動態問題--點動是源泉河北省懷來縣桑園中學（075441） 古金龍動態問題一般是指幾何圖形的運動，包括點動（點在線或弧上運動）、線動（線的平移、對稱、旋轉）、面動（平面幾何圖形的平移、對稱（翻折）、旋轉）。這類問題具有靈活性，多變性，融入三角形，四邊形，圓，甚至函數圖象，綜合運用全等知識，相似知識，三角函數，勾股定理等知識；同時運動產生變量，又和函數聯系起來，利用一次函數、二次函數性質解釋動態問題。數形結合的升華部分就在此。但萬物皆有源，幾何以點為源泉，無數個點可以形成各種圖形，所以圖形的運動其實是無數個點的運動。點動帶動圖形動，圖形動引起點的位置發生變化，相輔相成，變化無窮，但萬變不離其中，解決問題要抓住一些關鍵點即可，現舉例說明：一、雙點動回歸單點動點動包括單動點型、雙動點型，其中雙動點型在中考里常見的，兩點速度可以是同速、異速，方向隨圖形形狀而有所要求。例1（09浙江麗水）已知直角坐標系中菱形ABCD的位置如圖，C，D兩點的坐標分別為（4,0），（0,3）.現有兩動點P,Q分別從A,C同時出發，點P沿線段AD向終點D運動，點Q沿折線CBA向終點A運動，設運動時間為t秒.⑴填空：菱形ABCD的邊長是一、面積是一、高BE的長是_；（2）探究下列問題：①若點P的速度為每秒1個單位，點Q的速度為每秒2個單位.當點Q在線段BA上時，求AAPQ的面積S關于t的函數關系式，以及S的最大值；②若點P的速度為每秒1個單位，點Q的速度變為每秒k個單位，在運動過程中,任何時刻都有相應的k值，使得△APQ沿它的一邊翻折，翻折前后兩個三角形組成的四邊形為菱形.請探究當弋=4秒時的情形，并求出k的值.解析：此題P點限定在一條線段上，而Q點是在折線上運動，由此注意分類。（2）①中重新限定YQ點在線段上，所以只需求出三角形高（用相似知識）即可；②中Q點的速度是變量，且運動路線分段，故需分類討論，解：（1）(2)需分類討論，解：（1）(2)245,24,245①由題意，得AP=t,AQ=10-2t.如圖1,過點Q作QG^AD,垂足為G,由QG〃BE得

△AQGMABE".QG=QA,BEBATOC\o"1-5"\h\z二QG二48-也5 25.c1 24 24/5?S—AP?QG— 12h1(一、t、5).2 25 5 2?S―-24(t-5)2+6(5WtW5).25 2 25??當t：^時，S最大值為6.②要使^APQ沿它的一邊翻折，翻折前后的兩個三角形組成的四邊形為菱形，根據軸對稱的性質，只需4APQ為等腰三角形即可.當t=4秒時，???點P的速度為每秒1個單位，???AP:4.以下分兩種情況討論:第一種情況：當點Q在CB上時，??十、三8￡汗4??.只存在點Q/使Q1A=Q1P.如圖2,過點QJ、QM，AP,垂足為點M,Q1M交AC于點F,貝UAM=1AP—2.由△AMFs^AODs^CQp得^2FMAMTOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"QFOD3 3FMAM—1————,??FM——,\o"CurrentDocument"CQAO4 2133-Q1F―MQ1-FM—104 22 1xt AP .7CO 11??CQ——QF——.貝U ― ,-k―-^4——3 5 k-t CQ1 AP 10第二種情況：當點Q在BA上時，存在兩點Q2，Q3，分別使AP—AQ2，PA=PQ3.①若AP-AQ2，如圖3,CB+BQ2—10-4—6.則以—_A^,-k-CB+BQ2-3.k-tCB+BQ2 AP2②若PA-PQ3,如圖4,過點P作PN^AB,垂足為N,由△ANPs^AEB,得AN—AP.AEAB:AE-、aBjB2-BE2—7,-AN=28.5 25-AQ―2AN——, -BC+BQ=10-——1943 25 3 25 25

