Chapter10

第十章概率

10.1隨機事件與概率

10.1.1有限樣本空間與隨機事件

【學習目標】1.理解隨機試驗、樣本點與樣本空間，會寫試驗的樣本空間2了解隨機事件的

有關概念，掌握隨機事件的表示方法及含義.

知識梳理梳理教材夯實基礎

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知識點一隨機試驗

我們把對隨機現象的實現和對它的觀察稱為隨機試驗,簡稱試驗,常用字母及表示.

我們感興趣的是具有以下特點的隨機試驗：

(1)試驗可以在相同條件下重復進行:

(2)試驗的所有可能結果是明確可知的,并且不止一個;

(3)每次試驗總是恰好出現這些可能結果中的一個，但事先不能確定出現哪一個結果.

知識點二樣本空間

我們把隨機試驗E的每個可能的基本結果稱為樣本點,全體樣本點的集合稱為試驗E的桂

本空間,一般地，用。表示樣本空間，用。表示樣本點，如果一個隨機試驗有〃個可能結

果3”0)2,???,3,”則稱樣本空間M，…，0")為有限樣本空間.

知識點三隨機事件、必然事件與不可能事件

1.一般地，隨機試驗中的每個隨機事件都可以用這個試驗的樣本空間的子集來表示,為了敘

述方便，我們將樣本空間Q的子集稱為隨機事件,簡稱事件,并把只包含一個樣本點的事

件稱為基本事件.當且僅當A中某個樣本點出現時,稱為事件A發生.

2.Q作為自身的子集，包含了所有的樣本點，在每次試驗中總有一個樣本點發生，所以。總

會發生，我們稱Q為必然事件.

3.空集g不包含任何樣本點，在每次試驗中都不會發生，我們稱為。為不可能事件.

■思考辨析判斷正誤

1.對于隨機試臉，當在同樣的條件下重復進行試驗時，每次試驗的所有可能結果是不知道的.

2.連續拋擲2次硬幣，該試臉的樣本空間Q=｛正正，反反，正反｝.(X)

3.“已知一個盒中裝有4個白球和5個黑球，從中任意取1個球，該球是白球或黑球”，此

事件是必然事件.(V)

4.“某人射擊一次，中靶”是隨機事件.(V)

題型探究探究重點素養提升

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一、樣本空間的求法

例1寫出下列試驗的樣本空間：

(1)同時擲三顆骰子，記錄三顆骰子出現的點數之和；

(2)從含有兩件正品0,。2和兩件次品加，的四件產品中任取兩件，觀察取出產品的結果；

(3)用紅、黃、藍三種顏色給圖中3個矩形隨機涂色，每個矩形只涂一種顏色，觀察涂色的情

況.

解⑴該試驗的樣本空間。尸｛3,4,5,…,18｝.

(2)該試驗，所有可能的結果如圖所示，

因此,該試驗的樣本空間為。2={ai42,a\b\,a\bi,aib\,a-Joy,bibi].

(3)如圖,

紅

紅F

黃

黃

紅T

藍

藍

紅

紅r

黃

黃

藍一黃t

藍

藍

紅

r紅

黃

黃

藍T

藍

藍

用1,2,3分別表示紅色、黃色與藍色三種顏色，則此試驗的樣本空間為。3={(1,1,1),(1,1,2),

(1,1,3)，(1,2,1),(1,2,2),(1,2,3),(1,3,1),(1,3,2),(1,3,3),(2,1,1),(2,1,2),(2,1,3),(2,2,1),

(2,2,2),(2,2,3),(2,3,1),(2,3,2),(2,3,3),(3,1,1),(3,1,2),(3,1,3),(3,2,1),(3,2,2),(3,2,3),

(3,3,1),(3,3,2),(3,3,3)}.

延伸探究

本例(2)中“任取兩件”改為連續取兩次，且每次取出后又放回，此時樣本空間又是什么？

解如圖,

所以樣本空間為。4={(0,41),31,S),(。1,(02,S),(。2,02),(02,bl),

(42,5)，Si,ill),01,42),(bl,hi),Si,bl),(Z>2,?),(b2,g),(厲，bt),(厲，b^}.

反思感悟寫樣本空間的關鍵是找樣本點，具體有三種方法

⑴列舉法：適用樣本點個數不是很多，可以把樣本點一一列舉出來的情況，但列舉時必須按

一定的順序，要做到不重不漏.

