九年級數學下冊第5章對函數的再探索難點解析

考試時間：90分鐘；命題人：數學教研組

考生注意：

1、本卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分，滿分io。分，考試時間90分鐘

2、答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級填寫在試卷規定位置上

3、答案必須寫在試卷各個題目指定區域內相應的位置，如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新

的答案；不準使用涂改液、膠帶紙、修正帶，不按以上要求作答的答案無效。

第I卷（選擇題30分）

一、單選題（10小題，每小題3分，共計30分）

1、某種商品每件的進價為30元，在某時間段內若以每件x元出售，可賣出（100—x）件.若想獲得

最大利潤，則定價x應為（)

A.35元B.45元C.55元D.65元

2、點A(m,力），B（/?,力）均在拋物線尸（x-h）2+7匕若|力-力-力，則下列說法正確的

是()

A.%+度=0B.yi~%=0C.yt-7><0D.yi-匕>0

3

3、下列關于反比例函數y-的結論中正確的是（)

x

A.圖象過點（1,3）B.圖象在一、三象限內

C.當x<0時，y隨x的增大而增大D.當工>一1時y>3

4、函數y=42-％中,自變量才的取值范圍是()

A.x<2B.x<2C.x>2D.xw2

5、根據下面表格中的對應值:

X3.233.243.253.26

ax+bx+c-0.06-0.020.030.09

判斷方程a/+"+c=O（aWO,a,b,。為常數）的一個解x的范圍是（)

A.3VxV3.23B.3.23VxV3.24

C.3.24<xV3.25D.3.25VxV3.26

2

6、已知點力（-1,力）,B（2,羥），。（3,內）都在反比例函數尸--的圖象上，則力、乃、加的

x

大小關系為（

A.%>%>%B.y2>yi>yiC.yi>y2>y-3D.y1>y^>y2

7、在平面直角坐標系x%中，以P（0,-1）為圓心，出為半徑作圓，"W上一點，若點小的坐

標為（38得）,則線段M/的最小值為（)

A.2B.2百C.4D.26

8、二次函數y=3（x+1）2—2的圖像的頂點坐標是（)

A.(-1,一2)B.(-1,2)C.(1,-2)D.(1,2)

9、函數y=-@與丫=以2+。（4*0）在同一直角坐標系中的大致圖象可能是（）

10、對于反比例函數y=-2,下列說法錯誤的是（）

X

A.圖象經過點（1,-5）B.圖象位于第二、第四象限

C.當x<0時，y隨x的增大而減小D.當x>0時，y隨x的增大而增大

第n卷（非選擇題70分）

二、填空題（5小題，每小題4分，共計20分）

1、將二次函數4科5化為廣（x-力）2+4的形式為_____.

2、二次函數尸a/+Z>x+c（a,b,c是常數，aWO）的自變量x與函數值y的部分對應值如表：則

當x=0時，y的值為.

X???-5-4-3-2-1???

y=ax+bx+c???-13-3353???

3、將一副三角板如圖放置在平面直角坐標系中，直角頂點4在y軸的正半軸上，龍，x軸于點8,OB

=6,點反尸分別是切的中點，將這副三角板整體向右平移個單位，E,尸兩點同時落在

反比例函數y=K的圖象上.

X

4、如圖，在平面直角坐標系中，矩形4?切的邊分別平行于坐標軸，原點。恰好為矩形對角線的交

點，反比例函數y=與的圖象與矩形46切的邊交于點KN、P、Q,記矩形48（力的面積為S,，四邊形

X

網閥的面積為心若S=3$,則椒'：板的值為.

k

5、反比例函數y=￡的圖象在二、四象限，則A的值為.(寫出一個即可)

X

三、解答題(5小題，每小題10分，共計50分)

1、如圖，拋物線>=加+6工+,交x軸于48兩點，交y軸于點C,直線y=x-5經過點8,C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)拋物線的對稱軸/與直線比'相交于點只連接4C,AP,判定△4/安的形狀，并說明理由；

(3)在直線比上是否存在點瓶使417與直線8C的夾角等于的2倍?若存在，請求出點"的坐

標；若不存在，請說明理由.

2、高爾夫球場各球洞因地形變化而出現不等的距離，因此每次擊球受地形的變化影響很大.如圖，

以表示坡度為1：5山坡，山坡上點力距。點的水平距離施為40米，在月處安裝4米高的隔離網

AB.在一次擊球訓練時，擊出的球運行的路線呈拋物線，小球距離擊球點30米時達到最大高度10

米，現將擊球點置于山坡底部。處，建立如圖所示的平面直角坐標系(0、4、8及球運行的路線在同

一平面內).

