中考數學壓軸題專題圓與相似的經典綜合題及詳細答案一、相似1.如圖，正方形ABCD、等腰RtABPQ的頂點P在對角線AC上（點P與A、C不重合），QP與BC交于E,QP延長線與AD交于點F,連接CQ.D C(1)①求證：AP=CQ；②求證：PA2=AF?AD；(2)若AP：PC=1：3,求tanzCBQ.【答案】(1)證明：①:四邊形ABCD是正方形，「.AB=CB,ZABC=90°,「.ZABP+ZPBC=90°,「△BPQ是等腰直角三角形，「.BP=BQ,ZPBQ=90°,「.ZPBC+ZCBQ=90°「.ZABP=ZCBQ,「.△ABP^△CBQ,「.AP=CQ;②;四邊形ABCD是正方形，「.ZDAC=ZBAC=ZACB=45°,?.?zPQB=45°,ZCEP=ZQEB,「.ZCBQ=ZCPQ,由①得△ABP^△CBQ,ZABP=ZCBQ?ZCPQ=ZAPF,「.ZAPF=ZABP,「.△APF-△ABP,APAF.二儼=AFrAB=AFrAD;ABAP(本題也可以連接「口，證4APF-△ADP)(2)證明：由①得△ABP^△CBQ,AZBCQ=ZBAC=45°,?ZACB=45°,AZPCQ=45°+45°=90°CCAtanZCPQ=i由①得AP=CQ,CQ_AP_1又AP:PC=1:3,AtanZCPQ=■ ,由②得ZCBQ=ZCPQ,atanZCBQ=tanZCPQ=.【解析】【分析】(1)①利用正方形的性質和等腰直角三角形的性質易證△ABPM△CBQ,可得AP=CQ；②利用正方形的性質可證得ZCBQ=ZCPQ,再由△ABPM△CBQ可證得ZAPF=ZABP,從而證出^APF-△ABP,由相似三角形的性質得證；(2)由4ABPM△CBQ可得ZBCQ=ZBAC=45°,可得ZPCQ=45°+45°=90°,再由三角函數可a 1得tanZCPQ='，由AP:PC=1:3,AP=CQ,可得tanZCPQ=，再由ZCBQ=ZCPQ可求出答案.2.如圖，點A、B、C、D是直徑為AB的。O上的四個點，CD=BC,AC與BD交于點E。(1)求證：DC2=CE-AC；Ab(2)若AE=2EC,求之值；(3)在(2)的條件下，過點C作。O的切線，交AB的延長線于點H,若SAAc=%，△ACH求EC之長.【答案】(1)證明：:CD=BC，「.NDAC=NCDB，又VNACD=NDCE，「.△ACD-△DCE，AC_CL「? ，「?DC2=CE-AC；(2)解：設EC=k，則AE=2k，，AC=3k，由(1)DC2=CE-AC=3k2，DC=\'jk，連接OC，OD，VCD=BC，「.OC平分NDOB，「.BC=DC=Sk，VAB是。O的直徑，」.在RSACB中，: \■. ‘. \ ，AD_「.OB=OC=OD=\'Jk，:?NBOD=120°，:.NDOA=60°，「.AD=AO，AAO(3)解：VCH是。O的切線，連接CO，?OC±CH.VNCOH=60°，NH=30°，過C作CG±AB于G，CG=-k設EC=k,.//CAB=30°,「? ■■■,又：乙H=NCAB=30°,「.AC=CH=3k,「.AH=\' ,-AHXCG=i\(X六;靖X與二隊;丁S=. ,「.- - ,「.k2=4,k=2,即EC=2.△ACH【解析】【分析】(1)要證DC2=CE-AC,只需證△ACD-△DCE即可求解；(2)連接OC,OD,根據已知條件AE=2EC可用含k的代數式表示線段AE、CE、AC,由(1)可將CD用含K的代數式表示，在RSACB中，由勾股定理可將AB用含K的代數式表示，結合已知條件和圓的性質可求解；(3)過C作CG±AB于G,設EC=k，由30度角所對的直角邊等于斜邊的一半可將CG用1含K的代數式表示，根據三角形ACH的面積=?AH CG=91即可求解。