(2)列表法：適用于試臉中包含兩個或兩個以上的元素，且試驗結果相對較多的樣本點個數的

求解問題，通常把樣本歸納為“有序實數對"，也可用坐標法，列表法的優點是準確、全面、

不易遺漏.

(3)樹狀圖法：適用較復雜問題中的樣本點的探求，一般需要分步(兩步及兩步以上)完成的結

果可以用樹狀圖進行列舉.

跟蹤訓練1寫出下列試驗的樣本空間：

(1)隨意安排甲、乙、丙、丁4人在4天節日中值班，每人值班1天，記錄值班的情況;

(2)從一批產品中，依次任選三件，記錄出現正品與次品的情況.

解(1)如圖,

設甲、乙、丙、丁分別為123,4,

所以樣本空間。|={(1,2,3,4),(1,2,4,3),(1,3,2,4),(1,3,4,2),(1,4,2,3),(1,4,3,2),(2,1,3,4),

(2,1,4,3),(2,3』,4),(2,3,4,1),(2,4,1,3),(2,4,3,1),(3,1,2,4).(3,1,4,2),(3,2,1,4),(3,2,4,1),

(3,4,1,2),(3,4,21),(4,1,2,3),(4,1,3,2),(4,2,1,3),(4,2,3,1),(4,3,1,2),(4,3,2,1)}.

(2)設正品為H,次品為T,

樣本空間Q2={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,777}.

二、隨機事件的表示

例2試驗E：甲、乙兩人玩出拳游戲（錘子、剪刀、布），觀察甲、乙出拳的情況.

設事件A表示隨機事件“甲乙平局

事件8表示隨機事件“甲扁得游戲”；

事件C表示隨機事件“乙不輸”.

試用集合表示事件A,B,C.

解設錘子為Ml,剪刀為W2,布為切3,用力表示游戲的結果，其中，表示甲出的拳，/

表示乙出的拳，則樣本空間E=｛O1,Wt）,（Wl,W2）,（Wl,W3）,（W2,Wl）,（W2,W2）,（S,

W3）,（W3,Wl）,（W3,102）,（W3,W3））.

因為事件A表示隨機事件“甲乙平局”，

則滿足要求的樣本點共有3個：（幼，W|）,（W2.W2）,（W3,5）,

事件A=｛（犯，W1）,（W2,W2）,（W3,g）｝.

事件8表示“甲贏得游戲”，

則滿足要求的樣本點共有3個：（助，W2）,儂2,g）,（g,幼），

事件8=｛（助,W2）,（W2,W3）,（W3,W1）｝.

因為事件C表示“乙不輸”，

則滿足要求的樣本點共有6個，

（W|,W|）,（W2,102）,（Z03,W3）,（"2,W|）,（W\,W3）,（W3,W2）,

.,.事件C=｛（U>1,Wl）,（W2,W2）,（W3,W3）,（Wl,W3）,（W2,Wl）,（W3,W2））.

反思感悟對于隨機事件的表示，應先列出所有的樣本點，然后，確定隨機事件中含有哪些

樣本點，這些樣本點作為元素表示的集合即為所求.

跟蹤訓練2如圖，從正方形ABCD的四個頂點及其中心。這5個點中，任取兩點觀察取

點的情況，設事件M為“這兩點的距離不大于該正方形的邊長”，試用樣本點表示事件機

AB

DC

解M=｛AB,AO,AD,BC,BO,CD,CO,DO].

三、隨機事件的含義

例3在試驗氏“連續拋擲一枚均勻的骰子2次，觀察每次擲出的點數”中，指出下列隨

機事件的含義：

（1）事件4=｛（1,3）,（2,3）,（3,3）,（4,3）,（5,3）,（6,3）｝：

（2）事件B=｛（1,5）,（5,1）,（2,4）,（4,2）,（3,3）｝；

（3）事件C=｛（1,3）,（3,1）,（4,2）,（2,4）,（3,5）,（5,3）,（4,6）,（6,4）｝.

解（1）事件A中所含的樣本點中的第二個數為3,根據樣本空間知第二個數為3的樣本點

都在事件A中，故事件A的含義為連續拋擲一枚均勻的骰子2次，第二次擲出的點數為3.

(2)事件B中所含的樣本點中兩個數的和均為6,且樣本空間中兩數和為6的樣本點都在事

件B中，故事件B的含義為連續拋擲一枚均勻的骰子2次，2次擲出的點數之和為6.

