最新人教版九年級數(shù)學(xué)下冊

同步配套教學(xué)案（教案+學(xué)案）

26.1.1反26.1.2第126.1.2M226.2第1課26.2第2課27.1圖形27.2.1第1

比例函數(shù)課時(shí)反比課時(shí)反比時(shí)實(shí)際問時(shí)其他學(xué)的相似課時(shí)平行

例函數(shù)的圖例函數(shù)的圖題中的反比科中的反比

象和性質(zhì)象和性質(zhì)...例函數(shù)例函數(shù)比例

27.2.1M227.2.1M327.2.1第427.2.2相27.2.3相27.3第1課27.3第2課

課時(shí)三邊課時(shí)兩邊課時(shí)兩角歸角形的忙角形的時(shí)位似圖時(shí)平面直

成比例的兩成比例且夾分別用的研的形的概念及角坐標(biāo)至中

個(gè)三角形...角用的...兩個(gè)三角...畫法的位似

28.1第1課28.1第2課28.1第3課28.1第4課28.2.1解28.2.2第128.2.2M2

時(shí)正弦函時(shí)余弦函時(shí)特殊角時(shí)用計(jì)算直角三角形課時(shí)解直課時(shí)利用

數(shù)數(shù)和正切函的三角函數(shù)器求銳角三角三角形的仰俯角解直

值角函數(shù)值...簡單應(yīng)用角三角形

.

28.2.2第329.1第1課29.1第2課29.2第1課29.2第2課29.2第3課29.3課題

課時(shí)利用時(shí)平行投時(shí)正投影時(shí)三視圖時(shí)由三視時(shí)由三視學(xué)習(xí)制作

方位角、坡影與中心投圖確定幾何圖確定幾何立體模型

度解直角...影體體的面積…

（教案+學(xué)案均為Word,可以修改）

第二十六章反比例函數(shù)

26.1反比例函數(shù)

26.1.1反比例函數(shù)

教學(xué)目標(biāo)

1.理解反比例函數(shù)的概念；（難點(diǎn)）

2.能判斷一個(gè)給定的函數(shù)是否為反比例函數(shù)，并會(huì)用待定系數(shù)法求解析式；（重點(diǎn)）

3.能根據(jù)實(shí)際問題中的條件建立反比例函數(shù)模型.（重點(diǎn)）

教學(xué)過程

一、情境導(dǎo)入

1.京廣高鐵全程為2298km,某次列車的平均速度。（單位：km/h）與此次列車的全程運(yùn)

行時(shí)間r（單位：h）有什么樣的等量關(guān)系？

2.冷凍一個(gè)物體，使它的溫度從20℃下降到零下100C,每分鐘平均變化的溫度式單

位：。C）與冷凍時(shí)間f（單位：min）有什么樣的等量關(guān)系？

問題：這些關(guān)系式有什么共同點(diǎn)？

二、合作探究

探究點(diǎn)一：反比例函數(shù)的定義

［類型一］反比例函數(shù)的識(shí)別

硒1下列函數(shù)中：①尸今②3孫=1；③y」*；④.反比例函數(shù)有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

解析：①是反比例函數(shù)，正確；②3盯=1可化為y=五，是反比例函數(shù)，正確；

③；'僅是反比例函數(shù),正確；④是正比例函數(shù)，錯(cuò)誤.故選C.

方法總結(jié)：判斷一個(gè)函數(shù)是否是反比例函數(shù)，首先要看兩個(gè)變量是否具有反比例關(guān)系，

然后根據(jù)反比例函數(shù)的定義去判斷，其形式為），=$（&為常數(shù)，�）,為常數(shù)，k

=0）或?qū)O=%（人為常數(shù)，女W0）.

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［類型二］根據(jù)反比例函數(shù)的定義確定字母的值

已知函數(shù)y=（2m2+m—1）工2〃?2+3加一3是反比例函數(shù)，求機(jī)的值.

解析：由反比例函數(shù)的定義可得2/T?+3加一3=—1,2m2+"?-iwo,然后求解即可.

（2/n2+3/w—3=-1,

解：丁》=（2療+加-1）%2/南+3m一3是反比例函數(shù)，，彳2?口解得團(tuán)=一

2"十團(tuán)―1H0,

2.

方法總結(jié)：反比例函數(shù)也可以寫成>="一（左#0）的形式，注意元的次數(shù)為一1,系數(shù)不

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等于o.

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探究點(diǎn)二：用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)解析式

［類型一］確定反比例函數(shù)解析式

1例?已知變量y與x成反比例，且當(dāng)x=2時(shí)，y=-6.求：

(1)y與x之間的函數(shù)解析式；

(2)當(dāng))，=2時(shí)，x的值.

解析：(1)由題意中變量y與x成反比例，設(shè)出函數(shù)的解析式，利用待定系數(shù)法進(jìn)行求

解.(2)代入求得的函數(shù)解析式，解得x的值即可.

解：⑴；變量y與x成反比例，，設(shè)y=1(ZW0),二,當(dāng)x=2時(shí)，y——C>,：.k—2X(—

6)=-12,與x之間的函數(shù)解析式是>=一；；

(2)當(dāng)y=2時(shí)，y-———2,解得x=-6.