(1)求本次擊球，小球運行路線的函數關系式；(不要求寫出自變量X的取值范圍)

(2)通過計算說明本次擊球小球能否越過隔離網AB2

(3)小球運行時與坡面3之間的最大高度是多少？

3、有這樣一類特殊邊角特征的四邊形，它們有“一組鄰邊相等且對角互補”，我們稱之為“等對補

四邊形”.

⑴如圖1,四邊形4?5中，/BAD=NBCD=9Q°,AD=AB,切于點若4￡=4,則四邊形

切的面積等于.

(2)等對補四邊形中，經過兩條相等鄰邊的公共頂點的一條對角線，必平分四邊形的一個內角，即如

圖2,四邊形460中，AD=DC,ZA+ZC=180°,連接被求證：BD平■分NABC.

(3)現準備在某地著名風景區開發一片國家稀有動物核心保護區，保護區的規劃圖如圖3所示，該地

規劃部門要求：四邊形48(力是一個“等對補四邊形”，滿足"DC,A^AD=12,NBAD=12G,

因地勢原因，要求3W/代6,求該區域四邊形4靦面積的最大值.

io

4、雙曲線丫=上過矩形4?5的4、，兩個頂點，48〃y軸，已知8點的坐標為(2,1.5),求點〃的坐

X

標.

5,已知拋物線的頂點坐標是(-1,4),且過點(0,3).

(1)求這個拋物線對應的函數表達式.

⑵在所給坐標系中畫出該函數的圖象.

(3)當x取什么值時，函數值小于0?

-參考答案-

一、單選題

1、D

【解析】

【分析】

設所獲得的利潤為例根據利潤=(售價-進價)X數量，列出/關于x的二次函數，利用二次函數的

性質求解即可.

【詳解】

解：設所獲得的利潤為外

由題意得W=(X-30)(100-X)=100X-3000-X2+30X=-(X-65『+1225,

V-l<0,

.,.當x=65時,歷有最大值1225,

故選D.

【點睛】

本題主要考查了二次函數的應用，解題的關鍵在于能夠根據題意列出利潤關于售價的二次函數.

2、D

【解析】

【分析】

根據二次函數的對稱性確定出力與力的大小關系，然后對各選項分析判斷即可得解.

【詳解】

解：y=(x-h)2+7

拋物線的開口向上，對稱軸為產力，

1.1\m-h\>n-h\,

點兒與對稱軸的距離大于點6與對稱軸的距離，

-'-yi>y2,

■■yi-y?>0.

故選：D.

【點睛】

本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征，主要利用了二次函數的對稱性，難點在于二次函數圖像上

的點與對稱軸的距離大小關系確定確定函數值的大小關系.

3、C

【解析】

【分析】

利用反比例函數的性質解答.

【詳解】

A=-3<0,

函數圖象位于第二、四象限，故A選項錯誤；

,.TX3=3W-3,

???函數圖象不經過點（1,3）,故4選項錯誤；

???根據反比例函數的性質在函數圖象的每一個象限內，y隨x的增大而增大,

.?.當x<0時，y隨x的增大而增大，故。選項正確；

當時y>3,但是當》>0時y<0,故。選項錯誤；

故選：C.

【點睛】

此題主要考查當k<0時的反比例函數的性質，熟練掌握性質是解題的關鍵.

4,B

【解析】

【分析】

根據二次根式的被開方數的非負性即可得.

【詳解】

解：由二次根式的被開方數的非負性得：2-xNO,

解得x42,

故選：B.

【點睛】

本題考查了二次根式、函數的自變量，熟練掌握二次根式的被開方數的非負性是解題關鍵.

5、C

【解析】

【分析】

根據表中數據得到x=3.24時，a才+bx+c=-0.02；x=3.25時，aV+6x+c=0.03,則x取3.24到

3.25之間的某一個數時，使ax?+Zur+c=0,于是可判斷關于x的方程ay+8x+c=0(aWO)的一個解x

的范圍是3.24Vx<3.25.

【詳解】

解：：x=3.24時，a^+bx+c--0.02；x=3.25時，a^+bx+c=O.03,

關于x的方程"+6戶c=0(aWO)的一個解x的范圍是3.24<x<3.25.

故選：C.

【點睛】

本題考查了估算一元二次方程的近似解：用列舉法估算一元二次方程的近似解，具體方法是：給出一

些未知數的值，計算方程兩邊結果，當兩邊結果愈接近時，說明未知數的值愈接近方程的根.