(3)事件C的所含樣本點中兩個數的差的絕對值為2,且樣本空間中兩個數差的絕對值為2

的樣本點都在C中，故事件C的含義為連續拋擲一枚均勻的骰子2次，兩次擲出的點數之

差的絕對值為2.

反思感悟解答此類題目，應先理解事件中樣本點的意義，再觀察事件中樣本點的規律，才

能確定隨機事件的含義.

跟蹤訓練3柜子里有3雙不同的鞋，隨機抽取2只，用4,A2,BI，Bi，Ci，C2分別表示

3雙不同的鞋，其中下標為奇數表示左腳，下標為偶數表示右腳.指出下列隨機事件的含義.

(l)A/={A1B1,A182，A1C2，A2S，A2&,A2C1?A2c2，B\C\)81c2，&G，82c2};

(2)N={4B”BC，AC}；

(3)P—{AIB2＞A1C2，,A2C1,B1C2，BzC\}.

解(1)事件M的含義是''從3雙不同的鞋中隨機抽取2只，取出的2只鞋不成雙”.

(2)事件N的含義是“從3雙不同鞋中，隨機抽取2只，取出的2只鞋都是左腳的”.

(3)事件P的含義是“從3雙不同鞋中，隨機抽取2只，取到的鞋一只是左腳的，一只是右

腳的，但不成雙”.

隨堂演練基礎鞏，固學以致用

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1.下列事件是必然事件的是()

A.從分別標有數字123,4,5的5張標簽中任取一張，得到標有數字4的標簽

B.函數)，=10&“(4＞0且aWl)為增函數

C.平行于同一條直線的兩條直線平行

D.隨機選取一個實數x,得2'＜0

答案C

解析A.是隨機事件，5張標簽都可能被取到；B.是隨機事件，當。＞1時，函數y=log〃為

增函數，當0＜。＜1時，函數y=1ogd為減函數；C.是必然事件，實質是平行公理；D.是不可

能事件，根據指數函數＞=2,的圖象可得，對任意實數x,2，＞0.

2.集合A={2,3},B={1,2,4},從A,B中各任意取一個數，構成一個兩位數，則所有基本事

件的個數為()

A.8B.9C.12D.11

答案D

解析從析B中各任意取一個數，可構成12,21,22,24,42,13,31,23,32,34,43,共11個.

3.元旦期間，小東和爸爸、媽媽外出旅游，一家三口隨機站成一排，則小東恰好站在中間的

站法種數為（）

A.2B.3C.4D.5

答案A

4.拋擲3枚硬幣，試驗的樣本點用（x,y,z）表示，集合M表示“既有正面朝上，也有反面朝

上“，則知=.

答案｛（正正反），（正反正），（反正正），（正反反），（反正反），（反反正）｝

解析試驗的樣本空間為｛（正正正），（正正反），（正反正），（反正正），（正反反），（反正

反），（反反正），（反反反）｝,則加=｛（正正反），（正反正），（反正正），（正反反），（反正反），（反

反正）｝.

5.拋擲一枚質地均勻的骰子兩次，事件M=｛（2,6）,（3,5）,（4,4）,（5,3）,（6,2）｝,則事件M的

含義是.

答案拋骰子兩次，向上點數之和為8

■課堂小結

1.知識清單：

（1）隨機試驗.

（2）樣本空間.

（3）隨機事件.

2.方法歸納：列表法、樹狀圖法.

3.常見誤區：在列舉樣本點時要按照一定的順序，要做到不重、不漏.

課時對點練注重雙基強化落實

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京基礎鞏固

1.下列事件中不可能事件的個數為（）

①拋一石塊下落；

②如果cob,那么a-b>0；

③沒有水分，種子能發芽；

④某電話機在1分鐘內收到2次呼叫；

⑤在標準大氣壓下且溫度低于0°C時，冰融化.

A.lB.2C.3D.4

答案B

解析①②是必然事件，④是隨機事件，③⑤是不可能事件.

2.試驗E：“任取一個兩位數，觀察個位數字與十位數字的和的情況”，則該試驗的樣本空

間為（）

A.{10,ll,…，99}B.{1,2,…，18)

C.{O,1,…，18}D.{1,2,…，10}

答案B

解析由題意可知，該試驗的樣本空間為{1,2,…，18}.

