝8，BC＝10，AC＞AB．（1）用尺規作圖法在△ABC內求作一點D，使點D到兩點A、C的距離相等，又到邊AC、BC的距離相等（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）若△ACD的周長為18，求△BCD的面積．21．（7分）學生利用微課學習已經越來越多，某學校調查了若干名學生利用微課學習語文、數學、英語、物理、歷史的情況，根據結果繪制成如圖所示的兩幅不完整的統計圖．請結合圖中信息解決下列問題：（1）抽取了名學生進行調查；（2）將條形統計圖補充完整；（3）估計學生利用微課學習哪科的人數最多？若該校有2000名學生，估計有多少人利用微課學習該學科．22．（7分）矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，點E為AB的中點，將矩形ABCD沿CE折疊，使得點B落到點F的位置．（1）求證：AF∥CE；（2）求AF的長度．五、解答題（三）（3個題，每題9分，共27分）23．（9分）二次函數y＝x2﹣2x﹣3．（1）畫出上述二次函數的圖象；（2）如圖，二次函數的圖象與x軸的其中一個交點是B，與y軸的交點是C，直線BC與反比例函數的圖象交于點D．且BC＝3CD，求反比例函數的詳解式．（3）在（2）的條件下，x軸上的點P的橫坐標是多少時，△BCP與△OCD相似．24．（9分）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB為⊙O的直徑，過點C作∠BCD＝∠BAC交AB的延長線于點D，過點O作直徑EF∥BC，交AC于點G．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）若⊙O的半徑為2，∠BCD＝30°；①連接AE、DE，求證：四邊形ACDE是菱形；②當點P是線段AD上的一動點時，求PF+PG的最小值．25．（9分）如圖，直線y＝﹣x+2交坐標軸于A、B兩點，直線AC⊥AB交x軸于點C，拋物線恰好過點A、B、C．（1）求拋物線的表達式；（2）當點M在線段AB上方的曲線上移動時，求四邊形AOBM的面積的最大值；（3）點E在拋物線的對稱軸上，點F在拋物線上，是否存在點F使得以A、C、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在求出點F坐標；若不存在，說明理由．

廣東省佛山市順德區中考數學二模試卷參考答案與試題詳解一、選擇題（10個題，每題3分，共30分）1．（3分）16的算術平方根為（）A．±4 B．4 C．﹣4 D．8【分析】依據算術平方根的性質求解即可．【解答】解：16的算術平方根為4．故選：B．【點評】本題主要考查的是算術平方根的性質，熟練掌握算術平方根的性質是解題的關鍵．2．（3分）2018年廣東省經濟保持平穩健康發展，經國家統計局核定，實現地區生產總值（GDP）97300000000元．將數據97300000000用月科學記數法表示為（）A．9.73×1010 B．973×1011 C．9.73×1012 D．0.973×1013【分析】科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值＞1時，n是正數；當原數的絕對值＜1時，n是負數．【解答】解：將數據97300000000用月科學記數法表示為9.73×1010．故選：A．【點評】此題考查科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．3．（3分）下列圖形中是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形的是（）A．線段 B．圓 C．平行四邊形 D．角【分析】根據軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．