6、D

【解析】

【分析】

把點/、B、C的坐標分別代入函數解析式，求得力、人為的值，然后比較它們的大小.

【詳解】

2

解：?.?反比例函數尸-一圖象上三個點的坐標分別是4(-1,力)、B(2,乃)、C(3,%),

x

2c2.2

??P尸——7二2，斤一刀二T，y^~~-

-1zJ

V-l<-1<2,

3

y2<y3<yt.

故選：D.

【點睛】

本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征.函數圖象上點坐標都滿足該函數解析式.

7、A

【解析】

【分析】

首先我們先判斷網;最短時，，1/的位置，線段/W與圓的交點為肋此時用，值最小.利用勾股定理列出

線段/W的長度函數表達式，求出該函數的最小值，減去半徑即為所求.

【詳解】

PN2=(3a)2+(_1_4a-4)2=25/+25+40〃=25(“+1)2+9

4.4

設函數y=25(a+?2+9,開口向上，當時，函數取得最小值，y=9,所以/W長度的最小值為

3,且大于半徑，故和圓不相交，圓的半徑為1,所以物管匹。滬2.

故答案為：A.

【點睛】

本題考察了點到圓的距離問題，利用勾股定理列出二次函數求解是解決本題的要點.點到圓的距離我

們可以記住規律，最大值是點到圓心的距離加半徑，最小值為點到圓心的距離減半徑.

8、A

【解析】

【分析】

根據二次函數頂點式y=?x-/?)2+Z,頂點為：(h,k),可知題中函數的頂點為(-1,-2)

【詳解】

解：由題意得，二次函數尸3(x+1)憶2的圖像的頂點坐標為(-1,-2).

故選：A.

【點睛】

本題主要考查的是二次函數頂點式的應用，掌握頂點式的意義是本題的關鍵.

9,A

【解析】

【分析】

根據兩個函數的圖象得到a的符號，即可判斷A；根據二次函數y=得到a的符號，即可判斷

B、aD,由此得到答案.

【詳解】

解：A、由函數y=-3圖象得a<0,函數了="2+。的圖象得a<0,故該項正確；

X

B、函數)，=4小+。的圖象開口向上得a〉0,與y軸交于負半軸得a<0,故該項不正確；

C、函數>的圖象開口向下得a<0,與y軸交于正半軸得a>0,故該項不正確；

D、函數yuad+a的圖象開口向上得a>0,與y軸交于負半軸得a<0,故該項不正確；

故選：A.

【點睛】

此題考查了依據反比例函數與二次函數函數的圖象所經過的象限確定系數的符號，正確掌握各函數的

圖象與字母系數的關系是解題的關鍵.

10、C

【解析】

【分析】

計算坐標的積，判斷是否等于左值；根據左值的屬性，判斷圖像的分布和性質，對照選擇即可.

【詳解】

解：?.?反比例函數尸-2,

X

當x=l時，尸一：=-5,

故選項力不符合題意；

k=-5,故該函數圖象位于第二、四象限，

故選項6不符合題意；

當x<0,y隨x的增大而增大，

故選項。符合題意；

當x>0時，y隨x的增大而增大，

故選項〃不符合題意；

故選：C.

【點睛】

本題考查了反比例函數的解析式，圖像和性質，熟練掌握圖像分布的條件和性質是解題的關鍵.

二、填空題

1、y=(x-2)2+1

【解析】

【分析】

將解析式配完全平方即可.

【詳解】

解：y=x2-4x+5

=x2-4x+4+l

=(X-2)2+1

故答案為：y=(x-2)2+l.

【點睛】

本題考查了配方法求二次函數頂點式解析式.解題的關鍵在于正確的配完全平方.

2、-3

【解析】

【分析】

根據表格，選擇合適的方法確定函數的解析式，把為轉化為求函數值問題解答.

【詳解】

,.,y=ax?+6x+c經過(-3,3),(-2,5),(T,3),

9a-3b+c=3

4a-2b+c=5,

a-b+c=3

a=-2

解得卜=-8

c=-3

/.y=-2x2-8^r3,

當x=0時，

產-3

故答案為：-3.

【點睛】

本題考查了表格法表示函數，二次函數解析式的確定，求函數值，學會根據表格確定點的坐標是解題

基礎，靈活運用待定系數法是解題的關鍵.

3.(3+473)

【解析】

【分

求得￡、尸的坐標，然后表示出平移后的坐標，根據衣=燈得到關于t的方程，解方程即可求得.