3.從甲、乙等5名學生中隨機選出2人，觀察選出的2人，設事件M為“甲被選中”，則事

件M含有的樣本點個數為()

A.2B.4C.6D.8

答案B

解析設5名學生分別為甲'乙、丙、丁、戊，則知={甲乙，甲丙，甲丁，甲戊},含

有4個樣本點.

4.從5人中選出2人擔任正、副班長，則樣本點個數為()

A.10B.15C.20D.25

答案C

解析把5人分別記為A,B,C,D,E,用x表示正班長，y表示副班長，則樣本點用(x,

y)表示，B),(A,0,(A,D),(4,E),(B,A),(B,C),(B,D),(B,E),(C,

A),(C,B),(C,D),(C,E),(D,A),(D,B),(D,Q,(D,E),(E,A),(E,B),(E,

0,(E,0},故共有20個樣本點.

5.從分別寫有1,2,345的5張卡片中隨機抽取1張，放回后再隨機抽取1張，觀察抽得的2

張數字，設抽得的第1張卡片上的數大于第2張卡片上的數為事件Q,則事件Q含有的樣

本點個數為()

A.8B.10C.llD.15

答案B

解析如下表所示，表中點的橫坐標表示第一次取到的數，縱坐標表示第二次取到的數.

12345

1(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)

2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)

3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)

4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)

5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)

則＜={(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4)}.

所以。中含有10個樣本點.

6.己知4={-1,0,1},8={1,2},從A,8中各取一個元素分別作點的橫坐標和縱坐標，則該

試驗的樣本空間Q為.

答案{(-1,1),(-1,2),(0,1),(0,2),(1,1),(1,2)}

7.從100個同類產品中(其中2個次品)任取3個.

①三個正品；②兩個正品，一個次品；③一個正品，兩個次品；④三個次品；⑤至少有一個

次品；⑥至少有一個正品.

其中必然事件是,不可能事件是,隨機事件是.

答案⑥④①②③⑤

解析從100個產品(其中2個次品)中取3個可能結果是“三個全是正品”“兩個正品一個

次品”“一個正品兩個次品”.

8.從2,3,8,9中任取兩個不同數字，分別記為a,b,用他，份表示該試驗的樣本點，則事件

“log,#為整數”可表示為.

答案{(2,8),(3,9)}

解析只有log28=3,log39=2為整數.

9.某商場舉行購物抽獎的促銷活動，規定每位顧客從裝有編號分別為0,1,2,3四個小球(除編

號不同外，其他完全相同)的抽獎箱中，每次取出一個球記下編號后放回，連續取兩次，若

取出的兩個小球的編號的和等于6,則中一等獎，等于5中二等獎，等于4或3中三等獎.

(1)寫出試驗的樣本空間Q；

(2)設隨機事件A為“抽中三等獎”，隨機事件B為“抽中獎”，試用集合表示事件A和區

解(1)。={(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(1,3),(2,0),(2,1),(2,2),(2,3),

(3,0),(3,1),(3,2),(3,3)}.

(2)4={(1,3),(2,2),(3,1),(0,3),(1,2),(2,1),(3,0)},

8={(1,3),(2,2),(3,1),(0,3),(1,2),(2,1),(3,0),(2,3),(3,2),(3,3)}.

10.某校夏令營有3名男同學A,B,C和3名女同學X,Y,Z,其年級情況如下表：

一年級二年級三年級

男同學ABC

女同學XYZ

現從這6名同學中隨機選出2人參加知識競賽(每人被選到的可能性相同).

⑴寫出該試驗的樣本空間Q;

(2)設事件M為“選出的2人來自不同年級且恰有1名男同學和1名女同學，試用集合表示

M.

解(1)Q={AB,AC,AX,AY,AZ,BC,BX,BY,BZ,CX,CY,CZ,XY,XZ,YZ}.

(2)M={AKAZ,BX,BZ,CX,CY}.

土綜合運用

11.(多選)給出關于滿足A8的非空集合A,B的四個命題，其中正確的命題是()

A.若任取xdA,則xdB是必然事件

B.若任取KA,則xd8是不可能事件

C.若任取xGB,則xGA是隨機事件

D.若任取則依4是必然事件

答案ACD

12.將一枚質地均勻的骰子投兩次，得到的點數依次記為a,b,設事件M為“方程af+Zzx

+1=0有實數解”，則事件M中含有樣本點的個數為()

A.6B.17C.19D.21

答案C

解析將一枚質地均勻的骰子投兩次，得到的點數依次記為。和6,

,/方程ax1+bx+1=0有實數解，

."=從一4心0,

則知={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,4),

(4,5),(4,6),(5,5),(5,6),(6,5),(6,6)},共含19個樣本點.

