Chapter10

第十章概率

10.1隨機(jī)事件與概率

10.1.1有限樣本空間與隨機(jī)事件

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解隨機(jī)試驗(yàn)、樣本點(diǎn)與樣本空間，會(huì)寫(xiě)試驗(yàn)的樣本空間2了解隨機(jī)事件的

有關(guān)概念，掌握隨機(jī)事件的表示方法及含義.

知識(shí)梳理梳理教材夯實(shí)基礎(chǔ)

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知識(shí)點(diǎn)一隨機(jī)試驗(yàn)

我們把對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的實(shí)現(xiàn)和對(duì)它的觀(guān)察稱(chēng)為隨機(jī)試驗(yàn),簡(jiǎn)稱(chēng)試驗(yàn),常用字母及表示.

我們感興趣的是具有以下特點(diǎn)的隨機(jī)試驗(yàn)：

(1)試驗(yàn)可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行:

(2)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是明確可知的,并且不止一個(gè);

(3)每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個(gè)，但事先不能確定出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果.

知識(shí)點(diǎn)二樣本空間

我們把隨機(jī)試驗(yàn)E的每個(gè)可能的基本結(jié)果稱(chēng)為樣本點(diǎn),全體樣本點(diǎn)的集合稱(chēng)為試驗(yàn)E的桂

本空間,一般地，用。表示樣本空間，用。表示樣本點(diǎn)，如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)有〃個(gè)可能結(jié)

果3”0)2,???,3,”則稱(chēng)樣本空間M，…，0")為有限樣本空間.

知識(shí)點(diǎn)三隨機(jī)事件、必然事件與不可能事件

1.一般地，隨機(jī)試驗(yàn)中的每個(gè)隨機(jī)事件都可以用這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間的子集來(lái)表示,為了敘

述方便，我們將樣本空間Q的子集稱(chēng)為隨機(jī)事件,簡(jiǎn)稱(chēng)事件,并把只包含一個(gè)樣本點(diǎn)的事

件稱(chēng)為基本事件.當(dāng)且僅當(dāng)A中某個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)時(shí),稱(chēng)為事件A發(fā)生.

2.Q作為自身的子集，包含了所有的樣本點(diǎn)，在每次試驗(yàn)中總有一個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生，所以。總

會(huì)發(fā)生，我們稱(chēng)Q為必然事件.

3.空集g不包含任何樣本點(diǎn)，在每次試驗(yàn)中都不會(huì)發(fā)生，我們稱(chēng)為。為不可能事件.

■思考辨析判斷正誤

1.對(duì)于隨機(jī)試臉，當(dāng)在同樣的條件下重復(fù)進(jìn)行試驗(yàn)時(shí)，每次試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是不知道的.

2.連續(xù)拋擲2次硬幣，該試臉的樣本空間Q=｛正正，反反，正反｝.(X)

3.“已知一個(gè)盒中裝有4個(gè)白球和5個(gè)黑球，從中任意取1個(gè)球，該球是白球或黑球”，此

事件是必然事件.(V)

4.“某人射擊一次，中靶”是隨機(jī)事件.(V)

題型探究探究重點(diǎn)素養(yǎng)提升

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一、樣本空間的求法

例1寫(xiě)出下列試驗(yàn)的樣本空間：

(1)同時(shí)擲三顆骰子，記錄三顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和；

(2)從含有兩件正品0,。2和兩件次品加，的四件產(chǎn)品中任取兩件，觀(guān)察取出產(chǎn)品的結(jié)果；

(3)用紅、黃、藍(lán)三種顏色給圖中3個(gè)矩形隨機(jī)涂色，每個(gè)矩形只涂一種顏色，觀(guān)察涂色的情

況.

解⑴該試驗(yàn)的樣本空間。尸｛3,4,5,…,18｝.

(2)該試驗(yàn)，所有可能的結(jié)果如圖所示，

因此,該試驗(yàn)的樣本空間為。2={ai42,a\b\,a\bi,aib\,a-Joy,bibi].

(3)如圖,

紅

紅F

黃

黃

紅T

藍(lán)

藍(lán)

紅

紅r

黃

黃

藍(lán)一黃t

藍(lán)

藍(lán)

紅

r紅

黃

黃

藍(lán)T

藍(lán)

藍(lán)

用1,2,3分別表示紅色、黃色與藍(lán)色三種顏色，則此試驗(yàn)的樣本空間為。3={(1,1,1),(1,1,2),

(1,1,3)，(1,2,1),(1,2,2),(1,2,3),(1,3,1),(1,3,2),(1,3,3),(2,1,1),(2,1,2),(2,1,3),(2,2,1),

(2,2,2),(2,2,3),(2,3,1),(2,3,2),(2,3,3),(3,1,1),(3,1,2),(3,1,3),(3,2,1),(3,2,2),(3,2,3),

(3,3,1),(3,3,2),(3,3,3)}.

延伸探究

本例(2)中“任取兩件”改為連續(xù)取兩次，且每次取出后又放回，此時(shí)樣本空間又是什么？

解如圖,

所以樣本空間為。4={(0,41),31,S),(。1,(02,S),(。2,02),(02,bl),

(42,5)，Si,ill),01,42),(bl,hi),Si,bl),(Z>2,?),(b2,g),(厲，bt),(厲，b^}.

反思感悟?qū)憳颖究臻g的關(guān)鍵是找樣本點(diǎn)，具體有三種方法

⑴列舉法：適用樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)不是很多，可以把樣本點(diǎn)一一列舉出來(lái)的情況，但列舉時(shí)必須按

一定的順序，要做到不重不漏.