【詳解】

解：,妙=6,

，〃=6,AB=y[203=^41,

?*.BC=5/2AB=-^2X6-^2=12,

：.A(0,6),C(6,12),

???點￡是“'的中點，

.?.￡的坐標為(3,9),

,:BC=I2,/BDC=6G°,

：.BD=—BC=4/3,

3y

：.OD=6+4y[j,

：.D(6+473,0),

??才是5的中點，

.?.尸(6+2退，6),

設平移力個單位后，則平移后尸點的坐標為（6+2退+力，6）,平移后￡點的坐標為（3+39）,

?.?平移后E,尸兩點同時落在反比例函數y=月的圖象上，

X

：.（6+2舊力X6=（3+t）X9,

解得t=3+4>/3,

故答案為（3+46）.

【點睛】

本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征坐標與圖形變化呼移，表示出反尸的坐標，進而得到平

移后的坐標是解題的關鍵.

4,2-百##-石+2

【解析】

【分析】

先判斷四邊形川監葉是平行四邊形，設〃（a,b）,則必（與，6）,N（a,—）,。（-a,--）,由S,=

baa

3s2得ab=6k,從而表示出椒'和，媳，即可求出批第的值.

【詳解】

解：如圖，連接/C和微

??,矩形4?徵關于點。中心對稱，反比例函數關于點。中心對稱,

???四邊形A3磔是平行四邊形，對角線,"、八Q經過點。,

設〃(a,b),則/)/(丁，b),N(a,—),0(-a,—),

baa

???S=3甑

/.ab-3[_ab--(a---)(6-

222b

:.才匕=3女,

k>0,

??aZ?=5/3k.

:.gJd+ay+s+4

Vba

+d\+(b+

._73-1_

,,MQ一岑-^717

故答案為：2-g.

【點睛】

本題考查了反比例函數的性質，學會利用參數解決問題是解題的關鍵.

5、-1（答案不唯一

【解析】

【分析】

由反比例函數y=±的圖象在二、四象限，可知旅0,,據此可求出左的取值

X

【詳解】

L

?.?反比例函數y=￡的圖象在二、四象限，

X

：.k<0,

取衣是負數都滿足條件，

：.k=-\.

故答案為T.

【點睛】

本題考查了反比例函數的圖像與性質，對于反比例函數y=&々是常數，k中0),當左>0,反比例函數

X

圖象的兩個分支在第一、三象限，在每一象限內,y隨x的增大而減小；當AV0,反比例函數圖象的兩

個分支在第二、四象限，在每一象限內,y隨x的增大而增大.

三、解答題

1>(1)y=-x2+6x-5

(2)△ACP為直角三角形，理由見解析

(3)存在，點M的坐標為或(高,-t)

【解析】

【分析】

(1)根據一次函數的解析式可求得*5,0),C(0,-5),再把這兩點的坐標分別代入二次函數解析式，即

可求得；

(2)拋物線y=*+6x_5的對稱軸為直線x=3,可分別求得點A、C、尸的坐標，分別求得AC?、

AP\CP2,根據勾股定理的逆定理即可證得；

(3)分點財在為左邊和右邊兩種情況分別計算，根據兩點間距離公式及等腰三角形判定與性質即可分

別求得.

(1)

解：由y=x-5,得點8的坐標為(5,0),點C的坐標為(0,-5).

,....f25a+30+c=0

把85,0,C(0,-5代入拋物線y=ox2+6x+c,得,

[c=-5

解得。=一1,c=-5,

拋物線的解析式為y=-*2+6x-5；

⑵

解：△ACP為直角三角形.

理由如下：

拋物線y=-x?+6x-5的對稱軸為直線x=3,

當x=3時，y=x-5=-2,

???點2的坐標為(3,-2),

當y=0時，y=-x2+6x-5=0,得x=l或5,

.?.點A的坐標為(1,0).

222

VAC=(xA-xc)+(yA-yc),

：.AC?=(1-0)2+(0+5)2=26.

同理，AP2=(l-3)2+(O+2)2=8,C產=(0-3)2+(-5+2)2=18,

，AP2+CP2=AC2,

△ACP為直角三角形；

(3)

解：存在點必使4M與直線比的夾角等于Z4cB的2倍.

分兩種情況：

①點”在處左邊時，如圖，

ZAMtB=2ZACB,ZAM.B=ZACM,+ZCAM,,

：.ZACM=ZCAM],

/.AM]=CM[,

?.?點M在直線y=x—5上,

設點M的坐標為(加,，〃-5).

根據題意，得

AM^—+(0—/H+5)-=2/M2—12/n+26,

CM,2=(O-/?)2+(-5-/n+5)2=2/w2,

2m2—12/?+26=2m2,解得，”=L，

6

點M的坐標為（卜看.

