方向導數與梯度1第1頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五1.方向導數的定義

設有二元函數沿任何方向的變化率．

考慮函數在某點射線是指有方向的半直線,即一、方向導數概念與計算公式方向導數與梯度P2第2頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五定義如果極限存在,則將這個極限值稱為函數在點記為即注方向導數是函數沿半直線方向的變化率.方向導數與梯度P3第3頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五2.方向導數的幾何意義的幾何意義為曲面,當限制自變量沿方向變化時,對應的空間點形成過的鉛垂平面與曲面的交線,這條交線在點M有一條記此半切線與方向的夾角為則由方向導數的半切線,定義得方向導數與梯度4第4頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五ρ一定為正!是函數在某點沿任何方向的變化率.方向導數偏導數

分別是函數在某點沿平行于坐標軸的直線Δx、Δy可正可負！的變化率.注方向導數與梯度5第5頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五事實上,的方向導數存在,事實上,同理,的方向導數存在,方向導數與梯度存在時,6第6頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五????方向導數與梯度問:反之,存在時,是否一定存在?7第7頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五方向導數與梯度例如,函數沿方向的方向導數但不存在.即z在(0,0)點的偏導數不存在.8第8頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五證由于函數可微,得到3.關于方向導數的存在及計算公式

充分條件定理可微,則函數且則增量可表示為兩邊同除以方向導數與梯度9第9頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五故有方向導數方向導數與梯度P10第10頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五注即為(1)(2)計算方向導數只需知道l的方向及函數的偏導數.方向導數與梯度在定點的方向導數為(3)(4)關系方向導數存在偏導數存在可微.]0[的方向角是，、lpba?11第11頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五例考慮函數定點P0(3,1),P1(2,3).求函數在P0沿方向的方向導數.

解

方向導數與梯度12第12頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五解由方向導數的計算公式知(1)最大值;(2)最小值;(3)等于零?并問在怎樣的方向上此方向導數有例方向導數與梯度13第13頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五故方向導數達到最大值方向導數達到最小值方向導數等于和(1)最大值;(2)最小值;(3)等于零?問在怎樣的方向上此方向導數有方向導數與梯度14第14頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五練習方向導數與梯度求函數在點P(2,3)沿曲線朝x增大方向的方向導數.用參數方程表示為它在點P

的切向量為解將已知曲線,171cos=\a1760=15第15頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五推廣可得三元函數方向導數的定義對于三元函數它在空間一點的方向導數,可定義為方向導數與梯度同理,當函數在此點可微時,那末函數在該點沿任意方向l的方向導數都存在,且有是l的方向向量.16第16頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五解令故其方向余弦為1991年研究生考題,計算,5分例方向導數與梯度)1,1,1(632222Pzyxn在點是曲面設=++,處指向外側的法向量17第17頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五故方向導數與梯度18第18頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五練習求函數在點處沿解切線方向的方向向量在此點的切線方向上方向導數與梯度曲線的方向導數.19第19頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五1996年研究生考題,填空,3分解

此方向的方向向量為方向導數與梯度.2121310)32(2132=+-+×××20第20頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五問題?方向導數與梯度二、梯度概念與計算已知方向導數公式方向：模：

方向一致時,方向導數取最大值f變化率最大的方向f的最大變化率之值函數沿什么方向的方向導數為最大(gradient)一個二元函數在給定的點處沿不同方向的方向導數是不一樣的.)cos,(cos0ba=lr21第21頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五方向導數與梯度定義記作讀作nable.即為函數稱向量梯度(gradient),稱為或算子,或向量微分算子.引入算符哈米爾頓算子,設函數可偏導,利用梯度的概念,可將方向導數計算公式寫成22第22頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五方向導數與梯度梯度的基本運算公式,grad)(grad2.uCuC=,gradgrad)(grad3.vuvu±=±vuuvvu?+?=?)(,grad)()(grad5.uufuf￠=23第23頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五結論x軸到梯度的轉角的正切為函數在某點的梯度是這樣一個向量,方向與取得最大方向導數的方向一致,它的而它的模為方向導數的最大值.梯度的模為方向導數與梯度24第24頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五在幾何上曲面被平面所得曲線在xOy面上投影是一條平面曲線等值線梯度為等值線上的法向量表示一個曲面,所截得方向導數與梯度如圖:25第25頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五

法線的斜率為:為等值線上點P處的法向量.所以梯度事實上,由于等值線上任一點方向導數與梯度等值線26第26頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五

類似于二元函數,此梯度也是一個向量,其方向與取得最大方向導數的方向一致,其模為方向導數的最大值.梯度的概念可以推廣到三元函數三元函數在空間區域G內則對于每一點都可定義一個向量(梯度)具有一階連續偏導數,方向導數與梯度27第27頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五類似地,設曲面為函數此函數在點的梯度的方向與過點P的等量面在這點的法線的一個方向相同,的等量面指向數值較高的等量面,等于函數在這個法線方向的方向導數.且從數值較低而梯度的模方向導數與梯度28第28頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五解故例并問在哪些點處梯度為零?=0=0=0方向導數與梯度處的梯度,29第29頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五方向導數與梯度設可導,其中處向徑的模,試證證例為點30第30頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五方向導數與梯度例設函數(1)求出沿什么方向具有最大的增長率,方向的變化率.(2)最大增長率為多少?解

(1)

PQ方向的方向向量為31第31頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五方向導數與梯度沿什么方向具有最大的增長率,(2)最大增長率為多少?解

方向具有最大的增長率,最大的增長率為:即為梯度方向.32第32頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五1992年研究生考題,填空,3分解練習方向導數與梯度33第33頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五方向導數與梯度函數數量場

(數性函數)場向量場(矢性函數)可微函數梯度場(勢)(