(2)列表法：適用于試臉中包含兩個(gè)或兩個(gè)以上的元素，且試驗(yàn)結(jié)果相對(duì)較多的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)的

求解問(wèn)題，通常把樣本歸納為“有序?qū)崝?shù)對(duì)"，也可用坐標(biāo)法，列表法的優(yōu)點(diǎn)是準(zhǔn)確、全面、

不易遺漏.

(3)樹(shù)狀圖法：適用較復(fù)雜問(wèn)題中的樣本點(diǎn)的探求，一般需要分步(兩步及兩步以上)完成的結(jié)

果可以用樹(shù)狀圖進(jìn)行列舉.

跟蹤訓(xùn)練1寫(xiě)出下列試驗(yàn)的樣本空間：

(1)隨意安排甲、乙、丙、丁4人在4天節(jié)日中值班，每人值班1天，記錄值班的情況;

(2)從一批產(chǎn)品中，依次任選三件，記錄出現(xiàn)正品與次品的情況.

解(1)如圖,

設(shè)甲、乙、丙、丁分別為123,4,

所以樣本空間。|={(1,2,3,4),(1,2,4,3),(1,3,2,4),(1,3,4,2),(1,4,2,3),(1,4,3,2),(2,1,3,4),

(2,1,4,3),(2,3』,4),(2,3,4,1),(2,4,1,3),(2,4,3,1),(3,1,2,4).(3,1,4,2),(3,2,1,4),(3,2,4,1),

(3,4,1,2),(3,4,21),(4,1,2,3),(4,1,3,2),(4,2,1,3),(4,2,3,1),(4,3,1,2),(4,3,2,1)}.

(2)設(shè)正品為H,次品為T(mén),

樣本空間Q2={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,777}.

二、隨機(jī)事件的表示

例2試驗(yàn)E：甲、乙兩人玩出拳游戲（錘子、剪刀、布），觀(guān)察甲、乙出拳的情況.

設(shè)事件A表示隨機(jī)事件“甲乙平局

事件8表示隨機(jī)事件“甲扁得游戲”；

事件C表示隨機(jī)事件“乙不輸”.

試用集合表示事件A,B,C.

解設(shè)錘子為Ml,剪刀為W2,布為切3,用力表示游戲的結(jié)果，其中，表示甲出的拳，/

表示乙出的拳，則樣本空間E=｛O1,Wt）,（Wl,W2）,（Wl,W3）,（W2,Wl）,（W2,W2）,（S,

W3）,（W3,Wl）,（W3,102）,（W3,W3））.

因?yàn)槭录嗀表示隨機(jī)事件“甲乙平局”，

則滿(mǎn)足要求的樣本點(diǎn)共有3個(gè)：（幼，W|）,（W2.W2）,（W3,5）,

事件A=｛（犯，W1）,（W2,W2）,（W3,g）｝.

事件8表示“甲贏得游戲”，

則滿(mǎn)足要求的樣本點(diǎn)共有3個(gè)：（助，W2）,儂2,g）,（g,幼），

事件8=｛（助,W2）,（W2,W3）,（W3,W1）｝.

因?yàn)槭录﨏表示“乙不輸”，

則滿(mǎn)足要求的樣本點(diǎn)共有6個(gè)，

（W|,W|）,（W2,102）,（Z03,W3）,（"2,W|）,（W\,W3）,（W3,W2）,

.,.事件C=｛（U>1,Wl）,（W2,W2）,（W3,W3）,（Wl,W3）,（W2,Wl）,（W3,W2））.

反思感悟?qū)τ陔S機(jī)事件的表示，應(yīng)先列出所有的樣本點(diǎn)，然后，確定隨機(jī)事件中含有哪些

樣本點(diǎn)，這些樣本點(diǎn)作為元素表示的集合即為所求.

跟蹤訓(xùn)練2如圖，從正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)及其中心。這5個(gè)點(diǎn)中，任取兩點(diǎn)觀(guān)察取

點(diǎn)的情況，設(shè)事件M為“這兩點(diǎn)的距離不大于該正方形的邊長(zhǎng)”，試用樣本點(diǎn)表示事件機(jī)

AB

DC

解M=｛AB,AO,AD,BC,BO,CD,CO,DO].

三、隨機(jī)事件的含義

例3在試驗(yàn)氏“連續(xù)拋擲一枚均勻的骰子2次，觀(guān)察每次擲出的點(diǎn)數(shù)”中，指出下列隨

機(jī)事件的含義：

（1）事件4=｛（1,3）,（2,3）,（3,3）,（4,3）,（5,3）,（6,3）｝：

（2）事件B=｛（1,5）,（5,1）,（2,4）,（4,2）,（3,3）｝；

（3）事件C=｛（1,3）,（3,1）,（4,2）,（2,4）,（3,5）,（5,3）,（4,6）,（6,4）｝.

解（1）事件A中所含的樣本點(diǎn)中的第二個(gè)數(shù)為3,根據(jù)樣本空間知第二個(gè)數(shù)為3的樣本點(diǎn)

都在事件A中，故事件A的含義為連續(xù)拋擲一枚均勻的骰子2次，第二次擲出的點(diǎn)數(shù)為3.

(2)事件B中所含的樣本點(diǎn)中兩個(gè)數(shù)的和均為6,且樣本空間中兩數(shù)和為6的樣本點(diǎn)都在事

件B中，故事件B的含義為連續(xù)拋擲一枚均勻的骰子2次，2次擲出的點(diǎn)數(shù)之和為6.

