數學練習與題組的設計和訓練第1頁，共31頁，2023年，2月20日，星期五數學練習與題組練習的設計與訓練數學問題的基本內涵數學題組與解決問題能力數學題組練習的特征與功能數學題組練習的設計與訓練五.課堂教學中的組合訓練第2頁，共31頁，2023年，2月20日，星期五數學問題數學知識數學能力認知層次數學問題的基本內涵一個數學問題，既蘊涵了一定的數學知識，又體現了必要的數學能力，同時也反映了認知層次上的差異。

當一個數學問題有了現實背景時，也就成了生活中的問題。這時除了數學的認知外，對生活的認識以及對數學信息的閱讀，同樣成了問題解決的關鍵。1.事實性知識與基本技能2.理解知識3.運用規則4.解決問題數感、符號感、空間概念、統計觀念、應用意識、推理能力數與代數幾何與圖形概率與統計第3頁，共31頁，2023年，2月20日，星期五解決數學問題的能力對信息的閱讀能力對數學概念與數量關系的理解水平整理、分析與提取問題特征的抽象數學題組與解決問題能力突出問題的基本特征——對問題特征的診斷突出解決問題的思路

積累解決問題的經驗與方法的特征

通過題組方式的比較（提高能力的方法之一）總結與概括第4頁，共31頁，2023年，2月20日，星期五數學練習

?

什么是數學練習？——

學生為理解、掌握數學知識，發展數學能力，獲得數學活動經驗而進行的數學活動。

?這里既包括完成教師所設立的作業，更包括學生自己主動參與的觀察、實驗、猜測、驗證、推理和交流，以及現代教育技術的應用等活動。

?學習數學，不可能離開數學的練習。數學的練習，在其學習的過程中、在其同化知識，建立認知結構中起著十分重要的作用。它是使學生在獲得對數學理解的同時，思維能力、情感態度等多方面也得到進步和發展的重要手段。

?

這些練習活動的實施以及它的成效，既有賴于教師的精心設計和安排，更有賴于教師的精心組織。第5頁，共31頁，2023年，2月20日，星期五數學題組練習的特征與功能一.結構性

*凸顯數學概念外延的基本結構*凸顯隱含在數學問題中的數量關系的基本結構二.靈活性

*多角度地體現數學問題與數量關系的特征*讓學生多角度地展開數學的思維、尋求解決方法三.層次性

*體現數學問題在不同層次上的認知（技能）要求*讓學生領會從簡單到復雜的數學問題之間的關系第6頁，共31頁，2023年，2月20日，星期五數學題組的設計與訓練1.設計的基本方式：“一題多問”、“一題多變”一題多問：在一定量的信息中，從不同層次、不同角度出發提出問題與解決問題，突出數學概念外延的基本結構。注意：問題的設計需要考慮結構性與層次性。一題多變：在同一情境中，通過改變信息或問題引發出不同的問題解決途徑，突出同一數學概念的本質特征或數量關系的變式。注意：問題情境的變式要符合學生年齡的思維特征與生活經驗。第7頁，共31頁，2023年，2月20日，星期五2.訓練的基本方式：獨立完成交流對比合作討論*根據問題與學生的實際確定練習的方式*題組訓練的主要思維特征：比較練習前的比較練習后的比較方法的比較思路的比較*訓練情況的反饋*與獨立性問題解決的結合