②點M在抬右邊時，如圖,

此時NAM2c=

4M=A%,

丁APLBC,

.,.點尸是陷M?的中點

13_17

???P（3,-2）,M

66

6'6）

綜上所述，點”的坐標為(2,-g)或(1,-:).

【點睛】

本題考查了利用待定系數法求二次函數的解析式，兩點間距離公式，勾股定理的逆定理，解決(3)的

關鍵是分兩種情況分別計算

2、(l)y=-^(x-30)2+10

⑵小球不能飛越隔離網理由見解析

(3)小球運行時與坡面曲之間的最大高度是4.9米

【解析】

【分析】

(1)設小球運行的函數關系式為尸a(尸30)二IO,把原點的坐標代入即可；

(2)由。氏40可得小球的高度，再利用坡度求出4￡,比較即可；

(3)設小球運行時與坡面OA之間的高度是獷米，求出解析式，再利用頂點式求出最大值即可.

(1)

設小球運行的函數關系式為片a(『30)2+10,

把(0,0)代入解析式得：900010=0,

解得：T，

，解析式為片(獷30)'+10；

⑵

小球不能飛越隔離網AB,理由如下：

1QA

將產40代入解析式為：尸-高X(4O-3O)2+IO=7,

909

???坡度為六1：5,密40,

???4斤8,力廬4,

80

.?.除12,y<12,

二小球不能飛越隔離網/8

(3)

設OA的解析式為尸kx,

把(30,6)代入得：6=304，解得公g,

二物的解析式為尸gx,

設小球運行時與坡面OA之間的高度是獷米，

J尸--—(尸30)'+10--^=--y+―x=~—(r21)2+4.9,

905901590

Va<0,

.,.當A=21時，獷最大是4.9,

答：小球運行時與坡面OA之間的最大高度是4.9米.

【點睛】

本題考查了點的坐標求法，一次函數、二次函數解析式的確定方法，及點的坐標與函數解析式的關

系.

3、(1)9

(2)見解析

⑶竽

【解析】

【分析】

(1)過A作AFLBC,交CB的延長線于尸，求出四邊形AFCE是矩形，根據矩形的性質得出

ZFAE=900,求出N￡ME=Na4F=90°-N￡M￡,根據A4S得出A4FB=A4ED,根據全等得出AE=4尸=3,

SiAH1一^AA￡Z)，求出5正方舷"CE=9,求出S叫邊彩A8C￡>=S正方形"C￡，代入求出即可；

(2)如圖1中，連接AC,30.證明A,B,C,。四點共圓，利用圓周角定理即可解決問題.

(3)如圖3中，延長剛到H,使得A〃=84,連接04,過點D4作OK_L4￥于K,根點B作

BM工DH于■M,BNLCD于N.設A8=x.構建二次函數，利用二次函數的性質即可解決問題.

⑴

解：如圖1,過A作AF_L8C,交C8的延長線于F,

QAEYCD,ZC=90°

,-.Z4￡D=ZF=ZC=90°,

四邊形AFCE是矩形,

.-.ZE4￡=90°,

?：ZDAB=90°,

:.ZDAE=ZBAF=9CP-ZBAE,

在AA/7?和AA￡D中,

NF=ZAED

<ZFAB=NDAE,

AB=AD

:.^AFB^&AED(AAS),

AE=AF=4，SMFB~S^ED，

???四邊形AFCE是矩形，

.??四邊形AFCE是正方形，

S正方形AFCE=4x4=16,

'S四邊形46co

二S四邊形MCE+S^ED

=S四邊形ASCE+S3B

二S正方形A「CE

=16.

故答案為：16；

(2)

解：證明：如圖2中，連接AC.

vZBAD+ZBCD=180°,

.?.A,B,C,。四點共圓,

?：AD=DC,

??AD=DC，

ZABD=NCBD,

.?.80平分ZABC.

(3)

解：如圖3中，延長胡到H,使得=連接過點D4作。KJ_47于K,過點8作

于M,BNLCD千N.設=

.*.ZC=60°,

???Z/Z4￡>=60°,

\AD=AH,

??.AAD”是等邊三角形，

/.ZH=60°,

.-.z//=zc,

由(2)可知.BO平分/ABC,

.\ZDBA=ZDBC,

?;BD=BD,

:.△DBH=ADBC,

ZBDM=ZBDN,DH=AD=]2-xf

;BM工DH,BNLCD,

:.BM=BN,

\AH+AB=AB+AD=\2f

BM=BN=BH-sin60°=673