1孟生旺中國人民大學統計學院/mengshw變額年金

（VaryingAnnuities）2主要內容離散變額年金每年支付一次的離散變額年金（遞增、遞減、復遞增）每年支付m次的離散變額年金（遞增、遞減、復遞增）連續支付的離散變額年金（遞增、遞減、復遞增）連續變額年金一般形式的連續變額現金流特例：連續遞增（或遞減）的年金31、遞增年金（increasingannuity）期末付遞增年金(increasingannuity-immediate)：第一期末支付1元，第二期末支2元，…，第n期末支付n元。按算術級數遞增。用表示其現值：上式兩邊乘以(1+i)：4

遞增年金的現值：5例：證明下列關系式成立：

（1）（2）6例：寫出下述年金的現值表達式7遞增年金的累積值為現值累積值期初付遞增年金(increasingannuity-due)8當時，還可以得到遞增永續年金的現值為在計算上述極限時，遞增永續年金(increasingperpetuity)9例：年金在第一年末的付款為1000元，以后每年增加100元，總的付款次數為10次。如果年實際利率為5%，這項年金的現值應該是多少？解：年金分解如下：1000110018001900900900900900100200900100010Exercise：Aninvestmentof700istobeusedtomakepaymentsof10attheendofthefistyear,20attheendofsecondyear,30attheendofthirdyear,andsoon,everyyearassolongaspossible.Asmallerfinalpaymentispaidoneyearafterthelastregularpayment.Thefundearnsaneffectiveannualrateof5%.Calculatethesmallerfinalpayment.解：價值方程為（不考慮最后一次非正常付款）700102030R11解上述方程（應用excel求解）即得n=14.49。因此有14次正規支付和在第15年末有一次小額支付。設小額支付為R，則12時期

0123…n–1

n遞減年金nn–1n–2…

21等額年金111…11111…1111…………

111111期末付遞減年金(decreasingannuity-immediate)：第一期末支付n元，第二期末支付n–1元，…，第n期末支付1元。按算術級數遞減。2、遞減年金（decreasingannuity）13遞減年金的現值可以表示為上述等額年金的現值之和，即：14遞減年金的其他公式：15例：一項年金在第一年末付款1元，以后每年增加1元，直至第n年。從第n+1年開始，每年遞減1元，直至最后一年付款1元。證明該項年金的現值可以表示為12nn-1116

17Example：Findthepresentvalueofanannuityimmediatesuchthatpaymentsstartat1,eachpaymentthereafterincreasesby1untilreach10,andthenremainatthatleveluntil25paymentsintotalaremade.Solution：0101011025次數：金額：212183、復遞增年金（compoundincreasingannuity）