3.如圖，在平面直角坐標系中，O為原點，四邊形ABCD是矩形，點A、C的坐標分別是作，A作，A(0,2)和C(2\,0),點D是對角線AC上一動點(不與A、C重合)，連結BD,(1)填空：點B的坐標為；(2)是否存在這樣的點D,使得△DEC是等腰三角形？若存在，請求出AD的長度；若不存在，請說明理由；DE(3)①求證：——；②設AD=x，矩形BDEF的面積為y,求y關于x的函數關系式(可利用①的結論)，并求出y的最小值【答案】（1）縱區2）（2）解：存在，理由如下：7OA=2,OC=2\1'J,AG小tanzACO=￡^=3,：.ZACO=30°,ZACB=60°①如圖（1）中，當E在線段CO上時，ADEC是等腰三角形，觀察圖象可知，只有ED=EC,ZDCE=ZEDC=30°,ZDBC=ZBCD=60°,△DBC是等邊三角形，DC=BC=2,在RtAAOC中，---ZACO=30°,0A=2,/.AC=2AO=4,/.AD=AC-CD=4-2=2,???當AD=2時，△DEC是等腰三角形，②如圖（2）中，當E在0C的延長線上時，4DCE是等腰三角形，只有CD=CE,ZDBC=ZDEC=ZCDE=15°,ZABD=ZADB=75°,AB=AD=2x/^>綜上所述，滿足條件的AD的值為2或2-W.（3）①如圖，過點D作MN_LAB于點M,交0C于點N。A(0.2)和C(23,0),「?直線AC的解析式為y=-33x+2,設D(a,-33a+2),DN=-33a+2,BM=23-aZBDE=90°,ZBDM+ZNDE=90°,ZBDM+ZDBM=90°,ZDBM=ZEDN,---ZBMD=ZDNE=90°,「.△BMD-ADNE,「.DEBD=DNBM=-33a+223-a=33.②如圖（2）中，作DH^AB于H。圖⑵在RtAADH中，;AD=x,NDAH=NACO=30°,「.DH=12AD=12x,AH=AD2-DH2=32x,「.BH=23-32x,在RtABDH中，BD=BH2+DH2=12x2+23-32x2,「.DE=33BD=33-12x2+23-32x2,矩形BDEF的面積為y=3312x2+23-32x22=33x2-6x+12,即y=33x2-23x+43,「.y=33x-32+3:33>0,「.x=3時，y有最小值3.【解析】【解答】（1）:四邊形AOCB是矩形，「.BC=OA=2，OC=AB=，NBCO=NBAO=90°,.??b（-,■■■■,r.，2）【分析】（1）根據點A、C的坐標，分別求出BC、AB的長，即可求解。（2）根據點A、C的坐標，求出NACO，NACB的度數，分兩種情況討論：①如圖（1）中，當E在線段CO上時，△DEC是等腰三角形，觀察圖象可知，只有ED=EC；②如圖（2）中，當E在OC的延長線上時，△DCE是等腰三角形，只有CD=CE，NDBC=NDEC=NCDE=15°,分別求出AD的長，即可求解。（3）①如圖，過點D作MN±AB于點M，交OC于點N。利用待定系數法求出直線AC的更解析式，設D（a，-a+2），分別用含a的代數式表示出DN、BM的長，再證明△BMD~ADNE，然后根據相似三角形的性質，得出對應邊成比例，即可求解； ②如圖（2）中，作DH±AB于H。設AD=x，用含x的代數式分別表示出DH、BH的長，利用勾股定理求出BD、DE的長再根據矩形的面積公式，列出y與x的函數關系式，求出頂點坐標，即可求解。4.如圖，拋物線?一口 二? ''與'■軸交于A,B兩點（點B在點A的左側），與y軸交于點C,頂點為D,其對稱軸與1■軸交于點E,聯接AD,OD.