【解答】解：A、線段，是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故此選項錯誤；B、圓，是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故此選項錯誤；C、平行四邊形不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項錯誤；D、角是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項正確；故選：D．【點評】此題主要考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后兩部分重合．4．（3分）計算正確的是（）A．（﹣2019）0＝0 B．x6÷x2＝x3 C．（﹣a2b3）4＝﹣a8b12 D．3a4?2a＝6a5【分析】直接利用同底數冪的乘除運算法則以及積的乘方運算法則分別化簡得出答案．【解答】解：A、（﹣2019）0＝1，故此選項錯誤；B、x6÷x2＝x4，故此選項錯誤；C、（﹣a2b3）4＝a8b12，故此選項錯誤；D、3a4?2a＝6a5，故此選項正確．故選：D．【點評】此題主要考查了同底數冪的乘除運算以及積的乘方運算，正確掌握相關運算法則是解題關鍵．5．（3分）在一個不透明的口袋中裝有2個綠球和若干個紅球，這些球除顏色外無其它差別．從這個口袋中隨機摸出一個球，摸到綠球的概率為，則紅球的個數是（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】設紅球有x個，根據隨機事件A的概率P（A）＝事件A可能出現的結果數÷所有可能出現的結果數，列方程求出x的值即可得．【解答】解：設紅球有x個，根據題意，得：＝，解得：x＝6，經檢驗：x＝6是分式方程的解，∴紅球的個數為6，故選：C．【點評】此題主要考查了概率公式的應用，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：隨機事件A的概率P（A）＝事件A可能出現的結果數÷所有可能出現的結果數．6．（3分）若一個多邊形的外角和是其內角和的，則這個多邊形的邊數為（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】設多邊形的邊數為n，根據多邊形的內角和公式（n﹣2）?180°和多邊形的外角和等于360°列方程求解即可．【解答】解：設多邊形的邊數為n，由題意得，×（n﹣2）?180°＝360°，解得n＝6，答：這個多邊形的邊數是6．故選：C．【點評】本題考查了多邊形的內角與外角，熟記內角和公式與外角和定理是解題的關鍵．7．（3分）下列一元二次方程中，沒有實數根的是（）A．x2﹣2x＝0 B．x2+4x﹣1＝0 C．2x2﹣4x+3＝0 D．3x2＝5x﹣2【分析】利用根的判別式△＝b2﹣4ac分別進行判定即可．【解答】解：A、△＝4＞0，有兩個不相等的實數根，故此選項不合題意；B、△＝16+4＝20＞0，有兩個不相等的實數根，故此選項不合題意；C、△＝16﹣4×2×3＜0，沒有實數根，故此選項符合題意；D、△＝25﹣4×3×2＝25﹣24＝1＞0，有兩個不相等的實數根，故此選項不合題意；故選：C．【點評】此題主要考查了根的判別式，關鍵是掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與△＝b2﹣4ac有如下關系：①當△＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數根；②當△＝0時，方程有兩個相等的兩個實數根；③當△＜0時，方程無實數根．8．（3分）如圖，數軸上的實數a、b滿足|a|﹣|a﹣b|＝2a，則是（）A． B． C． D．【分析】根據圖示，可得：a＜0＜b，所以a﹣b＜0，據此化簡|a|﹣|a﹣b|，求出是多少即可．【解答】解：∵a＜0＜b，∴a﹣b＜0，∵|a|﹣|a﹣b|＝2a，∴﹣a﹣（b﹣a）＝2a，∴﹣b＝2a∴＝﹣．