標準分與正態分布第1頁，共22頁，2023年，2月20日，星期五標準分

(1)小趙同學

數學95分

語文80分

那門課好？問該同學究竟是數學好還是語文好？原始分是有弊端的。如何衡量兩個成績的高低？第2頁，共22頁，2023年，2月20日，星期五標準分

(2)

▲引入Z分概念：Z=

如小趙同學的數學Z1=1，語文Z2=2。▲意義：數學成績比團體平均分高出1個標準差，語文成績比團體平均分高出2個標準差。第3頁，共22頁，2023年，2月20日，星期五標準分

(3)

▲Z分克服了原始分含義不明確，不可比，不可加等局限性。它以考生的平均成績

為參考點，以考生之間差異s為分數單位，排除了題目難度及題目難度分布的影響，確定了其在團體中的具體位置。▲以標準分統計成績在一些高校使用比較普遍。第4頁，共22頁，2023年，2月20日，星期五標準分

(4)▲為避免出現負值，出現小數，可經過線性變換得到T分，如托福（TOFEL）考試

T=500+70Z（500分為平均分）。如某人托福原始分79分,團體平均分63分,標準差8分。第5頁，共22頁，2023年，2月20日，星期五正偏態第6頁，共22頁，2023年，2月20日，星期五負偏態第7頁，共22頁，2023年，2月20日，星期五正態第8頁，共22頁，2023年，2月20日，星期五第9頁，共22頁，2023年，2月20日，星期五標準正態曲線第10頁，共22頁，2023年，2月20日，星期五正態分布

一、正態分布曲線

二、正態分布表的使用

三、應用舉例

第11頁，共22頁，2023年，2月20日，星期五一、正態分布曲線(1)▲

正態分布圖的特點：兩頭低，中間高，呈鐘型；兩邊對稱，對稱軸為x=曲線與數軸所圍部分面積為1，即總概率為1；落在某區間上的概率等于相應區間上的面積。

第12頁，共22頁，2023年，2月20日，星期五一、正態分布曲線(2)▲

正態分布曲線的函數表達式：▲

當x=時，取到最大值（高峰）峰的高低與標準差s有關:s愈大，曲線愈“胖”；s愈小，曲線愈“瘦”。第13頁，共22頁，2023年，2月20日，星期五一、正態分布曲線(3)欲求落在某區間（分數段）上的概率，要用到高等數學中積分的知識。

x>a時面積

▲為避免積分運算，我們作變換：這樣得到了標準正態分布。▲這種變換，實際上達到兩個目的：（1）移軸，使對稱軸變成縱軸；（2）標準差變成1，使“體形”標準化。于是，不用積分，只需查表便可求出某部分的面積（概率）。第14頁，共22頁，2023年，2月20日，星期五二、正態分布表的使用

(1)▲前提：在教育研究中，許多現象如學習成績，身高，品德等一般都呈正態分布。【例】某次測驗

=65s=10問65分到85分的概率是多少？

第15頁，共22頁，2023年，2月20日，星期五二、正態分布表的使用(2)▲

正態分布表介紹：表的縱目——z的整數和第一位小數部分，表的橫目——z的第二位小數部分；中間是相應的概率（面積）Ф(z)值z的范圍由0到3.09；區間[z1,z2]上曲線與橫軸所夾的面積Ф(z2)-Ф(z1)

；對稱軸兩邊面積均為0.5。

第16頁，共22頁，2023年，2月20日，星期五二、正態分布表的使用(3)兩個重要的數據：在[-1.96,1.96]之間的概率（面積）為95%。在[-2.58,2.58]之間的概率（面積）為99%。落到[-1.96,1.96]以外的可能性為5%，稱1.96是α=0.05的臨界值。落到[-2.58,2.58]以外的可能性更小，僅為1%，稱2.58是α=0.01的臨界值。第17頁，共22頁，2023年，2月20日，星期五三、應用舉例(1)

1．各分數段的比例

【例】某班48人，語文測驗分數呈正態分布，=80，s=10，問分數在70-88之間的學生比例為多少？人數為多少？

第18頁，共22頁，2023年，2月20日，星期五三、應用舉例(2)

2.求各比例的分數區間

【例】某校欲招收500名新生，報考人數為3160人，考生平均成績為176分，標準差為64分，考試滿分400分，若全體考生成績呈正態分布，問：（1）成績為300分的考生大約能列多少名？（2）最低錄取分數線約為多少？

第19頁，共22頁，2023年，2月20日，星期五三、應用舉例(3)【例】某校欲招收500名新生，報考人數為3160人，考生平均成績為176分，標準差為64分，考試滿分400分，若全體考生成績呈正態分布，問：（1）成績為300分的考生大約能列多少名？（2）最低錄取分數線約為多少？第20頁，共22頁，2023年，2月20日，星期五三、應用舉例(4)要想把100人在某一能力上分成5個等級，各等級應該有多少人，才能使等級評定做到等距？計算如下：6S÷5=1.2S，要使各等級等距，每一等級應占1.2個標準差的距離。確定各等級的Z分數界限，然后查表。

第21頁，共22頁，2023年，2月20日，星期五分組各組界限比率P人數分布（P×N）A1.8S以上0.03594B0.6S——1