(1)求頂點D的坐標(用含的式子表示)；(2)若ODLAD,求該拋物線的函數表達式；(3)在(2)的條件下，設動點P在對稱軸左側該拋物線上，PA與對稱軸交于點M，若△AME與公OAD相似，求點P的坐標.【答案】(1)解：:?一八' 匕"一/’：' ■；.，?；， 」.頂點D的坐標為(4,-4m)TOC\o"1-5"\h\z(2)解：丁? !-："一-：11- -???點A(6,0),點B(2,0),貝UOA=6,;拋物線的對稱軸為x=4,.??點E(4,0),貝UOE=4,AE=2,又DE=4m,?由勾股定理得：一；、 ；一院.；,■：, .?-- ■又OD又ODLAD,?:" ' ,…,貝U■面;'飛,『—I：,解得：1.一'x'-人金+6v12???m>0,,拋物線的函數表達式 ,(3)解：如圖，過點P作PH±x軸于點H,貝必APH-△AME,rr - 0 N-7\, &承，在RSOAD中，, '、■ \,設點P的坐標為

當4APHs解得：x當4APHs解得：x=0,x=6（舍去）,@AAPHs△AMEs△OADg-7x+6-6,.??點P的坐標為.「父；解得：x=1,x=6（舍去）綜上所述，點p的坐標為.或?【解析】【分析】（1）將拋物線的解析式配成頂點式即可求得頂點D的坐標；（2）要求拋物線的解析式，只須求出m的值即可。因為拋物線與x軸交于點A、B，所以令y=0，解關于x的一元二次方程，可得點A、B的坐標，則OA、OD、AD均可用含m的代數式表示；因為ODLAD，所以在直角三角形OAD中，由勾股定理可得工—工,將OA、OD、AD代入可得關于m的方程，解方程即可得m的值，則拋物線的解析式可求解；（3）△AME與工OAD中的對應點除直角頂點D、E固定外，其余兩點都不固定，所以分兩種情況：①當△AMEs△AOD時，過點P作PH±x軸于點H，易得△APH-△AME-△AOD，可得相應的比例式求解；②當△AMEs△OAD時，過點P作PH±x軸于點H，易得△APH-△AME-△OAD，可得相應的比例式求解。5.如圖，在矩形ABCD中，上D=JV=4,點E是BC邊上的點，口——連接AE,修；讓修；讓?交于點FA D（1）求證：二”飛二飛三（2）連接CF,求川一”?丁的值；AG（3）連接AC交DF于點G,求的值【答案】（1）證明：:四邊形ABCD是矩形，

「.NBAD=NADC=NB=90°,AB=CD=4,;DF±AE,「.NAFD=90°,「.NBAE+NEAD=NEAD+NADF=90°,「.NBAE=NADF,在RtAABE中，?.?AB=4,BE=3,「.AE=5,在^ABE和合△DFA中，ZABE-^DFA"BAE二AE二AD△ABE^△DFA(AAS).(2)解：連結DE交CF于點H,?△ABE^△DFA,DF=DC=4,AF=BE=3,「.CE=EF=2,「.DE±CF,「.NDCF+NHDC=NDEC+NHDC=90°,「.NDCF=NDEC,在RtADCE中，?CD=4,CE=2,「.DE=2-、J,sinNDCF=sinNDEC=> \，(3)過點C作CK±AE交AE的延長線于點K,;DF±AE,「.CKIIDF,AG_Ab???■ ，：，在RtACEK中，,j6「.EK=CE-cosZCEK=CE-cosZAEB=2x=616「.FK=FE+EK=2+=',AGAF~I6% - ——二=■=..【解析】【分析】（1）由矩形的性質，垂直的性質，同角的余角相等可得NBAE=NADF,在RtAABE中，根據勾股定理可得AE=5，由全等三角形的判定AAS可得△ABEM△DFA.