(3)事件C的所含樣本點(diǎn)中兩個(gè)數(shù)的差的絕對(duì)值為2,且樣本空間中兩個(gè)數(shù)差的絕對(duì)值為2

的樣本點(diǎn)都在C中，故事件C的含義為連續(xù)拋擲一枚均勻的骰子2次，兩次擲出的點(diǎn)數(shù)之

差的絕對(duì)值為2.

反思感悟解答此類(lèi)題目，應(yīng)先理解事件中樣本點(diǎn)的意義，再觀(guān)察事件中樣本點(diǎn)的規(guī)律，才

能確定隨機(jī)事件的含義.

跟蹤訓(xùn)練3柜子里有3雙不同的鞋，隨機(jī)抽取2只，用4,A2,BI，Bi，Ci，C2分別表示

3雙不同的鞋，其中下標(biāo)為奇數(shù)表示左腳，下標(biāo)為偶數(shù)表示右腳.指出下列隨機(jī)事件的含義.

(l)A/={A1B1,A182，A1C2，A2S，A2&,A2C1?A2c2，B\C\)81c2，&G，82c2};

(2)N={4B”BC，AC}；

(3)P—{AIB2＞A1C2，,A2C1,B1C2，BzC\}.

解(1)事件M的含義是''從3雙不同的鞋中隨機(jī)抽取2只，取出的2只鞋不成雙”.

(2)事件N的含義是“從3雙不同鞋中，隨機(jī)抽取2只，取出的2只鞋都是左腳的”.

(3)事件P的含義是“從3雙不同鞋中，隨機(jī)抽取2只，取到的鞋一只是左腳的，一只是右

腳的，但不成雙”.

隨堂演練基礎(chǔ)鞏，固學(xué)以致用

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1.下列事件是必然事件的是()

A.從分別標(biāo)有數(shù)字123,4,5的5張標(biāo)簽中任取一張，得到標(biāo)有數(shù)字4的標(biāo)簽

B.函數(shù))，=10&“(4＞0且aWl)為增函數(shù)

C.平行于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)平行

D.隨機(jī)選取一個(gè)實(shí)數(shù)x,得2'＜0

答案C

解析A.是隨機(jī)事件，5張標(biāo)簽都可能被取到；B.是隨機(jī)事件，當(dāng)。＞1時(shí)，函數(shù)y=log〃為

增函數(shù)，當(dāng)0＜。＜1時(shí)，函數(shù)y=1ogd為減函數(shù)；C.是必然事件，實(shí)質(zhì)是平行公理；D.是不可

能事件，根據(jù)指數(shù)函數(shù)＞=2,的圖象可得，對(duì)任意實(shí)數(shù)x,2，＞0.

2.集合A={2,3},B={1,2,4},從A,B中各任意取一個(gè)數(shù)，構(gòu)成一個(gè)兩位數(shù)，則所有基本事

件的個(gè)數(shù)為()

A.8B.9C.12D.11

答案D

解析從析B中各任意取一個(gè)數(shù)，可構(gòu)成12,21,22,24,42,13,31,23,32,34,43,共11個(gè).

3.元旦期間，小東和爸爸、媽媽外出旅游，一家三口隨機(jī)站成一排，則小東恰好站在中間的

站法種數(shù)為（）

A.2B.3C.4D.5

答案A

4.拋擲3枚硬幣，試驗(yàn)的樣本點(diǎn)用（x,y,z）表示，集合M表示“既有正面朝上，也有反面朝

上“，則知=.

答案｛（正正反），（正反正），（反正正），（正反反），（反正反），（反反正）｝

解析試驗(yàn)的樣本空間為｛（正正正），（正正反），（正反正），（反正正），（正反反），（反正

反），（反反正），（反反反）｝,則加=｛（正正反），（正反正），（反正正），（正反反），（反正反），（反

反正）｝.

5.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，事件M=｛（2,6）,（3,5）,（4,4）,（5,3）,（6,2）｝,則事件M的

含義是.

答案拋骰子兩次，向上點(diǎn)數(shù)之和為8

■課堂小結(jié)

1.知識(shí)清單：

（1）隨機(jī)試驗(yàn).

（2）樣本空間.

（3）隨機(jī)事件.

2.方法歸納：列表法、樹(shù)狀圖法.

3.常見(jiàn)誤區(qū)：在列舉樣本點(diǎn)時(shí)要按照一定的順序，要做到不重、不漏.

課時(shí)對(duì)點(diǎn)練注重雙基強(qiáng)化落實(shí)

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京基礎(chǔ)鞏固

1.下列事件中不可能事件的個(gè)數(shù)為（）

①拋一石塊下落；

②如果cob,那么a-b>0；

③沒(méi)有水分，種子能發(fā)芽；

④某電話(huà)機(jī)在1分鐘內(nèi)收到2次呼叫；

⑤在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下且溫度低于0°C時(shí)，冰融化.

A.lB.2C.3D.4

答案B

解析①②是必然事件，④是隨機(jī)事件，③⑤是不可能事件.

2.試驗(yàn)E：“任取一個(gè)兩位數(shù)，觀(guān)察個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字的和的情況”，則該試驗(yàn)的樣本空

間為（）

A.{10,ll,…，99}B.{1,2,…，18)

C.{O,1,…，18}D.{1,2,…，10}

答案B

解析由題意可知，該試驗(yàn)的樣本空間為{1,2,…，18}.