故選：B．【點評】此題主要考查了實數與數軸的特征和應用，以及絕對值的含義和求法，要熟練掌握．9．（3分）△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6．以點C為圓心、5為半徑作圓C，則圓C與直線AB的位置關系是（）A．相交 B．相切 C．相離 D．不確定【分析】欲求圓與AB的位置關系，關鍵是求出點C到AB的距離d，再與半徑r進行比較；若d＜r，則直線與圓相交；若d＝r，則直線于圓相切；若d＞r，則直線與圓相離．【解答】解：根據勾股定理求得BC＝8．∵AB＝10，AC＝6，∴由勾股定理求得BC＝8．S△ABC＝AC×BC＝×6×8＝24，∴AB上的高為：24×2÷10＝4.8，即圓心到直線的距離是4.8．∵4.8＜5，∴⊙O與AB的位置關系是相交．故選：A．【點評】本題考查的是直線與圓的位置關系，解決此類問題可通過比較圓心到直線距離d與圓半徑大小關系完成判定．10．（3分）二次函數y＝ax2+bx+c的部分圖象如圖，則下列說法正確的有（）①對稱軸是直線x＝﹣1；②c＝3；③ab＞0；④當x＜1時，y＞0；⑤方程ax2+bx+c＝0的根是x1＝﹣3和x2＝1A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【分析】根據二次函數的圖象與性質即可求出答案．【解答】解：①由拋物線圖象得對稱軸是直線x＝﹣1，選項①正確；②根據拋物線與y軸的交點可得c＝3；選項②正確；③由拋物線圖象得：開口向下，即a＜0；對稱軸，則b＜0，ab＞0，選項③正確；④由圖象與x軸的交點（﹣3，0）知x＜﹣3時，y＜0，選項④錯誤；⑤由圖象得拋物線與x軸交點的橫坐標為1，﹣3，則方程ax2+bx+c＝0的根是x1＝﹣3和x2＝1，選項⑤正確．故選：C．【點評】主要考查圖象與二次函數系數之間的關系，掌握二次函數y＝ax2+bx+c系數符號由拋物線開口方向、對稱軸、拋物線與y軸的交點、拋物線與x軸的交點的確定是解題的關鍵．二、填空題（6個題，每題4分，共24分）11．（4分）數據﹣5，﹣3，﹣3，0，1，3的眾數是﹣3．【分析】根據眾數的概念直接求解即可．【解答】解：數據﹣3出現了2次，出現的次數最多，所以眾數是﹣3．故答案為：﹣3．【點評】考查了眾數的概念．眾數是一組數據中出現次數最多的數據，注意眾數可以不止一個．12．（4分）如圖所示的不等式組的解集是﹣2＜x≤1．【分析】根據不等式組解集是所有不等式解集的公共部分求解可得．【解答】解：由數軸可知﹣2＜x≤1是公共部分，即如圖所示的不等式組的解集是﹣2＜x≤1．故答案是：﹣2＜x≤1．【點評】考查了在數軸上表示不等式的解集．把每個不等式的解集在數軸上表示出來（＞，≥向右畫；＜，≤向左畫），數軸上的點把數軸分成若干段，如果數軸的某一段上面表示解集的線的條數與不等式的個數一樣，那么這段就是不等式組的解集．有幾個就要幾個．在表示解集時“≥”，“≤”要用實心圓點表示；“＜”，“＞”要用空心圓點表示．13．（4分）分解因式：a3﹣25a＝a（a+5）（a﹣5）．【分析】首先提取公因式a，再利用平方差進行分解即可．【解答】解：原式＝a（a2﹣25）＝a（a+5）（a﹣5）．故答案為：a（a+5）（a﹣5）．【點評】此題主要考查了用提公因式法和公式法進行因式分解，一個多項式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法進行因式分解，同時因式分解要徹底，直到不能分解為止．14．（4分）如圖，⊙O的兩條直徑分別為AB、CD，弦CE∥AB，∠COE＝40°，則∠BOD＝110°．【分析】先利用半徑相等得到∠ECO＝∠OEC，再利用三角形內角和定理計算出∠OCE的度數，接著根據平行線的性質得∠AOD＝∠OCE，然后利用鄰補角求∠BOD的度數．