（2）連結DE交CF于點H，由（1）中全等三角形的性質可知DF=DC=4，AF=BE=3，由同角的余角相等得NDCF=NDEC，在RtADCE中，根據勾股定理可得DE=24，根據銳角三角函數定義可得答案.（3）過點C作CK±AE交AE的延長線于點K，由平行線的推論知AG_AbCKIIDF，根據平行線所截線段成比例可得 ’：，在RtACEK中，根據銳角三角函數定b義可得EK=，從而求出尸七代入數值即可得出答案.6.已知：如圖，在RtAABC中，NC=90°,^O在AB上，以O為圓心，OA長為半徑的圓與AC,AB分別交于點D,E,且NCBD=NA.（1）判斷直線BD與。O的位置關系，并證明你的結論;（2）若AD：AO=8：5,BC=2,求BD的長.【答案】⑴解：BD是。O的切線；理由如下：:OA=OD,「.NODA=NA丁NCBD=NA,「.NODA=NCBD,;NC=90°,「.NCBD+NCDB=90°,「.NODA+NCDB=90°,「.NODB=90°,即BD±OD,「.BD是。O的切線(2)解：設AD=8k,貝UAO=5k,AE=2OA=10k,丁AE是。O的直徑，「.NADE=90°,「.NADE=NC,又:NCBD=NA,「.△ADE-△BCD,AE_BL10k_Bb.1,即,，： ，解得：BD='.所以BD的長是,【解析】【分析】(1)由等腰三角形的性質和已知得出NODA=NCBD,由直角三角形的性質得出NCBD+NCDB=90°,因此NODA+NCDB=90°,得出NODB=90°，即可得出結論；(2)設AD=8k,則AO=5k,AE=2OA=10k,由圓周角定理得出NADE=90°,△ADE-△BCD,AEBL ~ 得出對應邊成比例，即可求出BD的長.7.如圖，在△ABC中，AB=AC,以AB為直徑的。O分別交BC,AC于點D,E,連結EB,交OD于點F.(1)求證：OD±BE.(2)若DE=T；,AB=6,求AE的長.(3)若4CDE的面積是^OBF面積的，求線段BC與AC長度之間的等量關系，并說明理由.【答案】(1)證明：連接AD,丁AB是直徑，「.NAEB=NADB=90°,;AB=AC,「.NCAD=NBAD,BD=CD,|/| 1/1」.二二二「.OD±BE；(2)解：:NAEB=90°,「.NBEC=90°,;BD=CD,「.BC=2DE=2-小，丁四邊形ABDE內接于OO,「.NBAC+NBDE=180°,「NCDE+NBDE=180°,「.NCDE=NBAC,;NC=NC,「.△CDE-△CAB,CE_DEEE_\6「.；一產二即入艮「.CE=2,「.AE=AC-CE=AB-CE=4(3)解：:BD=CD,-SACDE=SABDE';BD=CD,AO=BO,「.ODIIAC,「△OB~△ABE「△OB~△ABE,「.SAABE=4S△OBF」?S」?SAABE=4Saobf=6SaCDE-SACAB-SACDE+SABDE+"ABE=8SACDE「△CDE-△CAB,;BD=CD,AB=AC,BC_1「.“J二，即AC=-：/-BC【解析】【分析】（1）連接AD.根據直徑所對的圓周角是直角、等腰三角形的性質以及CE_DE平行線的性質即可證明;（2）先證△CDE-△CAB得;產，，據此求得CE的長，依據平行線的性質即可證明;、△cde="bde ，證△OBF-、△cde="bde ，證△OBF-.ABE得$，二？二結合［J'.一「知、△abe=6,CDE，CDn1 CD1一）2二— - '，據此得出‘ 、-，結合S 嚴*1丁京 - 二據此知、△abe=4,obf，SACDS （'△cab=8"CDE，由4CDE-△CAB知?BD=CD，BD=CD，AB=AC知BC_1? \，從而得出答案.8.