方法總結(jié)：用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式時(shí)要注意：①設(shè)出含有待定系數(shù)的反比例

函數(shù)解析式，形如y=5僅為常數(shù)，%#0)；②將已知條件(自變量與函數(shù)的對應(yīng)值)代入解析

式，得到關(guān)于待定系數(shù)的方程；③解方程，求出待定系數(shù)；④寫出解析式.

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［類型二］解決與正比例函數(shù)和反比例函數(shù)有關(guān)的問題

［例。已知>=丁|+”，以與(元一1)成正比例，力與(冗+D成反比例，當(dāng)x=0時(shí)，y=-3；

當(dāng)x=\時(shí)，y=-1.求：

(l)y關(guān)于x的關(guān)系式；

(2)當(dāng)工=一;時(shí)，y的值.

解析：根據(jù)正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的定義得到y(tǒng)22的關(guān)系式，進(jìn)而得到y(tǒng)的關(guān)系式，

把所給兩組數(shù)據(jù)代入即可求出相應(yīng)的比例系數(shù)，也就求得了所要求的關(guān)系式.

解：⑴〈yi與(x—1)成正比例，”與(工+1)成反比例，，設(shè)yi=%i(x—1)/120)，”=尤+］

伏2WO),Vy=y1+_y2?，y=Zi(x—l)+^py.當(dāng)x=0時(shí),y=-3；當(dāng)x=l時(shí),y=-1,

—3=-攵］+攵2，

<］Tk??鬲=1,左2=_2,??y=x-1—無?］；

(2)把x=一￡代入⑴中函數(shù)關(guān)系式得y=-9

方法總結(jié)：能根據(jù)題意設(shè)出九的函數(shù)關(guān)系式并用待定系數(shù)法求得等量關(guān)系是解答此

題的關(guān)鍵.

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探究點(diǎn)三：建立反比例函數(shù)模型及其相關(guān)問題

碉寫出下列問題中兩個(gè)變量之間的函數(shù)表達(dá)式，并判斷其是否為反比例函數(shù).

(1)底邊為3cm的三角形的面積yen?隨底邊上的高xcm的變化而變化；

(2)一艘輪船從相距skm的甲地駛往乙地，輪船的速度泳m/h與航行時(shí)間rh的關(guān)系；

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(3)在檢修100m長的管道時(shí)，每天能完成10m,剩下的未檢修的管道長ym隨檢修天數(shù)

x的變化而變化.

解析：根據(jù)題意先對每一問題列出函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)反比例函數(shù)的定義判斷其是否為

反比例函數(shù).

解：(1)兩個(gè)變量之間的函數(shù)表達(dá)式為：y=1r，不是反比例函數(shù)；

(2)兩個(gè)變量之間的函數(shù)表達(dá)式為：。=力是反比例函數(shù)；

(3)兩個(gè)變量之間的函數(shù)表達(dá)式為：y=100-10x,不是反比例函數(shù).

方法總結(jié)：解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)實(shí)際問題中的等量關(guān)系，列出函數(shù)解析式，然后根據(jù)

解析式的特點(diǎn)判斷是什么函數(shù).

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三、板書設(shè)計(jì)

1.反比例函數(shù)的定義：

形如為常數(shù)，%￥0)的函數(shù)稱為反比例函數(shù).其中x是自變量，自變量x的取值

范圍是不等于0的一切實(shí)數(shù).

2.反比例函數(shù)的形式：

(l)y=((Z為常數(shù)，ZW0)；

(2)xy=k(k為常數(shù),AW0)；

(3?=丘7(左為常數(shù)，左#0).

3.確定反比例函數(shù)的解析式：待定系數(shù)法.

4.建立反比例函數(shù)模型.

教學(xué)反思

讓學(xué)生從生活實(shí)際中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題，從而引入學(xué)習(xí)內(nèi)容，這不僅激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的

興趣，還激起了學(xué)生自主參與的積極性和主動(dòng)性，為自主探究新知?jiǎng)?chuàng)造了現(xiàn)實(shí)背景.因?yàn)榉?/p>

比例函數(shù)這一部分內(nèi)容與正比例函數(shù)相似，在教學(xué)過程中以學(xué)生學(xué)習(xí)的正比例函數(shù)為基礎(chǔ)，

在學(xué)生之間創(chuàng)設(shè)相互交流、相互合作、相互幫助的關(guān)系，讓學(xué)生通過充分討論交流后得出它

們的相同點(diǎn)，在此基礎(chǔ)上來揭示反比例函數(shù)的意義.

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第二十六章反比例函數(shù)

26.1反比例函數(shù)

26.1.1反比例函數(shù)

一、課前預(yù)習(xí)

1.什么是函數(shù)？

2.什么是一次函數(shù)？

3.什么是正比例函數(shù)？

4.乘法表中乘積為12的兩個(gè)因數(shù)之間存在什么關(guān)系？

二、創(chuàng)設(shè)情境

1.問題1京滬線鐵路全程為1463km,某次列車的平均速度I，（單位：km/h）

隨此次列車的全程運(yùn)行時(shí)間/（單位：力）的變化而變化.