【解答】解：∵OC＝OE，∴∠ECO＝∠OEC，∴∠OCE＝（180°﹣∠COE）＝×（180°﹣40°）＝70°，∵CE∥AB，∴∠AOD＝∠OCE＝70°，∴∠BOD＝180°﹣70°＝110°，故答案為110．【點評】本題考查了圓周角定理以及平行線的知識，解題的關鍵求出∠OCE的度數，此題難度不大．15．（4分）如圖，點P在反比例函數y＝的圖象上，PM⊥x軸于M．若△PMO的面積為1，則k為﹣2．【分析】此題可從反比例函數系數k的幾何意義入手，△PMO的面積為點P向兩條坐標軸作垂線，與坐標軸圍成的矩形面積的一半即S＝，再結合反比例函數所在的象限確定出k的值．【解答】解：由題意知：S△PMO＝|k|＝1，所以|k|＝2，即k＝±2．又反比例函數是第二象限的圖象，k＜0，所以k＝﹣2，故答案為﹣2．【點評】本題主要考查了反比例函數y＝中k的幾何意義，即過雙曲線上任意一點引x軸、y軸垂線，所得三角形面積為|k|，是經常考查的一個知識點；這里體現了數形結合的思想，做此類題一定要正確理解k的幾何意義．16．（4分）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠A＝45°，∠B＝120°，AB＝5，BC＝10，則CD的長為10﹣5．【分析】如圖，作DE⊥AB交AB的延長線于E，CF⊥AB交AB的延長線于F．易證四邊形CDEF是矩形，推出CF＝DE，CD＝EF，解直角三角形求出BF，CF即可解決問題．【解答】解：如圖，作DE⊥AB交AB的延長線于E，CF⊥AB交AB的延長線于F．∵DE⊥EF，CF⊥EF，∴DE∥CF，∵CD∥EF，∴四邊形CDEF是平行四邊形，∵∠F＝90°，∴四邊形CDEF是矩形，∴CD＝EF，DE＝CF，在Rt△BCF中，∵BC＝10，∠CBF＝60°，∴BF＝BC＝5，CF＝DE＝5，在Rt△ADE中，∵∠A＝45°，∴AE＝DE＝5，∴BE＝5﹣5，∴CD＝EF﹣5﹣（5﹣5）＝10﹣5，故答案為10﹣5．【點評】本題考查解直角三角形，銳角三角函數等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造直徑三角形解決問題，屬于中考常考題型．三、解答題（一）（3個題，每題6分，共18分）17．（6分）計算：tan60°+（﹣1）2019．【分析】直接利用絕對值的性質以及特殊角的三角函數值、二次根式的性質分別化簡得出答案．【解答】解：原式＝+3﹣﹣1＝2﹣．【點評】此題主要考查了實數運算，正確化簡各數是解題關鍵．18．（6分）先化簡，再求代數式的值，其中．【分析】原式括號中兩項通分并利用同分母分式的加法法則計算，同時利用除法法則變形，約分得到最簡結果，把a的值代入計算即可求出值．【解答】解：原式＝÷＝?＝，當a＝時，原式＝＝+1．【點評】此題考查了分式的化簡求值，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．19．（6分）A城市到B城市鐵路里程是300千米，若旅客從A城市到B城市可選擇高鐵和動車兩種交通工具，高鐵速度是動車速度的1.5倍，時間相差30分鐘，求高鐵的速度．【分析】設動車速度為x公里/小時，則高鐵速度為1.5x公里/小時，根據時間＝路程÷速度結合乘坐高鐵比動車節省30分鐘（小時），即可得出關于x的分式方程，解之經檢驗后即可得出結論．【解答】解：設動車速度為x公里/小時，則高鐵速度為1.5x公里/小時，依題意，得：﹣＝，解得：x＝200，經檢驗，x＝200是原分式方程的根，且符合題意，∴1.5x＝300．答：高鐵速度為300公里/小時．【點評】本題考查了分式方程的應用，找準等量關系，正確列出分式方程是解題的關鍵．四、解答題（二）（3個題，每題7分，共21分）20．（7分）如圖，△ABC中，AC＝8，BC＝10，AC＞AB．（1）用尺規作圖法在△ABC內求作一點D，使點D到兩點A、C的距離相等，又到邊AC、BC的距離相等（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）若△ACD的周長為18，求△BCD的面積．