13.一袋中裝有10個紅球，8個白球，7個黑球，現在把球隨機地一個一個摸出來，為了保

證在第上次或第人次之前一定能摸出紅球，則上的最小值為()

A.10B.15C.16D.17

答案C

解析摸完黑球和白球共需15次，則第16次一定能摸出紅球.

14.寫出下列試驗的樣本空間：

(1)甲、乙兩隊進行一場足球賽，觀察甲隊比賽結果(包括平局)；

(2)從含有6件次品的50件產品中任取4件，觀察其中次品數.

答案(1)0={勝，平，負}⑵a={0,123,4)

解析(1)對于甲隊來說，有勝、平、負三種結果.

(2)從含有6件次品的50件產品中任取4件，其次品的個數可能為0,1,2,3,4,不能再有其他

結果.

力拓廣探究

15.將一個各個面上涂有顏色的正方體鋸成27個同樣大小的小正方體，從這些小正方體中任

取1個，觀察取到的小正方體的情況，則事件8為“從小正方體中任取1個，恰有兩面涂

有顏色”，那么事件B含有個樣本點.

答案12

解析每條棱的中間位置上有一個是兩個面涂有顏色的小正方體，共12個.

16.漢字是世界上最古老的文字之一，字形結構體現著人類追求均衡對稱、和諧穩定的天性.

如圖所示，三個漢字可以看成軸對稱圖形.

小敏和小慧利用“土”“口”“木”三個漢字設計了一個游戲，規則如下：將這三個漢字分

別寫在背面都相同的三張卡片上，背面朝上，洗勻后抽出一張，放回洗勻后再抽出一張，若

兩次抽出的漢字能構成上下結構的漢字（如“土”“土”構成“圭”）,則小敏獲勝，否則小

慧獲勝.

（1）寫出該試驗的樣本空間。；

（2）設小敏獲勝為事件A,試用樣本點表示A.

解（1）每次游戲時，所有可能出現的結果如下表所示：

第二張卡片

第一張篙土口木

土（土，土）（土，口）（土，木）

口（口，土）（口，口）（口，木）

木（木,土）（木，口）（木，木）

二。=｛（土，土），（土，口），（土，木），（口，土），（口，口），（口，木），（木，土），（木，口）,

（木，木）｝.

（2）能組成上下結構的漢字的樣本為（土，土），（口，口），（木，口），（口，木）.

；.A=｛（土，土），（口，口），（木,口），（口，木）｝.

10.1.2事件的關系和運算

【學習目標】1.理解事件的關系與運算2通過事件之間的運算，理解互斥事件和對立事件的

概念.