如圖1,在四邊形ABCD中，乙DAB被對角線AC平分，且AC2=AB?AD,我們稱該四邊形為“可分四邊形〃，NDAB稱為“可分角〃.圖I 圖I 圖2 畜用圖（1）如圖2,四邊形ABCD為"可分四邊形〃，NDAB為“可分角〃，求證：△DAC-△CAB.（2）如圖2,四邊形ABCD為"可分四邊形〃，NDAB為“可分角〃，如果NDCB=NDAB,貝1NDAB=°（3）現有四邊形ABCD為“可分四邊形〃，NDAB為“可分角〃，且AC=4,BC=2,ND=90°,求AD的長.【答案】（1）證明：:四邊形ABCD為"可分四邊形〃，NDAB為"可分角〃，「?AC.2=AB?AD,ACAL「.?..,VNDAB為“可分角〃，「.NCAD=NBAC,「.△DAC-△CAB120(3)解：:四邊形ABCD為“可分四邊形〃，NDAB為“可分角〃，???AC22=AB?AD,NDAC=NCAB,」.AD：AC=AC：AB,「.△ADC-△ACB,「.ND=NACB=90°,TOC\o"1-5"\h\z??.AB=■--p- < ， 、/、,\o"CurrentDocument"AC'?/ 2「.AD=；二'：.故答案為 .【解析】【解答】(2)解：如圖所示：丁AC平分/DAB,「.N1=N2,丁AC22=AB?AD,」.AD：AC=AC：AB,「.△ADC-△ACB,「.ND=N4,丁NDCB=NDAB,「.NDCB=N3+N4=2N1,:N1+ND+N3=N1+N4+N3=180°,」.N1+2N1=180°,解得：N1=60°,「.NDAB=120°；故答案為：120；AC【分析】(1)根據“可分四邊形〃的定義，可得AC2=AB?AD,從而可得：'',根據對應邊成比例且夾角相等可證^DAC-△CAB;(2)根據對應邊成比例且夾角相等可證△ADC-△ACB,可得ND=N4,由NDCB=N3+N4=2N1,根據三角形內角和可得N1+ND+N3=N1+N4+N3=N1+2N1=180°,求出N1=60°,從而求出NDAB的度數；(3)先證△ADC-△ACB,可得ND=NACB=90°,利用勾股定理求出AB=\,由AC2=AB?AD,即可求出AD的長.二、圓的綜合9.如圖，OQ是^ABC的外接圓，點E為ABC內切圓的圓心，連接AE的延長線交BC于點F,交OQ于點D；連接BD,過點D作直線DM,使NBDM=NDAC.(1)求證：直線DM是OQ的切線；(2)若DF=2,且AF=4,求BD和DE的長.【答案】(1)證明見解析(2)2<3【解析】【分析】(1)根據垂徑定理的推論即可得到OD±BC,再根據NBDM=NDBC,即可判定BCIIDM,進而得到OD±DM，據此可得直線DM是OO的切線；(2)根據三角形內心的定義以及圓周角定理，得到NBED=NEBD,即可得出DB=DE,再判定、DBFs△d>4B,即可得至I」DB2=DF?D4據此解答即可.【詳解】(1)如圖所示，連接OD.???點E是4ABC的內心，，NBAD=NCAD，「.BD:他D,OD±BC.又：NBDM=NDAC,NDAC=NDBC,:.NBDM=NDBC,「.BCIIDM,「.OD±DM.又TOD為OO半徑，「.直線DM是OO的切線.(2)連接BE.丁E為內心，，NABE=NCBE.丁NBAD=NCAD,NDBC=NCAD,「.NBAD=NDBC,「.NBAE+NABE=NCBE+NDBC,即NBED=NDBE,「.BD=DE.又TNBDF=NADB(公共角)，：,△DBF八DAB,，DF=DB,即DB2=DF?DA.DBDATDF=2,AF=4,「.DA=DF+AF=6,「.DB2=DF?DA=12,「.DB=DE=2、；3.