3.從甲、乙等5名學(xué)生中隨機(jī)選出2人，觀(guān)察選出的2人，設(shè)事件M為“甲被選中”，則事

件M含有的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

A.2B.4C.6D.8

答案B

解析設(shè)5名學(xué)生分別為甲'乙、丙、丁、戊，則知={甲乙，甲丙，甲丁，甲戊},含

有4個(gè)樣本點(diǎn).

4.從5人中選出2人擔(dān)任正、副班長(zhǎng)，則樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

A.10B.15C.20D.25

答案C

解析把5人分別記為A,B,C,D,E,用x表示正班長(zhǎng)，y表示副班長(zhǎng)，則樣本點(diǎn)用(x,

y)表示，B),(A,0,(A,D),(4,E),(B,A),(B,C),(B,D),(B,E),(C,

A),(C,B),(C,D),(C,E),(D,A),(D,B),(D,Q,(D,E),(E,A),(E,B),(E,

0,(E,0},故共有20個(gè)樣本點(diǎn).

5.從分別寫(xiě)有1,2,345的5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張，觀(guān)察抽得的2

張數(shù)字，設(shè)抽得的第1張卡片上的數(shù)大于第2張卡片上的數(shù)為事件Q,則事件Q含有的樣

本點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

A.8B.10C.llD.15

答案B

解析如下表所示，表中點(diǎn)的橫坐標(biāo)表示第一次取到的數(shù)，縱坐標(biāo)表示第二次取到的數(shù).

12345

1(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)

2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)

3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)

4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)

5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)

則＜={(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4)}.

所以。中含有10個(gè)樣本點(diǎn).

6.己知4={-1,0,1},8={1,2},從A,8中各取一個(gè)元素分別作點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，則該

試驗(yàn)的樣本空間Q為.

答案{(-1,1),(-1,2),(0,1),(0,2),(1,1),(1,2)}

7.從100個(gè)同類(lèi)產(chǎn)品中(其中2個(gè)次品)任取3個(gè).

①三個(gè)正品；②兩個(gè)正品，一個(gè)次品；③一個(gè)正品，兩個(gè)次品；④三個(gè)次品；⑤至少有一個(gè)

次品；⑥至少有一個(gè)正品.

其中必然事件是,不可能事件是,隨機(jī)事件是.

答案⑥④①②③⑤

解析從100個(gè)產(chǎn)品(其中2個(gè)次品)中取3個(gè)可能結(jié)果是“三個(gè)全是正品”“兩個(gè)正品一個(gè)

次品”“一個(gè)正品兩個(gè)次品”.

8.從2,3,8,9中任取兩個(gè)不同數(shù)字，分別記為a,b,用他，份表示該試驗(yàn)的樣本點(diǎn)，則事件

“l(fā)og,#為整數(shù)”可表示為.

答案{(2,8),(3,9)}

解析只有l(wèi)og28=3,log39=2為整數(shù).

9.某商場(chǎng)舉行購(gòu)物抽獎(jiǎng)的促銷(xiāo)活動(dòng)，規(guī)定每位顧客從裝有編號(hào)分別為0,1,2,3四個(gè)小球(除編

號(hào)不同外，其他完全相同)的抽獎(jiǎng)箱中，每次取出一個(gè)球記下編號(hào)后放回，連續(xù)取兩次，若

取出的兩個(gè)小球的編號(hào)的和等于6,則中一等獎(jiǎng)，等于5中二等獎(jiǎng)，等于4或3中三等獎(jiǎng).

(1)寫(xiě)出試驗(yàn)的樣本空間Q；

(2)設(shè)隨機(jī)事件A為“抽中三等獎(jiǎng)”，隨機(jī)事件B為“抽中獎(jiǎng)”，試用集合表示事件A和區(qū)

解(1)。={(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(1,3),(2,0),(2,1),(2,2),(2,3),

(3,0),(3,1),(3,2),(3,3)}.

(2)4={(1,3),(2,2),(3,1),(0,3),(1,2),(2,1),(3,0)},

8={(1,3),(2,2),(3,1),(0,3),(1,2),(2,1),(3,0),(2,3),(3,2),(3,3)}.

10.某校夏令營(yíng)有3名男同學(xué)A,B,C和3名女同學(xué)X,Y,Z,其年級(jí)情況如下表：

一年級(jí)二年級(jí)三年級(jí)

男同學(xué)ABC

女同學(xué)XYZ

現(xiàn)從這6名同學(xué)中隨機(jī)選出2人參加知識(shí)競(jìng)賽(每人被選到的可能性相同).

⑴寫(xiě)出該試驗(yàn)的樣本空間Q;

(2)設(shè)事件M為“選出的2人來(lái)自不同年級(jí)且恰有1名男同學(xué)和1名女同學(xué)，試用集合表示

M.

解(1)Q={AB,AC,AX,AY,AZ,BC,BX,BY,BZ,CX,CY,CZ,XY,XZ,YZ}.

(2)M={AKAZ,BX,BZ,CX,CY}.

土綜合運(yùn)用

11.(多選)給出關(guān)于滿(mǎn)足A8的非空集合A,B的四個(gè)命題，其中正確的命題是()

A.若任取xdA,則xdB是必然事件

B.若任取KA,則xd8是不可能事件

C.若任取xGB,則xGA是隨機(jī)事件

D.若任取則依4是必然事件

答案ACD

12.將一枚質(zhì)地均勻的骰子投兩次，得到的點(diǎn)數(shù)依次記為a,b,設(shè)事件M為“方程af+Zzx

+1=0有實(shí)數(shù)解”，則事件M中含有樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()

A.6B.17C.19D.21

答案C

解析將一枚質(zhì)地均勻的骰子投兩次，得到的點(diǎn)數(shù)依次記為。和6,

,/方程ax1+bx+1=0有實(shí)數(shù)解，

."=從一4心0,

則知={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,4),

(4,5),(4,6),(5,5),(5,6),(6,5),(6,6)},共含19個(gè)樣本點(diǎn).