知識梳理梳理教材夯實基礎

知識點一事件的關系

定義符號圖示

一般地，若事件A發生，則事

包含

件B一定發生，稱事件B包含

關系咨

事件A（或事件A包含于事件B）

相等如果事件B包含事件A,事件

A=B

關系A也包含事件B,即B2A且An

28,則稱事件A與事件8相

等

知識點二交事件與并事件

定義符號圖示

一般地，事件A與事件B至少有一個發

生，這樣的一個事件中的樣本點或者在

并事件AUB

事件4中，或者在事件B中，我們稱這

（或和事件）（或A+8）Q

個事件為事件A與事件B的并事件（或和

事件）

一般地，事件A與事件8同時發生，這

樣的一個事件中的樣本點既在事件A

交事件AHB

中，也在事件8中，我們稱這樣的一個

（或積事件）（或CZHD

A8）Q

事件為事件A與事件B的交事件（或積事

件）

知識點三互斥事件和對立事件

定義符號圖示

一般地，如果事件A與事件B不能同時

發生，也就是說ACB是一個不可能事

互斥事件4n3=0

件，即AA8=0,則稱事件A與事件8a

互斥（或互不相容）

一般地，如果事件A和事件B在任何一

次試驗中有且僅有一個發生，即4UB=AUB=Q

對立事件

0,且AC1B=。，那么稱事件A與事件B

互為對立，事件A的對立事件記為工

■思考辨析判斷正誤

1.若A,B表示隨機事件，則4n8與AU8也表示事件.（V）

2.若兩個事件是互斥事件，則這兩個事件是對立事件.（X）

3.若兩個事件是對立事件，則這兩個事件也是互斥事件.（V）

4.若事件4與B是互斥事件，則在一次試驗中事件A和B至少有一個發生.（X）

題型探究探究重點素養提升

一、互斥事件和對立事件的判斷

例1某縣城有甲、乙兩種報紙供居民訂閱，記事件A為“只訂甲報”，事件8為“至少訂

一種報”，事件C為“至多訂一種報”，事件。為“不訂甲報”，事件E為“一種報也不

訂”.判斷下列事件是否為互斥事件，如果是，判斷它們是否為對立事件.

(1)4與C；(2)8與E；(3)5與￡＞；(4)5與C；(5)C與E.

解(1)由于事件C“至多訂一種報”中可能只訂甲報，即事件4與事件C有可能同時發生，

故4與C不是互斥事件.

(2)事件8"至少訂一種報”與事件一種報也不訂”是不可能同時發生的，故事件B與E

是互斥事件.由于事件8和事件E必有一個發生，故B與E也是對立事件.

(3)事件8"至少訂一種報”中有可能只訂乙報，即有可能不訂甲報，也就是說事件B發生，

事件。也可能發生，故B與。不是互斥事件.

(4)事件8"至少訂一種報”中有3種可能：“只訂甲報”，“只訂乙報”，“訂甲、乙兩種

報”.事件C“至多訂一種報”中有3種可能：“一種報也不訂”“只訂甲報”“只訂乙

報”.即事件B與事件C可能同時發生，故B與C不是互斥事件.

(5)由(4)的分析可知，事件E“一種報也不訂”僅僅是事件C的一種可能，事件C與事件E

可能同時發生，故C與E不是互斥事件.

反思感悟判斷兩個事件是否為互斥事件，主要看它們在一次試臉中能否同時發生，若不能

同時發生，則這兩個事件是互斥事件，若能同時發生，則這兩個事件不是互斥事件：判斷兩

個事件是否為對立事件，主要看在一次試驗中這兩個事件是否同時滿足兩個條件：一是不能

同時發生；二是必有一個發生.這兩個條件同時成立，那么這兩個事件是對立事件，只要有一

個條件不成立，那么這兩個事件就不是對立事件.

跟蹤訓練1(1)從裝有5個紅球和3個白球的口袋內任取3個球，那么下列各對事件中，互

斥而不對立的是()

A.至少有一個紅球與都是紅球

B.至少有一個紅球與都是白球

C.至少有一個紅球與至少有一個白球

D.恰有一個紅球與恰有兩個紅球

答案D

解析根據互斥事件與對立事件的定義判斷.A中兩事件不是互斥事件，事件''三個球都是

紅球”是兩事件的交事件；B中兩事件是對立事件；C中兩事件能同時發生，如''恰有一個

紅球和兩個白球”，故不是互斥事件；D中兩事件是互斥而不對立事件.

(2)有一個游戲，其規則是甲、乙、丙、丁四個人從同一地點隨機地向東、南、西、北四個方

向前進，每人一個方向，事件“甲向南”與事件“乙向南”是()

A.互斥但非對立事件B.對立事件

C.非互斥事件D.以上都不對

答案A

解析由于每人一個方向，故“甲向南”意味著“乙向南”是不可能的，故是互斥事件，但

不是對立事件.

二、事件的運算

例2在擲骰子的試驗中，可以定義許多事件.例如，事件。=｛出現1點｝,事件C2=｛出現

2點｝,事件C3=｛出現3點｝,事件。4=｛出現4點｝,事件C5=｛出現5點),事件C6=｛出

現6點｝,事件A=｛出現的點數不大于1｝，事件。2=｛出現的點數大于3｝,事件。3=｛出

現的點數小于5｝,事件E=｛出現的點數小于7｝,事件尸=｛出現的點數為偶數｝,事件G=

｛出現的點數為奇數｝,請根據上述定義的事件，回答下列問題：

(1)請舉出符合包含關系、相等關系的事件：

(2)利用和事件的定義，判斷上述哪些事件是和事件.