【點睛】本題主要考查了三角形的內心與外心，圓周角定理以及垂徑定理的綜合應用，解題時注意：平分弦所對一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧；三角形的內心到三角形三邊的距離相等；三角形的內心與三角形頂點的連線平分這個內角.(1)如圖1,在矩形ABCD中，點O在邊AB上，NAOC=ABOD,求證：AO=OB；(2)如圖2,AB是。O的直徑，PA與。O相切于點A,OP與。O相交于點C,連接CB,NOPA=40°,求NABC的度數.圖1. 肆【答案】(1)證明見解析；(2)25°.【解析】試題分析：(1)根據等量代換可求得NAOD=NBOC,根據矩形的對邊相等，每個角都是直角，可知NA=NB=90°,AD=BC,根據三角形全等的判定AAS證得AAODM△BOC,從而得證結論.(2)利用切線的性質和直角三角形的兩個銳角互余的性質得到圓心角/POA的度數，然后利用圓周角定理來求NABC的度數.試題解析：(1);NAOC=NBOD「.NAOC-NCOD=NBOD-NCOD即NAOD=NBOC丁四邊形ABCD是矩形「.NA=NB=90°,AD=BCAAOD=ABOC「.AO=OB(2)解：:AB是eO的直徑，pa與eO相切于點A,「.PA±AB,「.NA=90°.又「NOPA=40°,「.NAOP=50°,;OB=OC,「.NB=NOCB.文:NAOP=NB+NOCB,「?/B=/OCB=1/AOP=25。211.函數是描述客觀世界運動變化的重要模型，理解函數的本質是重要的任務。（1）如圖1,在平面直角坐標系中，已知點A、B的坐標分別為A（6,0）、B（0,2）,點C（x，y）在線段AB上，計算（x+y）的最大值。小明的想法是：這里有兩個變量x、y，若最大值存在，設最大值為m，則有函數關系式y=-x+m，由一次函數的圖像可知，當該直線與y軸交點最高時，就是m的最大值，（x+y）的最大值為—；（2）請你用（1）中小明的想法解決下面問題：如圖2，以（1）中的AB為斜邊在右上方作RtAABM.設點M坐標為（x，y），求（x+y）的最大值是多少？【答案】（1）6（2）4+2<5【解析】分析：（1）根據一次函數的性質即可得到結論；（2）根據以AB為斜邊在右上方作RtAABC，可知點C在以AB為直徑的。D上運動，根據點C坐標為（x，y），可構造新的函數x+y=m，則函數與y軸交點最高處即為x+y的最大值，此時，直線y=-x+m與。D相切，再根據圓心點D的坐標，可得C的坐標為（3+%；5，1+\/5），代入直線y=-x+m，可得m=4+2%：'5，即可得出x+y的最大值為4+25.詳解：（1）6；（2）由題可得，點C在以AB為直徑的。D上運動，點C坐標為（x，y），可構造新的函數x+y=m，則函數與y軸交點最高處即為x+y的最大值，此時，直線y=-x+m與OD相切，交x軸與E，如圖所示，連接OD，CD.丁A（6,0）、B（0，2），「.D（3，1），「.OD=、,百至=<10，「.CD=<10.根據CD±EF可得，C、D之間水平方向的距離為%；5，鉛垂方向的距離為%;5,「?C（3+%：5,1+、區），代入直線y=-x+m,可得：1+\；5=-（3+<5）+m,解得：m=4+2J5,「.x+y的最大值為4+2、：5.故答案為：4+2<5.點睛：本題主要考查了切線的性質，待定系數法求一次函數解析式以及等腰直角三角形的性質的綜合應用，解決問題的關鍵是構造一次函數圖象，根據圓的切線垂直于經過切點的半徑進行求解.12.如圖，在直角坐標系中，OM經過原點0(0,0),點A(\6,0)與點B(0,—<2)，點D在劣弧OA上，連結BD交x軸于點C,且NC0D=ZCB0.