13.一袋中裝有10個(gè)紅球，8個(gè)白球，7個(gè)黑球，現(xiàn)在把球隨機(jī)地一個(gè)一個(gè)摸出來(lái)，為了保

證在第上次或第人次之前一定能摸出紅球，則上的最小值為()

A.10B.15C.16D.17

答案C

解析摸完黑球和白球共需15次，則第16次一定能摸出紅球.

14.寫(xiě)出下列試驗(yàn)的樣本空間：

(1)甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行一場(chǎng)足球賽，觀(guān)察甲隊(duì)比賽結(jié)果(包括平局)；

(2)從含有6件次品的50件產(chǎn)品中任取4件，觀(guān)察其中次品數(shù).

答案(1)0={勝，平，負(fù)}⑵a={0,123,4)

解析(1)對(duì)于甲隊(duì)來(lái)說(shuō)，有勝、平、負(fù)三種結(jié)果.

(2)從含有6件次品的50件產(chǎn)品中任取4件，其次品的個(gè)數(shù)可能為0,1,2,3,4,不能再有其他

結(jié)果.

力拓廣探究

15.將一個(gè)各個(gè)面上涂有顏色的正方體鋸成27個(gè)同樣大小的小正方體，從這些小正方體中任

取1個(gè)，觀(guān)察取到的小正方體的情況，則事件8為“從小正方體中任取1個(gè)，恰有兩面涂

有顏色”，那么事件B含有個(gè)樣本點(diǎn).

答案12

解析每條棱的中間位置上有一個(gè)是兩個(gè)面涂有顏色的小正方體，共12個(gè).

16.漢字是世界上最古老的文字之一，字形結(jié)構(gòu)體現(xiàn)著人類(lèi)追求均衡對(duì)稱(chēng)、和諧穩(wěn)定的天性.

如圖所示，三個(gè)漢字可以看成軸對(duì)稱(chēng)圖形.

小敏和小慧利用“土”“口”“木”三個(gè)漢字設(shè)計(jì)了一個(gè)游戲，規(guī)則如下：將這三個(gè)漢字分

別寫(xiě)在背面都相同的三張卡片上，背面朝上，洗勻后抽出一張，放回洗勻后再抽出一張，若

兩次抽出的漢字能構(gòu)成上下結(jié)構(gòu)的漢字（如“土”“土”構(gòu)成“圭”）,則小敏獲勝，否則小

慧獲勝.

（1）寫(xiě)出該試驗(yàn)的樣本空間。；

（2）設(shè)小敏獲勝為事件A,試用樣本點(diǎn)表示A.

解（1）每次游戲時(shí)，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果如下表所示：

第二張卡片

第一張篙土口木

土（土，土）（土，口）（土，木）

口（口，土）（口，口）（口，木）

木（木,土）（木，口）（木，木）

二。=｛（土，土），（土，口），（土，木），（口，土），（口，口），（口，木），（木，土），（木，口）,

（木，木）｝.

（2）能組成上下結(jié)構(gòu)的漢字的樣本為（土，土），（口，口），（木，口），（口，木）.

；.A=｛（土，土），（口，口），（木,口），（口，木）｝.

10.1.2事件的關(guān)系和運(yùn)算

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解事件的關(guān)系與運(yùn)算2通過(guò)事件之間的運(yùn)算，理解互斥事件和對(duì)立事件的

概念.

知識(shí)梳理梳理教材夯實(shí)基礎(chǔ)

知識(shí)點(diǎn)一事件的關(guān)系

定義符號(hào)圖示

一般地，若事件A發(fā)生，則事

包含

件B一定發(fā)生，稱(chēng)事件B包含

關(guān)系咨

事件A（或事件A包含于事件B）

相等如果事件B包含事件A,事件

A=B

關(guān)系A(chǔ)也包含事件B,即B2A且An

28,則稱(chēng)事件A與事件8相

等

知識(shí)點(diǎn)二交事件與并事件

定義符號(hào)圖示

一般地，事件A與事件B至少有一個(gè)發(fā)

生，這樣的一個(gè)事件中的樣本點(diǎn)或者在

并事件AUB

事件4中，或者在事件B中，我們稱(chēng)這

（或和事件）（或A+8）Q

個(gè)事件為事件A與事件B的并事件（或和

事件）

一般地，事件A與事件8同時(shí)發(fā)生，這

樣的一個(gè)事件中的樣本點(diǎn)既在事件A

交事件AHB

中，也在事件8中，我們稱(chēng)這樣的一個(gè)

（或積事件）（或CZHD

A8）Q

事件為事件A與事件B的交事件（或積事

件）

知識(shí)點(diǎn)三互斥事件和對(duì)立事件

定義符號(hào)圖示

一般地，如果事件A與事件B不能同時(shí)