解(1)因為事件G,。2,C3,C4發生，則事件。3必發生，所以GUDa,C3ao3,

C4U5.

同理可得，事件E包含事件Ci,C2,C3,C4,Cs,C6；事件。2包含事件C4,C5,C6；事件

產包含事件C2,C4,C6；事件G包含事件Cl,C3,c5.

且易知事件Ci與事件。［相等，即Ci=2.

(2)因為事件￡>2=｛出現的點數大于3｝=｛出現4點或出現5點或出現6點),

所以D2=C4UC5UC6(^D2=C4+C5+C6).

同理可得，

￡>3=CI+C2+C3+C4,E=CI+C2+C3+C4+C5+C6,F=C2+C4+C6,G=C,+

C3+C5.

反思感悟事件間運算方法

(1)利用事件間運算的定義.列出同一條件下的試驗所有可能出現的結果，分析并利用這些結

果進行事件間的運算.

(2)利用Venn圖.借助集合間運算的思想，分析同一條件下的試驗所有可能出現的結果，把這

些結果在圖中列出，進行運算.

跟蹤訓練2拋擲相同硬幣3次，設事件A=｛至少有一次正面向上｝,事件B=｛一次正面向

上，兩次反面向上｝,事件C=｛兩次正面向上，一次反面向上｝,事件。=(至少一次反面向

上｝,事件E=｛3次都正面向上｝.

(1)試判斷事件A與事件B,C,E的關系；

(2)試求事件4與事件Z)的交事件，事件B與事件C的并事件，并判斷二者的關系.

解(l)BUA,CUA,EQA,且4=B+C+E.

(2)4。。=｛有正面向上，也有反面向上｝,8UC=｛1次正面向上或2次正面向上｝,AHD=

BUC.

三、隨機事件的表示及含義

例3設4,B,C表示三個隨機事件，試將下列事件用4B,C表示出來.

(1)三個事件都發生；

(2)三個事件至少有一個發生；

(3)4發生，B,C不發生；

(4)4,8都發生，C不發生；

(5)4,B至少有一個發生，C不發生：

(6)4,B,C中恰好有兩個發生.

解(l)ABC(2)AUBUC(3)A~B~C(4)AB~C(5)(AUB)~C(6)AB~CUA~BCUT

BC

延伸探究

本例條件不變，試用4,B,C表示以下事件.

(1)三個事件都不發生：

(2)三個事件至少有兩個發生.

解(1)T~B~CQMBCUABT7UA石CU^BC(或A8UBCUAO

反思感悟清楚隨機事件的運算與集合運算的對應關系有助于解決此類問題.

符號事件的運算集合的運算

A隨機事件子集

TA的對立事件A的補集

AB事件A與8的交事件集合4與8的交集

AUB事件A與8的并事件集合4與B的并集

跟蹤訓練35個相同的小球，分別標上數字1,2,345,依次有放回的抽取兩個小球.記事件

A為“第一次抽取的小球上的數字為奇數”，事件B為“抽取的兩個小球上的數字至少有

一個是偶數”，事件C為“兩個小球上的數字之和為偶數”，試用集合的形式表示A,B,

c,AQB,~An~c,Tnc.

解總的樣本空間為。={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),

(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),

(5,5)},

A={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(5,1),(5,2),(5,3),

(5,4),(5,5)},

8={(1,2),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),

(4,5),(5,2),(5,4)},

C={(1,1),(1,3).(1,5),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(5,1),(5,3),(5,5)}.

ACB={(1,2),(1,4),(3,2),(3,4),(5,2),(5,4)},

Tn-C={(2,1),(2,3),(2,5),(4,1),(4,3),(4,5)},

~Bnc={(l,l),(1,3),(1,5),(3,1),(3,3),(3,5),(5』)，(5,3),(5,5)).

隨堂演練基礎鞏固學以致用

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1.某人射擊一次，設事件A為“擊中環數小于4”，事件8為“擊中環數大于4”，事件C

為“擊中環數不小于4”，事件力為“擊中環數大于0且小于4”，則正確的關系是()

A.A與B為對立事件

B.8與C為互斥事件

C.C與D為對立事件

D.B與D為互斥事件

答案D

2.抽查10件產品，記事件A為“至少有2件次品”，則4的對立事件為()

A.至多有2件次品B.至多有1件次品

C.至多有2件正品D.至少有2件正品

答案B

解析至少有2件次品包含2,3,4,5,6,7,8,9,10件.共9種結果，故它的對立事件為含有1或0

件次品，即至多有1件次品.

