第2課時兩平面所成的角、空間中的距離問題

某人在一片丘陵上開墾了一塊田地,在丘陵的上方架有一條直的水渠,此人想從水渠上選擇一個點,通過一條管道把水引到田地中的一個點P處,要想使這個管道的長度理論上最短,應該如何設計?1.理解二面角大小與兩個面法向量夾角之間的關系,會用向量方法求二面角的大小.2.能用向量方法解決點到平面、點到直線的距離問題.

會用向量的方法求面與面所成的二面角、點到平面的距離、點到直線的距離培養學生數學運算能力以及直觀想象.

體會課堂探究的樂趣，汲取新知識的營養，讓我們一起吧！進走課堂探究點1用向量求兩個平面所成的角

一般地,已知n1,n2分別為平面α,β的法向量,則二面角α-l-β的平面角與兩法向量所成角〈n1,n2〉相等(如圖3-47(1))或互補(如圖3-47(2)).例如圖3-48,在空間直角坐標系中有單位正方體ABCD-A'B'C'D'，

求二面角A'-DC-A的平面角.圖3-48

圖3-48

探究點2用向量研究空間中的距離問題

幾何學中，經常需要計算兩個圖形間的距離.一個圖形內任一點與另一個圖形內任一點的距離中的最小值，通常叫作這兩個圖形的距離.

空間中常見的距離有:兩點間的距離、點到直線的距離、點到平面的距離、相互平行的直線之間的距離、相互平行的平面之間的距離等.計算距離是空間度量最基本的問題，如何用向量方法求解這些距離呢？

回顧平面內直線l外一點P到直線l距離的幾種求解方法.方法如下：1.綜合幾何方法:如圖3-50(1),過點P作直線l的垂線，垂足為點D1，一般轉化為求三角形的高，即PD1的長度.圖

3-50

圖

3-50①點到直線的距離就等于過這點向直線所引垂線段的長度;

②點到平面的距離就等于過這點向平面所作垂線段的長度；

③如果一條直線和一個平面平行，它們之間的距離就等于過這條直線上任意一點向該平面所作垂線段的長度;

④兩個平行平面間的距離就等于這兩個平面的垂線夾在兩個平行平面間的線段的長度.

幾種距離

垂直反映了距離的本質.用向量方法求解距離，也要抓住這一點.無論是對于平面還是直線，法向量都是反映垂直方向的最為直觀的表達形式,因此可以通過一個向量在法向量方向上作投影向量的方法來求解距離.

圖3-511.點到平面的距離

例在單位正方體ABCD-A'B'C'D'中，點M是側面ABB'A'的中心.判斷直線C'M與平面ACD'是否平行.若平行，請證明你的結論，并求直線C'M到平面ACD'的距離;若不平行,請說明理由.

用向量方法求解點到平面的距離問題的一般步驟是：(1)確定一個法向量；(2)選擇參考向量；(3)確定參考向量在法向量方向上的投影向量；(4)求投影向量的長度.1.點到直線的距離如圖3-55,設點P是直線I外一點山是直線I的單位方向向量，過點P作直線/的垂線，垂足為點P',則垂線段FF'的長度就是點P到直線Z的距離.如何求這個距離呢？

若點P是直線l外一點,l0是直線l的單位方向向量，點A是直線l上任意一點,則點P到直線l的距離為

例

如圖3-57,在空間直角坐標系中有長方體ABCD-A'B'C'D',AB=1,BC=2,AA'=3.用向量的方法求點B到直線A'C的距離.

1.一般地,已知n1,n2分別為平面α,β的法向量,則二面角α-l-β的平面角與兩法向量所成角〈n1,n2〉相等(如圖3-47(1))或互補(如圖3-47(2)).

3.若點P是直線l外一點,l0是直線l