問題2某住宅小區(qū)要種植一塊面積為1000”的矩形草坪，草坪的長M單

位：m）隨寬x（單位：m）的變化而變化.

問題3已知北京市的總面積為1.68x10”源,人均占有面積s（單位:4加7

人）隨全市總?cè)丝凇ǎ▎挝唬喝耍┑淖兓兓?

三、形成概念

反比例函數(shù)定義：

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四、概念辨析

下列函數(shù)中哪些是反比例函數(shù)?并說出它的左。哪些是一次函數(shù)?

y=30x-l3；yr=2xy=-3y=--1-y=-1-y=X--

xy=2；y=2%-1；y=方

五、例題探究

例1.當(dāng)m=時(shí)，關(guān)于X的函數(shù)*07+7左是反比例函數(shù)？

例2.已知y是x的反比例函數(shù)，并且當(dāng)x=2時(shí),尸6.

(1)寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式;(2)當(dāng)x=4時(shí)，求y的直

(3)當(dāng)y=8時(shí)，求x的值.

六、拓展練習(xí)

1.已知y與總成反比例，并且當(dāng)x=3時(shí),y=4.

(1)寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式；

(2)當(dāng)x=7.5時(shí)，求y的值；

(3)當(dāng)尸6時(shí)，求x的值.

2.已知片1與W成反比例，且當(dāng)A=1時(shí)片4,求y與x的函數(shù)表達(dá)式，并判斷

是哪類函數(shù)？

26.1.2反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)

第1課時(shí)反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)

教學(xué)目標(biāo)

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1.會(huì)用描點(diǎn)的方法畫反比例函數(shù)的圖象；（重點(diǎn)）

2.理解反比例函數(shù)圖象的性質(zhì).（重點(diǎn)，難點(diǎn)）

教學(xué)過程

一、情境導(dǎo)入

已知某面粉廠加工出了4000噸面粉，廠方?jīng)Q定把這些面粉全部運(yùn)往B市.則所需要

的時(shí)間f（天）和每天運(yùn)出的面粉總重量機(jī)（噸）之間有怎樣的函數(shù)關(guān)系？你能在平面直角坐標(biāo)

系中畫出這個(gè)圖形嗎？

二、合作探究

探究點(diǎn)一：反比例函數(shù)的圖象

［類型—］反比例函數(shù)圖象的畫法

頤1作函數(shù)的圖象.

解析：根據(jù)函數(shù)圖象的畫法，進(jìn)行列表、描點(diǎn)、連線即可.

解：列表：

方法總結(jié)：作圖的一般步驟為：①列表；②描點(diǎn)；③連線；④注明函數(shù)解析式.

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［類型二］反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象位置的確定

礫在同一坐標(biāo)系中（水平方向是x軸），函數(shù)），=［和），=履+3的圖象大致是（）

解析：A.由函數(shù)的圖象可知％>0與y=fcc+3的圖象中上>0且過點(diǎn)（0,3）一致，故

A選項(xiàng)正確；B.由函數(shù)的圖象可知k>0與y=H+3的圖象中&>0且過點(diǎn)（0,3）矛盾，

k

故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C.由函數(shù)），=最的圖象可知ZV0與丁="+3的圖象中左V0且過點(diǎn)（0,3）矛

盾，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D.由函數(shù)的圖象可知后>0與y=^+3的圖象中&<0且過點(diǎn)（0,

3）矛盾，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選A.

方法總結(jié)：解答此類問題時(shí)，通常先根據(jù)雙曲線圖象所在的象限確定k的符號，再確定

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一次函數(shù)的系數(shù)及經(jīng)過的點(diǎn)是否也符合圖案，如果符合，可能正確；如果不符合，一定錯(cuò)誤.

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［類型三］實(shí)際問題中函數(shù)圖象的確定

麗若按xL/min的速度向容積為20L的水池中注水，注滿水池需ymin.則所需時(shí)間ymin

與注水速度xL/min之間的函數(shù)關(guān)系用圖象大致可表示為()

方法總結(jié)：解答此類問題要先根據(jù)題意列出反比例函數(shù)關(guān)系式，然后依據(jù)實(shí)際情況確定

函數(shù)自變量的取值范圍，從而確定函數(shù)圖象.

［類型四］反比例函數(shù)圖象的對稱性

廁EI若正比例函數(shù)y=-2x與反比例函數(shù)y=§圖象的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,2),則另

一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為()

A.(2,11)B.(1,—2)

C.(—2,—1)D.(—2,1)

解析：；正比例函數(shù))，=—2r與反比例函數(shù)的圖象均關(guān)于原點(diǎn)對稱，，兩函數(shù)的交

點(diǎn)也關(guān)于原點(diǎn)對稱一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)是(一1,2),...另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)是(1,-2).故選

B.

方法總結(jié)：反比例函數(shù)y=§(kWO)的圖象既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，對稱軸是

一、三(或二、四)象限角平分線所在的直線，對稱中心是坐標(biāo)原點(diǎn).

