2023年“大夢杯”福建省初中數學競賽試題考試時間2023年3月18日9∶00－11∶00滿分150分一、選擇題（共5小題，每小題7分，共35分）。每道小題均給出了代號為A，B，C，D的四個選項，其中有且只有一個選項是正確的。請將正確選項的代號填入題后的括號里，不填、多填或錯填都得0分）1．若關于的方程有兩個相等的實數根，則的值為（）A．B．C．D．12．如圖，、都是正方形，邊長分別為、（）。坐標原點為的中點，、、在軸上。若二次函數的圖像過、兩點，則（）A．B．C．D．（第4題（第4題圖）（第3題圖）（第2題圖）3．如圖，為的重心，點在延長線上，且，過、的直線交于點，則（）A．B．C．D．4．如圖，、分別為的垂心、外心，，若外接圓的半徑為，則（）A．B．C．D．5．滿足方程的整數對有（）A．0對B．2對C．4對D．6對二、填空題（共5小題，每小題7分，共35分）6．已知，，為正整數，且。若，，是三個連續正整數的平方，則的最小值為。7．如圖，為矩形，為對角線的中點，、在軸上。若函數（）的圖像過、兩點，則矩形的面積為。（第8（第8題圖）（第7題圖）8．如圖，是邊長為8的正三角形，為邊上一點，為的內切圓，為的邊上的旁切圓。若、的半徑都是，則。9．若實數滿足，則。其中表示不超過的最大整數。10．網絡爬蟲是一種互聯網網頁抓取工具。其算法與數學的一個重要分支圖論有著密切的聯系。圖論可以追溯到大數學家歐拉提出的“哥尼斯堡七橋問題”。圖論中討論的圖是由一些節點和連接這些節點的線組成的。請你回答下列問題：把一個矩形區域劃分成個凸多邊形區域（這些凸多邊形區域除公共邊外，沒有公共部分）。已知構成這個凸多邊形的頂點中，恰有6個頂點在矩形內，12個頂點在矩形的邊界上（含矩形的頂點）；同時，任何三個頂點不共線（除矩形邊界上的頂點共線外）。若圍成這個凸多邊形的線段中，恰有18條線段在矩形區域內，則這個凸多邊形中四邊形個數的最大值為。三、解答題（共4題，每小題20分，共80分）11．已知二次函數的圖像交軸于、兩點，且。若函數在上的最小值為，求，的值。12．如圖，在圓內接四邊形中，，是邊的中點，點在對角線上，且滿足。求證：。（第（第12題圖）13．已知關于的方程的兩根都是素數，求的值。14．一個由個單位小方格組成的的方格表中的個小方格被染成了紅色，使得任意兩個紅色小方格的中心之間的距離大于2，求的最大值。2023年“大夢杯”福建省初中數學競賽試題參考答案及評分標準考試時間2023年3月18日9∶00－11∶00滿分150分一、選擇題（共5小題，每小題7分，共35分）。每道小題均給出了代號為A，B，C，D的四個選項，其中有且只有一個選項是正確的。請將正確選項的代號填入題后的括號里，不填、多填或錯填都得0分）1．若關于的方程有兩個相等的實數根，則的值為（）A．B．C．D．1【答案】A【解答】依題意，。因此，?！?，。∴。2．如圖，、都是正方形，邊長分別為、（）。坐標原點為的中點，、、在軸上。若二次函數的圖像過、兩點，則（）A．B．C．D．【答案】B【解答】依題意，點坐標為，點的坐標為。（第2題圖）由二次函數的圖像過、（第2題圖），消去，得?！?，解得（舍負根）?！?。3．如圖，為的重心，點在延長線上，且，過、的直線交于點，則（）A．B．C．D．【答案】D【解答】如圖，連，并延長交于點。（第3題圖）∵為的重心，且（第3題圖）∴為中點，且，。過點作，交于點。則，。設，則，，?！?，。（第3題答題圖）另解：如圖，連，并延長交于點。（第3題答題圖）∵為的重心，且，∴為中點，且，?！啵?。（第3題答題圖）在中，利用梅涅勞斯定理，得（第3題答題圖）∴，?！?。4．如圖，、分別為的垂心、外心，，若外接圓的半徑為，則（）A．B．C．D．【答案】B【解答】如圖，連結并延長交于點，連、、。∵為的外心，（第4題圖）∴為直徑，，。（第4題圖）又為的垂心，∴，。∴，。∴四邊形為平行四邊形，?！撸饨訄A的半徑為，∴，。（第4題答題圖）（第4題答題圖）5．滿足方程的整數對有（）A．0對B．2對C．4對D．6對【答案】C【解答】方程化為。依題意，為完全平方數。由，得。結合為整數，得。故，，，4，。當時，，不是完全平方數。當時，，不是完全平方數。當時，，不是完全平方數。當時，?！喾匠袒癁?，即，或∴，或，或，或。∴，或，或，或。