發(fā)生，也就是說(shuō)ACB是一個(gè)不可能事

互斥事件4n3=0

件，即AA8=0,則稱(chēng)事件A與事件8a

互斥（或互不相容）

一般地，如果事件A和事件B在任何一

次試驗(yàn)中有且僅有一個(gè)發(fā)生，即4UB=AUB=Q

對(duì)立事件

0,且AC1B=。，那么稱(chēng)事件A與事件B

互為對(duì)立，事件A的對(duì)立事件記為工

■思考辨析判斷正誤

1.若A,B表示隨機(jī)事件，則4n8與AU8也表示事件.（V）

2.若兩個(gè)事件是互斥事件，則這兩個(gè)事件是對(duì)立事件.（X）

3.若兩個(gè)事件是對(duì)立事件，則這兩個(gè)事件也是互斥事件.（V）

4.若事件4與B是互斥事件，則在一次試驗(yàn)中事件A和B至少有一個(gè)發(fā)生.（X）

題型探究探究重點(diǎn)素養(yǎng)提升

一、互斥事件和對(duì)立事件的判斷

例1某縣城有甲、乙兩種報(bào)紙供居民訂閱，記事件A為“只訂甲報(bào)”，事件8為“至少訂

一種報(bào)”，事件C為“至多訂一種報(bào)”，事件。為“不訂甲報(bào)”，事件E為“一種報(bào)也不

訂”.判斷下列事件是否為互斥事件，如果是，判斷它們是否為對(duì)立事件.

(1)4與C；(2)8與E；(3)5與￡＞；(4)5與C；(5)C與E.

解(1)由于事件C“至多訂一種報(bào)”中可能只訂甲報(bào)，即事件4與事件C有可能同時(shí)發(fā)生，

故4與C不是互斥事件.

(2)事件8"至少訂一種報(bào)”與事件一種報(bào)也不訂”是不可能同時(shí)發(fā)生的，故事件B與E

是互斥事件.由于事件8和事件E必有一個(gè)發(fā)生，故B與E也是對(duì)立事件.

(3)事件8"至少訂一種報(bào)”中有可能只訂乙報(bào)，即有可能不訂甲報(bào)，也就是說(shuō)事件B發(fā)生，

事件。也可能發(fā)生，故B與。不是互斥事件.

(4)事件8"至少訂一種報(bào)”中有3種可能：“只訂甲報(bào)”，“只訂乙報(bào)”，“訂甲、乙兩種

報(bào)”.事件C“至多訂一種報(bào)”中有3種可能：“一種報(bào)也不訂”“只訂甲報(bào)”“只訂乙

報(bào)”.即事件B與事件C可能同時(shí)發(fā)生，故B與C不是互斥事件.

(5)由(4)的分析可知，事件E“一種報(bào)也不訂”僅僅是事件C的一種可能，事件C與事件E

可能同時(shí)發(fā)生，故C與E不是互斥事件.

反思感悟判斷兩個(gè)事件是否為互斥事件，主要看它們?cè)谝淮卧嚹樦心芊裢瑫r(shí)發(fā)生，若不能

同時(shí)發(fā)生，則這兩個(gè)事件是互斥事件，若能同時(shí)發(fā)生，則這兩個(gè)事件不是互斥事件：判斷兩

個(gè)事件是否為對(duì)立事件，主要看在一次試驗(yàn)中這兩個(gè)事件是否同時(shí)滿(mǎn)足兩個(gè)條件：一是不能

同時(shí)發(fā)生；二是必有一個(gè)發(fā)生.這兩個(gè)條件同時(shí)成立，那么這兩個(gè)事件是對(duì)立事件，只要有一

個(gè)條件不成立，那么這兩個(gè)事件就不是對(duì)立事件.

跟蹤訓(xùn)練1(1)從裝有5個(gè)紅球和3個(gè)白球的口袋內(nèi)任取3個(gè)球，那么下列各對(duì)事件中，互

斥而不對(duì)立的是()

A.至少有一個(gè)紅球與都是紅球

B.至少有一個(gè)紅球與都是白球

C.至少有一個(gè)紅球與至少有一個(gè)白球

D.恰有一個(gè)紅球與恰有兩個(gè)紅球

答案D

解析根據(jù)互斥事件與對(duì)立事件的定義判斷.A中兩事件不是互斥事件，事件''三個(gè)球都是

紅球”是兩事件的交事件；B中兩事件是對(duì)立事件；C中兩事件能同時(shí)發(fā)生，如''恰有一個(gè)

紅球和兩個(gè)白球”，故不是互斥事件；D中兩事件是互斥而不對(duì)立事件.

(2)有一個(gè)游戲，其規(guī)則是甲、乙、丙、丁四個(gè)人從同一地點(diǎn)隨機(jī)地向東、南、西、北四個(gè)方

向前進(jìn)，每人一個(gè)方向，事件“甲向南”與事件“乙向南”是()

A.互斥但非對(duì)立事件B.對(duì)立事件

C.非互斥事件D.以上都不對(duì)

答案A

解析由于每人一個(gè)方向，故“甲向南”意味著“乙向南”是不可能的，故是互斥事件，但

不是對(duì)立事件.

二、事件的運(yùn)算

例2在擲骰子的試驗(yàn)中，可以定義許多事件.例如，事件。=｛出現(xiàn)1點(diǎn)｝,事件C2=｛出現(xiàn)

2點(diǎn)｝,事件C3=｛出現(xiàn)3點(diǎn)｝,事件。4=｛出現(xiàn)4點(diǎn)｝,事件C5=｛出現(xiàn)5點(diǎn)),事件C6=｛出

現(xiàn)6點(diǎn)｝,事件A=｛出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不大于1｝，事件。2=｛出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于3｝,事件。3=｛出

現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于5｝,事件E=｛出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于7｝,事件尸=｛出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)｝,事件G=

｛出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)｝,請(qǐng)根據(jù)上述定義的事件，回答下列問(wèn)題：

(1)請(qǐng)舉出符合包含關(guān)系、相等關(guān)系的事件：

(2)利用和事件的定義，判斷上述哪些事件是和事件.