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探究點(diǎn)二：反比例函數(shù)的性質(zhì)

［類型—］根據(jù)解析式判定反比例函數(shù)的性質(zhì)

碰I已知反比例函數(shù)y=一5下列結(jié)論不正確的是()

A.圖象必經(jīng)過點(diǎn)(一1,2)

B.y隨x的增大而增大

C.圖象分布在第二、四象限

D.若則一2<y<0

解析：A.(-l,2)滿足函數(shù)解析式，則圖象必經(jīng)過點(diǎn)(一1,2),命題正確；B.在第二、

四象限內(nèi)y隨x的增大而增大，忽略了x的取值范圍，命題錯(cuò)誤；C.命題正確；D.根據(jù)y=

2

一提的圖象可知，在第四象限內(nèi)命題正確.故選B.

方法總結(jié)：解答此類問題要熟記反比例函數(shù)圖象的性質(zhì).

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［類型二］根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)判定系數(shù)的取值范圍

1—k

加在反比例函數(shù)丫=丁的每一條曲線上，y都隨光的增大而減小，則攵的值可以是

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A.-1B.3C.1D.2

i——k

解析：:反比例函數(shù)》=丁的圖象在每一條曲線上，y都隨x的增大而減小，：.\-k

>0,解得AVI.故選A.

方法總結(jié)：對于函數(shù)y=￡當(dāng)％>0時(shí)，其圖象在第一、三象限，在每個(gè)象限內(nèi)y隨x

的增大而減小；當(dāng)k<0時(shí)，在第二、四象限，在每個(gè)象限內(nèi)y隨x的增大而增大，熟記這

些性質(zhì)在解題時(shí)能事半功倍.

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三、板書設(shè)計(jì)

1.反比例函數(shù)的圖象：雙曲線既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形.

2.反比例函數(shù)的性質(zhì)：

(1)當(dāng)％>0時(shí)，雙曲線的兩支分別位于第一、三象限，在每個(gè)象限內(nèi)y值隨x值的增大

而減小；

(2)當(dāng)ZVO時(shí)，雙曲線的兩支分別位于第二、四象限，在每個(gè)象限內(nèi)y值隨x值的增大

而增大.

教學(xué)反思

通過引導(dǎo)學(xué)生自主探索反比例函數(shù)的性質(zhì)，全班學(xué)生都能主動(dòng)地觀察與討論，實(shí)現(xiàn)了在

學(xué)習(xí)中讓學(xué)生自己動(dòng)手、主動(dòng)探索、合作交流的目的.同時(shí)通過練習(xí)讓學(xué)生理解“在每個(gè)象

限內(nèi)”這句話的必要性，體會(huì)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性.

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26.1.2反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)

第1課時(shí)反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1.能用描點(diǎn)法畫出反比例函數(shù)的圖象.

2.掌握反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，并會(huì)用性質(zhì)解決問題.

學(xué)習(xí)重難點(diǎn)：

重點(diǎn)：反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)

難點(diǎn)：理解反比例函數(shù)的性質(zhì)，并能靈活運(yùn)用

學(xué)習(xí)過程：

一、溫故知新

1.反比例函數(shù)的反比例函數(shù)的表達(dá)式是；解析式中自變量x的取

值能為0嗎？為什么？0

2.一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象分別是,它們性質(zhì)分別是：

O

3.畫函數(shù)圖象的一般步驟是(1)；(2);(3)o

二、新知導(dǎo)學(xué)

1.活動(dòng)一：在直角坐標(biāo)系中畫出下列函數(shù)的圖像：

畫出反比例函數(shù)y=9和y=-9的圖象

xx

畫圖時(shí)注意：(1)列表時(shí)取值應(yīng)注意什么？

(2)連線時(shí)應(yīng)該注意什么？

(3)x的取值能為零嗎？圖像和坐標(biāo)軸有交點(diǎn)嗎？

為什么？

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2.合作探究

探討1.觀察右面圖形想想下列問題：

(1)反比例函數(shù)y=K的圖象是_6_6

xy——y——

由組成的.(通常稱為)XX

(2)當(dāng)％=6時(shí)，兩支曲線分別位于第象限內(nèi)，在每一象限內(nèi)，)，值

隨O

(3)當(dāng)人=-6時(shí)兩支曲線分別位于第象限內(nèi)在每一象限內(nèi)，y值隨。

(4)y=9和y=-令的圖象關(guān)于對稱。

xx

歸納：反比例函數(shù)()的圖像和性質(zhì)：

反比例函數(shù)的圖像是；

當(dāng)4>0時(shí)，雙曲線的兩支分別位于象限,在每個(gè)象限內(nèi)y值隨x值的增大而

一；當(dāng)人<0時(shí)，雙曲線的兩支分別位于象限,在每個(gè)象限內(nèi)y值隨彳值的

增大而—.

