第二講雙曲線[知識梳理]［知識盤點］1．雙曲線的定義：我們把平面內與兩個定點的距離的差的絕對值等于常數（）的點的軌跡叫做雙曲線，用符號表示為。這兩個定點叫雙曲線的，兩個焦點之間的距離叫做雙曲線的。2．雙曲線的第二定義：平面內，到定點(或)的距離與到定直線的距離之比是常數（即）的動點的軌跡叫做雙曲線，這個定點是雙曲線的，這條定直線叫做雙曲線的，其中常數叫做雙曲線的。二．雙曲線的標準方程3．當雙曲線的焦點在軸上時，雙曲線的標準方程為，其中焦點坐標為，，且；當雙曲線的焦點在軸上時，雙曲線的標準方程為，其中焦點坐標為，，且.當且僅當雙曲線的中心在坐標原點，其焦點在坐標軸上時，雙曲線的方程才是標準形式。三．雙曲線的幾何性質方程圖形yyOA1F1A2F2xyyOB1F1B2F2x范圍或對稱性關于軸，軸及原點對稱關于軸，軸及原點對稱頂點離心率準線漸近線［特別提醒］本節的重點是雙曲線的定義、方程、幾何性質.難點是理解參數a、b、c、e的關系及漸近線方程、準線方程、第二定義的應用.關鍵是準確理解和掌握有關概念，靈活地運用數形結合、函數與方程的思想及等價轉化的思想.為此建議在復習中注意以下幾點：1.雙曲線中有一個重要的Rt△OAB（如下圖），它的三邊長分別是a、b、c.易見c2=a2+b2，若記∠AOB=θ，則e==.2.雙曲線的定義用代數式表示為||MF1|－|MF2||=2a，其中2a＜|F1F2|，這里要注意兩點：（1）距離之差的絕對值.（2）2a＜|F1F2|，這兩點與橢圓的定義有本質的不同.當|MF1|－|MF2|=2a時，曲線僅表示焦點F2所對應的一支；當|MF1|－|MF2|=－2a時，曲線僅表示焦點F1所對應的一支；當2a=|F1F2|時，軌跡是一直線上以F1、F2為端點向外的兩條射線；當2a＞|F1F2|時，動點軌跡不存在.3.參數a、b是雙曲線的定形條件，兩種標準方程中，總有a＞0，b＞0；雙曲線焦點位置決定標準方程的類型；a、b、c的關系是c2=a2+b2；在方程Ax2+By2=C中，只要AB＜0且C≠0，就是雙曲線的方程.4.在運用雙曲線的第二定義時，一定要注意是動點P到焦點的距離與到相應準線距離之比為常數e.若使用的焦點與準線不是對應的，則上述之比就不再是常數了.5.給定了雙曲線方程，就可求得確定的兩條漸近線.但已知漸近線方程，只是限制了雙曲線張口的大小，不能直接寫出雙曲線方程.但若已知漸近線方程是±=0，則可把雙曲線方程表示為－=（≠0），再根據已知條件確定的值，求出雙曲線的方程.[基礎闖關]1．設P是雙曲線－=1上一點，雙曲線的一條漸近線方程為3x－2y=0，F1、F2分別是雙曲線的左、右焦點.若|PF1|=3，則|PF2|等于()(A)1或5(B)6 (C)7 (D)92．（2022年北京春）“ab<0”是“曲線ax2+by2=1為雙曲線”的(A)充分不必要條件(B)必要不充分條件(C)充分必要條件(D)既不充分又不必要條件3．過點（2，－2）且與雙曲線－y2=1有公共漸近線的雙曲線方程是()(A)－=1(B)－=1(C)－=1(D)－=14．（）已知雙曲線的兩條漸近線的夾角為，則雙曲線的離心率為（）（A）（B）（C）（D）25．已知圓C過雙曲線－=1的一個頂點和一個焦點，且圓心在此雙曲線上，則圓心到雙曲線中心的距離是____________.6．給出問題：F1、F2是雙曲線－=1的焦點，點P在雙曲線上.若點P到焦點F1的距離等于9，求點P到焦點F2的距離.某學生的解答如下：雙曲線的實軸長為8，由||PF1|－|PF2||=8，即|9－|PF2||=8，得|PF2|=1或17.該學生的解答是否正確？若正確，請將他的解題依據填在下面橫線上；若不正確，將正確結果填在題中的橫線上.______________________________________________________.[典例精析]例1．設雙曲線與橢圓有共同的焦點，且與橢圓相交，一個交點的縱坐標為4，求雙曲線的方程。［剖析］由于橢圓的焦點坐標為，且雙曲線與橢圓具有相同的焦點，知雙曲線的焦點也為，從而知所設雙曲線的形式應為，圍繞定義產生的問題，要注意的三個量之間的關系。