3.設M,N,尸是三個事件，則M,N至少有一個不發生且尸發生可表示為()

A.(而'uH)PB.(~MW)P

C.(~MuW)upD.(77MU(MH)

答案A

4.甲、乙兩人破譯同一個密碼，令甲、乙破譯出密碼分別為事件A,B,則ABUAB表示的

含義是,事件“密碼被破譯”可表示為.

答案只有一人破譯密碼~ABUA~BUAB

5.從0,123,4,5中任取兩個數字組成一個不重復的兩位數.事件A表示組成的兩位數是偶數，

事件B表示組成的兩位數中十位數字大于個位數字，則事件ACB用樣本點表示為.

答案{10,20,30,40,50,32,42,52,54}

-課堂小結

1.知識清單：

(1)事件的包含關系與相等關系.

(2)交事件和并事件.

(3)互斥事件和對立事件.

2.方法歸納：列舉法、Venn圖法.

3.常見誤區：互斥事件和對立事件之間的關系易混淆.

課時對點練--------注--重-雙-息強、-化-落--實

X基礎鞏固

1.下列各組事件中，不是互斥事件的是()

A.一個射手進行一次射擊，命中環數大于8與命中環數小于6

B.統計一個班級期中考試數學成績，平均分數不低于90分與平均分數不高于90分

C.播種菜籽100粒，發芽90粒與發芽80粒

D.檢查某種產品，合格率高于70%與合格率為70%

答案B

2.許洋說：“本周我至少做完三套練習題.”設許洋所說的事件為A,則A的對立事件為()

A.至多做完三套練習題B.至多做完二套練習題

C.至多做完四套練習題D.至少做完二套練習題

答案B

解析至少做完3套練習題包含做完3,4,5,6,…套練習題，故它的對立事件為做完0,1,2套

練習題，即至多做完2套練習題.

3.把紅、藍、黑、白4張紙牌隨機地分給甲、乙、丙、丁4個人，每人分得1張，事件“甲

分得紅牌”與事件“乙分得紅牌”是()

A.對立事件B.相等

C.互斥但不對立事件D.以上說法都不對

答案C

解析因為只有1張紅牌，所以這兩個事件不可能同時發生，所以它們是互斥事件；但這兩

個事件并不是必有一個發生，所以它們不是對立事件.

4.向上拋擲一枚均勻的骰子兩次，事件A表示兩次點數之和小于10,事件B表示兩次點數

之和能被5整除，則事件工8用樣本點表示為()

A.{(5,5)}B.{(4,6),(5,5)}

C.{(6,5),(5,5)|D.{(4,6),(6.4),(5,5))

答案D

5.設A,B為兩事件，則(AUB)(了U石)表示()

A.必然事件B.不可能事件

C.A與B恰有一個發生D.A與8不同時發生

答案C

解析AUB表示事件A,B至少有1個發生，石表示事件A,8至少有一個不發生，

.,.(AUB)(TU石)表示A與B恰有一個發生.

6.設某隨機試驗的樣本空間Q={0』,2,3,4,5,6,7,8},A={2,3,4},B={3,4,5},C={5,6,7}.則：

(1)4UB=；

(2)TAB=；

(3)An(BDC)=.

答案(1){2,3,4,5}(2){5}(3)0

7.在某大學的學生中任選一名學生，若事件A表示被選學生是男生，事件B表示該生是大三

學生，事件C表示該生是運動員，則事件AB下的含義是.

答案該生是大三男生，但不是運動員

8.現有語文、數學、英語、物理和化學共5本書，從中任取1本，記取到語文、數學、英語、

物理、化學書分別為事件A,B,C,D,E,則事件取出的是理科書可記為.

答案BUDUE

解析由題意可知事件”取到理科書”可記為BUDUE.

9.從某大學數學系圖書室中任選一本書.設4={數學書};8={中文版的書};C={2000年后

出版的書}.問：

(l)ACBC下表示什么事件？

(2)在什么條件下有AA80C=A?

(3)如果N=B,那么是否意味著圖書室中的所有的數學書都不是中文版的？

解(1)4ABC下={2000年或2000年前出版的中文版的數學書).

(2)在“圖書室中所有數學書都是2000年后出版的且為中文版”的條件下才有A