【分析】（1）作線段AC的垂直平分線MN交AC于M，作∠ACB的平分線CK，交MN于點D，點D即為所求．（2）作DF⊥BC于F，連接AD，BD．利用角平分線的性質定理求出DF即可解決問題．【解答】解：（1）作線段AC的垂直平分線MN交AC于M，作∠ACB的平分線CK，交MN于點D，點D即為所求．（2）作DF⊥BC于F，連接AD，BD．∵AC+CD+AD＝18，AC＝DA，AC＝8，∴CD＝5，CE＝4，∴DE＝＝3，∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥CB，∴DF＝DE＝3，∴S△BCD＝×BC×DF＝×10∴3＝15【點評】本題考查作圖﹣復雜作圖，角平分線的性質定理，線段的垂直平分線的性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．21．（7分）學生利用微課學習已經越來越多，某學校調查了若干名學生利用微課學習語文、數學、英語、物理、歷史的情況，根據結果繪制成如圖所示的兩幅不完整的統計圖．請結合圖中信息解決下列問題：（1）抽取了100名學生進行調查；（2）將條形統計圖補充完整；（3）估計學生利用微課學習哪科的人數最多？若該校有2000名學生，估計有多少人利用微課學習該學科．【分析】（1）由語文學科的人數及其所占百分比可得答案；（2）根據各學科人數之和等于總人數求得英語學科的人數即可補全圖形；（3）用總人數乘以對應學科占總人數的比例即可得．【解答】解：（1）本次調查的總人數為5÷5%＝100（人），故答案為：100；（2）英語對應的人數為100﹣（5+20+30+25）＝20，補全圖形如下：（3）估計學生利用微課學習數學學科的人數最多，估計利用微課學習數學學科的人數為2000×＝600（人）．【點評】本題考查的是條形統計圖和扇形統計圖的綜合運用，讀懂統計圖，從不同的統計圖中得到必要的信息是解決問題的關鍵．條形統計圖能清楚地表示出每個項目的數據；扇形統計圖直接反映部分占總體的百分比大小．求概率．22．（7分）矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，點E為AB的中點，將矩形ABCD沿CE折疊，使得點B落到點F的位置．（1）求證：AF∥CE；（2）求AF的長度．【分析】（1）由折疊的性質可得∠BEC＝∠FEC，EF＝AE，由等腰三角形的性質和三角形外角的性質可得∠EAF＝∠BEC，可證AF∥CE；（2）過點E作EG⊥AF于點F，由勾股定理可得CE＝，可證△BCE∽△GEA，，可求AG的長，由等腰三角形的性質可求AF的長度．【解答】證明：（1）∵折疊∴∠BEC＝∠FEC，EF＝AE，∵點E為AB的中點，∴BE＝AE∴EF＝AE∴∠EAF＝∠EFA∵∠BEF＝∠EAF+∠EFA＝∠BEC+∠FEC∴2∠EAF＝2∠BEC∴∠EAF＝∠BEC∴CE∥AF（2）過點E作EG⊥AF于點F，∵四邊形ABCD是矩形∴∠B＝90°∵BC＝3，AE＝BE＝AB＝2∴CE＝＝∵∠BEC＝∠EAF，∠B＝∠EGA＝90°∴△BCE∽△GEA∴∴AG＝∵AE＝EF，EG⊥AF∴AF＝2AG＝【點評】本題考查了翻折變換，平行線的判定，矩形的性質，相似三角形的判定和性質，勾股定理，證明△BCE∽△GEA是本題的關鍵．五、解答題（三）（3個題，每題9分，共27分）23．（9分）二次函數y＝x2﹣2x﹣3．（1）畫出上述二次函數的圖象；（2）如圖，二次函數的圖象與x軸的其中一個交點是B，與y軸的交點是C，直線BC與反比例函數的圖象交于點D．且BC＝3CD，求反比例函數的詳解式．（3）在（2）的條件下，x軸上的點P的橫坐標是多少時，△BCP與△OCD相似．【分析】（1）列表、描點、連線即可得；（2）作DE⊥y軸于E，證△DEC∽△BOC得＝＝，依據BC＝3CD知DE＝CE＝1，從而得出D（﹣1，﹣4），再利用待定系數法求解可得；（3）先根據題意得出∠OCD＝∠CBP＝135°，再分＝和＝兩種情況，分別求出BP的長即可得出答案．