3.典例分析

例.設(shè)函數(shù)y=(m-2)%'”-4當(dāng)m取何值時(shí)，它是反比例函數(shù)？它的圖象位于哪些象限

內(nèi)？

在每個(gè)象限內(nèi)，當(dāng)x的值增大時(shí)，對應(yīng)的y值是隨著增大，還是隨著減小？

跟蹤練習(xí)：k

y二—(kvO)

x

1.(上海?中考)在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)圖象的兩支分別在

()

(A)第一、三象限(B)第二、四象限

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(C)第一、二象限(D)第三、四象限

2.反比例函數(shù)y=±2的圖象是，當(dāng)x<0時(shí)，圖象在第_象限。

x

三、當(dāng)堂檢測：1112-5

X

1.(涼山?中考)已知函數(shù)y=(m+l)是反比例函數(shù)，且圖象在第二、四象限內(nèi)，則

m的值是()

(A)2(B)-2(C)±2(D)4

_4

2.(紹興?中考)已知(xl,yl),(x2,y2),(x3,y3)是反比例函數(shù)丫一函圖象

上的三個(gè)點(diǎn)，且xl<x2<0,x3>0,貝Iyl,y2,y3的大小關(guān)系是()

(A)y3<yl<y2(B)y2<yl<y3

(C)yl<y2<y3(D)y3<y2<yl

3.(杭州?中考)如圖，兩函數(shù)圖象交于點(diǎn)M(2,m),N(-1,n),若yl>y2,則x的取

您金是()(B)冗<-1或無>2

(C)x<-1或0<x<2

一1<%<0或0。<2(D)-l<^<0或x>2

四、課堂小結(jié)

通過本課時(shí)的學(xué)習(xí)，需要我們

1.會(huì)用描點(diǎn)法畫出反比例函數(shù)的圖象

2.知道反比例函數(shù)的圖象是雙曲線.

3.理解反比例函數(shù)的性質(zhì)并能應(yīng)用性質(zhì)解決問題.

作業(yè)布置

第2課時(shí)反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)的綜合運(yùn)用

教學(xué)目標(biāo)

1.使學(xué)生進(jìn)一步理解和掌握反比例函數(shù)及其圖象與性質(zhì)；（重點(diǎn)）

2.深刻領(lǐng)會(huì)函數(shù)解析式與函數(shù)圖象之間的聯(lián)系，體會(huì)數(shù)形結(jié)合及轉(zhuǎn)化的思想方法；（重

點(diǎn)）

3.探索反比例函數(shù)和一次函數(shù)、幾何圖形以及圖形面積的綜合應(yīng)用.（難點(diǎn)）

教學(xué)過程

一、情境導(dǎo)入

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軸于。點(diǎn)，并連接OP.

試著猜想△OPQ的面積與反比例函數(shù)的關(guān)系，并探討反比例函數(shù)），=§（AW0）中k

值的幾何意義.

二、合作探究

探究點(diǎn)一：反比例函數(shù)解析式中k的幾何意義

砸I如圖所示，點(diǎn)A在反比例函數(shù)的圖象上，AC垂直x軸于點(diǎn)C,且AAOC的

面積為2,求該反比例函數(shù)的表達(dá)式.

解析：先設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后用點(diǎn)A的坐標(biāo)表示△AOC的面積，進(jìn)而求出”的值.

b1

解：?點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=7的圖象上，.,.SAAOC=5'?=2，"=4,

4

???反比例函數(shù)的表達(dá)式為

方法總結(jié)：過雙曲線上任意一點(diǎn)與原點(diǎn)所連的線段與坐標(biāo)軸和向坐標(biāo)軸作垂線所圍成的

直角三角形的面積等于因的一半.

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第1題

探究點(diǎn)二：反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)的綜合運(yùn)用

【類型一】利用反比例函數(shù)的性質(zhì)比較大小

礫若M（—4,%）、M-2,m）、PQ，/）三點(diǎn)都在函數(shù)y=§/<0）的圖象上，則M，

力，力的大小關(guān)系為（）

A.”>刈>力B.刃>丫1>丫3

C.D.y3>y2>yt

解析：；&<（）,故反比例函數(shù)圖象的兩個(gè)分支在第二、四象限，且在每個(gè)象限內(nèi)y隨x

的增大而增大.；M（-4,為）、M-2,），2）是雙曲線y=（（A<0）上的兩點(diǎn)，，y2>yi>0.：2>0,

P（2,力）在第四象限，3Vo.故力，絲，為的大小關(guān)系為>2>力>>3.故選B.

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方法總結(jié)：反比例函數(shù)的解析式是y=5（kWO）,當(dāng)k<0時(shí)，圖象在第二、四象限，且

在每個(gè)現(xiàn)象內(nèi)y隨x的增大而增大；當(dāng)/>0,圖象在第一、三象限，且在每個(gè)象限內(nèi)y隨x

的增大而減小.

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第8題

［類型二］利用反比例函數(shù)計(jì)算圖形的面積

畫?如圖，直線/和雙曲線尸，>0）交于A、B兩點(diǎn)，P是線段AB上的點(diǎn)（不與A、

B重合），過點(diǎn)A、B、P分別向x軸作垂線，垂足分別是C、D、E,連接。4、OB、OP,設(shè)

△AOC的面積是S，△BOZ）的面積是8，的面積是1，貝1（）

A.Si〈S2Vs3

B.Si>S2>S3

C.5］=§2>53

D.Si=S2VS3

k11

解析：如圖，?.?點(diǎn)A與點(diǎn)8在雙曲線上，.?.S］=/,S?=g,S］=S2「.'點(diǎn)尸在雙曲

線的上方，：.S3>^k,，S|=S2Vs3.故選D.