(1)求OM的半徑；(2)求證:BD平分NAB0；⑶在線段BD的延長線上找一點E,使得直線AE恰為OM的切線，求此時點E的坐標.【答案】(1)M的半徑r=m2；(2)證明見解析；(3)點E的坐標為(手，).【解析】試題分析：根據點A和點B的坐標得出0A和0B的長度，根據RtAA0B的勾股定理得出AB的長度，然后得出半徑；根據同弧所對的圓周角得出NABD=NC0D,然后結合已知條件得出角平分線；根據角平分線得出△ABEM△HBE,從而得出BH=BA=2y2，從而求出0H的長度，即點E的縱坐標，根據RSA0B的三角函數得出NAB0的度數，從而得出NCB0的度數，然后根據Rt△HBE得出HE的長度，即點E的橫坐標.試題解析：(1).??點A為(v6,0),點B為(0,—<2)「.0A=v60B{2???根據RSA0B的勾股定理可得：AB=2、12「.eM的半徑r=1AB=、2.21(2)根據同弧所對的圓周角相等可得：NABD=NC0D丁NC0D=NCB0「.NABD=NCB0」.BD平分/AB0(3)如圖，由(2)中的角平分線可得△ABEM△HBE，BH=BA=2、2?二0H=2X2—

J2=v,2在RtAAOB中OAOB<3「.NABO=60°「.NJ2=v,2在RtAAOB中OAOB<3「.NABO=60°「.NCBO=30°HE=-3=-3——.點E的坐標為（一3一，V2）在RtAHBE中,考點：勾股定理、角平分線的性質、圓的基本性質、三角函數.13.如圖，△ABC內接于。0，NBAC的平分線交。O于點D，交BC于點E(BE>EC),且BD=2%3.過點D作DFIIBC,交在RtAHBE中,考點：勾股定理、角平分線的性質、圓的基本性質、三角函數.(1)求證：DF為。O的切線；F D(2)若NBAC=60°,DE=〃7，求圖中陰影部分的面積.F D【答案】(1)詳見解析；(2)9*3-2n.【解析】【分析】(1)連結OD,根據垂徑定理得到ODLBC,根據平行線的性質得到ODLDF,根據切線的判定定理證明；(2)連結OB,連結OD交BC于P,作BH±DF于H,證明△OBD為等邊三角形，得到NODB=60°，ob=bd=2%5，根據勾股定理求出PE,證明△ABE-△AFD,根據相似三角形的性質求出AE,根據陰影部分的面積=△BDF的面積-弓形BD的面積計算.【詳解】證明：(1)連結0D,丁AD平分NBAC交。0于D,「.NBAD=NCAD,???BD=CD，「.OD±BC,

「BCIIDF,「.OD±DF,「?DF為。O的切線;(2)連結OB,連結OD交BC于「，作BH±DF于H,丁丁NBAC=60°,AD平分NBAC,「.NBAD=30°,「.NBOD=2NBAD=60°,??.△OBD為等邊三角形，「.NODB=60°,OB=BD=2行,「.NBDF=30°,「BCIIDF,「.NDBP=30°,在Rt在RtADBP中，PB=<3PD=3,在RtADEP中，:PD=<3,DE=口在RtADEP中，:PD=<3,DE=口,??pe=v'(J7)2_Q3)2=2,「OP±BC,?.BP=CP=3,..CE=3-2=1,「NDBE=NCAE,NBED=NAEC,△BDE-△ACE,5=1：<7,AE：BE=CE：DE,即AE：?AE=7「BEIIDF,?△ABE-△AFD,5萬―一HU——工