1xt APCCCB+BQq97則 = .??k= 3=-.k-tCB+BQ3 AP50綜上所述，當t=4秒，以所得的等腰三角形APQ沿底邊翻折，翻折后得到菱形的k值為11或3或97.10 2 50說明：由此題看出雙動點問題可以轉化為單動點問題來解決，逐個攻破，動中找靜，假設一點符合條件，描出此點就此處解決。二、點動引起線動線的運動其實是直線或線段與幾何圖形的交點不斷發生變化，在前幾年考查上很單一，近幾年中考命題上有所突破。(09河北)如圖5,在RtAABC中，/C=90°,AC=3,AB=5.點P從點C出發沿CA以每秒1個單位長的速度向點A勻速運動，到達點A后立刻以原來的速度沿AC返回;點Q從點A出發沿AB以每秒1個單位長的速度向點B勻速運動.伴隨著P、Q的運動，DE保持垂直平分PQ,且交PQ于點D，交折線QB-BC-CP于點E.點P、Q同時出發，當點Q到達點B時停止運動，點P也隨之停止.設點P、Q運動的時間是t秒(t>0).TOC\o"1-5"\h\z(1)當t=2時，AP=,點Q到AC的距離是 ；(2)在點P從C向A運動的過程中，求△APQ的面積S與 /t的函數關系式；(不必寫出t的取值范圍) /'(3)在點E從B向C運動的過程中，四邊形QBED能否成為直角梯形？若能，求t的值.若不能，請說明理由；(4)當DE經過點C時，請直接寫出t的值...解析：此題需弄清楚雙點運動的路線及方向，且射線DE的產生過程。想象出整個運動中各個圖形位置關系變化的時段，運用相似、勾股定理建立函數、方程(等式)，當然分類思想必不可少。-PC圖5解：(1)1-PC圖55(2)作QF±AC于點F,如圖5,AQ=CP=t,?'.AP=3-1.由△AQFs^ABC,BC=v52-32=4,得QFt?n441得 =—.?Qf=t.TOC\o"1-5"\h\z45 5. 1 4,S=(3-1)--1,2 5即S=-2t2+61.55(3)能．①當DE//QB時，如圖6.?「DE±PQ,?PQ±QB，四邊形QBED是直角梯形.止匕時NAQP=90°.由^APQ^AABC,得AQ="，A PpC圖6ACABA PpC圖6即-=".解得t=9.3 5 8②如圖7,當PQ//BC時，DE±BC,四邊形QBED是直角梯形.此時/APQ=90°.由^AQPs'ABC,得AQ=AP,ABAC即-=二.解得t=-.53 8(4)t=—或t=—.2 14【注：①點P由C向A運動，DE經過點C.方法一、連接。。，作QGLBC于點G,如圖8._一? - 3一，4一PC=t,QC2=QG2+CG2=[5(5-1)]2+[4-5(5-1)]2.3 4 5由PC2=QC2,得12=[-(5-1)]2+[4--(5-1)]2，解得t=-.55 2方法二、由CQ=CP=AQ,得/QAC=ZQCA，進而可得NB=NBCQ，得CQ=BQ，,AQ=BQ=5.At=2.②點P由A向C運動，DE經過點C,如圖9.(6-1)2=[3(5-1)]2+[4-4(5-1)]2，t=至】5 5 14說明：此題一改過去點的運動方式(單向單程)，變為雙向且往返；另外此題最大亮點是兩個點的運動帶動了射線的運動(不是線的平移)。探求問題時，按要求畫圖找到DE位置(動中找靜)，利用相似三角形判定、性質，直角梯形、線段垂直平分線性質求解。考查了綜合能力。三、點動帶動面動例1設邊長為2〃的正方形的中心A在直線l上，它的一組對邊垂直于直線/，半徑為r的。O的圓心O在直線l上運動，點A、O間距離為d。(1)如圖10，當r<a時，根據d與a、r之間關系，將。O與正方形的公共點個數填入下表:圖10d、a、r之間關系公共點個數d>a+rd=a+ra一r<d<a+r

d=a-rd<a-r所以，當r<a時，。O與正方形的公共點個數可能有 個;(2)如圖11,當r=a時，根據d與a、r之間關系，將。O與正方形的公共點個數填入下表:圖12圖12(3)如圖12,當。O與正方形有5個公共點時，試說明r=5a；4(4)就r>a的情形，請你仿照“當 時，。0與正方形的公共點個數可能有個”的形式，至少給出一個關于。O與正方形的公共點個數的正確結論。解析：此題很象學過的圓和圓位置關系的探索，(1)(2)問按要求動手畫一畫即可出答案，思維活躍同學，能夠想象出來。(3)問借助幾何知識，利用等式關系求解，(4)問的思維含量較高考慮要全面(通過半徑變化產生分類)。解：(1)d、a、r之間關系公共點個數d>a+r0d=a+r1a一r<d<a+r2d=a-r1d<a―r0所以，當r<a時，。O與正方形的公共點個數可能有0、1、2個;(2)d、a、r之間關系公共點個數d>a+r0d=a+r1

aWd<a+r2d<a4所以，當丫:a時，。O與正方形的公共點個數可能有0、1、2、4個;(3)如圖所示，連接OC.則OE=OC=r,OF=EF-OE=2a—r。在Rt^OCF中，由勾股定理得，OF2+FC2RC2即(2a—r)2+a2=r2,整理解得r=—a。45（4）①當a<r<-a時，。O與正方形4的公共點個數可能有0、1、2、4、6、7、8個；②當r=5a時，。O與正方形的公共點個4數可能有0、1、2、5、8個；③當5a<r<v'2a時，。O與正方形的公共點個數可能有0、1、2、3、4、6、8個;4④r=、;2a時，。O與正方形的公共點個數可能有0、1、2、3、4個。說明：本題看似圓動，其實是圓心（點）的位置發生變化，圓位置也隨之變化。此題