方法總結(jié)：在反比例函數(shù)的圖象上任選一點(diǎn)向坐標(biāo)軸作垂線，這一點(diǎn)和垂足以及坐標(biāo)原

點(diǎn)所構(gòu)成的三角形的面積是與，且保持不變.

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第2題

［類型三］反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題

1—k

砸1函數(shù)丁=一］的圖象與直線>=一次沒有交點(diǎn)，那么攵的取值范圍是（）

A.k>\B.k<\

C.k>~\D.k<~\

1——k

解析：直線y=-x經(jīng)過第二、四象限，要使兩個(gè)函數(shù)沒有交點(diǎn)，那么函數(shù)），=丁的圖

象必須位于第一、三象限，則1一女>0,即攵VI.故選B.

方法總結(jié)：判斷正比例函數(shù)y=幺》和反比例函數(shù)y=,在同一直角坐標(biāo)系中的交點(diǎn)個(gè)數(shù)

可總結(jié)為：①當(dāng)k與公同號時(shí)，正比例函數(shù)y=&x與反比例函數(shù)y=§有2個(gè)交點(diǎn)；②當(dāng)

k\與無異號時(shí)，正比例函數(shù)〉=心》與反比例函數(shù)y=§沒有交點(diǎn).

［類型四］反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合問題

______1>77

（例?如圖，已知A（—4,2）98（—1,2）是一次函數(shù)與反比例函數(shù)y=1（加<0）

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圖象的兩個(gè)交點(diǎn)，AC，x軸于點(diǎn)C,8。，)'軸于點(diǎn)D

(1)根據(jù)圖象直接回答：在第二象限內(nèi)，當(dāng)x取何值時(shí)，一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)

的值；

(2)求一次函數(shù)解析式及m的值；

(3)尸是線段AB上的一點(diǎn)，連接PC,PD,若△PC4和△PQB的面積相等，求點(diǎn)P的

坐標(biāo).

解析：(1)觀察函數(shù)圖象得到當(dāng)一4Vx<一1時(shí)，一次函數(shù)圖象都在反比例函數(shù)圖象上方;

177

(2)先利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式，然后把A點(diǎn)或B點(diǎn)坐標(biāo)代入)，=不可計(jì)算出m的

值；(3)設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，利用△PCA與△PQB的面積相等列方程求解，從而可確定P點(diǎn)坐標(biāo).

解：(1)當(dāng)一4<x<—1時(shí)，一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值；

]-4A+6=J,2"

(2)把A(—4,N，B(—l,2)代入y=fcc+b中得J2解得j所以一次函

、-k+b=2,卜=2，

數(shù)解析式為y=%+|，把B(—1,2)代入y=￡中得根=-1義2=—2；

(3)設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(f,1r+|),VAPCA和△PO8的面積相等，.?]xJx(f+4)=；X1X

1555

和-

1即-

?一^7=

2J2?

方法總結(jié)：解決問題的關(guān)鍵是明確反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)所包含的信

息.本題也考查了用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及觀察函數(shù)圖象的能力.

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第7題

三、板書設(shè)計(jì)

1.反比例函數(shù)中系數(shù)％的幾何意義；

2.反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；

3.反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題.

教學(xué)反思

本節(jié)課主要是要注重提高學(xué)生分析問題與解決問題的能力.數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的

一個(gè)重要思想，也是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個(gè)突破口.在教學(xué)中要加強(qiáng)這方面的指導(dǎo)，使學(xué)生牢

固掌握基本知識(shí)，提升基本技能，提高數(shù)學(xué)解題能力.

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第2課時(shí)反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)的綜合運(yùn)用

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.進(jìn)一步掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)；

2.掌握過反比例函數(shù)圖像上一點(diǎn)作兩坐標(biāo)軸的垂線，此垂線段與兩坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積

問題(k的幾何意義)；

3.會(huì)通過反比例的圖像比較兩個(gè)函數(shù)的函數(shù)值的大小，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。

二、重難點(diǎn)

重點(diǎn)：(1)掌握k的幾何意義；

(2)會(huì)通過反比例函數(shù)的圖像比較兩個(gè)函數(shù)的函數(shù)值的大小；

難點(diǎn)：體會(huì)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.

三、自主學(xué)習(xí)

(I)復(fù)習(xí)回顧

1.反比例函數(shù)y=V(A/0)的圖像是,它既是—對稱圖形，又是一對稱圖形.

x

當(dāng)k>0時(shí)，它的圖像位于象限內(nèi)，在內(nèi)，y的值隨x值的增大而;

當(dāng)k<0時(shí)，它的圖像位于—象限內(nèi)，在內(nèi)，y的值隨x值的增大而—;

2.已知反比例函數(shù))，=士—，當(dāng)“時(shí)，其圖象的兩個(gè)分支在第一、三象限內(nèi).

x

3.已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(-1,2).