解(1)因?yàn)槭录礼,。2,C3,C4發(fā)生，則事件。3必發(fā)生，所以GUDa,C3ao3,

C4U5.

同理可得，事件E包含事件Ci,C2,C3,C4,Cs,C6；事件。2包含事件C4,C5,C6；事件

產(chǎn)包含事件C2,C4,C6；事件G包含事件Cl,C3,c5.

且易知事件Ci與事件。［相等，即Ci=2.

(2)因?yàn)槭录?gt;2=｛出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于3｝=｛出現(xiàn)4點(diǎn)或出現(xiàn)5點(diǎn)或出現(xiàn)6點(diǎn)),

所以D2=C4UC5UC6(^D2=C4+C5+C6).

同理可得，

￡>3=CI+C2+C3+C4,E=CI+C2+C3+C4+C5+C6,F=C2+C4+C6,G=C,+

C3+C5.

反思感悟事件間運(yùn)算方法

(1)利用事件間運(yùn)算的定義.列出同一條件下的試驗(yàn)所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，分析并利用這些結(jié)

果進(jìn)行事件間的運(yùn)算.

(2)利用Venn圖.借助集合間運(yùn)算的思想，分析同一條件下的試驗(yàn)所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，把這

些結(jié)果在圖中列出，進(jìn)行運(yùn)算.

跟蹤訓(xùn)練2拋擲相同硬幣3次，設(shè)事件A=｛至少有一次正面向上｝,事件B=｛一次正面向

上，兩次反面向上｝,事件C=｛兩次正面向上，一次反面向上｝,事件。=(至少一次反面向

上｝,事件E=｛3次都正面向上｝.

(1)試判斷事件A與事件B,C,E的關(guān)系；

(2)試求事件4與事件Z)的交事件，事件B與事件C的并事件，并判斷二者的關(guān)系.

解(l)BUA,CUA,EQA,且4=B+C+E.

(2)4。。=｛有正面向上，也有反面向上｝,8UC=｛1次正面向上或2次正面向上｝,AHD=

BUC.

三、隨機(jī)事件的表示及含義

例3設(shè)4,B,C表示三個(gè)隨機(jī)事件，試將下列事件用4B,C表示出來(lái).

(1)三個(gè)事件都發(fā)生；

(2)三個(gè)事件至少有一個(gè)發(fā)生；

(3)4發(fā)生，B,C不發(fā)生；

(4)4,8都發(fā)生，C不發(fā)生；

(5)4,B至少有一個(gè)發(fā)生，C不發(fā)生：

(6)4,B,C中恰好有兩個(gè)發(fā)生.

解(l)ABC(2)AUBUC(3)A~B~C(4)AB~C(5)(AUB)~C(6)AB~CUA~BCUT

BC

延伸探究

本例條件不變，試用4,B,C表示以下事件.

(1)三個(gè)事件都不發(fā)生：

(2)三個(gè)事件至少有兩個(gè)發(fā)生.

解(1)T~B~CQMBCUABT7UA石CU^BC(或A8UBCUAO

反思感悟清楚隨機(jī)事件的運(yùn)算與集合運(yùn)算的對(duì)應(yīng)關(guān)系有助于解決此類(lèi)問(wèn)題.

符號(hào)事件的運(yùn)算集合的運(yùn)算

A隨機(jī)事件子集

TA的對(duì)立事件A的補(bǔ)集

AB事件A與8的交事件集合4與8的交集

AUB事件A與8的并事件集合4與B的并集

跟蹤訓(xùn)練35個(gè)相同的小球，分別標(biāo)上數(shù)字1,2,345,依次有放回的抽取兩個(gè)小球.記事件

A為“第一次抽取的小球上的數(shù)字為奇數(shù)”，事件B為“抽取的兩個(gè)小球上的數(shù)字至少有

一個(gè)是偶數(shù)”，事件C為“兩個(gè)小球上的數(shù)字之和為偶數(shù)”，試用集合的形式表示A,B,

c,AQB,~An~c,Tnc.

解總的樣本空間為。={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),

(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),

(5,5)},

A={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(5,1),(5,2),(5,3),

(5,4),(5,5)},

8={(1,2),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),

(4,5),(5,2),(5,4)},

C={(1,1),(1,3).(1,5),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(5,1),(5,3),(5,5)}.

ACB={(1,2),(1,4),(3,2),(3,4),(5,2),(5,4)},

Tn-C={(2,1),(2,3),(2,5),(4,1),(4,3),(4,5)},

~Bnc={(l,l),(1,3),(1,5),(3,1),(3,3),(3,5),(5』)，(5,3),(5,5)).

隨堂演練基礎(chǔ)鞏固學(xué)以致用

--------------------------------------------------------------------\--------------------

1.某人射擊一次，設(shè)事件A為“擊中環(huán)數(shù)小于4”，事件8為“擊中環(huán)數(shù)大于4”，事件C

為“擊中環(huán)數(shù)不小于4”，事件力為“擊中環(huán)數(shù)大于0且小于4”，則正確的關(guān)系是()

A.A與B為對(duì)立事件

B.8與C為互斥事件

C.C與D為對(duì)立事件

D.B與D為互斥事件

答案D

2.抽查10件產(chǎn)品，記事件A為“至少有2件次品”，則4的對(duì)立事件為()

A.至多有2件次品B.至多有1件次品

C.至多有2件正品D.至少有2件正品

答案B

解析至少有2件次品包含2,3,4,5,6,7,8,9,10件.共9種結(jié)果，故它的對(duì)立事件為含有1或0

件次品，即至多有1件次品.