【解答】解：（1）列表如下：x…﹣10123…y＝x2﹣2x﹣3…0﹣3﹣4﹣30…描點，連線如圖：（2）由（1）知，B（3，0），C（0，﹣3），∴OB＝OC＝3，過點D作DE⊥y軸于E，∴∠DEC＝∠BOC＝90°，∵∠DCE＝∠BCO，∴△DEC∽△BOC，∴＝＝，∵BC＝3CD，∴DE＝CE＝1，∴OE＝4，∴D（﹣1，﹣4），設反比例函數詳解式為y＝，則﹣4＝，解得k＝4，∴反比例函數詳解式為y＝；（3）由題意知，必有∠OCD＝∠CBP＝135°，①當＝時，＝，解得BP＝9，∴此時點P坐標為（12，0）；②當＝時，＝，解得BP＝2，∴P（5，0）；綜上，當P的橫坐標為5或12時，△BCP與△OCD相似．【點評】本題是二次函數的綜合問題，解題的關鍵是掌握函數圖象的畫法、待定系數法求函數詳解式、相似三角形的判定與性質等知識點．24．（9分）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB為⊙O的直徑，過點C作∠BCD＝∠BAC交AB的延長線于點D，過點O作直徑EF∥BC，交AC于點G．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）若⊙O的半徑為2，∠BCD＝30°；①連接AE、DE，求證：四邊形ACDE是菱形；②當點P是線段AD上的一動點時，求PF+PG的最小值．【分析】（1）連接OC，由AB是⊙O的直徑知∠BAC+∠ABC＝90°，由OC＝OB知∠ABC＝∠OCB，根據∠BCD＝∠CAB得∠OCB+∠BCD＝90°，據此可得答案；（2）①連接AE、ED、BE，先證△OCB，△OEB是等邊三角形得BC＝OB＝BE，再證Rt△ABC≌Rt△ABE，△DBC≌△DBE得AC＝CD＝AE＝DE，據此可得答案；②作F關于直線AB的對稱點H，H在⊙O上，連接GH交AB于點P，此時線段GH最短，則PF+PG最小，連接OH，過H作HI⊥EF，先由F與H關于直線AB對稱知∠GOH＝120°，∠HOE＝60°，再求得OG＝OAcos60°＝1，OI＝OHcos60°＝1，HI＝，根據勾股定理可得答案．【解答】解：（1）連接OC，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC+∠ABC＝90°，∵OC＝OB，∴∠ABC＝∠OCB，∵∠BCD＝∠CAB，∴∠OCB+∠BCD＝90°，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切線；（2）①連接AE、ED、BE，∵∠BCD＝30°，∴∠OCB＝∠OBC＝60°，∴∠CAD＝∠CDA＝30°，∴AC＝DC，∵EF∥BC，∴∠AOF＝∠OBC＝60°，∴∠EOB＝∠AOF＝60°，∵OE＝BC＝OC，∴△OCB，△OEB是等邊三角形，∴BC＝OB＝BE，∵∠ACB＝∠AEB＝90°，AB＝AB，BC＝BE，∴Rt△ABC≌Rt△ABE（HL），∴AC＝AE，∠ABC＝∠ABE，∴∠BDC＝∠DBE，又∵BC＝BE，BD＝BD，∴△DBC≌△DBE（SAS），∴DC＝DE，∴AC＝CD＝AE＝DE，∴四邊形ACDE是菱形；②作F關于直線AB的對稱點H，H在⊙O上，連接GH交AB于點P，此時線段GH最短，則PF+PG最小，連接OH，過H作HI⊥EF，由①知∠AOF＝60°，∵F與H關于直線AB對稱，∴∠AOH＝∠AOF＝60°，∴∠GOH＝120°，∠HOE＝60°，在Rt△AGO中，OA＝2，∴OG＝OAcos60°＝2×＝1，在Rt△HIO中，OH＝2，∴OI＝OHcos60°＝2×＝1，HI＝，∴GH＝＝，∴PF+PG的最小值為．【點評】本題是圓的綜合問題，解題的關鍵是掌握切線的判定與性質、圓周角定理、全等三角形的判定與性質、軸對稱的性質等知識點．25．（9分）如圖，直線y＝﹣x+2交坐標軸于A、B兩點，直線AC⊥AB交x軸于點C，拋