(1)求此反比例函數(shù)的解析式；

(2)這個(gè)函數(shù)的圖象位于什么象限？增減性如何？

(3)點(diǎn)B(1,?2),C(-1,4),D(2,3)是否在這個(gè)函數(shù)的圖象上？

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(II)自主探究

2

(1)在反比例函數(shù)y=三圖像上任取一點(diǎn)P,過P分別作x軸、y軸

的垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形面積分別為S,則S=____.

3

(2)在反比例函數(shù)y=-二圖像上任取一點(diǎn)P,過P分別作x軸、y軸

的垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形面積分別為S,則S=.

結(jié)論：在反比例函數(shù)v=Nk手0)圖象上任取一點(diǎn)P,過P分別作x軸、y軸

的垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形面積分別為S，則S=..

例題1:反比例函數(shù)＞，=^(左＞0)在第一象限內(nèi)的圖象如圖，

x

點(diǎn)M是圖像上一點(diǎn)，MP垂直x軸于點(diǎn)P,

如果GI0P的面積為1,那么k的值是；

探究2:

如圖是反比例函數(shù)y=一的圖象的一支，根據(jù)圖象回答下列問題：

(1)圖象的另一支位于哪個(gè)象限？常數(shù)m的取值范圍是什么？

(2)在這個(gè)函數(shù)圖象的某一支上任取點(diǎn)A(a,b)和點(diǎn)A，(優(yōu)，b').

?*a＞a',那么％與“有怎樣的大小關(guān)系？

-3

例題2:已知點(diǎn)(xi,yi),(x2,yz)都在反比例函數(shù)尸」的圖像上，

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(1)若xivX2v0,貝ijyi___y2；

(2)若xiv0vX2,貝！］yi___y2.

（III）自我嘗試

1.下列函數(shù)中，其圖像位于第一，三象限的有

在其圖像所在象限內(nèi)，y的值隨x值的增大而增大的有,

10-7

①③y二一④y=

2xx100x

-2

2.已知點(diǎn)（2,）,（3,y）在反比例函數(shù)尸一的圖像上，則y.—y.

yi2x2

3.已知點(diǎn)/（%,y）、笈（乂，必）是反比例函數(shù)y=—（k>0）圖象上的兩點(diǎn)，

x

若％<0</，貝U（）

A.y<0<%B?XC.乂<%<°D,y2<jj<0

k

4.反比例函數(shù)y=-的圖象如圖所示,點(diǎn)例是該函數(shù)圖象上一點(diǎn)，

x

例/V垂直于x軸，垂足是點(diǎn)/V,如果Swo/v=2,則A的值為.

四、自學(xué)小結(jié)

通過本節(jié)課的自學(xué)我掌握了：_______________________________________________________

疑惑：________________________________________________________________________

五、課堂練習(xí)

1_k

L在反比例函數(shù)y=——的圖象的每一支上，y隨乂的增大而增大則上的值可以國）

x

A.-1B.0C.1.D.2

2

2.對于反比例函數(shù)y二一，下列說法不正確的是（）

x?一

A.點(diǎn)（一2,—1）在它的圖象上B.它的圖象在第一、三象限

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C.當(dāng)x>0時(shí)，y隨x的增大而增大D.當(dāng)x<0時(shí)，y隨尤的增大而減小

,4......

3.若點(diǎn)(-2,yiX(-1,y2X(2,y3)在反比例函數(shù)y=-的圖象上，貝(Iyi、y?、y：)的

x

大小關(guān)系為.

4.若反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=',

x

(1)當(dāng)x=-］時(shí)，y=；

(2)當(dāng)％<-1時(shí)，y的取值范圍是；

(3)當(dāng)y<-3時(shí)，x的取值范圍是.

5.設(shè)P是函數(shù)v=3二在第一象限，的圖像上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于

x

原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為P',過P作PA平行于y軸,過P'作P'A

平行于x軸，PA與P'A交于A點(diǎn)，SAP'的面積為.

能力提升：

1.如圖，一次函數(shù))，=丘+〃的圖像與反比例函數(shù)y='的圖像

x

相交于A、B兩點(diǎn)，

(1)利用圖中條件，求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式.

(2)根據(jù)圖像直接寫出使一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)

的值的x的取值范圍.

2.如圖，RtZiABQ的頂點(diǎn)A是雙曲線y=—與直線y=-x-(左+1)在第二象限點(diǎn)，

x

3

ABLx軸于B,且△ABO的面積=—

2

(1)求這兩個(gè)函數(shù)的解析式

(2)A,C的坐標(biāo)分別為(-1,m)和(n,-1),求AAOC的面機(jī)

(1)根據(jù)圖象直接回答：在第二象限內(nèi)，當(dāng)X取何值時(shí)，一次函數(shù)大于反比例函數(shù)的值？

(2)求一次函數(shù)解析式及m的值；

(3)P是線段AB上的一點(diǎn)，連接PC,PD,若YCA和SDB面積相等，求點(diǎn)P坐標(biāo)。

六.課堂小結(jié)