DFAD即DF12、57BEAE解得DF=12,在RtABDH中，BH=-BD=X；；3,「?陰影部分的面積=4BDF的面積-弓形BD的面積=△BDF的面積-(扇形BOD的面積-△BOD的面積)=1*12*V3—60"義(2⑥2—亙*(2<3)2=9、.-'3-2n.2 360 4【點睛】考查的是切線的判定，扇形面積計算，相似三角形的判定和性質，圓周角定理的應用，等邊三角形的判定和性質，掌握切線的判定定理，扇形面積公式是解題的關鍵.14.如圖，AB為。O的直徑，BC為。O的弦，過O點作ODLBC,交。O的切線CD于點D,交OO于點E,連接AC、AE,且AE與BC交于點F.(1)連接BD,求證：BD是OO的切線；(2)若AF：EF=2：1,求tanZCAF的值.D 五【答案】(1)證明見解析；(2)—.3【解析】【分析】(1)根據全等三角形的性質得到ZOBD=ZOCD=90°,根據切線的判定定理即可得到結論；(2)根據已知條件得到ACIIDE,設OD與BC交于G,根據平行線分線段成比例定理得到1 1AC：EG=2：1,EG=；yAC,根據三角形的中位線的性質得到OG=；yAC于是得到AC=OE,求得ZABC=30°,即可得到結論.【詳解】證明：(1);OC=OB,OD±BC,「.ZCOD=ZBOD,在^COD與^BOD中，尸O</COD=/BOD,OD=OD「.△COD^△BOD,「.NOBD=NOCD=90°,「.BD是。O的切線；D(2)解：:AB為。O的直徑，AC±BC,;OD±CB,「.ACIIDE,設OD與BC交于G,「OEIIAC,AF：EF=2：1,一一一1AC：EG=2：1,即EG=_Ac,2「OGIIAC,OA=OB,-一OG AC,11-OG+GE=—AC+—AC=AC,22「.AC=OE,一AC=—AB,2「.NABC=30°,「.NCAB=60°,??% %-CE=BE,「.NCAF=NEAB=1NCAB=30°,2「.tanNCAF=tan30°=立.3【點睛】本題考查了切線的判定和性質，垂徑定理，全等三角形的判定與性質，三角形的中位線的性質，三角函數的定義，正確的識別圖形是解題的關鍵..如圖，四邊形ABCD是。O的內接四邊形，AC為直徑，BD=AD,DE±BC,垂足為

(1(1)判斷直線ED與。。的位置關系，并說明理由;(2)若CE=1，AC=4,求陰影部分的面積.2【答案】(1)ED與eO相切.理由見解析；(2)S=-n-v3.陰影3【解析】【分析】(1)連結。5如圖，根據圓周角定理，由BD=Ad得到Nbad=nACD,再根據圓內接四邊形的性質得NDCE=NBAD，所以NACD=NDCE；利用內錯角相等證明ODIIBC,而DE±BC,則OD±DE,于是根據切線的判定定理可得DE為。O的切線；(2)作OH±BC于H,易得四邊形ODEH為矩形，所以OD=EH=2,則CH=HE-CE=1,于是有NHOC=30°,得到NCOD=60°,然后根據扇形面積公式、等邊三角形的面積公式和陰影部分的面積=S扇形°C。-SAa。進行計算即可?【詳解】(1)直線ED與。O相切.理由如下：連結OD，如圖，BD=Ad,，NBAD=NACD.丁NDCE=NBAD,，NACD=NDCE....NDCE=NODC,...ODIIBC.OD=EH.1=1.在RtAOHC中，:OC=2,CH=1,;OC=OD,「.NOCD=NODC,而NOCD=NDCE,VDE±...NDCE=NODC,...ODIIBC.OD=EH.1=1.在RtAOHC中，:OC=2,CH=1,;CE=1,AC=4,「.OC=OD=2,「.CH=HE-CE=2-NOHC=90°,NHOC=30°,「.NCOD=60°,「?陰影部分的面積=S扇。°-葭。_60?n?22超 .22360 4【點睛】本題考查了切線的判定定理：經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.要證