本題抓住“交點”在雙曲線上，必須滿足定義，從而應用定義求出雙曲線方程中的基本量。［解］解法一：由橢圓，得其焦點為或，雙曲線的焦點在軸上，設所求的雙曲線方程為().由已知得雙曲線兩焦點分別為，且與橢圓相交其中一個交點的縱坐標為4，設交點坐標為，從而得，解得，則解得，由于，得，因此方程即為所求.解法二：由題意設雙曲線方程為，將A()代入求得，故所求雙曲線方程為.［警示］利用定義法來求解雙曲線的標準方程時，一定要抓住題設所給出的獨立條件建立之間的等量關系，再利用運用方程的思想來求解，從而得到的值。但需注意首先應判斷焦點的位置，以便于采用哪種形式的方程。［變式訓練］：1.根據下列條件，求雙曲線方程：（1）與雙曲線－=1有共同的漸近線，且過點（－3，2）；（2）與雙曲線－=1有公共焦點，且過點（3，2）.例2．設點P到點M（－1，0）、N（1，0）距離之差為2m，到x軸、y軸距離之比為2，求m的取值范圍.［剖析］由|PM|－|PN|=2m，得||PM|－|PN||=2|m|.知點P的軌跡是雙曲線，由點P到x軸、y軸距離之比為2，知點P的軌跡是直線，由交軌法求得點P的坐標，進而可求得m的取值范圍.［解］設點P的坐標為（x，y），依題意得=2，即y=±2x（x≠0） ①因此，點P（x，y）、M（－1，0）、N（1，0）三點不共線，得||PM|－|PN||<|MN|=2.∵||PM|－|PN||=2|m|>0，∴0<|m|<1.因此，點P在以M、N為焦點，實軸長為2|m|的雙曲線上.故設－=1. ②將①代入②，并解得x2=，∵1－m2>0，∴1－5m2>0.解得0<|m|<，即m的取值范圍為（－，0）∪（0，）.［警示］求雙曲線的方程，關鍵是求a、b，在解題過程中應熟悉各元素（a、b、c、e及準線）之間的關系，并注意方程思想的應用.［變式訓練］2.（2022年上海浦東）已知曲線.（1）畫出曲線的圖像，（2）若直線與曲線有兩個公共點，求的取值范圍；（3）若，為曲線上的點，求的最小值.例3．已知雙曲線C的中心在原點，焦點在軸上，點與其漸近線的距離為，過點P作斜率為的直線交雙曲線于兩點，交軸于M，且是與的等比中項.（1）求雙曲線的漸近線方程；（2）求雙曲線的方程.［剖析］(1)由點與其漸近線的距離為，借助于點到直線的距離公式可求得其漸近線方程；(2)由漸近線方程，可設雙曲線方程，再借助于題條件，不難得到雙曲線方程。［解］(1)設雙曲線的一條漸近線方程為，由點到直線的距離公式得，即雙曲線的漸近線方程為；（2）設雙曲線方程為，，則直線的方程為.由得，當即時，有由可得，從而或.故所求的雙曲線方程為或.［警示］漸近線是雙曲線特有的，如果說雙曲線的方程為，則其漸近線方程可記為.同時，以為漸近線的雙曲線，其方程可設為；若已知雙曲線的漸近線方程是以ax±by=0的形式給出的，則可設雙曲線方程為a2x2－b2y2=（≠0）.［變式訓練］3.已知雙曲線關于兩坐標軸對稱，且與圓相交于點，若此圓過點P的切線與雙曲線的漸近線平行，求此雙曲線的方程。例4．已知直線與雙曲線相交于A、B兩點，那么是否存在實數使得兩點關于直線對稱？若存在，求出的值；若不存在，說明理由。［剖析］這是一類非常典型的題目上，“已知曲線：上是否存在相異的兩點，使關于定直線對稱”這類問題的基本解決思路是：若存在是曲線上相異兩點，它們關于對稱.設的中點為，則，即，=1\*GB3①，又=2\*GB3②，由=1\*GB3①=2\*GB3②可解得，根據坐標的范圍，不難得出答案。［解］設，若存在這樣的，使兩點關于直線對稱，則，且的中點滿足.由，兩式相減得：，，，即，又，即，，從而，這顯然是不可能的，故不存在這樣的直線。［警示］對于類似的探索性題目，我們一般假設符合題設條件的直線存在，從這個假設出發，如果能夠推導出的值，則說明這樣的直線是存在的；如果推導不出的值，或者說推導出矛盾的結果，這就說明滿足條件的值不存在。［變式訓練］4．已知雙曲線－=1的離心率，左、右焦點分別為F1、F2，左準線為l，能否在雙曲線的左支上找一點P，使得|PF1|是P到l的距離d與|PF2|的等比中項?