3.設(shè)M,N,尸是三個(gè)事件，則M,N至少有一個(gè)不發(fā)生且尸發(fā)生可表示為()

A.(而'uH)PB.(~MW)P

C.(~MuW)upD.(77MU(MH)

答案A

4.甲、乙兩人破譯同一個(gè)密碼，令甲、乙破譯出密碼分別為事件A,B,則ABUAB表示的

含義是,事件“密碼被破譯”可表示為.

答案只有一人破譯密碼~ABUA~BUAB

5.從0,123,4,5中任取兩個(gè)數(shù)字組成一個(gè)不重復(fù)的兩位數(shù).事件A表示組成的兩位數(shù)是偶數(shù)，

事件B表示組成的兩位數(shù)中十位數(shù)字大于個(gè)位數(shù)字，則事件ACB用樣本點(diǎn)表示為.

答案{10,20,30,40,50,32,42,52,54}

-課堂小結(jié)

1.知識(shí)清單：

(1)事件的包含關(guān)系與相等關(guān)系.

(2)交事件和并事件.

(3)互斥事件和對(duì)立事件.

2.方法歸納：列舉法、Venn圖法.

3.常見(jiàn)誤區(qū)：互斥事件和對(duì)立事件之間的關(guān)系易混淆.

課時(shí)對(duì)點(diǎn)練--------注--重-雙-息強(qiáng)、-化-落--實(shí)

X基礎(chǔ)鞏固

1.下列各組事件中，不是互斥事件的是()

A.一個(gè)射手進(jìn)行一次射擊，命中環(huán)數(shù)大于8與命中環(huán)數(shù)小于6

B.統(tǒng)計(jì)一個(gè)班級(jí)期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)，平均分?jǐn)?shù)不低于90分與平均分?jǐn)?shù)不高于90分

C.播種菜籽100粒，發(fā)芽90粒與發(fā)芽80粒

D.檢查某種產(chǎn)品，合格率高于70%與合格率為70%

答案B

2.許洋說(shuō)：“本周我至少做完三套練習(xí)題.”設(shè)許洋所說(shuō)的事件為A,則A的對(duì)立事件為()

A.至多做完三套練習(xí)題B.至多做完二套練習(xí)題

C.至多做完四套練習(xí)題D.至少做完二套練習(xí)題

答案B

解析至少做完3套練習(xí)題包含做完3,4,5,6,…套練習(xí)題，故它的對(duì)立事件為做完0,1,2套

練習(xí)題，即至多做完2套練習(xí)題.

3.把紅、藍(lán)、黑、白4張紙牌隨機(jī)地分給甲、乙、丙、丁4個(gè)人，每人分得1張，事件“甲

分得紅牌”與事件“乙分得紅牌”是()

A.對(duì)立事件B.相等

C.互斥但不對(duì)立事件D.以上說(shuō)法都不對(duì)

答案C

解析因?yàn)橹挥?張紅牌，所以這兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生，所以它們是互斥事件；但這兩

個(gè)事件并不是必有一個(gè)發(fā)生，所以它們不是對(duì)立事件.

4.向上拋擲一枚均勻的骰子兩次，事件A表示兩次點(diǎn)數(shù)之和小于10,事件B表示兩次點(diǎn)數(shù)

之和能被5整除，則事件工8用樣本點(diǎn)表示為()

A.{(5,5)}B.{(4,6),(5,5)}

C.{(6,5),(5,5)|D.{(4,6),(6.4),(5,5))

答案D

5.設(shè)A,B為兩事件，則(AUB)(了U石)表示()

A.必然事件B.不可能事件

C.A與B恰有一個(gè)發(fā)生D.A與8不同時(shí)發(fā)生

答案C

解析AUB表示事件A,B至少有1個(gè)發(fā)生，石表示事件A,8至少有一個(gè)不發(fā)生，

.,.(AUB)(TU石)表示A與B恰有一個(gè)發(fā)生.

6.設(shè)某隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間Q={0』,2,3,4,5,6,7,8},A={2,3,4},B={3,4,5},C={5,6,7}.則：

(1)4UB=；

(2)TAB=；

(3)An(BDC)=.

答案(1){2,3,4,5}(2){5}(3)0

7.在某大學(xué)的學(xué)生中任選一名學(xué)生，若事件A表示被選學(xué)生是男生，事件B表示該生是大三

學(xué)生，事件C表示該生是運(yùn)動(dòng)員，則事件AB下的含義是.

答案該生是大三男生，但不是運(yùn)動(dòng)員

8.現(xiàn)有語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、物理和化學(xué)共5本書(shū)，從中任取1本，記取到語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、

物理、化學(xué)書(shū)分別為事件A,B,C,D,E,則事件取出的是理科書(shū)可記為.

答案BUDUE

解析由題意可知事件”取到理科書(shū)”可記為BUDUE.

9.從某大學(xué)數(shù)學(xué)系圖書(shū)室中任選一本書(shū).設(shè)4={數(shù)學(xué)書(shū)};8={中文版的書(shū)};C={2000年后

出版的書(shū)}.問(wèn)：

(l)ACBC下表示什么事件？

(2)在什么條件下有AA80C=A?

(3)如果N=B,那么是否意味著圖書(shū)室中的所有的數(shù)學(xué)書(shū)都不是中文版的？

解(1)4ABC下={2000年或2000年前出版的中文版的數(shù)學(xué)書(shū)).

(2)在“圖書(shū)室中所有數(shù)學(xué)書(shū)都是2000年后出版的且為中文版”的條件下才有A