方法的遷移第8頁，共31頁，2023年，2月20日，星期五

針對性。就是練習設計的目的要明確，思路要清晰。根據學習內容與學生實際，有的放矢地進行設計，要注意練習的實效。同時，相對于不同的課型，其針對性也有別。新授課：針對知識遷移的需要，練習題具承上啟下的作用。（鋪墊練習）針對學生在探究過程中可能出現的困難或障礙，練習題具啟發性。（探究練習）針對學生形成數學技能或數學知識運用的需要，練習題具典型性。（鞏固練習）練習課：針對學生平時練習中出現的主要問題，練習題具反思性。（反饋練習）針對學生數學能力發展的需要，練習題具思考性。（變式練習、發展練習）第9頁，共31頁，2023年，2月20日，星期五層次性就是練習的設計要突出層次，也就是根據學生的學習規律，由淺到深，由簡單到復雜，由單項練習到綜合練習。因此，在設計時應考慮以下的一些問題：*考慮學生學習過程的實際需要。*考慮學生認知心理的特點。*考慮大多數學生學習的需要，因材施教的需要。復習課：針對知識的回憶與整理的需要，練習題呈結構性。（聯系與對比的練習）針對知識結構的建構與能力的提高，練習呈綜合性。（綜合性練習）第10頁，共31頁，2023年，2月20日，星期五反饋與矯正反映了對練習過程的控制和管理。有序的練習不是“放羊式”的練習，而是應密切地關注學生的練習情況，隨時地調控教師的教學策略。因此,練習的組織應注意以下的幾個問題：（1）關注學生完成練習的情況。（2）練習的組織形式要有利于練習情況的反饋。（3）對練習中出現的問題應能及時地采取有效的矯正措施第11頁，共31頁，2023年，2月20日，星期五練習的設計可按不同的課型特點和教學需要進行組合，練習內容的設計與練習的組織應根據教學內容的特點、學生學習水平與認知規律進行。就是說，讓學生通過組合型的練習或訓練，逐步地理解、深化知識；逐步地掌握相關的技能。*對每一個具體的課例，應視其實際內容特點、教學模式的運用、教師教學設計的思路作調整。就是說，練習的組合設計，既有普遍性，又有特殊性；既有共性，又有個性。第12頁，共31頁，2023年，2月20日，星期五新授課練習課復習課活動課概念教學鋪墊引入練習探索新知練習鞏固理解練習變式發展練習喚起回憶練習知識歸納練習比較變式練習綜合運用練習計算教學鋪墊性練習嘗試性練習模仿性練習形成性練習基礎性練習鞏固性練習靈活性練習綜合性練習解決問題教學鋪墊引入練習方法探求練習典型范例練習擴縮題組練習拓展變式練習基礎性練習典型性練習比較性練習變式性練習綜合性練習幾何教學操作感知練習知識歸納練習鞏固新知練習實踐運用練習問題情景設計操作交流練習實踐探究練習能力發展練習課堂教學中的組合訓練第13頁，共31頁，2023年，2月20日，星期五百分數在實際情境中的應用右面是銀行去年某天的存款利率表：1.表中都有哪些百分數？它們各表示什么意思？（交流）2.如果有1000元，存一年，可以獲得多少稅后的利息？存3年呢?（獨立）3.小明有一筆至少在兩年內都不會用的錢，你認為該用哪一種存款方式去存款？（嘗試）4.如果把3000元存3年，那么按你的存款方法，到期后會有多少收益？（比較一下不同方法的收益情況）（討論）

存期

年利率（%）三個月1.80六個月2.25一年

2.52二年

3.06三年3.69五年

4.14第14頁，共31頁，2023年，2月20日，星期五分數初步知識在實際情境中的應用例：小東有一瓶1升的飲料，小明有一瓶750毫升的飲料。

2.如果他們都喝了250毫升，他們各喝了自己那瓶飲料的幾分之幾？（分數基本關系）10007504.如果他們都剩下250毫升，那么他們各喝了自己那瓶飲料的幾分之幾？（概念深化）

小東和小明都說：“我喝了我這瓶飲料的?！彼麄兒鹊耐瑯佣鄦?？（分數基本特征）請你設計：當他們各喝了自己的飲料的幾分之幾時，兩人喝的就同樣多？并根據有關數據填空：（嘗試運用）第15頁，共31頁，2023年，2月20日，星期五

獨立選擇：他們誰看得頁數多？A小男孩B小女孩C同樣多D說不清請說說你的理由。討論交流：什么情況下：

A男孩看得多

B女孩看得多

C看得同樣多能根據不同結果分別提出一個數學問題嗎？整體“1”的量與幾分之幾的量第16頁，共31頁，2023年，2月20日，星期五計算

350÷50=35÷5=3.5÷5=3.5÷0.5=“一個數除以小數”的練習設計鋪墊性練習1.運用商不變性質填空

(1)6.21÷0.3=()÷3(2)56.28÷0.67=()÷67

2.判斷下面哪幾題的商是相等的,并說明理由（1）3.36÷1.2(2)33.6÷12(3)336÷120(4)336÷1200嘗試探究練習計算：(1).5628÷67=(2).56.28÷67=(3).56.28÷0.67=(可以進行討論交流后再解決)第17頁，共31頁，2023年，2月20日，星期五“小數點移動引起小數大小變化”的技能訓練

把2.4擴大(或縮小)

倍,它的小數點就向()移動()位，變為()。（10、100、1000）

混合性練習4.把2.042的小數點向右移動三位,變為(),再把它縮小100倍,變為().

變式性練習5.2.042中的4在()位上,移動小數點后,如果4在千分位上,則原數縮小()倍;

如果4在個位上,則原數就擴大()倍;如果原數擴大1000倍,則4在()位上.形成性練習1.2.4這個數的小數點向右移動

位,原數變為(),這個數是原數的()倍.34.6這個數的小數點向左移動

位,原數變為(),這個數比原數()倍.