∴滿足方程的整數對有、、、，共4對。二、填空題（共5小題，每小題7分，共35分）6．已知，，為正整數，且。若，，是三個連續正整數的平方，則的最小值為。【答案】【解答】依題意，設，則，，為正整數，且?！?，可見為偶數，且?！?，，?？梢?，，且當增大時，的值也隨之增大。又時，，，符合要求。∴的最小值為。7．如圖，為矩形，為對角線的中點，、在軸上。若函數（）的圖像過、兩點，則矩形的面積為?！敬鸢浮俊窘獯稹吭O，，則。作于，由為中點，得為中點，且?！?。結合（第7題圖），得。（第7題圖）∴，。∴矩形的面積。（第7（第7題答題圖）8．如圖，是邊長為8的正三角形，為邊上一點，為的內切圓，為的邊上的旁切圓。若、的半徑都是，則?！敬鸢浮俊窘獯稹咳鐖D，設切的三邊、、依次于點、、，邊切于點，、的延長線切于點、。則由、的半徑都是，為正三角形，以及切線長性質定理，得（第8題圖），，，。（第8題圖）∴∴。（第8題答題圖）∴，（第8題答題圖）9．若實數滿足，則。其中表示不超過的最大整數。【答案】【解答】設，其中為整數，。則?！弋敃r，；當時，；當時，；當時，?！鄬θ我鈱崝?，的值具有形式：，，，，為整數。∵，?！?，其中?！?。10．網絡爬蟲是一種互聯網網頁抓取工具。其算法與數學的一個重要分支圖論有著密切的聯系。圖論可以追溯到大數學家歐拉提出的“哥尼斯堡七橋問題”。圖論中討論的圖是由一些節點和連接這些節點的線組成的。請你回答下列問題：把一個矩形區域劃分成個凸多邊形區域（這些凸多邊形區域除公共邊外，沒有公共部分）。已知構成這個凸多邊形的頂點中，恰有6個頂點在矩形內，12個頂點在矩形的邊界上（含矩形的頂點）；同時，任何三個頂點不共線（除矩形邊界上的頂點共線外）。若圍成這個凸多邊形的線段中，恰有18條線段在矩形區域內，則這個凸多邊形中四邊形個數的最大值為。【答案】【解答】設這個凸多邊形中，有個三角形，個四邊形，個五邊形，…，個邊形。則這個凸多邊形的內角和為。另一方面，矩形內部有6個頂點，對于每個頂點，圍繞它的多邊形的內角和為。矩形邊界線段內（不含矩形頂點）有8個頂點，在每個頂點處，各多邊形在此匯合成一個平角，其和為。在矩形的每個頂點處，各多邊形在此匯合成一個直角，其和為。因此，這個凸多邊形的內角和為。∴。?！僭倏紤]這個凸多邊形的邊數。由于每個凸邊形有條邊，因此，這個凸多邊形的邊數和為。另一方面，由條件知，在矩形內部的18條邊，每條邊都是兩個凸多邊形的公共邊，應計算2次。而在矩形邊界上的12個點，得到12條線段，它們都對應某個凸多邊形的邊。因此，這個凸多邊形的邊數和為?！??！谟散?、②，消去，得?！唷＃ǖ?0題答題圖）又如圖所示的劃分符合要求，此時，，（第10題答題圖）∴的最大值為，即這個凸多邊形中，最多有9個四邊形。三、解答題（共4題，每小題20分，共80分）11．已知二次函數的圖像交軸于、兩點，且。若函數在上的最小值為，求，的值?！窘獯稹俊吆瘮档膱D像交軸于、兩點，∴，是方程的兩個實根。∴，?！?分又，∴，?！佟?0分∵，在上的最小值為?！鄷r，?！唷凇?5分由①、②，解得，?！啵！?0分12．如圖，在圓內接四邊形中，，是邊的中點，點在對角線上，且滿足。求證：?！窘獯稹俊?，∴?！?。又，∴。（第12題圖）∴（第12題圖）……5分設、相交于點，∵，?！唷！?。…②……10分又為邊中點，（第12題答題圖）∴，結合①，得（第12題答題圖）結合②，得，∴?！?5分∴，即。……20分13．已知關于的方程的兩根都是素數，求的值。【解答】設方程的兩根分別為、，則由韋達定理，知，?！唷佟?分顯然，都不等于2，因此，，都是奇數?！??！?0分若，中有一個數為奇數，不妨設為奇數，則，其中，2，3，4。當時，，不是素數，舍去；當時，，不是素數，舍去；當時，，不是素數，舍去。當時，是素數。此時，，，也是素數?！啵?，，符合要求?！?5分若，都是偶數，則，不妨設，則當，時，，，不是素數，舍去；當，時，，，，都是素數；當，時，，，，都不是素數，舍去；∴，，，符合要求。綜上所述，，或。……20分14．一個由個單位小方格組成的的方格表中的個小方格被染成了紅色，使得任意兩個紅色小方格的中心之間的距離大于2，求的最大值?！窘獯稹康淖畲笾禐椤Ｏ瓤紤]一個的方格表，其中有個小方格被染成了紅色，使得任意兩個紅色小方格的中心之間的距離大于2，由枚