含義：付款金額按照某一固定比例增長的年金。期初付復遞增年金

：在第1年初支付1元，此后每年的支付金額按的復利r增長，直到第n年初支付(1+r)n-1。注：r<0

，遞減。19令，則：其中20期末付復遞增年金的現值：

其中21例：某10年期的年金在第一年末付1000元，此后的給付金額按5％遞增，假設年實際利率為4%，請計算這項年金在時刻零的現值。解：年金的現金流如下：22

現值：其中現值：例年金的年增長率r與年實際利率i相等，即j=0.請計算期初付年金與期末付年金的現值分別是多少？解：期初付=n期末付=n/(1+i)2324ExerciseAperpetuity-immediatepays100peryear.Immediatelyafterthefifthpayment,theperpetuityisexchangedfora25-yearannuity-immediatethatwillpayXattheendofthefirstyear.Eachsubsequentannualpaymentwillbe8%greaterthantheprecedingpayment.Immediatelyafterthe10thpaymentofthe25-yearannuity,theannuitywillbeexchangedforaperpetuity-immediatepayingYperyear.Theannualeffectiverateofinterestis8%.CalculateY.25100100100100100第一次替換時，永續年金的現值為100/0.08＝1250100X1.08X1.082X1.083X1.0824X利率i＝0.08，等于年金增長率，故遞增年金的現值為：P=X·n/(1+i)=25X/1.08X=541250=25X/1.08第一次替換后的遞增年金：25次付款26X1.089X1.0810X1.0824X第二次替換為永續年金，每年末支付Y，價值為Y/0.08價值方程(X=54)為：Y/0.08=54(1.0810v+1.0811v2+…+1.0824v15)=54(1.08)9·15注：v=1.08-1由此可得：Y=129.5Y……原年金剩余15次原年金已支付10次年金的基本類型271年支付1次1年支付m次連續支付284、每年支付m次的遞增年金(increasingmthlyannuity)第一年末支付1元，第二年末支2元，…，第n年末支付n元。每年的付款分m次支付。29每年支付m次的遞增年金(increasingmthlyannuity)：現值：每年支付m次的遞增年金31推廣到期初付（練習）：32例：寫出下述年金的現值計算公式（年利率i=10%)：10010010010020020020020001233100200300400500600700800012例：寫出下述年金的現值計算公式（年利率i=10%)：34每年支付m次的遞減年金（練習）每年支付m次的復遞增年金（練習）35小結：每年支付m次的年金365、連續支付的遞增年金和遞減年金

(continuouslypayablevaryingannuity)含義：連續支付，但支付金額離散變化。連續支付的遞增年金連續支付的遞減年金連續支付的復遞增年金連續支付的遞增年金：第一年連續支付1元，第二年連續支付2元，…，第n年連續支付n元。37連續支付的遞增年金的現值：38例：一個現金流在第1年連續支付30元，第2年連續支付40元，第3年連續支付50元，直到第10年連續支付120元，假設年實際利率為5%，求這項年金的現值。解：分解為兩項年金:39計算：40連續支付的遞增永續年金的現值：第1年連續支付1元，第2年連續支付2元，第3年連續支付3元，并以此方式無限地延續下去。其現值為41連續支付的遞減年金：第一年連續支付n元，第二年連續支付n-1元，…，第n年連續支付1元。42小結：連續支付的年金注：適用于遞增，遞減，復遞增43Exercise:1000isdepositedintoFundX,whichearnsanannualeffectiverateof6%.Attheendofeachyear,theinterestearnedplusanadditional100iswithdrawnfromthefund.Attheendofthetenthyear,thefundisdepleted.TheannualwithdrawalsofinterestandprincipalaredepositedintoFundY,whichearnsanannualeffectiverateof9%.DeterminetheaccumulatedvalueofFundYattheendofyear10.X：annualeffectiverate6％10001001001001000×6%=60900×6%=54100×6%=6withdrawalsofprincipal

withdrawalsofinterest10916×Y：annualeffectiverate9％10010010010916×LevelannuityDecreasingannuity45Exercise:Aperpetuitycosts77.1andmakesannualpaymentsattheendoftheyear.Thisperpetuitypays1attheendofyear2,2attheendofyear3,…,n

attheendofyear(n+1).Afteryear(n+1),thepaymentsremainconstantatn.Theannualeffectiveinterestrateis10.5%.Calculaten.123n-1n……77.1i=10.5%123nyear：perpetuity：n+1n+2n46Thecostofthisperpetuity=Sincei

=10.5%,wehaveHencen=19.Solution：47乘以(1+i)乘以乘以乘以變額年金的計算乘以變額年金：算數級數變化48變額年金：幾何級數變化49每年支付m次的年金連續支付的年金506、一般形式的連續變額現金流現值：付款從時刻a到時刻b，在時刻t的付款率為rt，利息力為dt。時刻

t支付的1在時刻0的現值為：在時刻t的付款率為rt，所有付款在時刻0的現值是將所有付款的現值加總：51例：一個連續支付的現金流支付期從時刻0開始到時刻0.5結束在時刻t的付款率為利息力為請計算此現金流在時刻零的現值。解：f=function(t)(10*t+3)*exp(-(0.1*t^2+0.06*t));integrate(f,0,0.5)$value52令現值為：

（課后）53終值：在時刻t的1元，累積到時刻T的終值為從時刻a到時刻b內所有付款到時刻T的終值，就是將該期間內所有付款的終值加總：例：一個連續支付的現金流，其付款率為，支付期間從

t=1到t=6，利息力為，請計算此現金流在t=9的終值。解：54

>f=func