（一、二、三）第18頁，共31頁，2023年，2月20日，星期五分數初步認識鞏固練習的設計1.看圖寫分數2.按分數填上陰影

1.寫出下圖中陰影表示的分數。2.2.在圖中用陰影表示下面的分數。直觀的分數直觀分數的構造

——表象深化本質特征的凸顯獨立交流比較第19頁，共31頁，2023年，2月20日，星期五基本練習——

基本運用——

變式運用——

綜合運用（感性積累）（具體遷移）（多角度思考）（信息的分析和運用）鞏固————

深化————靈活掌握

——開放性（討論交流）認知深化——

應用第20頁，共31頁，2023年，2月20日，星期五（）（）（）

（）（）（）涂上黃色涂上紅色

涂上黃色，涂上灰色“分數與圖形”練習設計____單位“1”的擴展用分數表示圖中陰影部分根據分數在圖上涂上陰影第21頁，共31頁，2023年，2月20日，星期五周長和面積辨析練習的設計1.格子圖上的練習（每一小格都是邊長1厘米的正方形）。（1）各畫出3個周長是12厘米的長方形或正方形。（2）各畫出3個面積是12平方厘米的長方形。（3）周長相等的長方形，它們的面積也相等嗎？你發現什么？（4）面積相等的長方形。它們的周長也相等嗎？你發現什么？（5）給你18塊1平方厘米的正方形小紙片，你能拼出幾種不同的長方形？通過操作和觀察，直觀地感知周長和面積的特征，領會周長和面積的聯系和區別，發展空間觀念。第22頁，共31頁，2023年，2月20日，星期五小數乘除計算的基本訓練設計1.給下面各題的積點上小數點。

3.05×2.41220

6107320

42.8×0.352140128414980

0.36×0.18288

36648

3.已知425×36=15300，直接寫出下面各題的得數。

4.25×3.6=4.25×0.36=42.5×0.36=0.425×0.36=153÷36=1530÷3.6=15.3÷3.6=15.3÷0.36=2.確定下面各題首位的商（位置與數值）。基本技能形成技能的變式運用第23頁，共31頁，2023年，2月20日，星期五平面中的線與角1.圖中的哪些線段是互相垂直的？哪些線段是互相平行的？(判斷)2.圖中有哪些角是銳角？哪些是鈍角？哪些是直角？(判斷)3.量一量，這里的銳角分別是多少度？鈍角是多少度？(操作)4.你能從這里發現什么？AFBEGDHC在對平面直線的關系特征、角的分類與特征的復習整理基礎上，通過對平面圖形特點的觀察、判斷、操作，進一步深化有關圖形特征的表象，培養學生的空間觀念。第24頁，共31頁，2023年，2月20日，星期五行程問題的數量關系及運用1.數量關系的比較（1）小明騎自行車每小時走12千米，3小時走（）千米。（2）小明騎自行車每小時走12千米，（）小時走36千米。（3）小明騎自行車3小時走36千米，平均每小時走（）千米。2.實際情境中的估計（1）小明騎自行車每小時走12千米，3小時能走35千米嗎？（2）小明騎自行車每小時走12千米，走35千米至少要用幾小時？（選擇題型）（3）小明要3小時走35千米，平均每小時大約要走多少千米？（選擇題型）一般數量關系比較問題情境中的估計第25頁，共31頁，2023年，2月20日，星期五3.實際運用中的思考（1）小明騎自行車2小時走了24千米，這樣他3小時能走35千米嗎？（2）小明騎自行車2小時走了24千米，這樣要走35千米至少需要幾小時？（3）小明騎自行車從甲地到乙地，每小時走12千米要用4小時，如果每小時走10千米，大約需要幾小時？（4）小明騎自行車每小時走12千米，從甲地到乙地要用5小時，這樣他出發3小時后離乙地還有多少千米？（5）甲乙兩地相距60千米，小明騎自行車從甲地到乙地要用5小時，這樣他出發3小時后離乙地還有多少千米？在情境圖中展示的問題解決第26頁，共31頁，2023年，2月20日，星期五王老師買8本《趣味數學》和6本《故事大王》，一共用了113.6元。一本《趣味數學》8.5元，一本《故事大王》

多少錢？

單價×數量＝總價《趣味數學》8.5元——8本——《故事大王》

？元——6本——？？113.6元*題中的哪些信息之間有直接的聯系？*題中的問題與什么數量有直接的聯系？*你是打算怎樣解決的？能說說你的想法嗎？*你能發現這樣的問題有些什么明顯的特征嗎？注意通過一些典型例題及題組的解決，幫助學生學會抓住問題情境以及數量關系的主要特征，總結尋求正確確解法的思路，同時豐富解決問題的經驗。典型問題的解決與變式訓練第27頁，共31頁，2023年，2月20日，星期五解決問題——

題組的訓練（可設計用情境圖表示）王老師買了6本《故事大王》用了45.6元，每本《故事大王》

多少錢？80元最多可以買幾本？還剩下多少錢？2.王老師買8本《趣味數學》和6本《故事大王》，一共用了113.6

元。一本《趣味數學》8.5元，一本《故事大王》多少錢？3.一本《趣味數學》8.5元，一本《故事大王》7.6元。王老師買了

8本《趣味數學》和6本《故事大王》