(1)K的幾何意義：

反比例函數(shù)圖像上一點(diǎn)作兩坐標(biāo)軸的垂線，此垂線與兩坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積為|k|

反比例函數(shù)圖像上一點(diǎn)作一坐標(biāo)軸的垂線，此垂線與原點(diǎn)，坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積

為網(wǎng)

7)——

2

(2)通過反比例函數(shù)的圖像比較兩函數(shù)值大小

注意點(diǎn)：

學(xué)生在解有關(guān)函數(shù)問題時(shí)，要數(shù)形結(jié)合，在分析反比例函數(shù)的增減性時(shí)，函數(shù)y隨x的增減

性就不能連續(xù)的看，一定要注意強(qiáng)調(diào)在哪個(gè)象限內(nèi)。

數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合

七.作業(yè)設(shè)計(jì)

(1)課堂作業(yè)

(2)課后作業(yè)

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26.2實(shí)際問題與反比例函數(shù)

第1課時(shí)實(shí)際問題中的反比例函數(shù)

教學(xué)目標(biāo)

1.經(jīng)歷分析實(shí)際問題中變量之間的關(guān)系，建立反比例函數(shù)模型，進(jìn)而解決問題；（重點(diǎn)）

2.體會(huì)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的緊密聯(lián)系，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)，提高運(yùn)用代數(shù)方法解決問題的能

力.（難點(diǎn)）

教學(xué)過程

一、情境導(dǎo)入

小明和小華相約早晨一起騎自行車從A鎮(zhèn)出發(fā)前往相距20km的B鎮(zhèn)游玩，在返回時(shí)，

小明依舊以原來的速度騎自行車，小華則乘坐公交車返回A鎮(zhèn).

假設(shè)兩人經(jīng)過的路程一樣，自行車和公交車的速度保持不變，且自行車速度小于公交車

速度.你能找出兩人返回時(shí)間與所乘交通工具速度間的關(guān)系嗎？

二、合作探究

探究點(diǎn)：實(shí)際問題與反比例函數(shù)

［類型—］反比例函數(shù)在路程問題中的應(yīng)用

硒1王強(qiáng)家離工作單位的距離為3600米，他每天騎自行車上班時(shí)的速度為v米/分，

所需時(shí)間為，分鐘.

（1）速度。與時(shí)間f之間有怎樣的函數(shù)關(guān)系？

（2）若王強(qiáng)到單位用15分鐘，那么他騎車的平均速度是多少？

（3）如果王強(qiáng)騎車的速度最快為300米/分，那他至少需要幾分鐘到達(dá)單位？

解析：（1）根據(jù)速度、時(shí)間和路程的關(guān)系即可寫出函數(shù)的關(guān)系式；（2）把/=15代入函數(shù)

的解析式，即可求得速度；（3）把。=300代入函數(shù)解析式，即可求得時(shí)間.

解：（1）速度。與時(shí)間，之間是反比例函數(shù)關(guān)系，由題意可得。=畔2

（2）把f=15代入函數(shù)解析式，得。=曙=240.故他騎車的平均速度是240米/分；

（3）把。=300代入函數(shù)解析式得牛=300,解得/=12.故他至少需要12分鐘到達(dá)單位.

方法總結(jié)：解決問題的關(guān)鍵要掌握路程、速度和時(shí)間的關(guān)系.

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第5題

［類型二］反比例函數(shù)在工程問題中的應(yīng)用

胸?在某河治理工程施工過程中，某工程隊(duì)接受一項(xiàng)開挖水渠的工程，所需天數(shù)y（天）

與每天完成的工程量x（m/天）的函數(shù)關(guān)系圖象如圖所示.

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(1)請根據(jù)題意，求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式；

(2)若該工程隊(duì)有2臺(tái)挖掘機(jī)，每臺(tái)挖掘機(jī)每天能夠開挖水渠15米，問該工程隊(duì)需用多

少天才能完成此項(xiàng)任務(wù)？

(3)如果為了防汛工作的緊急需要，必須在一個(gè)月內(nèi)(按30天計(jì)算)完成任務(wù)，那么每天

至少要完成多少米？

解析：⑴將點(diǎn)(24,50)代入反比例函數(shù)解析式，即可求得反比例函數(shù)的解析式；(2)用工

作效率乘以工作時(shí)間即可得到工作量，然后除以工作效率即可得到工作時(shí)間；(3)工作量除

以工作時(shí)間即可得到工作效率.

解:⑴設(shè)尸，?點(diǎn)(24,50)在其圖象上，.?"=24X50=1200,所求函數(shù)表達(dá)式為尸罕；

(2)由圖象可知共需開挖水渠24X50=1200(m),2臺(tái)挖掘機(jī)需要工作1200+(2X15)=

40(天)；

(3)1200-e-30=40(m),故每天至少要完成40m.

方法總結(jié)：解決問題的關(guān)鍵是掌握工作量、工作效率和工作時(shí)間之間的關(guān)系.

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第4題

［類型三］利用反比例函數(shù)解決利潤問題

(WB某商場出售一批進(jìn)價(jià)為2元的