例5．雙曲線的焦距為2c，直線過點（a，0）和（0，b），且點（1，0）到直線的距離與點（－1，0）到直線的距離之和求雙曲線的離心率e的取值范圍.［剖析］本題是求雙曲線的離心率取值范圍問題，根據題設中的獨立條件建立關于的等式或不等式，再利用與進行求解。［解］直線的方程為，即由點到直線的距離公式，且，得到點（1，0）到直線的距離，同理得到點（－1，0）到直線的距離由即于是得解不等式，得由于所以的取值范圍是［警示］求方程的離心率的最值(或范圍)問題，往往需要借僵雙曲線的定義、圖象、范圍和性質，正(余)弦函數的有界性等，結合的關系，構造出一個關于離心率的不等式，從而達到求解的目的。［變式訓練］5．設雙曲線C：相交于兩個不同的點A、B.求雙曲線C的離心率e的取值范圍。例6．（2022年北京宣武區）神舟6號飛船返回倉順利到達地球后，為了及時將航天員救出，地面指揮中心在返回倉預計到達區域安排三個救援中心（記為A，B，C），B在A的正東方向，相距6km，C在B的北偏東30°，相距4km，P為航天員著陸點，某一時刻A接到P的求救信號，由于B、C兩地比A距P遠，因此4s后，B、C兩個救援中心才同時接收到這一信號，已知該信號的傳播速度為1km/s。 （I）求A、C兩個救援中心的距離； （II）求在A處發現P的方向角； （III）若信號從P點的正上方Q點處發出，則A、B收到信號的時間差變大還是變小，說明理由。［剖析］對于(1)以借助于兩點間的距離公式得到；(2)抓住這一條件可知P在BC線段的垂直平分線上且，由雙曲線的定義，可得P在以A、B為焦點的雙曲線的左支上，從而求出其對應的方程；(3)是一個比較大小的問題，一般的處理思路是作差法比較.［解］解：（I）以AB中點為坐標原點，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標系，則 則 即A、C兩個救援中心的距離為（II），所以P在BC線段的垂直平分線上 又，所以P在以A、B為焦點的雙曲線的左支上，且 ∴雙曲線方程為 BC的垂直平分線的方程為 聯立兩方程解得： ∴∠PAB＝120° 所以P點在A點的北偏西30°處.（III）如圖，設 又∵， 即A、B收到信號的時間差變小，且兩救援中心收到信號的時間少于4秒。MDCBA［警示］面對實際問題，首先要構建數學模型，將實際問題轉化為數學問題。本題抓住MDCBA［變式訓練］6．如圖所示，某農場在M處有一堆肥料沿道路MA或MB送到大田ABCD中去，已知|MA|=6，|MB|=8，|BC|=3，，能否在大田中確定一條界線，使位于界線一側的點沿MA送肥料較近，而另一側沿MB送肥料較近？若能，請建立適當的直角坐標系，求出這條界線的方程.[能力提升]1．若，則“”是“方程表示雙曲線”的()（A）充分不必要條件.（B）必要不充分條件.（C）充要條件.（D）既不充分也不必要條件.2．（2022年江西卷）P是雙曲線的右支上一點，M、N分別是圓（x＋5）2＋y2＝4和（x－5）2＋y2＝1上的點，則|PM|－|PN|的最大值為（）(A)6(B)7(C)8(D)93．如果雙曲線－＝1上一點P到它的右焦點的距離是8，那么P到它的右準線距離是()(A)10(B)(C)2(D)4．（2022年福建卷）已知雙曲線的右焦點為F，若過點F且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則此雙曲線離心率的取值范圍是（） （A）（B）（C）（D）5．（2022年全國卷I）雙曲線的虛軸長是實軸長的2倍，則()(A)(B)(C)(D)6．若雙曲線的漸近線方程為，它的一個焦點是，則雙曲線的方程是__________。7．雙曲線＝1的兩個焦點為F1、F2，點P在雙曲線上，若PF1⊥PF2，則點P到x軸的距離為.8．（2022年湖南卷）已知雙曲線－＝1（a＞0，b＞0）的右焦點為F，右準線與一條漸近線交于點A，△OAF的面積為（O為原點），則兩條漸近線的夾角為9．已知雙曲線的焦點為F1、F2，點M在雙曲線上且則點M到x軸的距離為